Phần 2 bộ 100 đề

ĐỀ SỐ ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP Câu (3 điểm) a) Phân tích đa thức a  b  c   b2  c  a   c  a  b  thành nhân tử  a  b  c  a  b2  c b) Cho a, b,c ba số đôi khác thỏa mãn: Tính giá trị biểu thức: P a2 b2 c2   a  2bc b  2ac c  2ab    x  y  z 5xyz x  y  z c) Cho x  y  z 0 Chứng minh rằng:  Câu (2 điểm) a) Tìm số tự nhiên n để n  18 n  41 hai số phương 2  1  1 25 a  b   b  a      b) Cho a, b  thỏa mãn a  b 1 Chứng minh  Câu (1 điểm) Cho hình bình hành ABCD có góc ABC nhọn Vẽ phía ngoiaf hình bình hành  tam giác BCE DCF Tính số đo EAF Câu (3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AA', BB',CC' H trực tâm a) Chứng minh BC'.BA  CB'.CA BC HB.HC HA.HB HC.HA   1 b) Chứng minh rằng: AB.AC BC.AC BC.AB c) Gọi D trung điểm BC Qua H kẻ đường thẳng vng góc với DH cắt AB, AC M N Chứng minh H trung điểm MN Câu (1 điểm) Cho hình vng ABCD 2018 đường thẳng có tính chất chia hình vng thành hai tứ giác có tỉ số diện tích Chứng minh có 505 đường thẳng 2018 đường thẳng đồng quy HƯỚNG DẪN GIẢI Câu a) a  b  c   b  c  a   c  a  b  a  b  c   b  a  c   c  a  b  a  b  c   b   a  b    b  c    c  a  b   a  b2  b  c   c  b2  a  b       a  b   a  b   b  c    b  c   b  c   a  b   a  b   b  c   a  b  b  c   a  b   b  c   a  c   a  b  c b) a  b  c  ab  ac  bc 0 a2 a2 a2   a  2bc a  ab  ac  bc  a  b   a  c  Tương tự: b2 b2  b  2ac  b  a   b  c  c2 c2  c  2ac  c  a   c  b  ; a2 b2 c2 P   a  2bc b  2ac c  2ab a2 b2 c2     a  b  a  c  a  b  b  c  a  c  b  c    a  b   a  c   b  c  1  a  b  a  c  b  c c) Vì Hay x  y  z 0  x  y  z   x  y   z x  y  3xy  x  y   z  3xyz x  y  z       y z  y z x  z x y  3xyz x  y  z  x3  y  z x  y  z Do đó: x  y  z  x 2 2 Mà x  y  x  y   2xy z  2xy  Vi 2 x  y  z  2 2 2 Tương tự: y  z x  2yz; z  x y  2zx Vì vậy:        3xyz x  y  z x  y  z  x x  2yz  y y  2zx  z z  2xy    2 x5  y  z  2xyz x  y  z Suy :     x  y  z 5xyz x  y  z  Câu a) Để n  18 n  41 hai số phương  n  18 p2 n  41 q  p,q    p2  q  n  18    n  41 59   p  q   p  q  59 p  q 1   p  q 59  Nhưng 59 số nguyên tố, nên: 2 Từ n  18 p 30 900  n 882 p 30  q 29  2 Thay vào n  41, ta 882  41 841 29 q Vậy với n 882 n  18 n  41 hai số phương b)  a  b Có: 0  a  b  2ab 0  a  b 2ab (*) Dấu đẳng thức xảy a b   25  1 a   5  a    *   có:  b   b  Áp dụng 2   25  1  b  a   5  b  a      ;   1   25 1    a  b    b  a   5   a  b    b  a          Suy ra:  2 2   1   25  1   a    b    5   a  b       b  a   a b    1   25 1 1   a    b    5     (Vi b  a  a b 1   4 Với a, b dương , chứng minh a b a  b a  b 1) (Vi a  b 1) Dấu xảy a b 2  1   25  a  b    b  a   5  5.4    Ta được:  2  1  1 25  a    b     a b  b  a Dấu đẳng thức xảy  Câu A D C B F E   Chứng minh ABE ECF Chứng minh Tương tự: AF EF ABE FCE  c.g.c   AE EF   AE EF AF  AEF  EAF 600 Câu A B' N C' H M B a) Chứng minh A' D C BHC' BAB'  BH BC'   BH.BB' BC'.BA AB