Hh9 hk1 tuan 17 tiet 34 on tap chuong ii 1

HH9 TIẾT 34 – ÔN TẬP CHƯƠNG II – HUY HUÂN Bài 1: Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O) Kẻ đường cao AH, BK Gọi D giao điểm thứ hai AH đường tròn (O) a) Chứng minh bốn điểm A, B, H, K thuộc đường tròn; b) Chứng minh CD = DH.AD; c) Cho BC = 24cm, AC = 20cm Tính đường cao AH bán kính đường trịn (O) Bài 2: Cho đường trịn (O) đường kính AB Điểm M thuộc đường trịn Vẽ điểm N đối xứng với A qua M, BN cắt đường tròn C Gọi E giao điểm AC BM a) Chứng minh  MAB tam giác vuông b) Chứng minh NE  AB c) Gọi F điểm đối xứng với E qua M Chứng minh FA tiếp tuyến đường tròn (O) Bài 3: Cho đường trịn (O), bán kính OA, dây BC vng góc với OA trung điểm H đoạn thẳng OA a) Chứng minh tứ giác ABOC hình thoi b) Gọi M điểm đối xứng với O qua A Chứng minh MB tiếp tuyến đường tròn (O) c) Biết OA = cm tính độ dài cạnh tam giác MBC Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn Đường trịn đường kính AB cắt cạnh AC, BC điểm D E Gọi H giao điểm AE BD Chứng minh rằng: a) Bốn điểm C, D, H, E thuộc đường tròn b) CH  AB c) AH.AE + BH.BD = AB  AB  AC  , có đường cao BN CM cắt H Gọi O trung Bài 5: Cho tam giác ABC nhọn điểm BC Chứng minh rằng: a) Bốn điểm B, M , N , C thuộc đường tròn b) ON tiếp tuyến đường trịn có đường kính AH Bài 6: Cho nửa đường trịn tâm (O; R), đường kính AB Qua điểm C thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến d nửa đường tròn Gọi M N hình chiếu A B d Gọi H chân đường vng góc kẻ từ C đến AB Chứng minh rằng: a) Tứ giác ABNM hình thang vng  b) AC tia phân giác BAM c) CH = AM.BN Bài 7: Cho đường tròn (O, R) có đường kính AB điểm M thuộc đường trịn (M khác A B) Gọi Ax, By tia vng góc với AB (Ax, By M thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M, kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt Ax, By theo thứ tự C D a) Chứng minh: CD = AC + BD b) OC cắt AM H, OD cắt BM K Chứng minh: tứ giác OHMK hình chữ nhật c) Chứng minh: AC.BD = R2 Bài 8: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R Gọi Ax, By tia vng góc với đoạn AB A B (Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn tâm O ( M khác A B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt tia Ax By theo thứ tự C D  Chứng minh COD 90 Chứng minh CD = AC + BD Gọi H hình chiếu M AB, điểm I giao điểm BC MH Chứng minh IM = IH Bài 9: Cho góc nhọn xBy.Từ điểm A tia Bx (A B) Vẽ AH  By (H  By) vẽ AD vng góc với tia phân giác góc xBy D a) Chứng minh bốn điểm A,B,H,D thưộc đường tròn; xác định tâm O đường trịn b) Chứng minh OD  AH c) Tiếp tuyến A đường tròn (O) cắt tia BD, BH E F.Chứng minh : BDH Bài 10: Cho đường tròn  O; R  BFE điểm A nằm ngồi đường trịn Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC  O; R  , ( B, C tiếp điểm) a) Chứng minh bốn điểm A, B, O, C thuộc đường tròn;  O; R  cho tia OI nằm hai tia OA OB Qua I vẽ đường thẳng b) Lấy điểm I đường tròn tiếp xúc với đường tròn  O; R  cắt AB, AC M N Chứng minh MB  NC MN ; Qua O vẽ đường thẳng vng góc với OA cắt AB, AC P Q Chứng minh c) PM QN  