Website: tailieumontoan.com PHÒNG GD&ĐT HUYỆN CẨM XUYÊN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC: 2020 – 2021 ĐỀ THI SỐ ĐỀ THI MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 90 phút I PHẦN ĐIỀN KẾT QUẢ (Thí sinh cần ghi kết vào tờ giấy thi) 2 Câu 1: Tìm giá trị a, b thỏa mãn đẳng thức 5a b 2ab 4a 0 Câu 2: Tìm a để chia đa thức f ( x ) 2 x x a cho đa thức g ( x) x có dư Câu 3: Tìm số tự nhiên n để n n n số nguyên tố Câu 4: Cho hình thang ABCD ( AB / / CD) có AC BD Biết AC 6cm , BD 8cm Tính chiều cao hình thang Câu 5: Tìm cặp số nguyên A Câu 6: Rút gọn biểu thức x; y 2 thỏa mãn phương trình x y y 2 x xy y 2 x xy y Câu 7: Cho tứ giác lồi ABCD Hãy vẽ đường thẳng qua A chia tứ giác thành hai phần có diện tích Câu 8: Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ AB 5cm , đáy lớn CD 8cm Đường trung bình hình thang cắt AC , BD I , K Tính độ dài đoạn IK Câu 9: Cho số thực a, b thỏa mãn a b4 1 4 a b4 Tính giá trị biểu thức P a b Câu 10: Tìm số nguyên n để n 2018 n 2021 số phương II PHẦN TỰ LUẬN (Thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi) 1 1 Câu 11: Giải phương trình: x x 20 x 11x 30 x 13 x 42 18 1 0 x y z Câu 12: Cho x,y,z thỏa mãn P Tính giá trị biểu thức 1 x yz y zx z xy Câu 13: Cho hình thang ABCD ( AB / / CD) Gọi E trung điểm AB; AC cắt ED M ; BD cắt EC N Đường thẳng MN cắt AD, EC P Q Chứng minh AP CQ 1 AD BC Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN Website: tailieumontoan.com Câu 14: Cho lục giác lồi ABCDEF cạnh đường chéo lục giác tô hai màu Xanh (X) Đỏ (Đ) Chứng minh tồn ba đỉnh lục giác ba đỉnh tam giác có cạnh màu = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN Website: tailieumontoan.com ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC: 2020 – 2021 ĐỀ THI MƠN: TỐN HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 2 Câu 1: Tìm giá trị a, b thỏa mãn đẳng thức 5a b 2ab 4a 0 Lời giải 2 Ta có: 5a b 2ab 4a 0 4a 4a 1 a 2ab b 0 2 2a 1 a b 0 2a 0 a b 0 a a b a b Câu 2: Tìm a để chia đa thức f ( x ) 2 x x a cho đa thức g ( x) x có dư Lời giải f ( x ) 2 x x a cho đa thức g ( x) x có dư f ( 2) 2 ( 2) a a 7 Vậy a 7 đa thức f ( x ) 2 x x a chia cho đa thức g ( x) x có dư Câu 3: Tìm số tự nhiên n để n n n số nguyên tố Lời giải Ta có n3 n n n n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n n n Để số nguyên tố n 1 Với n 1 n 2 , suy n 5 số nguyên tố (thỏa mãn) Với n 1 n 0 , suy n (khơng thỏa mãn) Vậy Với n 2 n n n số nguyên tố Câu 4: Cho hình thang ABCD ( AB / / CD) có AC BD Biết AC 6cm , BD 8cm Tính chiều cao hình thang Lời giải Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN Website: tailieumontoan.com A B H O D C H AB Kẻ DH AB Ta có AB //CD (ABCD hình thang) Gọi O giao điểm AC BD OA OB OC OD (định lí Talet) OA OC OA OC OB OD OB OD (Tính chất tỉ lệ thức tinh chất dãy tỉ số nhau) OA OC AC OB OD BD Xét BHD DOC có: BHD DOC 90o HBD ODC (hai góc so le trong, AB //CD ) Do BHD ∽ DOC (TH3) BH DH OC DH DH DH BH OD OC OD BH BH 2 Xét DBH vuông H có BD DH BH (định lí Py-Ta-Go) Suy DH 82 DH 25 DH 64 DH 23, 04 4,8 Câu 5: Tìm cặp số nguyên x; y 2 thỏa mãn phương trình x y y 2 Lời giải Ta có x y y 2 x2 y y x y 1 y Vì x, y Z nên x số phương Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN Website: tailieumontoan.com Mà y 1 y tích hai số nguyên liên tiếp y 0 x y 1 y 0 Do để y 0 y 1 y 2 Với y 1 x 0 Với y 2 x 0 Với y 1 x 0 x; y Vậy cặp số nguyên A Câu 6: Rút gọn biểu thức 2 thỏa mãn phương trình x y y 2 0;1 ; 0; x xy y 2 x xy y Lời giải x xy y x xy xy y 2 x x y y x y A x xy y 2 x xy xy y 2 x x y y x y x y 2x 3y x y 2x y x y x y Câu 7: Cho tứ giác lồi ABCD Hãy vẽ đường thẳng