Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề 7 nguyên hàm, hàm hữu tỉ, hàm lượng giác

CHUYÊN ĐỀ - NGUYÊN HÀM, HÀM HỮU TỈ, HÀM LƯỢNG GIÁC KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Nguyên hàm Cho K khoảng  a; b  , nửa khoảng  a; b  ,  a; b  hay đoạn  a; b  Hàm số F  x  gọi nguyên hàm hàm số f  x  K nếu: F '  x   f  x  , x  K Neesu F  x  nguyên hàm f  x  họ nguyên hàm f  x  là: f  x  dx F  x   C , C số - Phương pháp đổi biến số: Nếu x u  t  có đạo hàm liên tục K thì: f  x  dx f  u  t   u '  t dt Nếu t v  x  có đạo hàm liên tục K thì: f  x  dx  g  t  dt thì: f  x  dx g  t  dt - Phương pháp nguyên hàm phần: Nếu u  x  , v  x  có đạo hàm liên tục K udv uv   vdu Tích phân: Giả sử f  x  liên tục khoảng K a, b  K F  x  nguyên hàm f  x  thì: b b  f  x  dx F  b   F  a  F  x  a a - Phương pháp tích phân đổi biến số: b  a   f  x  dx  f  u  t   u '  t  dt Nếu t v  x  có đạo hàm liên tục f  x  dx  g  t  dt thì: b v b  a v a   f  x  dx  g  t  dt - Phương pháp tích phân phần: Nếu u  x  , v  x  có đạo hàm liên tục đoạn  a; b  b b a a  udv u.v  b  v.du a Tổng tích phân Trang Cho f hàm số xác định  a; b   a  b  Phân hoạch T đoạn  a; b  thành n đoạn nhỏ điểm chia tùy ý a  x0  x1   xn b , đoạn  xi  , x j  ta lấy điểm i lập tổng tích phân n  T  f   j   x j  xi   i 1   x j  xi  Kí hiệu d  T  max 1i n n Nếu tồn giới hạn I  lim  f   j   x j  xi   giới hạn gọi tích phân xác định hàm f d T 0   i 1 đoạn  a; b  kí hiệu là: I  Ta chọn phân hoạch xi a  b  f  x  dx a i  b  a  , tổng tích phân n n b S n  f   j   x j  xi   lim S n  f  x  dx a i 1 Nguyên hàm đa thức phân thức: dx x  C kdx kx  C với k số u' x dx ln x  C u dx ln u  C x 1 u 1  Với   x dx   C ; u u '.dx  C  1  1  Các biến đổi: chia tách, thêm bớt, khai triển tích số, đẳng thức, phân tích thành phân số đơn giản,… Tổng quát với hàm hữu tỉ, bậc tử lớn bậc mẫu phải chia tách phần đa thức, lại hàm hữu tỉ với bậc tử bé mẫu  Nếu bậc tử bé bậc mẫu phân tích mẫu thừa số bậc  x  a  hay x  px  q bậc hai vô nghiệm đồng hệ số theo phần tử đơn giản:  A Bx  C ; ; Đồng hệ số tử x  a x  px  q thức tính số A, B, C, … Kết hợp với biến đổi sai phân, thêm bớt đặc biệt để phân tích nhanh Các dạng tích phân đa thức, phân thức hữu tỉ: b P  x  dx : Chia miền xét dấu P  x  , a Trang b  x  mx  n  dx : Đặt u mx  n phân tích, a b  mx  n   px  qx  r   dx : Đặt u  px  qx  r , a b   x  m   x  m   dx : Nếu    đặt u  x  n a b - Dạng px a dx : Lập  q  pr  qx  r b  0  dx  mx  n  : Dùng công thức a b    x a b    x a dx : Đặt x k tan t  k2 dx 1  1      : Biến đổi 2 k x k 2k  x  k x  k  b - Dạng mx  n dx : Lập  q  pr  px  qx  r a  0  Phân tích dùng cơng thức A  px  qx  r  ' mx  n B      2 px  qx  r px  qx  r  x    k b - Dạng b dx x  x a  n m  x n  1dx  : đặt t 1  x n n n m