NHĨMTỐN VD–VDC học sinh giỏi lớp 12 Đề thi SỞ GD&ĐT YÊN BÁI KỲ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH ĐỀ CHÍNH THỨC LỚP 12 THPT (Đề thi có 01 trang) NĂM HỌC 2019 - 2020 MƠN: TỐN Thời gian: 180 phút Họ tên: SBD: Câu I Cho hàm số khoảng mx x m Tìm tất giá trị tham số m để hàm số nghịch biến ;1 Cho hàm số số y f x x x m x 2m g x f x Tìm tất giá trị tham số m để hàm có điểm cực trị Câu II Từ tập hợp tất số tự nhiên có năm chữ số mà chữ số khác 0, lấy ngẫu nhiên số Tính xác suất để số tự nhiên lấy có mặt ba chữ số khác Câu III y ( x y ) x y 2 x x xy y x y 6 xy y Giải hệ phương trình sau tập số thực Câu IV Cho hình chóp S ABC có đáy ABC vuông B , AB a 3, ACB 60 , hình chiếu vng ABC trọng tâm tam giác ABC , gọi E trung điểm cạnh AC , góc S lên mặt phẳng biết góc SE mặt phẳng đáy 30 SAB a) Tính theo a thể tích khối chóp S ABC khoảng cách từ C đến mặt phẳng b) Tính góc hai mặt phẳng Câu V SAC ABC Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O ) , có đường cao AD ( D BC ) Kẻ DE , DF vng góc với AB, AC ( E AB, F AC ) BF CE I , K BF DE , L CE DF , hai điểm M , N trung điểm AD AI Chứng minh rằng: a) Đường thẳng KL song song với đường thẳng BC b) M , N , O thẳng hàng Câu VI x y z x y z xy Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: 20 20 P x yz x z y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Câu VII Trang1 NHĨMTỐN VD–VDC học sinh giỏi lớp 12 Đề thi Tìm tất số nguyên dương n cho: n n số phương SỞ GD&ĐT YÊN BÁI - HẾT HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2019 - 2020 Câu I y mx x m Tìm tất giá trị tham số m để hàm số nghịch biến Cho hàm số ;1 khoảng f x x x m x 2m 2 Cho hàm số Tìm tất giá trị tham số m để hàm g x f x số có điểm cực trị Lời giải mx m 9 y y xm x m m2 y 0, x ;1 ;1 m 1 Để hàm số nghịch biến khoảng m 3;3 m 3; 1 m f x x x m x 2m 2 f x 3x 12 x m g x f x f x Đề hàm số có điểm cực trị hàm số có giá trị cực đại giá trị cực tiểu trái dấu f x f x 0 Hàm số có cực trị có nghiệm phân biệt 36 m m 2m 4m 12 y x ax b 3 Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị là: 2m a b 4m 12 Với y ax1 b f x 0 x ;x y2 ax2 b Gọi nghiệm phương trình y y ax1 b ax2 b a x1 x2 ab x1 x2 b y ,y Vì trái dấu nên 2 2m m 2m 4m 12 4m 12 0 3 3 m 3 9 m 9 m 2 32 m 3 16 m 3 m 3 32 16 m 3 Vậy m thỏa mãn u cầu tốn Trang2 NHĨMTỐN VD–VDC học sinh giỏi lớp 12 Đề thi Câu II Từ tập hợp tất số tự nhiên có năm chữ số mà chữ số khác 0, lấy ngẫu nhiên số Tính xác suất để số tự nhiên lấy có mặt ba chữ số khác Lời giải Xét phép thử : T = ‘Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên có năm chữ số mà chữ số khác 0" Ta có: 95 59049 Gọi A biến cố cần tìm xác suất, ta có: Số cách chọn chữ số phân biệt a, b, c từ chữ số khác C9 Chọn chữ số lại từ chữ số đó, có trường hợp rời sau đây: TH1 Cả chữ số lại chữ số a, b, c: có cách; hốn vị từ 5! hốn vị chữ số (chẳng hạn) a, a, a, b, c tạo số tự nhiên n; 3! hốn vị vị trí mà a, a, a 5! 60 chiếm chỗ tạo số n, nên TH1 có thảy 3! số tự nhiên TH2 chữ số lại chữ số a, b, c chữ số chữ số khác chữ số đó: có cách; hoán vị từ 5! hoán vị chữ số (chẳng hạn) a, a, b, b, c tạo số tự nhiên n; 2! hoán vị vị trí mà a, a chiếm chỗ 2! hốn vị vị trí mà b, b chiếm chỗ 5! 3 90 tạo số n, nên TH2 có thảy 2!2! số tự nhiên 9! A (60 90)C39 150 150 7 4 3 12600 3!6! Vậy: 12600 1400 P A A 59049 6561 Kết luận: Cách 2: Số số tự nhiên gồm chữ số mà chữ số khác 0: số 95 Không gian mẫu: Lấy ngẫu nhiên số từ 59049 số Biến cố A: lấy số có mặt chữ số khác +) Chọn chữ số từ chữ số 1,2,3,……,9 là: C9 +) Giả sử số chọn a, b, c Vì số cần tìm có chữ số mà có mặt chữ số khác nên ta có trường hợp sau: Trường hợp 1: a xuất lần; b c xuất lần: C5 2! 