Phan 12

Bài tốn thực tế Câu 1: Một gia đình cần xây bể nước hình hộp chữ nhật để chứa 10m3 nướC Biết kích thước mặt đáy có chiều dài 2,5m chiều rộng 2m Khi chiều cao bể nước A m C 1,5 m B m D m Lời giải Gọi h  m  chiều cao bể nước hình hộp chữ nhật Ta có 10 2,5.2.h  h 2  m  Câu 2: Một thùng đựng nước hình trụ có bán kính đáy 65cm chiều cao 120cm Số lít nước tối đa mà thùng đựng gần với kết đây? A 676 B 2123, C 1592,8 D 3265,6 Lời giải Thể tích thùng V  R h   65  120 507000 1592787  cm  Vậy số lít nước tối đa mà thùng đựng gần với kết 1592,8 Câu 3: Ông Khoa muốn xây bể chứa nước lớn dạng khối hộp chữ nhật khơng nắp tích 288m Đáy bể hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê nhân công để xây bể 500000 đồng/ m Nếu ông Khoa biết xác định kích thước bể hợp lí chi phí th nhân cơng thấp Hỏi ơng Khoa trả chi phí thấp để xây dựng bể bao nhiêu? A 90 triệu đồng B 168 triệu đồng C 54 triệu đồng D 108 triệu đồng Lời giải Theo ta có để chi phí th nhân cơng thấp ta phải xây dựng bể cho tổng diện tích xung quanh diện tích đáy nhỏ Gọi ba kích thước bể a , 2a , c  a  m   0, c  m    Ta có diện tích cách mặt cần xây S 2a  4ac  2ac 2a  6ac 144 Thể tích bể V a.2a.c 2a 2c 288  c  a Suy S 2a  6a 144 864 432 432 432 432 2a  2a   3 2a 216 a a a a a a Vậy Smin 216 m , chi phí thấp 216.500000 108 triệu đồng Câu 4: Kim tự tháp Kê - ốp Ai Cập xây dựng khoảng năm 2500 trước công nguyên Kim tự tháp khối chóp tứ giác có chiều cao 147 m , cạnh đáy 230 m Thể tích A 2592100 m3 B 2592100 cm3 C 7776350 m3 D 388150 m3 Lời giải h 1 Thể tích Kim tự tháp: V  S h  147.230 2592100 m 3   Câu 5: Một hồ bơi hình hộp chữ nhật có đáy hình vng cạnh 50  m  Lượng nước hồ cao 1,5  m  Thể tích nước hồ A 1875  m  3 B 2500  m  C 1250  m  D 3750  m  Lời giải Thể tích nước hồ V 1,5.502 3750  m  Câu 6: Kim tự tháp Kêốp Ai Cập xây dựng vào khoảng 2500 năm trước Công nguyên Kim tự tháp khối chóp tứ giác tích 592 100 m3 , cạnh đáy dài 230 m A 147 m B 145 m C 152 m D 150 m Lời giải 3V 3.2592100 V  B.h 2592100  h   147 B 230 Câu 7: Một Kim tự tháp Ai cập có dạng khối chóp tứ giác đều, với kích hước hình ảnh Tính thể tích kim tự tháp với kết làm tròn đến phần nguyên A 121280 B 22915990 C 91663958 D 274991874 Lời giải Cạnh đáy a 2 377.9 755.8 1 V  Bh  a h  (755.8) 481.4 91663958 3 Câu 8: Kim tự tháp Cheops kim tự tháp cao Ai Cập Chiều cao kim tự tháp 144 m , đáy kim tự tháp hình vng có cạnh dài 230 m Các lối phịng bên chiếm 30% thể tích kim tự tháp Biết lần vận chuyển gồm 10 xe, T 5 xe chở đá, khối lượng riêng đá 2,5.103 kg / m3 Số lần vận chuyển đá để xây dựng kim tự tháp là: A 76040 B 74060 C 7406 Lời giải: D 740600 Thể tích kim tự tháp V  c.day c.cao 2539 200m Thể tích khối đá cần vận chuyển 0.7V 1777 440m3 Gọi x số lần vận chuyển Để đủ đá xây dựng kim tự tháp x.10.6000 1777440  x 74060 2,5.103 Câu 9: Một khối gỗ có dạng lăng trụ, biết diện tích đáy chiều cao 0, 25 m 1, m Mỗi mét khối gỗ trị giá triệu đồng Hỏi khối gỗ có giá tiền? A 3000 000 đồng B 750 000 đồng C 500 000 đồng D 1500 000 đồng Lời giải 3 Thể tích khối gỗ V S h 0, 25.1,   m  10 Vậy khối gỗ có giá: V 5000000  5000000 1500000 10 Câu 10: Cho khối gỗ có hình dạng hình lăng trụ tam giác ABC ABC  Khi đặt khối