a x 1 x  Chú ý: Cho hàm số f  x  liên tục đoạn   a; a  a Nếu f lẻ a a f  x  dx 0 Nếu f chẵn f  x  2f  x  dx a a Nguyên hàm lượng giác: cos xdx sin x  C cos u.u '.dx sin u  C sin xdx  cos x  C sin u.u '.dx  cos u  C dx cos x tan x  C u' cos u dx tan u  C Trang dx sin x u'  cot x  C sin u dx  cot u  C Các biến đổi: hạ bậc lượng giác, tích thành tổng, theo góc phụ t tan x ,… sin   x  a    x  b   1   sin  x  a  sin  x  b  sin  a  b  sin  x  a  sin  x  b  1  a sin x  b cos x a  b sin  x    a sin x  b cos x  a  b  1 a  b cos  x     sin x   cos x   A  a sin x  b cos x  c  ' B   a sin x  b cos x  c a sin x  b cos x  c a sin x  b cos x  c 1  2 a sin x  b sin x cos x  cos x a tan x  b tan x  c cos x sin x cos x a sin x  b cos x    A  a sin x  b cos x  ' a sin x  b cos2 x     x Tích phân liên kết, để tính I đặt thêm J mà việc tính tích phân I  J I  J I  kJ I  mJ dễ dàng lợi Tích phân truy hồi I n theo I n hay I n sin n x,cos n x tách lũy thừa dùng phương pháp tích phân Đặc biệt cận tích phân: đối, bù, phụ đặt tương ứng t  x, t   x, t  phần tan n x,cot n x tách lũy thừa dùng phương pháp tích phân đổi biến số Nếu hàm số f  x  liên tục đoạn  a; b  thì:  /2  /2   f  sin x  dx   f  cos x  dx; xf  sin x  dx  f  sin x  dx  20 0 Các dạng tích phân lượng giác: b b P  x  sin  xdx, P  x  cos  xdx : đặt u P  x  , v ' sin cos  x a  /2 a  R  x,sin x,cos x  dx : đặt x   t  R  x,sin x,cos x  dx : đặt x   t Trang 2 R  x,sin x,cos x dx : đặt x 2  t b x R  sin x,cos x  dx : đặt t tan , đặc biệt: a Nếu R   sin x,cos x   R  sin x,cos x  đặt t cos x Nếu R  sin x,  cos x   R  sin x,cos x  đặt t sin x Nếu R   sin x,  cos x   R  sin x,cos x  đặt t tan x,cot x CÁC BÀI TỐN Bài tốn 7.1: Tính giới hạn dãy un xác định bởi: i3  i 1 n i2  3 i 1 i  n n a) un  b) un  n Hướng dẫn giải a) Xét hàm số f  x   x Tổng tích phân hàm số f đoạn  0;1 là: Sn  n  n i 1 i n i f    un  n  i 1 n 1 4 Ta có: lim S n  x dx  Vậy lim un   1   n n i x2  n  u b) Ta viết un  nên tổng tích phân hàm số f x     n n i 1   x3  i 1 i  n   1  n đoạn  0;1 1 x2 ln lim u  dx  ln x   Do đó:   n  x 1 3 0 Bài tốn 7.2: Tính giới hạn dãy un xác định bởi: un 1  1 1     n  2n Hướng dẫn giải Đặt S  n  i Ta có: i 1 Trang 2n n n 1 un   2   i 1 i i 1 2i i 1 i n n 1 n S n  Sn     n i 1 i  i 1 i i 1 i  n n Do un tổng tích phân hàm số f  x   đoạn  0;1 x 1 1 dx ln  x  1 ln Suy lim un  x 1 Bài toán 7.3: Chứng minh: n a) lim x sin  xdx 0 x b) f  x   t  1 t dt hàm số chẵn Hướng dẫn giải a) Với x   0;1  x n sin  x  x n 1 n Do đó:  x sin  xdx  x dx   n  Vì lim n 1 0  đpcm n 1 x b) Đặt t  s tích phân f   x   x ta f   x    t 1 t4 x dt  t  1 t s  s4 dt ds  f  x   đpcm Bài tốn 7.4: Tính đạo hàm hàm số: 3x x a) f  x   cos tdt  t2  g x  dt b)    t  2x Hướng dẫn giải a) f '  x  cos x b) Đặt f t   x  '  cos2 xx t2  Gọi F nguyên hàm f, theo định nghĩa tích phân, ta có: t 1 g  x  F  3x   F  x  nên g '  x  3F '  x   F '  x  3 f  x   f  x  Trang   x  1 9x2 1  x  1  4x2 1 Bài toán 7.5: x2 f  t  dt x cos   x  Tính f   a) Cho b b) Tìm số b dương để tích phân  x  x  dx có giá trị lớn a Hướng dẫn giải   a) Lấy đạo hàm vế có xf x   x sin   x   cos   x  Cho x 2 : f    2 sin 2  cos 2  f    x   b) Xét hàm số f  x   t  t dt Ta có F '  x   x  x , F '  x  0  x 1 Lập bảng biến thiên F  x   0;  F  x  đạt giá trị lớn x 1 , b 1 Bài tốn 7.6: Chứng minh rằng: a) 1 f  x  dx f   x  dx b) f  x  dx  f  x   f   x   dx 1 Hướng dẫn giải a) Đặt u 1  x du  dx, x 0  u 1, x 1  u 0 1 f  x  dx  f   u  du f   u  du f   x  dx 1 0 b) f  x  dx  f  x  dx  f  x  dx 1 1 Do 0 0 f  x  dx  f   u  du f   x  dx 1 1 f  x  dx  f  x   f   x   dx 1 Bài toán 7.7: Cho hàm số f  x  liên tục   a; a  Chứng minh: a a) Nếu f hàm số lẻ f  x  dx 0 a Trang a b) Nếu f hàm số chẵn a f  x  2f  x  dx a Hướng dẫn giải a a I  f  x  dx  f  x  dx  f  x  dx a a 0 Đổi biến x  t đổi với tích phân f  x  dx ta được: a 0 a) Nếu f lẻ f  x  dx  a a a f   t  dt  f  t  dt  f  x  dx a 0  I 0 b) Nếu f chẵn a a a f  x  dx f  t  dt f  x  dx  I 2f  x  dx a 0 Bài toán 7.8: Cho hàm số f  x  liên tục đoạn  a; b  Chứng minh:  /2 a)  /2   b) xf  sin x  dx  f  sin x  dx 20  f  sin x  dx   f  cos x  dx 0 Hướng dẫn giải a) Đặt x      t dx  dt , x 0  t  , x   t 0 2  /2  /2  /2    f  sin x  dx   f  sin   t   dt   f  cos t  dt   f  cos x  dx      /2 0 b) Đặt x   t dx  dt , x 0  t  , x   t 0  xf  sin x  dx     t  f  sin t  dt       f  sin t  dt  tf  sin t  dt  f  sin x  dx  0  xf  sin x  dx  Do xf  sin x  dx  f  sin x  dx  đpcm   x 1 dx b) Bài tốn 7.9: Tính: a)   x    x  3 x4  x3  x dx Hướng dẫn giải Trang x 1 A B   nên x   A  x  3  B  x    x    x  3 x  x  a) Đặt 5 Do x   A  B  x   A  B  , đồng hệ số A  B 1,3 A  B 1 nên A  , B  Do đó:   x 1 dx     x    x  3   x    x  3  dx    ln x   ln x   C 5 x4  x2  x2  x  x  b) x  x x  x x  x  1  x  1 x2  A B C 2    Đặt nên x   A  B  C  x   B  C  x  A , đồng hệ số x  x  1  x  1 x x  x  A 2, B  1 , C  , đó: 2  f  x  dx  x  x  1 1  2   dx  x  2ln x  ln x   C x  x 1  2 57 Bài tốn 7.10: Tính: a) x   x   x3  b) x   1 dx  18  dx Hướng dẫn giải a) Đặt u 3  x  x 3  u  dx  du x   5 dx    u  u du  u  3u  du 1 6 3 x  u  u  C   x     C 2  x3 x2 b) Đặt u    du  dx  x dx 6du 18 57 58  x3  58  x3  57 x  dx  u du  u  C    1  C   18   29 29  18  Bài tốn 7.11: Tính a) dx x   x  b) x2  x  x  dx Hướng dẫn giải Trang d  x8  dx x dx 1 x8    ln C a)  x   x8  x8   x8  x8   x8   x 1  dx  x 1 x2  x  x  dx   ln C b)    x  x2 1 x2  x 1 x   x  Bài tốn 7.12: Tính: a) A   x    x  3 b) B  x  x  dx dx  1 Hướng dẫn giải a) Đặt u  x  x u  3, dx du Khi x 2 u  1, x 3  u 0 A   u   u du   u  10u  25  u 8du 1 1 0  u11 25   185   u  10u  25u  du   u10  u    1 99  11 1 10 b) B   x 1  x  3 dx    x  x  3 dx   x  x  3 dx 1 3  x3   x3   x3  28 2   x  3x      x  x     x  3x     1  1  3 Bài tốn 7.13: Tính l  m   x  x  m dx  Hướng dẫn giải Tam thức f  x   x  x  m,  ' 1  m Ta xét trường hợp sau: - Nếu  ' 0   m 0  m 1 1  x3  Khi đó: l  m   x  x  m  dx   x  mx  m   0 - Nếu  '    m   m  Trang 10 1  x sin x  x cos x  sin x  C 2 b) Đặt t  x  x t  dx 2dt  J sin t.2t.dt 2t.sin t.dt 2  t cos t  cos tdt    2   t cos t  sin t   C 2  x cos x  sin x  C Bài tốn 7.28: Tính:  /2  7 b) D   sin x  cos x  dx a) C cos x.sin xdx 0 Hướng dẫn giải    a) Xét I sin x.sin xdx C  I sin x  0   cos9 x  9 C  I  cos x  sin x  sin xdx cos x sin8 xdx 0   1  cos10 x cos x    sin10 x  sin x  dx      0  C  20 2 10 0 b) Đặt x      t dx  dt , x 0  t  , x   t 0 2  /2  /2   sin xdx  sin   t  dt  cos7 tdt  2    /2  /2  cos xdx  D   sin x  cos7 x  dx 0 0  /2  dx sin x dx Bài tốn 7.29: Tính: a)  b)   cos x  sin x 0 Hướng dẫn giải a) Đặt t tan x 1 x 2dt  dt    tan  dx  dx  2 2 1 t2 Khi x 0 t 0; x   /2  t 1 dx 1 t2  dt dt 1   cos x  1 t2 0 Trang 18 b) Đặt x   t dx  dt , x 0 t  , x  t 0    sin x  sin x sin 4t sin x dx  dt  dt  dx      sin x  sin t  sin x   sin t 0   sin x sin x dx 0   dx 0 Do   sin x  sin x 0 Bài tốn 7.30: Tính  /2 sin xdx A a) x sin x  2cos x cos 2  /6 tan x dx b) B   cos x Hướng dẫn giải 2 a) sin x  2cos x cos x sin x  cos x   cos x  1  cos x  /2 sin xdx  nên A    cos x  /6  /2  d   cos x   /2  ln   cos x  ln  cos x  /6 tan x tan x dx   dx b) B   2 cos x 0   tan x  cos x Đặt t tan x dt  1/ B dx  Khi x 0 t 0, x  t  cos x 1/ t4 dt    t 1/ t  1 dt    t 1/  t3 t 1     t  ln  t10   1   t     dt    t t        10  ln     Bài tốn 7.31: Tính:  /2  /2 cos xdx a) I   13  7sin x  cos x b) J  dx  2sin x  cos x  Hướng dẫn giải a) Đặt t sin x  dt cos xdx, x 0  t 0, x   /2   t 1 cos xdx dt dt I    sin x  7sin x  12 t  7t 12  t    t   Trang 19 1  t     dt ln t  t  3 t 0 ln   sin x  cos x   sin  x      b) Ta có 2sin x  cos x   2     Vì     1 nên có số  để cos  , sin   5  5  /2  /2 dx 1  J   cot  x          5sin  x    5  Bài tốn 7.32: Tính:  /2  3sin x  cos x  dx a) K  sin x  2cos x  dx b) L   cos x  Hướng dẫn giải a) Xét 3sin x  cos x   A  sin x  2cos x    B  cos x  2sin x   A  B  sin x   A  B  cos x  A Đồng A  B 0, A  B 0,3 A 3 nên A 1, B  , đó:   cos x  2sin x   K   dx  x  ln sin x  2cos x     ln sin x  2cos x   0 b) Đặt u tan x 1 x 2du  du    tan  dx  dx  2 2  u2   d 3u 2du du  L     2 2   1 u 1 u u  3 3u  0 2 1 u2    Bài tốn 7.33: Tính:  /2  3sin x  2cos x dx b) B   8sin x  a) A    cos xdx Hướng dẫn giải 20 a) A   2sin 2 xdx  sin x dx    sin xdx  0 2  sin xdx      2   cos x   cos x   4 Trang 20