chơng giới hạn A Kiến thức cần nhớ I DÃy số có giới hạn định nghĩa dÃy số có giới hạn Định nghĩa: Ta nói dÃy số (un) có giới hạn (hay có giíi h¹n 0) nÕu mäi sè h¹ng cđa d·y sè có giá trị tuyệt đối nhỏ số d¬ng nhá t ý cho tríc kĨ tõ mét sè hạng trở Khi đó, ta viết: lim ( u n ) = 0, viết tắt lim(un) = hc limun = hc un n NhËn xÐt: D·y sè (un) cã giới hạn dÃy số (un) có giới hạn DÃy số không đổi (un) víi un = cã giíi h¹n mét số dÃy số có giới hạn thờng gặp Từ định nghĩa, ta có kết quả: a lim = n b lim n = c lim n = Định lí 1: Cho hai d·y sè (un) vµ (vn) NÕu un với n limvn = limun = Định lí 2: Nếu q < limqn = II DÃy số có giới hạn hữu hạn định nghĩa dÃy số có giới hạn (u n L ) = Định nghĩa: Ta nói dÃy số (un) có giới hạn số thực L nlim Khi ®ã, ta viÕt: lim ( u n ) = L, viết tắt lim(un) = L hc limun = L hc un L n số định lí Định lí 1: Giả sư limun = L Khi ®ã: a limun = L vµ lim u n = L b NÕu un víi mäi n th× L lim un = L Định lí 2: Giả sử limun = L, limvn = M vµ c lµ mét số Khi đó: a Các dÃy số (un + vn), (un vn), (un.vn) (cun) có giới hạn vµ: lim(un + vn) = L + M lim(un vn) = L M lim(un.vn) = LM lim(cun) = cL u b NÕu M th× d·y sè n u có giới hạn lim n = L M tỉng cđa cÊp sè nh©n lùi vô hạn Với cấp số nhân (un) có công bội q thoả mÃn q < thì: u1 S = u1 + u2 + … = = q III DÃy số có giới hạn vô cực dÃy số cới giới hạn + Định nghĩa: Ta nói dÃy số (un) có giới hạn + số hạng dÃy số lớn sè d¬ng lín t ý cho tríc kĨ tõ mét số hạng trở Khi đó, ta viết: lim ( u n ) = +, viết tắt lim(un) = + hc limun = + hc un + n Từ định nghĩa, ta có kÕt qu¶: a lim n = + b lim n = + c lim n = + d·y số có giới hạn Định nghĩa: Ta nói dÃy số (un) có giới hạn số hạng dÃy số nhỏ số âm tuỳ ý cho trớc kể từ số hạng ®ã trë ®i Khi ®ã, ta viÕt: lim ( u n ) = , viết tắt lim(un) = hc limun = hc un n NhËn xÐt: NÕu limun = th× lim(un) = + Chó ý: C¸c d·y sè cã giíi hạn + đợc gọi chung dÃy số có giới hạn vô cực hay dần đến vô cực DÃy số có giới hạn số thực L đợc gọi dÃy số có giới hạn hữu hạn vài quy tắc tìm giới hạn vô cực Quy tắc 1: Nếu limun = limvn = lim(un.vn) đợc cho bảng sau: limun limvn lim(un.vn) + + + + + + Quy t¾c 2: NÕu limun = limvn = L lim(un.vn) đợc cho b¶ng sau: limun DÊu cđa L lim(un.vn) + + + + + + Quy t¾c 3: NÕu limun = L 0, limvn = vµ víi mäi n lim un đợc cho bảng sau: DÊu cña L DÊu cña + + + + un + + lim Mét sè kÕt qu¶ n qn = + vµ lim n = 0, víi q > q n nk qn Më réng: Ta cã lim k = + vµ lim n , víi q > vµ k số nguyên dq n ơng b Cho hai d·y sè (un) vµ (vn) NÕu un với n lim un = + lim = + a lim un = Nếu lim un = + (hoặc ) lim = L R th× lim (un + vn) = + (hoặc ) IV Định nghĩa số định lí giới hạn hàm số Nếu lim un = L R vµ limvn = + lim giới hạn hàm số điểm Định nghĩa (Giới hạn hữu hạn): Giả sử (a; b) khoảng chứa điểm x0 y = f(x) hàm số xác định khoảng (a; b), trừ điểm x0 Ta nói hàm số f(x) có giới hạn số thực L x dần đến x0 (hoặc điểm x0) nÕu víi mäi sè d·y sè (xn) tËp hợp (a; b)\{x0} mà lim xn = x0 ta cã lim f(xn) = L Khi ®ã, ta viÕt: lim f(x) = L hc f(x) L x x0 x x Từ định nghĩa, ta có kết quả: lim c = c, với c h»ng sè x x lim f ( x) = f(x0) Nếu hàm số f(x) xác định điểm x0 x x Định nghĩa (Giới hạn vô cực): Giả sử (a; b) khoảng chứa điểm x0 y = f(x) hàm số xác định khoảng (a; b), trừ điểm x0 Ta nói hàm số f(x) có giới hạn vô cực x dần đến x0 (hoặc điểm x0) với số dÃy số (xn) tập hợp (a; b)\{x0} mà lim xn = x0 ta ®Ịu cã limf(xn) = Khi ®ã, ta viÕt: lim f(x) = hc f(x) x x0 x x giíi h¹n cđa hàm số vô cực Định nghĩa 3: Giả sử hàm số y = f(x) xác định khoảng (a; +) Ta nói hàm số f(x) có giới hạn số thực L x dần đến + với số dÃy số (xn) khoảng (a; +) mà lim xn = + ta ®Ịu cã lim f(xn) = L Khi đó, ta viết: lim f(x) = L f(x) L x x0 x Chú ý: Các giới hạn xlim f(x) = L, xlim f(x) = , xlim f(x) = đợc định nghĩa tơng tự Ta có, kết sau với số nguyên dơng k bÊt k× cho tríc: k lim x = + lim k = x x x k lim x = x lim k = x x nÕu k ch ẵ n k lẻ số định lí giới hạn hữu hạn Định lí 1: Giả sử xlim f(x) = L vµ xlim g(x) = M (L, M R) Khi ®ã: x x a b lim [f(x) g(x)] = L M; x x lim [f(x).g(x)] = L.M; x x Đặc biệt, c số xlim [c.f(x)] = cL; x f (x) L c NÕu M th× xlim = x g( x ) M Định lí 2: Giả sử xlim f(x) = L R Khi ®ã: x a b lim f(x) = L; x x lim x x f (x) = L; c NÕu f(x) với L xlim x f (x) = L Định lí 3: Giả sử f(x), g(x) h(x) ba hàm số xác định khoảng (a; b) chứa điểm x0, có thĨ trõ ë mét ®iĨm x0 NÕu f(x) g(x) h(x) víi mäi x (a; b)\ {x0} vµ xlim f(x) = xlim h(x) = L th× xlim g(x) = L x x x 0 Chó ý: Các định lí 1, định lí 2, định lí vÉn ®óng thay x x bëi x V Giới hạn bên Định nghĩa (Giới hạn phải): Giả sử hàm số f(x) xác định khoảng (x0; b) (x0 R) Ta nói hàm số f(x) có giới hạn phải số thực L x dần đến x0 (hoặc điểm x0) nÕu víi mäi sè d·y sè (xn) kho¶ng (x0; b) mà lim xn = x0 ta có lim f(xn) = L Khi ®ã, ta viÕt: lim f(x) = L hc f(x) L x x x x Định nghĩa (Giới hạn trái): Giả sử hàm số f(x) xác định khoảng (a; x0) (x0 R) Ta nói hàm số f(x) có giới hạn trái số thực L x dần đến x0 (hoặc điểm x0) víi mäi sè d·y sè (xn) kho¶ng (a; x0) mà lim xn = x0 ta có lim f(xn) = L Khi ®ã, ta viÕt: lim f(x) = L hc f(x) L x x x x 0 f ( x) = L lµ lim f ( x ) = lim f ( x ) = L Định lí: Điều kiện cần ®đ ®Ĩ xlim x x x Chó ý: x x0 Các giới hạn xlim f(x) = , lim f(x) = đợc định nghĩa tơng tự x x x0 Định lí với giới hạn vô cực VI Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực f (x) = lim g(x) = L lim [f(x).g(x)] đợc cho Quy tắc 1: Nếu xlim x x x x x 0 b¶ng sau: lim f (x) DÊu cña L + + + + x x0 lim [f(x).g(x)] x x0 + + Quy t¾c 2: NÕu xlim f(x) = L 0, xlim g(x) = vµ g(x) víi mäi x x0 th× x x 0 lim f ( x ) đợc cho bảng sau: x x0 g( x ) Chó ý: DÊu cña L DÊu cña g(x) + + + + lim f ( x ) x x0 + + NÕu xlim f(x) = f(x) với x x0 xlim x x 0 NÕu xlim f(x) = + th× xlim x x 0 g( x ) = + | f (x) | = | f (x) | VII Các dạng vô định Khi tìm giới hạn hàm số, gặp trờng hợp sau: u( x ) với u(x) vµ v(x) v( x ) u( x ) lim víi u(x) vµ v(x) v( x ) lim lim[u(x) v(x)] víi u(x) vµ v(x) lim[u(x).v(x)] víi u(x) vµ v(x) Ta gọi dạng vô định dạng , , , 0., … = VIII Hàm số liên tục Hàm số liên tục điểm Định nghĩa 1: Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a, b) Hàm số ợc gọi liên tục điểm x0 (a, b) nÕu : lim f (x) = f(x0) y = f(x) đ- x x Nếu điểm x0 hàm số y = f(x) không liên tục, đợc gọi gián đoạn x0 điểm x0 đợc gọi điểm gián đoạn hàm số y = f(x) Chú ý 1: Hàm số y = f(x) đợc gọi liên tục điểm x ba điều kiện sau đợc đồng thời thoả mÃn : (i) f(x) xác định x0 lim f ( x) tồn (ii) x x (iii) lim f ( x) = f(x0) x x Hàm số y = f(x) gián đoạn điểm x ba điều kiện không đợc thoả mÃn Chú ý 2: Nếu sử dụng giới hạn phía : Nếu lim f (x ) tồn x x0 lim f (x ) = f(x ) hàm số y = f(x) đ0 x x ợc gọi liên tục trái điểm x0 Nếu lim f ( x ) tồn lim f (x ) = f(x0) hàm số y = f(x) đx x x x0 ợc gọi liên tục phải điểm x0 Hàm số y = f(x) liên tục điểm x lim f (x ) = x x lim f (x ) = x x f(x0) Đặc trng khác tính liên tục điểm Cho hàm số y = f(x) xác định (a ; b) Giả sử x O x(x xO) hai phần tử (a ; b) HiƯu x xO, kÝ hiƯu lµ x (đọc đen - ta x), đợc gọi số gia đối số điểm xO Ta có : x = x xO x = xO + x HiÖu yyO = f(x) f(xO), kÝ hiệu y, đợc gọi số gia tơng ứng hàm số điểm xO Ta có : y = yyOf(x)f(xO) = f(xO + x)f(xO) Đặc trng : Dùng khái niệm số gia, ta đặc trng tính liên tục hàm số y = f(x) điểm xO nh sau: Định lí Một hàm số y = f(x), xác định (a; b), liên tục t¹i x O (a; b) nÕu y = vµ chØ nÕu lim x Chøng minh ThËt vËy, ta cã : lim f (x) = f(xO) lim (f(x) f(xO)) = lim y = x x x x x 0 Hàm số liên tục khoảng Định nghĩa 2: Ta có : Hàm số y = f(x) đợc gọi liên tục khoảng (a; b) liên tục điểm khoảng Hàm số y = f(x) đợc gọi liên tục đoạn [a; b] Liên tục khoảng (a; b), lim f ( x) = f(a) (liªn tơc bên phải điểm a), lim f ( x ) = f(b) (liên tục bên trái điểm b) x a x b Chó