Đề thi học sinh giỏi toán các quận hà nội

Tailieumontoan.com  Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 ĐỀ HỌC SINH GIỎI TOÁN CÁC QUẬN HUYỆN HÀ NỘI (Liệu hệ tài liệu word mơn tốn SĐT (zalo) : 039.373.2038) Tài liệu sưu tầm, ngày 15 tháng năm 2023 Website: tailieumontoan.com PHÒNG GD & ĐT QUẬN CẦU GIẤY ĐỀ KIỂM TRA CLB VĂN HÓA LỚP TRƯỜNG THCS CẦU GIẤY VÀ CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP VÒNG I Mơn kiểm tra: Tốn ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 07/09/2023 Thời gian làm bài: 120 phút (Khơng tính thời gian phát đề) Bài (5,0 điểm) Cho P  y2  x y  x y  x  với x  0, y  0, x  y     2  x  x  xy xy xy  y  x  xy  y a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị biểu thức P biết x , y thỏa mãn đẳng thức: x  y  10  x  3y  Tìm tất số nguyên tố p, q, r thỏa mãn (p  1)(q  1)  r  Bài (4,0 điểm)   x   x   x    Giải phương trình x  x    x   Tìm cặp số nguyên dương (x ; y ) thỏa mãn xy  2xy  x  9y Bài (4,0 điểm) Cho x y số nguyên dương thỏa mãn x  y x  y chia hết cho x  y Chứng minh 2x  2y số phương Cho số dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 1   a b c Bài (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A (AB  AC ) Vẽ đường cao AH (H  BC ) Trên tia đối tia BC lấy điểm K cho KH  HA Qua K kẻ đường thẳng song song với AH , cắt đường thẳng AC P Chứng minh tam giác AKC đồng dạng với tam giác BPC   BCP  Gọi Q trung điểm BP Chứng minh BQH Tia AQ cắt BC I Chứng minh AH BC   HB IB Bài (1,0 điểm) Xét tập T  1,2, 3, ,13 Lập tất tập hai phần tử T cho hiệu hai phần tử Cho M tập S  1,2, 3, , 869 có tính chất hiệu hai số M khơng Hỏi M có nhiều phần tử ? Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com BÀI Ý HƯỚNG DẪN CHẤM Cho P  ĐIỂM  x y2  x y  x y  với     2  x  x  xy xy xy  y  x  xy  y x  0, y  0, x  y 1,5 a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị biểu thức P biết x , y thỏa mãn đẳng thức: 1.0 x  y  10  x  3y  a) P  y2  x y  x y  x      2 x  x  xy xy xy  y  x  xy  y   2 2 x y x y  y  x x  y   xy P  x x  xy  y xy x  y  P 1,0 x 2y  xy  y  x  x 2y  xy x y  x x  xy  y xy x  y    2 y  x  x  xy  y x y P  x x  xy  y xy x  y  y x  x xy x  0, y  0, x  y P P 2y  y  x xy Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 P x y với xy 0,5 Website: tailieumontoan.com BÀI Ý HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM b)Tính giá trị biểu thức P biết x , y thỏa mãn đẳng thức: x  y  10  x  3y  Ta có x  y  10  x  3y   x  2x   y  6y    x  1  y  3  Vì x  1  2 x ; y  3  y 0,5   x    x  (TMĐK)       y   y  3   Tại x  1, y  3 P  Vậy P   3 3  x  y  10  x  3y  0,5 2,5 Tìm tất số nguyên tố p, q, r thỏa mãn (p  1)(q  1)  r  Do vai trò p q nên ta giả sử p  q Nếu p q lẻ vế trái chia hết cho Suy r chia cho dư 1,0 3: vô lý Do có số chẵn p q Suy p  2 Khi có 5(q  1)  r   5q   r 0,5 q   r  24 : loại 0,5 q   r  49  r  : thỏa mãn q   r  5q  chia hết cho  r    5q   49 : vô lý 0,5  p  2; q  3; r  Vậy   p  3; q  2; r  ĐKXĐ: x  1   x   x   x  2 x  x    x   Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 2,0 Website: tailieumontoan.com BÀI Ý HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM C1 3x  x x  x   x  2 x 1 x 1 3x  x x  2 x  1 0,5 2 3  3x  9x  x  3x  2x  4x   x  3x  5x  5x    1,0   x  1 x  x   x      x  x   x  1(tm )  VN  0,5 Vậy S  1   x   ;B C2 Đặt A = x   x     x   Ta có A+B = ; A.B = tìm = x   x   A = 1; B= ngược lại tìm x = Tìm cặp số nguyên dương (x ; y ) thỏa mãn : xy  2xy  x  9y 2,0 xy  2xy  x  32y  x (y  1)2  9y Do y nguyên dương  y    x  0,5 9y (y  1)2 Vì (y, y  1)   (y  1)2  U (9) 0,5 Do (y  1)2  số phương nên (y  1)2  0,5 (y  1)2   y  2; x  x  Vậy nghiệm nguyên dương phương trình là:  y   0,5 Cho x y số nguyên dương thỏa mãn x  y x  y chia hết cho x  y Chứng minh 2x  2y số phương 2,0 Đặt a  (x ; y )  chứng minh a  x  y  x  y   (x  y )(x  xy  y  1) x  y  x  y  x  y  Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 0,5 Website: tailieumontoan.com BÀI Ý HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM x  y(mod d ) 2x d    Đặt d  (x  y, x  y )   x  y d 2y d   2 Do (x ; y )   d  1;2 0,5 +) Nếu x  y  x  y  x  x chia hết cho x  y  2x Từ tìm x  y  Nếu d   (x  y, x  y )   x  xy  y  1 x  y  xy  1 x  y 0,5 Từ xy    x  y   (x  y, x  y )  (0;2)  loại Nếu x  y x  y2 x  y2 x2  2 , )   x  xy  y  1 d 2(  xy  1 2 2 0,5 Từ xy    x  y  : thỏa mãn Vậy x  y   2x  2y  số phương Cho số dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2,0 1 P   a b c 2 a a2 a2      2 2a a 1 a 1  0,5 a2  1  a Tương tự suy P  0,5 a  b2  c2  3 0,5 Suy Pmin  0,5 Dấu “=” xảy a  b  c  Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com BÀI Ý HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM I K B H Q P C A a) PK / / AH ⇒ ∆CKP  ∆CAB ⇒ CK CA = CP CB 2,0 Suy ∆AKC  ∆BPC ( c.g c ) (1) 1,0 =  =P  =450 ⇒ ∆BAP ∆AKH vuông cân H ⇒ K 450 Từ (1) ⇒ K 1 AB vuông cân A ⇒ BP = 0,5 BH AB = Chứng minh ∆BHA  ∆BAC ⇒ AB BC BH AB BH AB BH AB = ⇒ = ⇒ = AB BC AB BC AB BC BH BP BH BQ ⇒ = ⇒ = ( BP = BQ ) BP BC BP BC 1,0 BH BQ  = ; PBC chung ⇒ ∆BHQ  ∆BPC ( c.g c ) BP BC   BCP  Suy BQH 0,5 ∆BAP vuông cân A, AQ trung tuyến nên phân giác IC AC = (2) ⇒ AI phân giác ∆ABC ⇒ IB AB AC AH ∆ABC  ∆HBA ⇒ = (3) AB HB 0,5 ⇒ ∆BHQ ∆BPC có: Từ (2) (3) ta có: IC AH IB + BC AH BC AH = ⇒ = ⇒ 1+ = IB HB IB HB IB HB AH BC ⇒ − = 1( dfcm ) HB IB 0,5 Xét tập T  1,2, 3, 13 Lập tất tập hai phần tử T cho hiệu hai phần tử Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 1,0 Website: tailieumontoan.com BÀI Ý HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM Cho M tập S  1,2, 3, , 869 có tính chất hiệu hai số M khơng Hỏi M có nhiều phần tử ? Xét T = {1, 2, 3, …, 13} có 13 tập {1,6} {2,7} {3,8} {4,9} {5,10} {6,11} {7,12} {8,13} {1,9} {2,10} {3,11} {4,12} {5,13} mà hiệu phần tử 0,25 tập Đồng thời phần tử T nằm tập Nếu N tập T có phần tử phần tử N nằm tập 13 tập kể Do phần tử nằm 14 tập Vậy phải có phần tử phần 0,25 tử phải nằm tập 13 tập kể trên, hiệu phần tử Do đó, T’ tập T có tính chất M T’ có nhiều phần tử, dễ thấy T’ = {1,2,4,5,8,11} có tính chất phần 0,25 tử có hiệu khơng có phần tử Chú ý 869 chia 13 thương 66 dư 11 nên M có nhiều 0,25 6*66 + = 402 phần tử Liên hệ tài liệu word tốn SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com PHỊNG GD & ĐT QUẬN CẦU GIẤY ĐỀ KIỂM TRA CLB VĂN HÓA LỚP VÀ CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP VỊNG II TRƯỜNG THCS CẦU GIẤY Mơn kiểm tra: Tốn ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 21/09/2023 Thời gian làm bài: 120 phút (Khơng tính thời gian phát đề) Bài (5,0 điểm)  Cho biểu thức A =  + −  x +3 với x > 0, x ≠ :  2x − x −  5x − 10 x x −7  x −2 x +1  a Rút gọn biểu thức A b Tìm x cho A nhận giá trị số nguyên Cho số thực a, b, c thỏa mãn 2a − 3ab + 2b = c + 3ca − a = 1, b − 