PQ HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O) Kẻ đường cao AH, BK Gọi D giao điểm thứ hai AH đường tròn (O) a) Chứng minh bốn điểm A, B, H, K thuộc đường tròn; b) Chứng minh CD = DH.AD; c) Cho BC = 24cm, AC = 20cm Tính đường cao AH bán kính đường trịn (O) Hướng dẫn giải A O K B H C D a) Chứng minh bốn điểm A, B, H, K thuộc đường trịn đường kính AB b) Khẳng định AD đường kính đường trịn (O) Tam giác ACD nội tiếp đường trịn (O)  ACD vng C (định lý) Áp dụng hệ thức cạnh đường cao tam giác vng ACD ta có: CD2 = DH.AD (điều phải chứng minh) BC 24  12 c) Tính BH = HC = (cm) Áp dụng định lý Pitago tam giác vng AHC Tính AH = 16 (cm) Áp dụng hệ thức cạnh đường cao tam giác vng ACD Tính AD = 25 (cm) Vậy AH = 16 (cm) bán kính đường trịn (O) 12,5 cm Bài 2: Cho đường trịn (O) đường kính AB Điểm M thuộc đường tròn Vẽ điểm N đối xứng với A qua M, BN cắt đường tròn C Gọi E giao điểm AC BM a) Chứng minh  MAB tam giác vuông b) Chứng minh NE  AB c) Gọi F điểm đối xứng với E qua M Chứng minh FA tiếp tuyến đường tròn (O) Hướng dẫn giải N F C M E A O B a) Có OM=OA=OB (Cùng bán kính) => MO = AB => Tam giác MAB vuông M b) Tương tự tam giác CAB vng C Theo chứng minh suy AC BM đường cao tam giác NAB, chúng cắt E Suy NE đường cao nên NE  AB c) Khẳng định tứ giác AFNE hình thoi Suy AF // NE nên AF ¿ AB Suy AF tiếp tuyến đường tròn (O) Bài 3: Cho đường tròn (O), bán kính OA, dây BC vng góc với OA trung điểm H đoạn thẳng OA a) Chứng minh tứ giác ABOC hình thoi b) Gọi M điểm đối xứng với O qua A Chứng minh MB tiếp tuyến đường tròn (O) c) Biết OA = cm tính độ dài cạnh tam giác MBC Hướng dẫn giải B A M H O C a) Vì BC vng góc với OA trung điểm H đoạn thẳng OA nên BC đường trung trực đoạn OA (gt) Do đó: AB = OB; OC = AC (tính chất) (1) Mà OB = OC (đều bán kính đường trịn (O)) (2) Từ (1) (2) suy ra: OB = OC = AC = AB Xét tứ giác ABOC có OB = OC = AC = AB (cm trên) nên tứ giác ABOC hình thoi (dấu hiệu nhận biết) b) Vì M điểm đối xứng với O qua A (gt) nên AO = AM (tính chất), mà AB = OA (cm trên) Do AB = AM = AO Xét tam giác MOB có AB = AM = AO => Tam giác MOB vuông B  => MBO = 90 hay MB tiếp tuyến đường tròn (O) c) Tương tự phần b) ta chứng minh được: MC tiếp tuyến đường tròn (O) Vì MB MC hai tiếp tuyến cắt M nên MB = MC (tính chất)  Tam giác AOB có OA = OB = AB => Tam giác AOB => AOB = 60 Trong tam giác MOB vng B, ta có: MB = OB.tan 60  3 3 => MC = MB = (cm) Vì BC  OA H (gt) nên theo định lí đường kính vng góc với dây, ta có: Trong tam giác OBH vng H, ta có: BH = OB.Sin600  HB = HC = BC 3  2 (cm) => BC = 2BH = (cm) Vậy tam giác MBC có MB = MC = BC = (cm) Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn Đường tròn đường kính AB cắt cạnh AC, BC điểm D E Gọi H giao điểm AE BD Chứng minh rằng: a) Bốn điểm C, D, H, E thuộc đường tròn b) CH  AB c) AH.AE + BH.BD = AB Hướng dẫn giải : C E D H A K B a) Các tam giác ABD ABE nội tiếp đường trịn đường kính AB nên tam giác ABD ABE tam giác vuông 0     Do đó: ADB AEB 90  HDC HEC 90 Khẳng định bốn điểm C, D, H, E thuộc đường