Một số dạng toán hình học euclid trong chương trình phổ thông

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————— NGUYỄN THỊ YẾN VI MỘT SỐ DẠNG TỐN HÌNH HỌC EUCLID TRONG CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THƠNG KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Người hướng dẫn khố luận: TS Hồng Nhật Quy Đà Nẵng, 05/2023 Mục lục MỞ ĐẦU HÌNH HỌC EUCLID 1.1 1.2 1.3 1.4 Không gian Euclid 1.1.1 Tích vơ hướng hai vectơ 7 1.1.2 1.1.3 Khái niệm không gian Euclid Các ví dụ 8 Mục tiêu trực chuẩn tọa độ trực chuẩn 1.2.1 Mục tiêu trực chuẩn 9 1.2.2 1.2.3 Tọa độ trực chuẩn Đổi mục tiêu trực chuẩn 10 1.2.4 1.2.5 Biểu thức tọa độ tích vơ hướng không gian VnE 10 Biểu thức tọa độ tích có hướng khơng gian V3E 12 1.2.6 Biểu thức tọa độ tích hổn tạp khơng gian V3E 13 Các phẳng không gian Euclid 1.3.1 Sự trực giao phẳng 13 13 1.3.2 1.3.3 Phương trình m - phẳng khơng gian En Khoảng cách phẳng không gian Euclid 15 18 1.3.4 Cơng thức tính khoảng cách phẳng không gian Euclid 20 Siêu phẳng bậc hai 1.4.1 Phương trình tắc siêu mặt bậc hai 23 23 1.4.2 1.4.3 Phương trình siêu cầu Phương tích siêu phẳng đẳng phương 23 24 1.4.4 Giao siêu cầu với siêu phẳng 25 1.5 Thể tích không gian Euclid 25 Thể tích hộp m chiều Thể tích m đơn hình 25 26 1.5.1 1.5.2 MỘT SỐ DẠNG TỐN HÌNH HỌC EUCLID TRONG TỐN HỌC PHỔ THƠNG 2.1 2.2 2.3 Các tốn góc khoảng cách không gian E3 Thể tích tỉ số thể tích khơng gian E3 28 34 2.2.1 2.2.2 Các kết quan trọng Các toán áp dụng 34 36 Các tốn đường trịn mặt cầu 2.3.1 Các toán mặt cầu ngoại tiếp hình chóp 40 40 2.3.2 2.4 28 Các tốn đường trịn mặt cầu mặt cầu hệ tọa độ trực chuẩn 43 Các phẳng không gian Euclid 46 Kết luận 51 Tài liệu tham khảo 53 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên,em xin chân thành tri ân sâu sắc thầy giáo, cô giáo Trường Đại học Sư Phạm- Đại học Đà Nẵng, đặc biệt thầy, khoa Tốn tạo điều kiện cho em thực Khóa Luận Tốt Nghiệp Thời gian vừa rồi, nhờ có hướng dẫn tận tình hết lịng TS Hồng Nhật Quy, em hiểu thêm nhiều kiến thức không xoay quanh Khóa Luận cịn vấn đề thú vị Toán học nữa! Một lần em xin chân thành cảm ơn thầy! Với vốn kiến thức hạn hẹp thân thời gian hạn chế, việc hồn thành khóa luận khơng thể tránh khỏi thiếu sót Nên em mong nhận ý kiến đóng góp xây dựng q thầy để Khóa luận tốt nghiêp em hồn thành chỉnh chu Em xin chân thành cảm ơn MỞ ĐẦU Lý lựa chọn đề tài Hình học môt ngành khoa học đời từ sớm vào khoảng trước kỷ VII-VI trước CN Ngày hình học mảng kiến thức quan trọng phong phú chương trình tốn học phổ thơng Trong chương trình phổ thơng năm 2018 xác định Hình học số yếu tố đo lường mạch kiến thức toán học phổ thông, bên cạnh số, đại số số yếu tố giải tích, thống kê xác suất Một cách tiếp cận khai thác mảng kiến thức thú vị cách hiệu quả, bao quát toàn diện dựa số kết sở lý thuyết hình học cao cấp mà cụ thể hình học Euclid n chiều Việc nghiên cứu hình học Euclid không gian n chiều giúp ta nắm kiến thức sở chuyên sâu hình học, khai thác cách phù hợp từ tính chất, kết tổng quát ứng dụng phong phú phép biến đổi hình học Euclid n chiều ta hồn tồn chuyển tốn hình học cao cấp sang tốn với ngơn ngữ hình học sơ cấp để đưa vào giảng dạy cho học sinh THPT Ngược lại, tốn hình học sơ cấp khái qt hóa trở thành tốn khơng gian n chiều Từ việc nhìn nhận tốn hình học sơ cấp góc nhìn hình học cao cấp giúp có khả định hướng, biết cách huy động kiến thức cách khoa học để giải vấn đề sáng tạo toán Mục đích nghiên cứu Mục tiêu nghiên cứu đề tài xây dựng lý thuyết đưa ví dụ số dạng tốn hình học Euclid chương trình phổ thơng Đối tượng phạm vi nghiên cứu a Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài số dạng tốn hình học Euclid chương trình phổ thông b Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu đề tài thuộc lĩnh vực Hình học Euclid Cấu trúc luận văn Cấu trúc luận văn gồm phần sau đây: • Mở đầu: • Phần nội dung: Nội dung luận văn gồm có chương cụ thể sau: Chương I: Nhắc lại hình học Euclid Chương trình bày khơng gian Euclid Mục tiêu tọa độ trực chuẩn Các phẳng khơng gian Euclid Siêu mặt bậc hai Thể tích không gian Euclid Các kiến thức chương bổ trợ cho phần nghiên cứu Chương Chương II: Một số dạng tốn hình học Euclid tốn học phổ thơng Tìm hiểu số dạng tốn góc khoảng cách khơng gian R3 Dạng tốn thể tích tỉ số thể tích khơng gian R3 Các dạng tốn liên quan tới đường trịn mặt cầu Các dạng tốn liên quan tới mặt phẳng khơng gian Euclid • Kết luận • Tài liệu tham khảo Chương HÌNH HỌC EUCLID Trong chương giới thiệu sở lý thuyết không gian Euclid Như biết không gian Euclid không gian Affine liên kết với khơng gian vectơ mà có trang bị tích vơ hướng từ ta để cập tới khái niệm góc khoảng cách Do đó, trình bày chương này, hệ thống khái niệm kết không gian vectơ không gian affine rõ ràng Với mục tiêu làm sở lý thuyết cho việc trình bày ứng dụng chương tổng quát hóa cách có hệ thống khái niệm hình học bậc phổ thông, nội dung chương trình bày chi tiết, có nhiều ví dụ minh họa nhận xét, bình luận tương ứng Các tài liệu tham khảo để xây dụng nội dung chương bao gồm [1], [2], [3], [8] [9] 1.1 1.1.1 Khơng gian Euclid Tích vơ hướng hai vectơ Cho V không gian vectơ trường số thực Ánh xạ f :V×V→R → − → − → − → − − − − − (→ a , b ) 7→ f (→ a, b)=→ a b =→ a.b gọi tích vơ hướng V thỏa mãn tiên đề sau: → − → − − → → − − 1) → a b = b → a , ∀− a , b ∈ V (Tính chất giao hốn) → − − → − → → − − − − −c , ∀→ − 2)→ a( b +→ c ) =→ a.b  +− a → a , b ,→ c ∈V → − → − → − − − − 3) (λ→ a) b =λ → a b , ∀→ a , b ∈ V, ∀λ ∈ R → − → − − − 4) → a b ≥ 0, dấu "=" xảy → a = Nhận xét 1.1.1 Chúng ta thấy rằng, khái niệm tích vơ hướng tổng qt hóa khái niệm tích vơ hướng biết chương trình tốn phổ thơng nghiên cứu khái niệm vectơ hình học, tức đoạn thẳng có quy định đầu mút điểm đầu đầu mút lại điểm cuối 1.1.2 Khái niệm không gian Euclid → − Định nghĩa 1.1.1 Không gian vectơ Euclid (thường ký hiệu E ) khơng gian vectơ mà xác định tích vơ hướng hai vectơ Khơng gian vectơ Euclid n chiều ký hiệu VnE − → hay En Định nghĩa 1.1.2 Một không gian affine liên kết với không gian vectơ Eulcid gọi không gian Euclid Không gian Euclid gọi n chiều không gian vectơ Euclid liên kết với có số chiều n kí hiệu En Như khơng gian Euclid không gian affine với khơng gian vectơ trang bị thêm tích vơ hướng Nhận xét 1.1.2 Từ định nghĩa ta thấy không gian Euclid không gian affine nên không gian Euclid có khái niệm tính chất khơng gian affine, ngồi cịn có khái niệm tính chất khác khơng