ý: Đồ thị hàm số liên tục khoảng "đờng liền" khoảng Khi ta nói hàm số y = f(x) liên tục mà không khoảng có nghĩa hàm số liên tục tập xác định Các định lí hàm số liên tục Định lí Tổng, hiệu, tích, thơng (với mẫu khác 0) hàm số liên tục điểm hàm số liên tục điểm Định lí Các hàm số đa thức, hàm số hữu tỉ, hàm số lợng giác liên tục tập xác định chúng B Phơng pháp giải dạng toán liên quan Đ1 giới hạn DÃy số Dạng toán 1: D·y sè cã giíi h¹n ThÝ dơ Chøng minh dÃy số (uu) sau có giới hạn 0: a un = Giải n 1 b un = sin n n4 a Ta cã: < vµ lim = 0, n n n từ đó, suy điều cần chứng minh b Ta cã: sin n < < vµ lim = 0, n4 n4 n n tõ ®ã, suy ®iỊu cÇn chøng minh NhËn xÐt: Nh vậy, để chứng minh dẫy số có giới hạn đà sử dụng phép đánh giá để khẳng định un < kết lim = n n ThÝ dô Chøng minh dÃy số (uu) với số hạng tổng quát un = có giới hạn Giải Ta có: n = n 1 vµ lim n n 1 n n 1 n = n 1 n < n < n 1 n n = 0, tõ ®ã, suy điều cần chứng minh Nhận xét: Nh vậy, để chứng minh dẫy số có giới hạn đà sử dụng phép đánh giá để khẳng định un < n lim Thí dụ Chøng minh r»ng d·y sè (uu) víi sè h¹ng tổng quát un = Giải giới hạn n = cos( n) 4n cã Ta cã: n n cos( n) 1 1 4n < n = vµ lim = 0, từ đó, suy điều cần chứng minh Nhận xét: Nh vậy, để chứng minh dẫy số có giới hạn đà sử dụng phép đánh giá để khẳng định un < qn limqn = với q < Dạng toán 2: Sử dụng định nghĩa chứng minh lim un = L Phơng pháp áp dụng Ta chứng minh lim(un L) = ThÝ dô Chøng minh r»ng: a lim 3n = 2n b lim n n = n 1 Gi¶i 3n , ta cã nhËn xÐt: 2n 3n 5 lim (un ) = lim( ) = lim = 0, 2n 2n tõ ®ã suy limun = 2 b Đặt un = n n , ta cã nhËn xÐt: n 1 n1 n lim ( n 1) = lim = 0, n 1 n 1 tõ ®ã suy limun = a Đặt un = Thí dụ Chứng minh r»ng: ( 1) n lim = n Giải Đặt un = ( 1) n , ta cã nhËn xÐt: n lim (un 2) = lim ( 1) n = 0, n từ suy limun = Dạng toán 3: Tính giới hạn dÃy số định lí giới hạn Phơng pháp áp dụng Đa dÃy số cần tìm giới hạn dạng tổng hiệu, tích, thơng dÃy số mà ta đà biết giới hạn Ta có kết sau: limc = c, với c số Kết định lí Kết định lí Thí dụ Tính giới hạn sau: a lim Gi¶i n 1 3n b lim n1 n2 a Ta cã: 1 1 lim1 lim n 1 n n = lim = lim 1 3n 3 lim3 lim n n b Ta cã: 1 1 lim lim n1 n n = = = lim n n = lim 2 n 1 lim1 lim n n NhËn xét: Nh vậy, để tính giới hạn đà thực phép chia tử mẫu cho bËc cao nhÊt cđa n vµ sư dơng kÕt lim k > Thí dụ Tính giíi h¹n sau: 3 b lim n n n n n 1 1 a lim n n 1 Giải a Chia tử mẫu cho n, ta ®ỵc: n 1 = n = lim lim n 1 1 n b Chia c¶ tư mẫu cho n2, ta đợc: n = lim = lim 1 n n 1 1 1 n n n2 n n3 1 1 1 ThÝ dô Tính giới hạn sau: a lim 10 n sin( n) n b lim 8n cos( n) n a =0 nk víi