trịn đường kính CH b) Do tam giác ABD ABE tam giác vuông nên BD  AC; AE  BC Mà H giao điểm AE BD nên H trực tâm tam giác ABC Do đó: CH  AB c) Giả sử: CH  AB K Chứng minh được: AEB AKH (g.g) AE AB =  AE.AH = AB.AK => AK AH Chứng minh tương tự: BDA => BH.BD = AB.BK (1) BKH (g.g) (2) Từ (1) (2) suy ra: AH.AE + BH.BD = AB(AK + BK) = AB.AB = AB  AB  AC  , có đường cao BN CM cắt H Gọi O trung Bài 5: Cho tam giác ABC nhọn điểm BC Chứng minh rằng: a) Bốn điểm B, M , N , C thuộc đường tròn b) ON tiếp tuyến đường trịn có đường kính AH Hướng dẫn giải A I N M B H Q O C   a) Chỉ BMC 90 , BNC 90 BC  1 Tam giác BMC vuông M nên ba điểm B, M , C thuộc đường trịn đường kính BC   Chứng minh tương tự ba điểm B, N , C thuộc đường trịn đường kính Từ (1) (2) suy bốn điểm B, M , N , C thuộc đường trịn đường kính BC (điều phải chứng minh) AH b) Gọi I trung điểm AH đường trịn đường kính AH có tâm I, bán kính  AH  N  I,    HS chứng minh Gọi Q giao điểm AH BC AQ  BC Q    Chứng tỏ INH IHN BHQ   Chứng tỏ ONB OBN   OBN  BHQ 900    Chỉ ONI INH  ONB 90  ON  NI N Từ lập luận ON tiếp tuyến đường trịn đường kính AH Bài 6: Cho nửa đường tròn tâm (O; R), đường kính AB Qua điểm C thuộc nửa đường trịn, kẻ tiếp tuyến d nửa đường tròn Gọi M N hình chiếu A B d Gọi H chân đường vng góc kẻ từ C đến AB Chứng minh rằng: a) Tứ giác ABNM hình thang vng  b) AC tia phân giác BAM c) CH = AM.BN Hướng dẫn giải d N C M A H B O a) Vì M N hình chiếu A B d (gt) nên AM  d, BN  d => AM // BN  Xét tứ giác ABNM có: AM // BN ; AMN 90 (do AM  d ) Do đó, tứ giác ABNM hình thang vng b) Xét  AOC có: OA = OC = R => Tam giác AOC cân O   Tam giác AOC cân O nên CAO = OCA (1)   Do AM // OC (cùng vng góc với d) nên MAC = OCA (2)   Từ (1) (2) suy ra: MAC = CAO => AC tia phân giác góc BAM c)  AMC  AHC (cạnh huyền – góc nhọn) => AM = AH Tương tự: BN = BH (3) (4) Tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường kính AB nên tam giác ABC tam giác vuông C Theo hệ thức lượng tam giác vng ABC, ta có: CH = AH.BH (5) Từ (3), (4) (5) suy ra: CH = AM.BN Bài 7: Cho đường trịn (O, R) có đường kính AB điểm M thuộc đường tròn (M khác A B) Gọi Ax, By tia vng góc với AB (Ax, By M thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M, kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt Ax, By theo thứ tự C D a) Chứng minh: CD = AC + BD b) OC cắt AM H, OD cắt BM K Chứng minh: tứ giác OHMK hình chữ nhật c) Chứng minh: AC.BD = R2 Hướng dẫn giải D M C H A K O B a) Ta có: AC = MC BD = MD (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) => AC + BD = MC + MD => AC + BD = CD b) Ta có: OA = OM = R CA = CM (chứng minh trên) => OC đường trung trực AM => OC  AM Chứng minh tương tự ta có OD  MB AMB nội tiếp đường trịn (O) có đường kính cạnh AB =>AMB vng M    Tứ giác OHMK có: MHO  HMK  MKO  90 Vậy tứ giác OHMK hình chữ nhật c) COD vng O (tứ giác OHMK hình chữ nhật), có đường cao OM => OM2 = MC.MD Mà MC = AC, MD = BD (chứng minh trên) => AC.BD = OM2 = R2 Bài 8: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R Gọi Ax, By