có khơng gian affine, khái niệm tính chất liên quan liên quan mật thiết đến khái niệm tính chất tích vơ hướng trang bị không gian vectơ Euclid liên kết với không gian affine Nói cách khác là, khơng gian Euclid giàu tính chất (nội hàm) không gian affine, phạm vi (ngoại diên) hẹp khơng gian affine 1.1.3 Các ví dụ Ví dụ 1.1.1 Khơng gian Euclid E2 khơng gian hai chiều hình − → học giải tích phẳng học chương trình THPT, không gian E2 không gian vectơ hình học, với tích vơ hướng định nghĩa (theo hình học) sau → − → − → − → − − − a b = |→ a |.| b |.cos(→ a, b) (1.1) Ví dụ 1.1.2 Khơng gian Euclid E3 khơng gian ba chiều hình − → học giải tích phẳng học chương trình THPT, khơng gian E3 khơng gian vectơ hình học, với tích vơ hướng định nghĩa (1.1) 1.2 Mục tiêu trực chuẩn tọa độ trực chuẩn Bằng việc đưa khái niệm mục tiêu trực chuẩn vào khơng gian Euclid, khái niệm hình học điểm, đường thẳng, mặt phăng, biểu diễn biểu thức đại số Và phương pháp giúp nghiên cứu tính chất hình học thuận lợi 1.2.1 Mục tiêu trực chuẩn − − − Định nghĩa 1.2.1 Mục tiêu affine {O; → e1 ; → e2 ; ; → en } En gọi mục tiêu trực chuẩn (trong chương trình tốn THPT gọi hệ tọa độ − → − − − Descartes vng góc) {→ e1 ; → e2 ; ; → en } sở trực chuẩn En , tức là:  0 i ̸= j → − → − ei ej = với i, j = 1, 2, 3, n 1 i = j − − − − Để đơn giản, ta viết {O; → ei } thay cho {O; → e1 ; → e2 ; ; → en } Ví dụ 1.2.1 Khơng gian Euclid Rn với tích vơ hướng tắc cấu trúc − − affine tắc với điểm O(0, 0, , 0) → e = (1, 0, , 0), → e = (0, 1, , 0), , → − − en = (0, 0, , 1) Thì mục tiêu {O, → ei } không gian Euclid Rn mục tiêu trực chuẩn 1.2.2 Tọa độ trực chuẩn − Định nghĩa 1.2.2 Trong không gian En với mục tiêu trực chuẩn {O; → ei } M điểm thuộc En Khi tồn n số thực (x1 , x2 , , xn ) cho n −−→ X → OM = xi − ei i=1 Ta gọi n số (x1 , x2 , , xn ) tọa độ trực chuẩn (hay tọa độ Descartes) − điểm M mục tiêu trực chuẩn {O; → e } Ký hiệu M (x , x , , x ) i n hay M = (x1 , x2 , , xn ) − Chú ý 1.2.1 Với mục tiêu trục chuẩn {O; → ei }, A(a1 , a2 , , an ) −→ B(b1 , b2 , , bn ) vectơ AB có tọa độ (b1 − a1 , b2 − a2 , , bn − an ) Ký −→ hiệu AB = (b1 − a1 , b2 − a2 , , bn − an ) 1.2.3 Đổi mục tiêu trực chuẩn n → → −′ o −′ − → → − → − → − ′ ′ Cho hai mục tiêu trực chuẩn {O; e1 ; e2 ; ; en } O ; e1 ; e2 ; ; en − − − n không gian n Euclid n chiều E Gọi C ma trận chuyển từ sở {→ e1 ; → e2 ; ; → en } o → −′ −′ → −′ → sang sở e1 ; e2 ; ; en Các sở sở trực chuẩn nên C ma trận giao cấp n − − − Gọi [a0 ] ma trận cột tọa độ gốc O′ mục tiêu {O; → e1 ; → e2 ; ; → en }; [x] [x′ ] hai ma trận cột tọa o điểm mục tiêu n độ→ → − → − − → − → − → − {O; e1 ; e2 ; ; en } mục tiêu O′ ; e′1 ; e′2 ; ; e′n Công thức đổi mục tiêu trực chuẩn là: [x] = C ∗ [x] + [a0 ] Trong C ∗ ma trận chuyển vị C Sau ta biểu diễn tích vơ hướng hai vectơ dạng biếu thức đại số dựa vào tọa độ vectơ nghiên cứu số tính chất liên quan 1.2.4 Biểu thức tọa độ tích vơ hướng khơng gian VnE − Định lý 1.2.2 Cho không gian Euclid En , với mục tiêu trực chuẩn {O; → ei } → − − →n → − Khi với a = (a , a , , a ) , b = (b , b , , b ) ∈ E , ta có: n n X → − → − a.b = b i i=1 10 n , b2 b3 b3 b1 b1 b2 → − − Hệ 1.2.4 Nếu φ góc hai vectơ → a = (a1 , a2 , a3 ) b = (b1 , b2 , b3 ) v