BB' (1) BHA' BCB'  BH BA'   BH.BB' BC.BA' BC BB' (2) Chứng minh Từ (1) (2)  BC'.BA BA'.BC Tương tự : CB'.CA CA'.BC  BC'.BA  CB'.CA BA'.BC  CA '.BC  BA' A' C  BC BC b) Có BH BC' BH.CH BC'.CH S BHC     AB BB' AB.AC BB'.AC S ABC Tương tự:  AH.BH S AHB AH.CH S AHC  ;  CB.CA S ABC CB.AB S ABC HB.HC HA.HB HC.HA S ABC    1 AB.AC AC.BC BC.AB S ABC c) Chứng minh Chứng minh Mà CD BD Từ AHM CDH  g.g   HM AH  HD CD (3) AHN BDH  g.g   AH HN  BD HD (4)  3 ,   ,  5  (gt) (5) HM HN   HM HN  H trung điểm MN HD HD Câu Gọi E,F,P,Q trung điểm AB,CD, BC,AD Lấy điểm I,G EF K,H PQ thỏa mãn: IE HP GF KQ     IF HQ GE KP Xét d đường thẳng cho cắt hai đoạn thẳng AD, BC,EF M, N,G' Ta có: AB  BM  AN  S ABMN 2 EG' 2       G G' S CDNM G' F CD  CM  DN  hay d qua G Từ lập luận suy đường thẳng thỏa mãn yêu cầu đề Câu qua điểm G,H,I,K Do có 2018 đường thẳng qua điểm G,H,I,K theo nguyên lý Dirichle phải tồn  2018     505   đường thẳng qua điểm điểm Vậy có 505 đường thẳng số 2018 đường thẳng cho đồng quy (Học sinh làm cách khác điểm tối đa) ĐỀ SỐ ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP Câu (3 điểm) 1)  x  y  x Chứng minh :   x y  xy  y x  y 2) Phân tích đa thức thành nhân tử:   x  x   x  2x   2 8 3) Tìm a, b,c biết: a  b  c ab  bc  ac a  b  c 3 Câu (4 điểm) Cho biểu thức: P  x  x2 y  x2 y2  xy    2  xy xy  y  x  xy  y  x  xy với x 0; y 0; x  y 1) Rút gọn biểu thức P x, y thỏa mãn đẳng thức: 2) Tính giá trị biểu thức P, biết x  y  10 2  x  3y  Câu (4 điểm) 1)  6x    6x    6x   Giải phương trình: 2) Tìm cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn: x 2 72  x  y Câu (2 điểm) Cho số a, b,c thỏa mãn a, b,c 0 Chứng minh rằng: a  b  c  ab  bc  ca 1 Câu (5,5 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh a, biết hai đường chéo cắt O.Lấy  điểm I thuộc cạnh AB, điểm M thuộc cạnh BC cho IOM 90 (I M không trùng với đỉnh hình vng) Gọi N giao điểm AM CD , K giao điểm OM BN 1) Chứng minh BIO CMO tính diện tích tứ giác BIOM theo a   2) Chứng minh BKM BCO 1   2 AM AN 3) Chứng minh CD Câu (1,5 điểm) Cho tam giác ABC  AB  AC  , trọng tâm G Qua G vẽ đường thẳng d cắt cạnh AB AC  AB, AC theo thứ tự D E Tính giá trị biểu thức AD AE HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1) Ta có:  x  y  x  x y  xy  y  x4  x y  x y  xy  x y  x y  xy  y x4  y Vậy đẳng thức chứng minh      x  x   x  2x    x  2x x  2x     x Ta có:     x  2x  x  2x  2)   2x   x  1 2 2 2  a  b    b  c    c  a  0 3) Biến đổi a  b  c ab  bc  ca Lập luận suy a b c 8 8 Thay a b c vào a  b  c 3 ta có: 3a 3  a 1  a 1 Vậy a b c 1  a b c  Câu 1) Với x 0; y 0; x  y ta có: P  x    x y  x  y  x  y   xy  xy     x  xy  y xy  x  y    xy xy  x  y    x  y   x  y    x xy  x  y  x  xy  y   2 xy  x  y  x  xy  y   x xy  x  y  x  xy  y 2 x y xy    x xy xy 2) Ta có: x  y  10 2  x  3y   x  2x   y  6y  0 2   x  1   y   0 x 1   (tm) y   Lập luận Nên thay x 1; y  vào