tia vng góc với đoạn AB A B (Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn tâm O ( M khác A B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt tia Ax By theo thứ tự C D  Chứng minh COD 90 Chứng minh CD = AC + BD Gọi H hình chiếu M AB, điểm I giao điểm BC MH Chứng minh IM = IH Hướng dẫn giải y x D N M C I A H O B Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:     OC OD tia phân giác AOM BOM , mà AOM BOM hai góc kề bù Do OC  OD  Vậy COD 90 (đpcm) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: CA = CM ; DB = DM Mặt khác: CD = CM + MD ( M nằm C D ) Do đó: CD = AC + BD (đpcm) Ta có: CA = CM (cm trên) => Điểm C thuộc đường trung trực AM (1) OA = OM = R => Điểm O thuộc đường trung trực AM (2) Từ (1) (2) suy OC đường trung trực AM => OC  AM , mà BM  AM Do OC // BM Gọi BM  Ax  N Vì OC // BM => OC // BN Xét  ABN có: OC // BN, mà OA = OB = R => CA = CN (3) Áp dụng hệ định lý Ta-lét vào hai tam giác BAC BCN, ta có: IH BI IM BI = = CA BC CN BC IH IM IH CA = = 1 Suy CA CN hay IM CN Từ (3) (4) suy IH = IM (4) Bài 9: Cho góc nhọn xBy.Từ điểm A tia Bx (A B) Vẽ AH  By (H  By) vẽ AD vng góc với tia phân giác góc xBy D a) Chứng minh bốn điểm A,B,H,D thưộc đường tròn; xác định tâm O đường trịn b) Chứng minh OD  AH c) Tiếp tuyến A đường tròn (O) cắt tia BD, BH E F.Chứng minh : BDH BFE Hướng dẫn giải x A O E D B H F y a) Chứng minh bốn điểmA,B,H,D thuộc đường trịn +  AHB vng H Nên  AHB nội tiếp đường tròn đường kính AB + Tương tự  ADB nội tiếp đường trịn đường kính AB + Suy bốn điểm A, B, H, D thuộc đường trịn đường kính AB với tâm O trung điểm AB b) Chứng minh OD  AH + Ta có OB = OD ( bán kính)   OBD cân O       ODB OBD BD phân giác OBH nên OBD HBD   + Suy : ODB HBD  OD//BH + Mà AH  BH ( giả thiết ) nên OD  AH c) Chứng minh BDH BFE + Lập luận để có  ABC vuông A, đường cao AH  BH.BF = AB2 + Tương tự : BH.BE = AB2 Suy : BH.BF = BH BE BH BD   + Biến đổi được: BE BF kết hợp với BDH góc chung để kết luận: BDH BFE Bài 10: Cho đường tròn  O; R  điểm A nằm ngồi đường trịn Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC  O; R  , ( B, C tiếp điểm) a) Chứng minh bốn điểm A, B, O, C thuộc đường tròn;  O; R  cho tia OI nằm hai tia OA OB Qua I vẽ đường thẳng b) Lấy điểm I đường tròn tiếp xúc với đường tròn  O; R  cắt AB, AC M N Chứng minh MB  NC MN ; Qua O vẽ đường thẳng vng góc với OA cắt AB, AC P Q Chứng minh c) PM QN  PQ Hướng dẫn giải P B M I O A N C Q   a) Chỉ ABO 90 , ACO 90 AO  1 Tam giác ABO vuông B nên ba điểm A, B, O thuộc đường trịn đường kính AO   Chứng minh tương tự ba điểm A, C , O thuộc đường trịn đường kính Từ (1) (2) suy bốn điểm A, B, O, C thuộc đường trịn đường kính AO (điều phải chứng minh) b) Dùng tính chất hai tiếp tuyến cắt suy MB MI , NC NI Chứng minh MB  NC MN (điều phải chứng minh) c) Chứng minh OP OQ  PQ      Q  PMO  NMO ; MNO QNO ;P Ta có      Q  3600  PMO    1800 PMO  NMO  MNO  QNO P  QNO Q    Lại có QON  QNO  Q 180   Suy PMO QON Chứng minh tam giác PMO tam giác QON đồng dạng suy PM PO PQ   PM QN PO.QO  QO QN (điều phải