20 số Tương tự b c xuất lần trường hợp thành lập 20 số 2 Trường hợp 2: a xuất lần; b xuất lần c xuất lần: C5 C3 30 số 2 Trường hợp 3: a xuất lần; b xuất lần c xuất lần: C5 C3 30 số 2 Trường hợp 4: a xuất lần; b c số xuất lần: C5 C3 30 số 12600 1400 A 20.3 30.3 C39 12600 PA 95 6561 Do đó: Câu III y ( x y ) x y 2 x x xy y x y 6 xy y Giải hệ phương trình sau tập số thực Lời giải x 0 Điều kiện x y 0 Từ phương trình y ( x y ) x y 2 x x Trang3 NHĨMTỐN VD–VDC học sinh giỏi lớp 12 Đặt u x y 0 v x Đề thi u x y v 2 x 2u v 2 y v4 x 2u v 2 v4 u u v 2u u v 2u v 2v 2 Phương trình 4 2 u v u u v 2u 2v 0 u v u v x y 2 u v u v u u v 0 Thay vào phương trình thứ hai ta x x 14 x 6 x x x x 1 x 1 x 1 x 1 6 x 1 x 1 x 1 6x VP x2 x 1 x x 1 1 Ta có x2 x 1 x2 x 1 1 VT x 1 x 1 x 6 6x 6 x x 1 x x 1 x 0 nên phương trình thứ vơ nghiệm 1;1 Vậy nghiệm hệ phương trình Câu IV x x2 x 1 x2 x 1 1 ln với Cho hình chóp S ABC có đáy ABC vng B , AB a 3, ACB 60 , hình chiếu vuông ABC trọng tâm tam giác ABC , gọi E trung điểm cạnh AC , góc S lên mặt phẳng biết góc SE mặt phẳng đáy 30 SAB a) Tính theo a thể tích khối chóp S ABC khoảng cách từ C đến mặt phẳng SAC ABC b) Tính góc hai mặt phẳng Lời giải Trang4 NHĨMTỐN VD–VDC học sinh giỏi lớp 12 Đề thi AB AB tan ACB BC a BC tan ACB a) Xét tam giác ABC có ABC 90 nên có , a SABC AB.BC 2 AC AB BC 2a 2 ABC SH ABC Suy ra, góc SE Gọi H hình chiếu vng góc S mặt phẳng ABC góc SEH SEH 30 BE AC a Ta có a HE BE 3 H trọng tâm tam giác ABC suy a SH HE tan SEH Tam giác SHE vuông H nên 1 a a a VS ABC SH S ABC 3 18 Vậy CM 3HM d C , SAB 3d H , SAB Gọi M trung điểm AB Kẻ HK AB SH ABC SH AB AB SHK SHK SAB Có HI SK HI SAB d H , SAB HI Kẻ Do HK MH a HK BC MC 3 Tam giác MBC có HK / / BC (vì HK BC vng góc với AB ) 1 36 a 2 HI 2 HI HS HK a hay Tam giác SHK vuông H đường cao HI a a d H , SAB d C , SAB Vậy b) Tính góc hai mặt phẳng SAC ABC Trang5 NHĨMTỐN VD–VDC học sinh giỏi lớp 12 Đề thi SHF AC Suy góc SFH Kẻ BP HF vng góc với AC Khi ta có góc hai mặt SAC ABC phẳng BA.BC a BP AC BA.BC BP AC Mặt khác, ta có HF EH a HF BP EB Tam giác EBC có HF / / BP SH tan SFH HF Do góc SAC ABC 33 41 Tam giác SHF vuông H nên Câu V Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường trịn (O ) , có đường cao AD ( D BC ) Kẻ DE , DF vng góc với AB, AC ( E AB, F AC ) BF CE I , K BF DE , L CE DF , hai điểm M , N trung điểm AD AI Chứng minh rằng: a) Đường thẳng KL song song với đường thẳng BC b) M , N , O thẳng hàng Lời giải a) Trang6 NHĨMTỐN VD–VDC học sinh giỏi lớp 12 Đề thi 0 Ta có AED AFD 90 90 180 AEDF nội tiếp AEF ADF ACB (cùng phụ với DAC ) BCFE nội tiếp BEC BFC BEC 90 BFC 90 KEL KFL LEF CBF KLFE nội tiếp LKF ( BCFE nội tiếp) KL // BC ID IK ID IL ; b)Kẻ BP // DE ( P DI ) , CQ // DF (Q DI ) Khi IP IB IQ IC ID ID IK IL KL // BC Lại có IB IC Suy IP IQ , P Q Như ABP AED 90 , ACP AFD 90 ABP ACP 180 ABPC P O O nội tiếp AP đường kính Ta có I , D, P thẳng hàng N , M , O trung điểm AI , AD, AP nên N , M , O thẳng hàng Trang7 NHĨMTỐN VD–VDC học sinh giỏi lớp 12 Đề thi Câu VI x y z x y z xy Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: 20 20 P x yz x z y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Lời giải x y z x y z xy x y z x y z 2 - Từ giả thiết: x y z2 2 1 2 x y z x y z x y z x y z 6 2 - Mà Ta có: - 20 20 1 x y z 40 x yz x z y xz y 2 2 320 40 x yz x yz x y z 10 x z 4 y 6 320 f t t , t x y z 0;6 t 10 Xét hàm số P f t 320 1 t 10 t 10 0, t 0;6 t 10 t 10 Có f t 0;6 Suy hàm nghịch biến nửa khoảng f t f 26, t 0;6 x y z 6 x z 4 y 4 z x y P 26 , dấu ”=” xảy Vậy Pmin 26 x 1, y 2, z 3 x 1 y 2 z 3 Câu VII Tìm tất số nguyên dương n cho: n n số phương Lời giải Đặt A n n Với n 1 , ta có A 3 khơng số phương 2n n 4 A 1 n n n n n n n Với ta có 4 4n 4n3 2n n 1 4n 4n3 4n n 4n3 4n 2n Ta có: 2 2 3n 2n (luôn n 2 ) n n 1 2n n 1 A 2n n 1 2 2 1 2n n 4 A 2n n 1 Từ Dấu “ ” xảy n 2 - HẾT - Trang8