qua A chia tứ giác thành hai phần có diện tích Lời giải B A H D E F C K Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng DC E Gọi F lả trung điểm DE Kẻ BH AC , EK AC Xét tứ giác BEKH có Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN Website: tailieumontoan.com BE //HK (BE//AC) BH //EK (cùng vng góc với AC) Do tứ giác BEKH hình bình hành BH EK 1 S ABC AC.BH ; S ACE AC.EK 2 Suy S ABC S ACE Ta có: S ABCF S ABC S ACF S ACE S ACF S AEF Xét AED có AF đường trung tuyến S ADF S AEF S ABCF S ADF S ABCD Suy Vậy AF đường thẳng cần vẽ Câu 8: Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ AB 5cm , đáy lớn CD 8cm Đường trung bình hình thang cắt AC , BD I , K Tính độ dài đoạn IK Lời giải A M D B 6cm N K I 8cm C Xét hình thang ABCD có MN đường trung bình AB CD MN //AB; MN 7(cm) 2 Xét ABD có MA MD, MK //AB K trung điểm BD MK đường trung bình ABD 1 MK AB 3(cm) 2 1 IN AB 3(cm) 2 Chứng minh tương tự, ta tìm Ta có MN MK KI IN KI MN MK IN 7 1 cm Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TOÁN Website: tailieumontoan.com Câu 9: Cho số thực a, b thỏa mãn a b4 1 4 a b4 Tính giá trị biểu thức P a b Lời giải Ta có: 1 4 a b4 1 a b 0 a b a b4 2 1 1 a b 0 a b a2 1 a 0 a a b 0 b 0 b b2 a 1 a b 1 b + Với a 1, b 1 P 1 2 + Với a 1, b 1 P 0 + Với a 1, b P 1 1 0 a 1, b P 1 + Với P 2;0; 2 Vậy Câu 10: Tìm số nguyên n để n 2018 n 2021 số phương Lời giải Vì n 2018 n 2021 số phương nên ta đặt n 1021 a a, b N ; a b n 2018 b a b n 2021 n 2018 3 Suy a b a b 3 a b, a b U (3) 1; 3 Mà a, b N ; a b a b a b a b 3 a 2 a b b 1 Suy n 2021 4 n 2017 n 2018 Do Vậy n 2017 n 2018 n 2021 số phương II PHẦN TỰ LUẬN (Thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN Website: tailieumontoan.com 1 1 Câu 11: Giải phương trình: x x 20 x 11x 30 x 13 x 42 18 Lời giải x 4; 5; 6; 7 ĐKXĐ 1 1 x x 20 x 11x 30 x 13 x 42 18 1 1 x x x 5 x x x 18 1 1 1 x x x x x x 18 1 x x 18 x x 18 x 11x 28 54 x 11x 26 0 x x 13 0 x 0 x 13 0 x 2 x 13 (TMĐK) Vậy phương trình cho có tập nghiệm S 2; 13 1 0 Câu 12: Cho x,y,z thỏa mãn x y z P Tính giá trị biểu thức 1 x yz y zx z xy Lời giải 1 yz xy xz 0 0 xyz Ta có: x y z Suy yz xy xz 0 yz xy xz xy yz xz xz yz xy Ta có: 1 1 x yz x yz yz x xy xz yz x( x y ) z ( x y ) x y x z 1 1 y zx y zx zx y yz xy zx y ( y z ) x ( y z ) y z y x Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN Website: tailieumontoan.com 1 1 z xy z xy xy z yz zx xy z ( z y ) x ( z y ) z y z x Do P 1 1 1 x yz y zx z xy x y x z y x y z z x z y y z x z ( x y) 0 x y x z y z Câu 13: Cho hình thang ABCD ( AB / / CD) Gọi E trung điểm AB; AC cắt ED M ; BD cắt EC N Đường thẳng MN cắt AD, EC P Q Chứng minh AP CQ 1 AD BC Lời giải E A P B Q M N C D AB //CD gt Ta có: AE //DC ; BE //DC AM EM AE MC MD DC (định lí Talet) BN EN EB ND NC DC (định lí Talet) Mà AE EB ( E trung điểm AB ) AE EB EM NE MN //DC DC DC MD NC (định lí Talet đảo) AE EB AM BN AM BN AM BN MC ND AM MC BN ND AC BD Ta có DC DC AM AP MN //DC PM //DC AC AD Do Do MN //DC NQ //DC CQ ND BC BD Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TOÁN Website: tailieumontoan.com AP CQ AM ND BN ND BD 1 Suy AD BC AC BD BD BD BD Câu 14: Cho lục giác lồi ABCDEF cạnh đường chéo lục giác tô hai màu Xanh (X) Đỏ (Đ) Chứng minh tồn ba đỉnh lục giác ba đỉnh tam giác có cạnh màu Lời giải A B F C E D Xét đoạn thẳng AB, AC , AD, AE , AF Theo ngun lí Dirichlet đoạn thẳng tơ màu có đoạn màu Giả sử AC , AD, AE xanh Khi xét ba đoạn EC , CD, DE ba đoạn có đoạn tơ màu xanh ta có tam giác thỏa mãn đề Nếu đoạn EC , CD, DE đỏ, suy ECD thỏa mãn đề Vậy tồn ba đỉnh lục giác ba đỉnh tam giác có cạnh màu = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN