Chuong i 8 (278 358)

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình  y  2x    x   y   x, y     x 1  y  x   y  1    y Phân tích: Với hệ ta quan sát thấy hệ hai phương trình liên quan đến hai đại lượng  x ,  y nên ta ẩn phụ hóa :    x a  a   x     y b  b   y  b   a  1  a  2b  Khi ta có hệ phương trình mới:   b  a b  b  2b  a 1  Với hệ ta để ý đến phương trình thứ hai hệ phương trình bậc hai theo biến b nên ta có quyền hy vọng bắt nhân tử từ phương trình Cụ thể ta có : b  a b  b  2b  a 1    a  b  a  2a b   a  1 0     Ta có   b2     a  2a           a  1  a  2a  Điều chứng tỏ   phương trình thứ hai hệ tách nhân tử hệ hoàn toàn giải  x  Lời giải : Điều kiện :   y   x a  a  x  ,  a, b 0  Ta có :  Đặt  Khi hệ phương trình cho  y b  b  y  trở thành : 2   2  b   a  1  a  2b  b   a  1  a  2b  1    b  a b  b  2b  a 1   a  b  a  2a b   a  1 0          Từ   ta có     b2    a  2a      2   a  1  a  2a  2 Do ta có    b  a  ab  b       1 0  b a  ab 2  b2   Thay vào b a  vào  1 ta có: 3a  a  2 a   a  a   a      a  a1   a  a  1   0   a  a  a   2  278   a  0    a  3  0 a  a 1     1 a    1 a   1 32 Đối chiếu điều kiện ta có : a   b2  2  1   3 1 a  x   x     2   Vậy ta có :   y  3   y  3   y 1     2  1 1  ; Đối chiếu điều kiện hệ ta có nghiệm hệ  x, y      Bình luận: Đây cách đặt ẩn phụ thường gặp hệ chứa thức khơng khó phán đốn Xuất phát điểm dựa phương trình tách nhân tử sử dụng phép để tạo điều kiện ràng buộc Ví dụ 5: 2  3x  5y  x  y 3  5x  3y     x, y    Giải hệ phương trình   x  y  x  y  8   x  y    Phân tích : Với hệ ta nhận xét thấy xuất đại lượng x  y, x  y, x  y nên ta nghỉ đến phép đặt ẩn phụ sau:    a  b2 x   a  x  y a x  y       2 a  b2 b  x  y b x  y   y  Khi ta có phương trình thứ hệ trở thành :   a  b2   a  b2     a  b2   a  b2   3  5 ab 3   3                          3    4b  a ab 3 a  4b   8ab3  2a 3b  3a  12b  0      8ab3  4a b  6ab  2a 3b  4a b  3a  6ab  12b  0  2ab 2ab  4b2   a 2ab  4b   2ab  4b  0        2ab  4b  2ab  a  0    Vậy tới ta thực phép vào phương trình thứ hai hệ Vậy xem hệ giải 279  x  y 0 Lời giải : Điều kiện :   x  y 0  a  b2 x   a  x  y  ,  a, b 0  Từ phép đặt ta có :  Đặt  a  b2 b  x  y   y  Lúc hệ phương trình cho trở thành hệ phương trình :    a  b2   a  b2     a  b2   a  b2   2    ab  5  3  3                                 a  b  1 8   b    4b  a ab 3 a  4b  8ab3  2a b  3a  12b  0     a  b  1 8   b    a  b  1 8   b      8ab3  4a b  6ab    a  b  1 8   b   2ab 2ab  4b      a  b  1 8   b     2a 3b  4a b  3a  6ab  12b  0 2 a 2ab  4b   2ab  4b  0  2     2ab  4b2  2ab  a  0 2ab  a  0    2ab  b   3  a  b  1 8   b    a  b  1 8   b       a2   b  a2   b  2a   2a    2      3a  2a  3 64a  2a a  4a   a   a  8  a          2a  2a      a2  b   2a  27a  56a  133a  224a  165a  72a  27 0    a2  b   2a   a  1 27a  2a  102a  18a  27 0   280      a2  b   2a   a  1  26a  a  a   9a  1  19a  26  0       a2  a 1 b   26a  a  a   9a  1  19a  26  2a   b 2 a 1      x  y 1    x  y 2  x  y 1    x  y 4   x     y    3 Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm hệ  x, y   ;    2 Bình luận : Bài tốn nhận ẩn phụ khơng khó, ý cách đặt ẩn phụ kiểu “tổng, hiệu” thường sử dụng toán hệ thức Độ khó hệ ta xét khâu kiểm sốt tính tốn khai triển đẳng thức hợp lí Ví dụ 6:  3y  37x  107  3x  y      x, y    Giải hệ phương trình  2  2x  x  x  y   x  2y 6 x  Phân tích : Với hệ này, nhận thấy hệ chứa ba thức hai thức phương trình thứ có ẩn phụ hóa khơng giúp Căn thức phương trình thứ hai ẩn phụ hóa khả biễu diễn biến x biến y theo ẩn phụ biến cũ có tác dụng lúc chuyển phương trình đa thức quen thuộc nhắm đến cách phân tích nhân tử Đối với tốn phương trình thứ hai có chứa y nên ta rút y theo biến x ẩn phụ Cụ thể ta có : Đặt t  x  y   y x  t  Khi phương trình thứ hai hệ viết lại thành phương trình sau : 2x  x  t  x  x  t  6x  24          2t   2x  x   t   2x  x  10  0   t  3  2x  x  t  10  0  t 3 2 2 Và ta có sở để thực phép giải phương trình thứ hệ Tuy nhiên, với góc nhìn sâu đủ tinh tê nhận thấy trước thức tam thức bậc hai theo biến x vế cịn lại có bậc 281 hai theo biến x nên ta thử hy vọng xem ta đặt ẩn phụ hóa sau : a  x  y  có giải phương trình thứ hai  b 2x  x Điều rõ ràng bước đặt cho phương trình rõ ràng hai ẩn phụ a, b Vậy, tới ta có hai đướng giải cho tốn để có phép thế, hệ giải 3y  37x  35 0  Lời giải : Điều kiện : 3x  y  0  x  y  0  Đặt t  x  y  3, t 0 , Ta có : y x  t  Lúc phương trình thứ hai hệ viết lại : 2x  x  t  x  x  t  6x  24 0      2t   2x  x   t   2x  x  10  0   t  3  2x  x  t  10  0  t 3  x  y  3  y x  2 2 2x  x  10    t 0 Thay y x  vào phương trình thứ hai hệ ta thu phương trình : 3x  x      y    37x  107   3x  x   3x  x    Xét hàm số f  x   3x  x   Ta có : f ' x   6x  2 3x  x  Lại xét hàm số g t   3x  x  11 3t  12 ,  1 3x  x  , x   6x  3t  282 1  3 x   6   11  3 x     12  t   Ta có : 11  0, t    11  11  3t   3t  12  12  Do hàm số g  t  đồng biến t   g ' t    1  3 x   6   11  3 x     12  1 1 1    x  nên g  x    g  x   6 6 6   Từ ta có f '  x   0, x   Do hàm số f  x  đồng biến x   Suy Mặt khác ta có: x  f  x   có tối đa nghiệm Mà f  1   Do x 1 nghiệm  1 Suy y  Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm hệ  x, y   1;   Bình luận: Với hệ này, việc đặt ẩn phụ bắt nhân tử phép đặt quen thuộc qua ví dụ , độ khó hệ nằm giải phương trình tìm nghiệm Cấu trúc giải phương trình chúng tơi sử dụng phương pháp “hàm số lồng hàm số đại diện” it thấy để giải phương trình vơ tỷ  x  y   y  y  x  1 1   x, y    Ví dụ 7: Giải hệ phương trình  2   2y  x    2x  1 y 9   Phân tích : Với hệ này, lần ta quan sát hệ hệ chứa ba y, x  x  Tuy nhiên cấu trúc phương trình thứ hệ a  x  đẩy ta đến ý tưởng đặt ẩn phụ hóa sau :  Khi ta có phương b  y trình thứ biến đổi sau : a 2  b   b  ab 1  a  b       a  b  4b  a  b  0    a  b 0    a  b   0 Và ta thực phép để giải phương trình thứ hai  y  x  1 0  x 1   Lời giải : Điều kiện :  y 0  y 0  x  0  a  x  Đặt  , a, b 0 Từ ta có : x  y a  b  b  y Lúc phương trình thứ hệ biến đổi sau : a 2  b   b  ab 1  a  b       a  b  4b  a  b  0       a  b    a  b   a  b    a  b   0   a  b    a  b    0  a b  a  b    a  b   a  b   a  b    a  b   4b 0 2 2 20 283 Phương trình thứ hai biến đổi thành phương trình :  2b   a   2b 2a  9     Thay a b vào phương trình (*) ta có phương trình :  2a    a  4a  2a    2a a2   a 1   2a  1  2a  3 4a  a    a  1  4a  2a  4a    a  1   2a    2a  1        a   a  4a     a 2     2a  5a   2a  3 a   Xét phương trình : a   2a  5a   2a  3 a   2a  5a  0   2  2a  5a   2a  3 a   0  a 1  a   32a  20a  54a  0      3  Xét hàm số f  a  32a  20a  54a  , a   0;1   ;     3   299 Ta có : f '  a  96a  40a  54 96  a   0, a   0;1   ;     2  24   3  Vậy hàm số f  a  hàm số đồng biến hai khoảng  0;1  ;   2  Mặt khác ta lại có : a   0;1   f  a  75 nên f  a  0 vô nghiệm a   0;1 3  3  a   ;    f  a  153 nên f  a  0 vô nghiệm a   ;   2  2  Vậy phương trình 2a  5a   2a  3 a  vơ nghiệm Do từ    a   x 1  x  y 4  1 Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm hệ  x, y   ;   4 Bình luận : Bài tốn phát ẩn phụ khéo léo chọn ẩn phụ phù hợp để có triển khai có lợi 284  y 2x 4  9x   y  x y   x, y    Ví dụ 8: Giải hệ phương trình   2x  1  y   18     y   x  Phân tích : Với cấu trúc hệ này, ta nhận thấy ẩn phụ xuất từ  y a  9x  x  phương trình thứ hệ Cụ thể ta đặt :  Tuy nhiên vấn b  y  2x  y  đề ta cần biễu diễn phương trình thứ hai phải liên quan đến ẩn phụ Vì với phép đặt ta khơng thể làm để xuống phương trình thứ hai cho biểu thức liên quan đến ẩn phụ Ta nhận thấy đại lượng tích vế trái phương trình thứ hai có ngược ngược với biểu thức hai mà ta ẩn phụ hóa Vậy phải kết biến đổi từ điều “thuận” ẩn phụ? Để tìm hiểu ta ngược lại vấn đề phá cấu trúc tích để xếp lại Cụ thể ta có phương trình thứ hai viết lại thành phương trình : 2x  9y y  9x 18x y  18x  y3  9x y 2xy     9x y 9x y2 y 2x   xy 1   xy    2 y 2x y 2x 2x y   2x  y  2x  2x   y x y   y  2   y    9x   4  y  2x  y  y  x  Và tới thứ hoàn toàn Ta vào lời giải cho hệ   xy 0  y  Lời giải : Điều kiện : 9x  0 x  2x   y  y 0    y a  9x  x  ,  a, b 0  Đặt  b  y  2x  y  Phương trình thứ hai hệ biến đổi lại thành phương trình : 2x  y y  9x 18x y  18x  y3  9x y 2xy    285  9x y 9x y2 y 2x   xy 1   xy    2 y 2x y 2x 2x y  2x  y  2x  y  2x   x y   y  2   9x    y   4  y  2x  y  x  y   Vậy hệ phương trình cho viết lại thành hệ phương trình sau :  y  9x  2 x a  2b 4 a 4  2b a 2  a 4  2b        b  b 1 b 1 ab 2  b 1  y  2x 1  y   9x  y 4x    y  2x y  y 4x  9x  y 4x  9x      1 2 2x  9x  4x  9x  x  x   9x  7x  0 9         x 0    y 0  y 4x  9x      x  x   x        y    1 Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm hệ  x, y   ;   3 Bình luận : Đây hay , đẹp hình thức độc đáo chọn đại lượng cần đặt ẩn phụ Đặc biệt số phương trình thứ 2, mang ‘tính chất đầy ma thuật” khơng gỡ khó lịng hết đoạn đường giải toán Tác giả hệ này, thật tinh tế có tính tốn thú vị Ví dụ 9:  17  4x  19  9y 10  2x  3y   x, y    Giải hệ phương trình :  2  x 13  4x  y  16y 3 Phân tích : Với hệ này, nhận xét phương trình chẳng cho mối liên quan Tuy nhiên để ý hai phương trình hệ ta nhận xét thấy điều đặc biệt Để nhìn rõ điều ta biến đổi hệ thành : 2x  17  4x  3y  19  9y 10    x 13  4x  y  16y 3 Điều đặc biệt phương trình thứ có dạng a  b phương trình thứ hai lại có dạng ab đặc biệt liên kết 2x, 4x 286 4y,16y gợi cho xếp điều liên quan đến a  b để từ có ab Như ta đẩy ý tưởng tốn ẩn phụ hóa sau :  a  17 a 2x  17  4x a 4x 17  4x  17  x 17  4x         2 2 b  19 b 3y  19  9y b 6y 19  9y  19   y 19  9y  a  b 10  Và hệ ban đầu trở thành hệ đơn giản sau :  a  17 b  19  3   Vậy hệ hoàn toàn giải Lời giải :  17 17 x   17  4x 0   Điều kiện :  19  9y 0   19 y  19  4  a  17 x 17  x  a 2x  17  4x      Đặt  b  19 b 3y  19  9y   y 19  9y  Vậy hệ phương trình cho biến đổi thành hệ : a  b 10    a  17 b  19  3    Với  a 3  a 10  b  b 7 a  b 10    2  a 5 5b  60b  175 0 3a  2b 125    b 5 a 3   b 7  2x  17  4x 3    3y  19  9y 7 17  4x   2x   19  9y   3y   2x  3x  0  (hệ vô nghiệm) 9y  21y  30 0  Với  2x  17  4x 5 17  4x   2x  a 5   2x  5x  0     2 b 5 3y  19  9y 5 3y  5y  0 19  9y   3y  287