Form gtln

CHUYÊN ĐỀ: GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ CHỦ ĐỀ 2: GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ LÍ THUYẾT  Định nghĩa Cho hàm số y  f  x xác định tập D   f ( x) M , x  D  y  f  x x  D, f ( x0 ) M D Số M gọi giá trị lớn hàm số nếu:   Kí hiệu: M max f ( x ) xD  y  f  x Số m gọi giá trị nhỏ hàm số D nếu:  Kí hiệu: m min f ( x) xD  f ( x) m, x  D  x0  D, f ( x0 ) m  Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ O Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số cách khảo sát trực tiếp  Bước 1: Tính f  x  tìm điểm x1 , x2 , , xn  D mà f  x  0 hàm số khơng có đạo hàm  Bước 2: Lập bảng biến thiên từ suy giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số o Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số đoạn  Bước 1: Hàm số cho Tìm điểm y  f  x xác định liên tục đoạn  a; b x1 , x2 , , xn khoảng  a; b  , f  x  0 f  x  không xác định f  a  , f  x1  , f  x2  , , f  xn  , f  b   Bước 2: Tính  Bước 3: Khi đó: max f  x  max  f  x1  , f  x2  , , f  xn  , f  a  , f  b    a ,b  f  x  min  f  x1  , f  x2  , , f  xn  , f  a  , f  b    a ,b  o Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số khoảng  Bước 1: Tính đạo hàm f ( x )  Bước 2: Tìm tất nghiệm xi  (a; b) phương trình f ( x) 0 tất điểm  i  (a; b) làm cho f ( x ) không xác định A  lim f ( x) B  lim f ( x) f ( x ) f ( ) i , i x a x b , ,  Bước Tính  M max f ( x) m min f ( x) ( a ;b ) ;b ) Bước So sánhsoạn cácbởi: giánhóm trị tính đượcTƯvàDUY kết luận , Sưu tầm biên admin TOÁN HỌC( a4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUYÊN ĐỀ: GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ   f  x   f  a    a ;b  f  x  f  b  max y  f  x a; b    a ;b  Nếu đồng biến   f ( x)  f  b    a ;b   max f ( x )  f a   y  f  x  a; b   a;b Nếu nghịch biến  Hàm số liên tục khoảng khơng có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ khoảng  Bất đẳng thức trị tuyệt đối:   a  b ab a  b Cho hai số thực a , b ta có: Dấu “ = ” vế trái xảy a , b dấu Dấu “ = ” vế phải xảy a , b trái dấu   max a , b  a b  ab  Tính chất hàm trị tuyệt đối:  Phương pháp chung để giải tốn tìm GTLN – GTNN hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối  Bước 1: Xét hàm số y  f  x Tính đạo hàm  a, b   y  f  x  Giải phương trình  Bước 2: Giải phương trình  Bước 3: Tính giá trị f  x  0 f  x  0 tìm nghiệm tìm nghiệm f  a  ; fb f  a; bj  a, b  thuộc    a, b thuộc    fb ;   So sánh kết luận i j Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0” CHUYÊN ĐỀ: GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ VÍ DỤ MINH HỌA VÍ DỤ 1: Cho hàm số f ( x) m x  (m tham số thực khác 0) Gọi m1 , m2 hai giá trị m thỏa mãn f ( x)  max f ( x) m  10 [2;5] Giá trị m1  m2 B C 10 [2;5] A D Lời giải Chọn A Với x   2;5 f '( x)  có m x  Ta thấy dấu f '( x ) phụ thuộc vào dấu m f ( x)  max f ( x)  f (2)  f (5) m  2m [2;5] m 0 f ( x ) đơn điệu  2;5  [2;5] VÍ DỤ 2: Cho hàm số y  x3  3x  m  1 hàm số đoạn A    1;1 B Tổng tất giá trị tham số m cho giá trị nhỏ C  D  m 5 m  10 m  2m  m  3m  10 0   m   