biểu thức P x  y    3   xy    Câu    t  1  t  1 t 72  t  t 72  tt4  722   1) Đặt 6x  t Ta có:   x   t 3    x     5 S  ;  3 3 Vậy phương trình có tập nghiệm 2) x  x  y  4x  4x  12 4y   2x  1  4y  11   2x  2y  1  2x  2y  1  11  2x  2y  1  x      2x  2y   11  y 3  2x  2y   x 2     2x  2y  11  y    2x  2y  11  x 2  2x  2y   y 3    2x  2y   11 x   2x  2y  1   y    Câu Vì b,c   0;1 nên suy b b; c c Do : a  b  c  ab  bc  ca a  b  c  ab  bc  ca Lại có: (1) a  b  c  ab  bc  ca  a  1  b  1  c  1  abc  (2) Vì a, b,c   0;1 Do từ nên  a  1  b  1  c  1 0;  abc 0    a  b  c  ab  bc  ca 1  3 Từ (1) (3) suy a  b  c  ab  bc  ca 1 Câu A E   IBO MCO 450  1) I B O M K C N D  (Tính chất đường chéo hình vng) BO CO (tính chất đường chéo hình vng)    BOI COM (cùng phụ với BOM)  BIO CMO  g.c.g   S BIO S CMO mà S BMOI S BOI  S BMO 1 S BMOI S CMO  S BMO S BOC  S ABCD  a 4 Do đó: 2) Ta có: BIO CMO(cmt)  CM BI  BM AI BM AM IA AM     IM / /BN IB MN Vì CN / /AB nên CM MN OI OM  BIO CMO   IOM   cân O  IMO MIO 45     Vì IM / /BN  BKM IMO 45  BKM BCO 3) Qua A kẻ tia Ax vng góc AN cắt CD E Ta có: ADE ABM  g.c.g   AE AM Chứng minh Ta có: ANE vng A có AD  NE S AEN  2 AD.NE AN.AE   AD.NE AN.AE   AD.NE   AN.AE  2 2 Áp dụng định lý Pytago vào ANE ta có: AN  AE NE AN  AE 1 1     2 2 AN AE AD AE AN AD 1 CD AD    2 CD AM AN Mà AE AM    AD2 AN  AE AN AE  Câu A D E G B I M d C K Gọi M trung điểm BC AB AI  Qua B vẽ đường thẳng song song với d cắt AM I, ta có: AD AG AC AK  Qua C vẽ đường thẳng song song với d cắt AM K, ta có: AE AG AB AC AI  AK   AG Từ (1) (2) suy AD AE Mặt khác : (3) AI  AK  AM  MI    AM  MK  2AM   (Vì MI MK BMI CMK) AB AC 2AM 2AM    3 AD AE AG AM Từ (3) (4) suy (Học sinh làm cách khác điểm tối đa) ĐỀ SỐ ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP Câu (4 điểm)   x   2x A    : 2   x  x  x x 1   Cho biểu thức: a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên A A c) Tìm x để Câu (6 điểm) a) Giải phương trình: x  x  6x  0 (1) (2) 2 b) Tìm nghiệm tự nhiên phương trình: x  2x  10 y 3 c) Cho a  b  c 3abc với a, b,c 0  a  b c P          b c  a  Tính giá trị biểu thức Câu (4 điểm) a) Tìm số có chữ số chia hết cho tổng chữ số chia hết cho x, y, z số thực dương thỏa mãn: x  y  z 1 b) Cho M Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 1   16x 4y z Câu (4 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có AB a 12cm, BC b 9cm Gọi H chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BD a) Chứng minh tam giác AHB đồng dạng với tam giác BCD b) Tính độ dài đoạn thẳng AH c) Tính diện tích tam giác AHB Câu (2 điểm) Cho tam giác ABC Gọi M, N điểm cạnh AB BC cho BM BN Gọi G trọng tâm BMN I trung điểm AN Tính góc tam giác ICG HƯỚNG DẪN GIẢI Câu a) ĐKXĐ: x 1; x    x    x     x   x2  A      2x  x   2 x     x  2x  2x x 1(ktm)    2x  , x 0(tm) b) A ngun, mà x ngun nên từ tìm  Vậy x 0 c) Ta có: A A  A 0   2x   x 