3 minmax lý thuyết

CHỦ ĐỀ 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ CHỦ ĐỀ 3: GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ LÍ THUYẾT  Định nghĩa Cho hàm số y  f  x xác định tập D   f ( x) M , x  D  x  D , f ( x0 ) M y  f  x D Số M gọi giá trị lớn hàm số nếu:   Kí hiệu:   f ( x) m , x  D  x  D , f ( x0 ) m y  f  x Số m gọi giá trị nhỏ hàm số D nếu:   Kí hiệu: M max f ( x) xD m min f ( x) xD  Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ O Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số cách khảo sát trực tiếp  Bước 1: Tính f  x  f  x 0 tìm điểm x1 , x2 , , xn  D mà   hàm số khơng có đạo hàm  Bước 2: Lập bảng biến thiên từ suy giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số o Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số đoạn  Bước 1: Hàm số cho y  f  x  a; b  xác định liên tục đoạn   a; b f  x 0 f x Tìm điểm x1 , x2 , , xn khoảng   ,     khơng xác định f  a  , f  x1  , f  x2  , , f  xn  , fb  Bước 2: Tính  Bước 3: Khi đó:   max f  x  max f  x1  , f  x2  , , f  xn  , f  a  , fb  a ,b  f  x  min f  x1  , f  x2  , , f  xn  , f  a  , fb  a ,b    o Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số khoảng   Bước 1: Tính đạo hàm f ( x)   Bước 2: Tìm tất nghiệm xi ( a; b) phương trình f ( x) 0 tất điểm  i ( a; b)  làm cho f ( x) không xác định A lim f ( x) B lim f ( x) f ( x ) f ( ) i , i x a x b , ,  Bước Tính  M max f ( x) m min f ( x) ( a;b) ( a ;b ) Bước So sánhsoạn cácbởi: giánhóm trị tính đượcTƯvàDUY kết luận , Sưu tầm biên admin TOÁN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ  min f  x   f  a    a ; b  f  x   fb  max y  f  x  a; b   a ; b  Nếu đờng biến  min f ( x)  fb    a ; b  max f ( x )  f a     a ; b y  f  x  a; b  Nếu nghịch biến       Hàm số liên tục khoảng khơng có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ khoảng  Bất đẳng thức trị tuyệt đối:   a  b ab a  b Cho hai số thực a , b ta có: Dấu “ = ” vế trái xảy a , b dấu Dấu “ = ” vế phải xảy a , b trái dấu   max a , b  a b  ab  Tính chất hàm trị tuyệt đối:  Phương pháp chung để giải tốn tìm GTLN – GTNN hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối  Bước 1: Xét hàm số y  f  x Tính đạo hàm  a, b   y  f  x  Giải phương trình  Bước 2: Giải phương trình  Bước 3: Tính giá trị f  x  0 f  x  0 tìm nghiệm tìm nghiệm f  a  ; fb f  a; bj  a, b  thuộc    a, b thuộc    fb ;   So sánh kết luận i j Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHỦ ĐỀ 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ VÍ DỤ MINH HỌA VÍ DỤ 1: Cho hàm số f ( x) m x  (m tham số thực khác 0) Gọi m1 , m2 hai giá trị m thỏa mãn f ( x)  max f ( x) m  10 [2;5] [2;5] A Giá trị m1  m2 B C 10 D Lời giải Chọn A x   2;  m f '( x)  x  Ta thấy dấu f '( x) phụ thuộc vào dấu m f ( x)  max f ( x)  ff(2)  m(5) m  [2;5] m 0 f ( x) đơn điệu  2;   [2;5] Với VÍ DỤ 2: Cho hàm số có   y  x  3x  m  Tổng tất giá trị tham số m cho giá trị nhỏ   1;1 hàm số đoạn  A  B D C   m 5 m2  10 m  m  m  3m  10 0   m   Từ giả thiết ta Vậy m1  m2 3 Lời giải Chọn A  y  f ( x)  x  x  m     1;1 hàm số xác định liên tục đoạn   x 1 f ( x) 0   3 y  f ( x) 2 x  x  m  3x   m  x  3x  g( x) Ta có ;   1;1 Ta khảo sát hàm số g( x) đoạn  Bảng biến thiên g( x) Đặt    y 0 m    3;1 x    1;1 Nếu ln tờn  cho m g( x0 ) hay f ( x0 ) 0 Suy   1;1 , m tức không tồn thỏa mãn yêu cầu toán m    3;1 f ( x) 0  x 1    1;1 Nếu Ta có:  f ( x) min  ff(1); m(  1) m (   1;1  1) ;(  3) Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0”  CHUYÊN ĐỀ: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ  m 2 (TM )  f ( x) ( m  1) 1     1;1  m 0 ( KTM ) Trường hợp 1: m  tức m   m    m  (TM )  f ( x) ( m  3) 1     1;1  m  ( KTM ) Trường hợp 2: m   tức m   m   Vậy có hai giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán: m 2; m  , từ tổng tất giá trị m  VÍ DỤ 3: Biết giá trị nhỏ hàm số tham số) Mệnh đề sau đúng? A  m 2 B  m 8 y mx  36 x  đoạn  0;  20 (với m C  m 4 D m  Lời giải Chọn C Cách 1: Ta có:  36 mx  x  20, x   0;  y 20    36  0;3 x0   0;  : mx0  20 x0    20 x  16 m  x x  , x   0;      x   0;  : m  20 x0  16   x0  x0  1  (*) (vì g  x  Xét hàm số g ' x  Ta có:  *  20 x  32 x  16 Ta có: Bảng biến thiên: Do đó, từ Cách 2: 20 x  16 x  x  1  x  x  1  y   36  20  0; 3  x 2  tm  g '  x  0   20 x  32 x  16 0    x  l   ; suy m 4 Vậy  m 4 y   36 y   3m  , y ' m  ; 36  x  1 , x   0;  y  m  36 y '   m  , Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0” ) CHỦ ĐỀ 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ y  Mà 72  x  1 rường hợp 1:  0, x   0;  Bảng biến thiên m Khi y ' 0, x   0;  Suy hàm số nghịch biến đoạn  0;  T đó, ta có y 20  y   20  3m  20  m   0;3  11 (không thỏa mãn) Do y ' 0, x   0;   0;  rường hợp 2: m 36 Khi Suy hàm số đờng biến đoạn   T đó, ta có y y   36  0;3  (không thỏa mãn) Do y ' 0  x     0;   m  36 m rường hợp 3: Khi T đó, ta có   y 20  y     20   m  12 m 20   0;3 m   m 4  tm    m 100  l  Do Do m 4 thỏa mãn yêu cầu toán Vậy  m 4 VÍ DỤ 4: Cho hàm số y  f  x  x  ax  bx  2a  b với a , b số thực Biết hàm số đạt giá trị f nhỏ x0 1 Giá trị nhỏ   bao nhiêu? A 128 B 243 C 81 Lời giải Chọn D Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” D 696 CHUN ĐỀ: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ fb 0  a   Do hàm số đạt giá trị nhỏ x0 1 nên   f x  f  1 , x   Do hàm số đạt giá trị nhỏ x0 1 nên   f  x   f  1 , x    x  ax  bx  2a  b 1  3a  2b , x   Ta có f '  x  6 x  2ax  b  x6  ax    a   x  2a  2a  1  3a  2b , x    (do b  2a  )   a x  x   x6  x  5, x   2    a  x  1  x  1  x  x  3x  x  , x    *    max  x  x  x  x    x  Mà VÍ DỤ 5: Cho y  f ( x)  x  5x   mx nên (*) xảy a  Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên m cho giá trị nhỏ hàm số f ( x) lớn Tính số phần tử S A B C f   3a  705  f   696 D Lời giải Chọn A Vì f  x    f ( x)  x  5x   mx  nên với x   f  x  mx  x  5x    m   x   5, x 4 x x   4;   , ta có g( x)  x  3  5, x 4 g( x)    0, x   4;   , g(4)  x x Ta có Với Đặt Do g  x  g    tự, với 