Từ giả thiết ta Vậy m1  m2 3 Lời giải Chọn A y  f ( x)  x  x  m  1   1;1 hàm số xác định liên tục đoạn  x 1 f ( x) 0   3 y  f ( x) 2  x  x  m  1  x  3  m  x  3x   g ( x) Ta có ;   1;1 Bảng biến thiên g ( x) Ta khảo sát hàm số g ( x ) đoạn Đặt y 0 m    3;1 x    1;1 Nếu ln tờn cho m g ( x0 ) hay f ( x0 ) 0 Suy   1;1 , m tức không tồn thỏa mãn yêu cầu toán m    3;1 f ( x) 0  x 1   1;1 Nếu Ta có: f ( x) min  f (1); f (  1) min  ( m  1) ; ( m  3)    1;1 Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ  m 2 (TM )  f ( x) (m  1) 1     1;1  m 0 ( KTM ) Trường hợp 1: m  tức m   m    m  (TM )  f ( x) (m  3) 1     1;1  m  ( KTM ) Trường hợp 2: m   tức m   m   Vậy có hai giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán: m 2; m  , từ tổng tất giá trị m  VÍ DỤ 3: Biết giá trị nhỏ hàm số tham số) Mệnh đề sau đúng? A  m 2 y mx  B  m 8 36 x  đoạn  0;3 20 (với m C  m 4 D m  Lời giải Chọn C Cách 1: Ta có: 36  mx  20, x   0;3  x 1 y 20     0;3 x0   0;3 : mx0  36 20 x0   20 x  16  m  x  x  1 , x   0;3   x   0;3 : m  20 x0  16  x0  x0  1 (*) y   36  20 (vì g  x  Xét hàm số 20 x  16 x  x  1  0;3  20 x  32 x  16 g '  x  0   20 x  32 x  16 0  g ' x   x  x  1  Ta có: ; Bảng biến thiên: * Do đó, từ   suy Cách 2: Ta có: y   36 , )  x 2  tm    x   l   m 4 Vậy  m 4 y  3 3m  y ' m  ; 36  x 1 , x   0;3 y   m  36 , y '  3 m  Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0” CHUYÊN ĐỀ: GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ y  Mà 72  x  1 rường hợp 1:  0, x   0;3 Bảng biến thiên m Khi y ' 0, x   0;3 Suy hàm số nghịch biến đoạn  0;3 T 11 y 20  y   20  3m  20  m   0;3 (khơng thỏa mãn) đó, ta có Do rường hợp 2: m 36 Khi y ' 0, x   0;3 Suy hàm số đờng biến đoạn  0;3 T đó, ta có y  y   36  0;3 (không thỏa mãn) Do y ' 0  x     0;3  m  36 m rường hợp 3: Khi T đó, ta có   y 20  y     20   m 12 m 20   0;3 m   m 4  tm    m 100  l  Do VÍ DỤ 4: Cho hàm số y  f  x   x  ax  bx  2a  b với a, b số thực Biết hàm số đạt giá trị f nhỏ x0 1 Giá trị nhỏ   bao nhiêu? A 128 B 243 C 81 Do m 4 thỏa mãn yêu cầu toán Vậy  m 4 Lời giải Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0” D 696 CHUYÊN ĐỀ: GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ Chọn D Ta có f '  x  6 x5  2ax  b Do hàm số đạt giá trị nhỏ x0 1 nên f  1 0  b  2a  f x  f  1 , x   Do hàm số đạt giá trị nhỏ x0 1 nên   f  x   f  1 , x    x  ax  bx  2a  b 1  3a  2b, x    x  ax    2a   x  2a  2a  1  3a  2b, x   (do b  2a  )  a  x  x  1  x  x  5, x   2  a  x  1  x  1   x  x  3x  x   , x    * max   x  x3  3x  x     x  Mà VÍ DỤ 5: Cho y  f ( x)  x  x   mx nên (*) xảy a  Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên m cho giá trị nhỏ hàm số f ( x ) lớn Tính số phần tử S A B C f  3 3a  705  f  3 696 D Lời giải Chọn A Vì f  x    x   4;   nên f ( x)  x  x   mx  với x   f  x  mx  x  x    m   x  , ta có  5, x 4 x Với g ( x )  x  3  5, x 4 g ( x )    0, x   4;   , g (4)  x x Ta có Đặt Do g  x  g    tự, với 1 m  g  x  x   4;    m  g    m  Vì (1) x   1;  Ta có f  x   x  x   mx  x   1;   m  (2) Tương f  x  x  x   mx  x   0; 