gỗ cho cạnh bên vng góc với mặt bàn  P  , điểm A  P thi đoạn BC phía mặt bàn  P  song song với mặt bàn Biết AA 100cm, AB  AC 40cm, BC 30cm, AAB 60 o Người ta cắt, gọt khối gỗ mặt phẳng vng góc với cạnh bên để thu hình lăng trụ tam giáC Thể tích lớn khối lăng trụ đứng tạo thành gần với số sau nhất? A 37470cm3 B 35470cm3 C 36470cm3 D 38470cm3 Lời giải Để khối lăng trụ thu tích lớn nhất, ta cắt khối lăng trụ ban đầu hai mặt phẳng qua A vng góc với cạnh bên qua BC vng góc với cạch bên Hai mặt phẳng song song với mặt phẳng  P  Khi ta dễ dàng tính AM 20cm, BM 20 3cm, CM 20 3cm, AM 80cm, S MBC 75 39cm Vậy thể tích khối lăng trụ đứng lớn thu V  AM S MBC 80.75 39 37470cm3 Câu 11: Một trang trại chăn nuôi dự định xây dựng hầm biogas với thể tích 12 m3 để chứa chất thải chăn nuôi tạo khí sinh họC Dự kiến hầm chứa có dạng hình hộp chữ nhật có chiều sâu gấp rưỡi chiều rộng Hãy xác định kích thước đáy hầm biogas để thi cơng tiết kiệm ngun vật liệu Tính kích thước phù hợp yêu cầu A Dài 2, 42 m rộng 1,82 m C Dài 2, 26 m rộng 1,88 m B Dài 2,74 m rộng 1,71 m D Dài 2,19 m rộng 1,91 m Lời giải Gọi 2x chiều rộng hình hộp chữ nhật, y chiều dài hình hộp chữ nhật x  ; y  Do chiều cao gấp rưỡi chiều rộng suy chiều cao hình hộp chữ nhật 3x Vì thể tích khối hộp chữ nhật 12 m3 nên ta có x y.3x 12  y  x Do y 2 x  2 x  x 1 x  nên x   0;1 x Diện tích tồn phần hầm biogas S 2.2 x y  2.2 x.3 x  2.3x y 10 xy  12 x 2 20 12 x  x x Để thi công tiết kiệm ngun vật liệu diện tích tồn phần phải nhỏ Cách 1: 20 Xét f  x  12 x   0;1 x 20 Ta có f  x  24 x  ; f  x  0  24 x 20  x  x  S 12 x  10 x  5 Suy f  x   f   6 150  0:  6 Khi chiều rộng hầm biogas x 1,88 m chiều dài y 2, 26 m Cách 2: 10 10 Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số dương: 12x ; ; ta có x x S 12 x  10 10 10 10  3 12 x 6 150 x x x x Suy diện tích nhỏ hầm biogas 150 m 10 36 Dấu xảy 12 x   x   y 2 x 25  5 Suy f  x   f   6 150  0:  6 Khi chiều rộng hầm biogas x 1,88 m chiều dài y 2, 26 m Câu 12: Một viên đá có dạng khối chóp tứ giác với tất cạnh a Người ta cưa viên đá theo mặt phẳng song song với mặt đáy khối chóp để chia viên đá thành hai phần tích Tính diện tích thiết diện viên đá bị cưa mặt phẳng nói A a2 B a2 C a2 D 2 a Lời giải a 2 a Ta có SH  a        SK SN MN MN x Đặt MN  x,   x  a  ta có    SK  SH  SH Ta có VS ABCD  a SB AB AB a a3  x x3 VS MNPQ  x  Theo giả thiết VS ABCD 2VS MNPQ  a3 2 x3 a   x 3 6 a2 Vậy diện tích thiết diện S  x  Câu 13: Một bác nông dân cần xây dựng hố ga khơng có nắp dạng hình hộp chữ nhật tích 3200cm3 , tỉ số chiều cao hố chiều rộng đáy Hãy xác định diện tích đáy hố ga để xây tiết kiệm nguyên vật liệu A 120cm B 1200cm C 160cm D 1600cm Lời giải Gọi chiều rộng đáy x ( cm ), x  Khi chiều cao hố ga 2x chiều dài hố ga 3200 1600  x.2 x x  1600   1600  Diện tích xung quanh hố ga S xq 2  x.2 x    2 x  4  x   x   x   Diện đáy hố ga 1600 1600 x  x x Tổng diện tích xây hố ga S 4 x  1600 8000 4 x  x x Để xây tiết kiệm nguyên vật liệu S phải nhỏ Áp dụng bất đẳng thức Cơ-Si ta có S 4 x  4000 4000 4000 4000  3 x 1200 ( cm ) x x x x Dấu xảy x  Khi diện tích đáy hố ga 4000  x 10 x 1600 160  cm  10 Câu 14: Có khối gỗ dạng hình chóp O ABC có OA, OB, OC đơi vng góc với nhau, OA 3 cm, OB 6 cm, OC 12 cm Trên mặt  ABC  người ta đánh dấu điểm M sau người ta cắt gọt khối gỗ để thu hình hộp chữ nhật có OM đường chéo đồng thời hình hộp có mặt nằm mặt tứ diện Thể tích lớn khối gỗ hình hộp chữ nhật A cm3 B 24 cm3 C 12 cm3 D 36 cm3 Lờigiải Gọi khoảng cách từ điểm M đến mặt bên  OAB  ,  OBC  ,  OCA  a, b, c Khi VOABC VM OAB  VM OBC  VM OAC Hay 1 1 1 3.6.12  a .3.6  b .6.12  c .3.12  12 a  4b  2c 3 Thể tích khối gỗ hình hộp chữ nhật theo đề V abc 1  a  4b  2c  123 Ta có abc  a.4b.2c   8   8  27 Vậy V abc đạt giá trị lớn  cm  a 4b 2c  a 4(cm), b 1(cm), c 2(cm) Câu 15: Cho miếng bìa hình vng cạnh 5m Để làm mơ hình kim tự tháp Ai Cập, người ta cắt bỏ tam giác cân có cạnh đáy cạnh hình vng gấp lên, ghép lại thành hình chóp tứ giác Để mơ hình tích lớn cạnh đáy mơ hình bao nhiêu? A B C D 2 Lời giải S S B I A C B I O D Hình chóp tứ giác S ABCD Gọi x độ dài cạnh hình vng ABCD , điều kiện  x  Gọi O tâm hình vng ABCD SO   ABCD    x   x 2   2x  2 x 2  Có SI  , SO  SI  OI           2       1   2x   x   x  Có V  SO.S ABCD  x        Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương: Có x x x x 5 x x x x x x x x5 x x x x           5       4 4  4 4 4 4  4 4  5  4 25  x4   x      x   x  2       45 45 x   x   25.5  V  10 2   C Dấu “=” xảy x 2 m Cách 2:   x   x 2 50  10 x Có SO  SI  OI           2  2 1 V x 50  10 x   4 Xét y  f  x   x 50  10 x 50 x  10 2.x ,  x      f  x  10 20 x  x  x 0 f  x  0     x 2  L  N Bảng biến thiên: 10 Với x 2 , y 640 Vậy x 2 V đạt GTLN 640  Câu 16: Một khối gỗ hình hộp chữ nhật có chiều dài, chiều rộng chiều cao 30  cm  ; 20  cm  30  cm  Một kiến xuất phát từ điểm A muốn tới điểm B quãng đường ngắn phải dài cm ? A 10 34  cm  B 30  10 14  cm  C 10 22  cm  D 20  30  cm  Lời giải A F 30 cm G E 30 cm x C 30 - x 20 cm D B Giả sử đường kiến A-C-B Đặt CE x; x   0;30 Độ dài đường y  AC  CB  302  x  202   30  x    30  20  2   x  30  x   502  302 10 34 Dấu 20.x 30  30  x   x 18 cm Câu 17: Một bút chì có dạng khối lăng trụ lục giác có cạnh đáy 3mm chiều cao 200mm Thân bút chì làm gỗ phần lõi làm than chì Phần lõi có dạng khối hình trụ có chiều cao chiều dài bút đáy hình trịn có bán kính 1mm Giả định 1m3 gỗ có giá a , 1m3 than chì có giá 8a Khi giá nguyên vật liệu làm bút chì gần với kết đây? A 9, 7.a B 97, 03.a C 90, 7.a D 9, 07.a Lời giải Thể tích khối trụ phần lõi bút chì là: V1  r h  12.200 200 (mm3 ) 200 10 (m3 ) Thể tích tồn bút chì là: V S Luc giac h 6.(32 Thể tích ).200 2700 (mm3 ) 2700 3.10  ( m3 ) phần thân gỗ 9 bút V2 V  V1 2700  200 (mm ) (2700  200 ).10 (m ) Giá nguyên vật liệu làm bút chì là: chì là: T V1.8.a  V2 a 200 10 9.8.a.106  2700 3.10 9.a.106  200 10  9.a.106 (1400  2700 3).10 9.a.106 9, 07 ( dong ) Câu 18: Ông A dự định sử dụng hết 6,5m2 kính để làm bể cá kính dạng hình hộp chữ nhật khơng nắp, chiều dài gấp đơi chiều rộng Bể cá có dung tích lớn bao nhiêu? A 2, 26m3 B 1, 61m3 C 1,33m3 D 1,50m3 Lời giải h x 2x Gọi chiều rộng hình hộp chữ nhật x , chiều dài 2x chiều cao h Ta có: 6,5 2 x  xh  xh  6,5 2 x  xh  h  Thể tích khối hộp chữ nhật V 2 x h 2 x V ' 6,5  x 6x 6,5  x 6,5 x  x  6x 6,5  x 13  V ' 0  x  12 x V' 13 12 + +∞ - Vmax V Như thể tích lớn VMax  13  13 13  2  12 12    1,50