1 m  g  x  x   4;    m  g    m  Vì (1) x   1;  Ta có f  x   x  x   mx  x   1;   m  (2) Tương f  x  x  5x   mx  x   0; 1  m   x  Với x (0;1) Ta có x    ;0  f x x  5x   mx  x    ;  Với Ta có    m   x   x    ;0   m     x x 0 Với   m 1 x (3) Từ (1), (2), (3) (4) ta có  m   Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHỦ ĐỀ 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ VÍ DỤ 6: Tìm tất giá trị thực m để giá trị lớn hàm số y sin x  m.6 sin x 9sin x  41sin x không nhỏ Vậy S  2; 3; 4; 5;6;7; 8 tập hợp tất giá trị nguyên m thỏa mãn Lời giải Chọn B y sin x  m.6 sin x sin x  41sin x Ta có:  3  m    2   3  2   sin x 2sin x 4 sin x  3  3 mt  t   t ;  y  f  t   2   t 4 Đặt với Yêu cầu toán tương đương với: max f  t  Tồn f  t   3  3; 2   ( điều đúng) 1 t2  f  t    mtt    3m  3 t Xét t2  g '  tt 1  0  1 g t  t , t Đặt biến thiên hàm g t  3 t ;   2 có nghiệm  1 : Bảng  3 t ;  3m g  t   2 Yêu cầu tốn tương đương   có nghiệm hay có nghiệm  3m  g  1  3m 2  m  y  f  x f  x  y  f  x  VÍ DỤ 7: Cho hàm số có đạo hàm Hàm số liên tục tập số thực có bảng biến thiên Sưu tầm sau: biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUYÊN ĐỀ: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Lời giải Chọn C Xét hàm số g  x  f  x  f  x   1; 2 đoạn  f  x  0  1  g  x  3  f  x   1 f  x  g  x  0  f  x  1   ,  1  Từ bảng biến thiên, ta có:  x  1   1; 2   x 2    1; 2 10 f  x  0 x    1; 2 f  x  1; 2  f  x   f   1   Và , nên đồng biến  f  x    f  x   x    1; 2   vô nghiệm , nên g  x  0 Do đó, có nghiệm x  x 2  10   10  730   3   g   1  f   1  f   1     27 Ta có g    f    f        198 Vậy g  x  g   1    1;2 730 27 VÍ DỤ 8: Cho hàm số y  f ( x ) nghịch biến  Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y  f ( x) đoạn  f ( x)  x   1; 2 Biết hàm số y  f  x thỏa mãn f ( x)  x  3x  x , x   A Giá trị 3M  m B  28 C  D 33 Lời giải Chọn A  f ( x)  x  f ( x)  x  3x  x  f ( x)  xf ( x) x  3x  x Ta có:  f ( x)  xf ( x) 4 x  12 x  x  f ( x)  xf ( x )  x 4 x  12 x  x  f ( x )  x 2 x  3x  f ( x) x3  x     3   f ( x)  x  (2 x3  x)  f ( x )  x  x  3x  f ( x )  x  x Với f ( x)  x  x  f ( x) 3x   0, x   nên f ( x ) đồng biến  ' Với f ( x )  x  x  f ( x)  3x   0, x   nên f ( x) nghịch biến  Suy ra: f ( x )  x  x Vì f ( x) nghịch biến  nên M max f ( x)  f (1)   1;2 Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHỦ ĐỀ 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ VÍ DỤ 9: Cho hàm số số f  x g  x  2 f  x     x  Biết hàm số f  x    4;  có đờ thị hình Trên đoạn  , hàm đạt giá trị nhỏ điểm? m min f ( x)  f (2)  10  1;2 3M  m 3     10 4 Từ đây, ta suy ra: Lời giải Chọn D Ta có g x  2 f  x     x  Giải phương trình:  x 3    4;   g x  0  f  x     x  0  f  x    x    x     4; 3   x     4;  Bảng biến thiên: Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUYÊN ĐỀ: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ   4;  g x Vậy đoạn  , hàm số   đạt giá trị nhỏ điểm x  Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0”