1  m   x    m 1 x  (0;1) x Với Ta có (3) x    ;  f x  x  x   mx  x    ;  Với Ta có    x    ;   m     x Với x 0  m x Từ (1), (2), (3) (4) ta có  m   Vậy S  2; 3; 4;5; 6; 7;8 tập hợp tất giá trị nguyên m thỏa mãn Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyệnsinthi Đại học sin x xHỌC  m.6 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUYyTỐN 4.0”  VÍ DỤ 6: Tìm tất giá trị thực m để giá trị lớn hàm số 9sin x  41sin x không CHUYÊN ĐỀ: GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ Lời giải Chọn B sin x y 4sin x  m.6sin x 9sin x  41sin x Ta có:  3  m    2  sin x  3 4    2  3  3 mt  t ;  t   y  f t  2     t 4 Đặt với Yêu cầu toán tương đương với: max f  t   3 t ;   3 f t    ;  2  2   có nghiệm Tờn ( điều đúng) sin x t 1 1 f  t    mt   t   3m  t 3 Xét  1 Đặt g  t  t 1 g '  t  1  0  t 1 t , t biến thiên hàm g t : Bảng  3 t ;  3m ³ g ( t )  2 Yêu cầu toán tương đương ( ) có nghiệm hay có nghiệm Û 3m ³ g ( 1) Û 3m ³ Û m ³ y  f  x f  x  y  f  x  VÍ DỤ 7: Cho hàm số có đạo hàm Hàm số liên tục tập số thực có bảng biến thiên sau: 10 f   1  , f   6 Giá trị nhỏ hàm số g  x   f  x   f  x  Biết   1; 2 đoạn 10 820 730 Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 A B 27 C 27 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” D 198 CHUN ĐỀ: GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ Lời giải Chọn C Xét hàm số g  x  f  x  f  x đoạn   1; 2  f  x  0  1  g  x  3  f  x   1 f  x  g  x  0  f  x  1   ,  1  Từ bảng biến thiên, ta có:  x  1   1; 2   x 2    1; 2 10 f  x  0 x    1; 2 f  x  1; 2  f  x   f   1   Và , nên đồng biến  f  x    f  x   x    1; 2   vô nghiệm , nên g  x  0 Do đó, có nghiệm x  x 2  10   10  730   3   g   1  f   1  f   1     27 Ta có g    f    f        198 Vậy g  x  g   1    1;2 730 27 VÍ DỤ 8: Cho hàm số y  f ( x ) nghịch biến  Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y  f ( x) đoạn  f ( x)  x   1; 2 Biết hàm số y  f  x thỏa mãn f ( x)  x  3x  x , x   A Giá trị 3M  m B  28 C  D 33 Lời giải Chọn A  f ( x)  x  f ( x)  x  3x  x  f ( x)  xf ( x) x  3x  x Ta có:  f ( x)  xf ( x) 4 x  12 x  x  f ( x)  xf ( x )  x 4 x  12 x  x  f ( x )  x 2 x  3x  f ( x) x3  x     3   f ( x)  x  (2 x3  x)  f ( x )  x  x  3x  f ( x )  x  x Với f ( x)  x  x  f ( x) 3x   0, x   nên f ( x ) đồng biến  ' Với f ( x )  x  x  f ( x)  3x   0, x   nên f ( x) nghịch biến  Suy ra: f ( x )  x  x Vì f ( x) nghịch biến  nên M max f ( x)  f (1)   1;2 Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUYÊN ĐỀ: GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ VÍ DỤ 9: Cho hàm số số f  x g  x  2 f  x     x  Biết hàm số f  x  có đờ thị hình Trên đoạn   4;3 , hàm đạt giá trị nhỏ điểm? m min f ( x)  f (2)  10  1;2 3M  m 3     10 4 Từ đây, ta suy ra: Lời giải Chọn D Ta có g  x  2 f  x     x  Giải phương trình:  x 3    4;3  g  x  0  f  x     x  0  f  x    x    x  1   4;3   x     4;3 Bảng biến thiên: Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ Vậy đoạn   4;3 , hàm số g  x  đạt giá trị nhỏ điểm x  Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0”