3bc + 4c = Tính giá trị biểu thức B = a + b + c Bài (4,0 điểm) Giải phương trình 4x − = 5x + x + ( ) Tìm tất cặp số nguyên dương a; b thỏa mãn 7a − chia hết cho 7ab − a + b + số phương Bài (4,0 điểm) Cho số hữu tỉ x , y thỏa mãn x − 2x = y − 2y Chứng minh x = y Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức: P = 3a + ab + abc Bài (6,0 điểm) Cho hình vuông ABCD, gọi O giao điểm hai đường chéo E điểm thuộc đoạn OB, tia đối tia EC lấy điểm F cho OF = OC Đường thẳng qua F vng góc với FO cắt đường thẳng BD S Kẻ FH vng góc với BD (H ∈ BD ) Chứng minh ∆SFB ∽ ∆SDF SB ⋅ SD = SH ⋅ SO 1 + = 2 BE DE EF Kẻ ET vng góc với FD T Chứng minh FO, AH ST đồng quy  Chứng minh FE phân giác BFD Từ suy Bài (1,0 điểm) { } Xét tập T = 1, 2, 3,  ,10 Chỉ tập U có phần tử T thỏa mãn với x , y ∈ U , x ≠ y x + y khơng chia hết cho x − y { } Cho M tập chứa n phần tử S = 1, 2, 3,  , 2023 Tìm n lớn để x , y ∈ M , x ≠ y x + y không chia hết cho x − y Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com BÀI Ý HƯỚNG DẪN CHẤM Cho  thức A =  biểu  x −2  + x +1 − ĐIỂM  x +3 : 2x − x −  5x − 10 x x −7 với x > 0, x ≠ 1,5 a Rút gọn biểu thức A 1,5 b Tìm x cho A nhận giá trị số nguyên  x −7  x +3 + − A=  :  x − 2 x + 2x − x −  5x − 10 x   2 x + + x − − x − 5x − 10 x = x +3 x −2 x +1 ) ) ( ) ( )( x ( x − 2) x +3 x = ( x − 2)(2 x + 1) x + x + ) ( ( 1,5 Vì x > ⇒ x > 0;2 x + > ⇒ A > ( ) 0,5 x −3 x +1 − x −3 A−3 = < ∀x > ⇒ A < Mặt khác, xét = x +1 x +1 0,5 Vậy < A < Do A nguyên ⇔ A = A = A=1⇔ x x +1 = ⇔ x = x +1 ⇔ x = ⇔ x = 1 ⇔x = (thỏa mãn) A= 2⇔ x x +1 0,5 = 2⇔5 x = 2(2 x + 1) ⇔ x = 2⇔ x = 2⇔x = (loại) Vậy A ∈  ⇔ x = Cho số thực a, b, c thỏa mãn 2a − 3ab + 2b = 1; b − 3bc + 4c = 2,0 c + 3ca − a = Tính giá trị biểu thức B = a + b + c Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com t2 − = ⇒ 2t − t + = 2 t = −1 ⇒ t − 2t − = ⇒  t = t− Với t=3 32 − ⇒ ( x − 1)(6 − x) = ⇒ ( x − 1)(6 − x) = ⇒ ( x − 1)(6 − x) = Câu ⇒x= x = (5 điểm) Cho ba số thực khác không a, b, c thỏa mãn điều kiện: 1 1 a + b + c ≠ + + = Tính giá trị biểu thức: a b c a+b+c 1 A = (a 2021 + b 2021 + c 2021 )( 2021 + 2021 + 2021 ) a b c Tìm tất số nguyên ( x; y; z ) thỏa mãn ( x + y )( x − y ) = z + 10 Lời giải Ta có 1 1 1 1 += + ⇔ + + − = a b c a+b+c a b c a+b+c a+b a+b ⇔ + = ab c(a + b + c) c(a + b + c) + ab ⇔ ( a + b) = abc(a + b + c) ⇔ (a + b)(b + c)(c+ a) = a + b =0 a =−b   ⇔ b + c =0 ⇔ b =−c c+ a =0 c =−a   1   Khi ta có A = (a 2021 + b 2021 + c 2021 )  2021 + 2021 + 2021  b c  a 1 = A (a 2021 + (−a ) 2021 + (−a ) 2021 )( 2021 + + ) 2021 a (−a) (−a ) 2021 = (−a ) 2021 (−a ) 2021 =1 -Nếu z < ⇒ z + 10 không số nguyên, ( x + y )( x − y ) ∈ z ⇒ (*) xảy - Nếu z= ⇒ ( x + y )( x − y ) = 11 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 133 Website: tailieumontoan.com =  x + y 11 = x ⇒ Trường hợp  = x − y = y = x + y = x ⇒ Trường hợp  11 x − y =  y =−5 −11 −12 x + y = x = ⇒ Trường hợp   x − y =−1  y =−1 −1 −12 x + y = x = ⇒ Trường hợp  11  x − y =−11 y = Nếu z ≥ ⇒ z + 10 số chẵn chia dư ⇒ ( x + y )( x − y ) số chẵn - Mà ( x + y )( x − y ) = x số chẵn ⇒ ( x + y ) ( x − y ) số chẵn ⇒ ( x + y )( x − y ) chia hết cho 4, mà z + 10 không chia hết cho Nên z ≥ xảy Vậy số nguyên ( x, y, z ) ( 6,5, ) ; ( 6, −5, ) ; ( −12, −1, ) ; ( −12,11, ) Câu (2 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc = Tìm giá trị lớn biểu thức: a b c + 2 + 2 2a + b + 2b + c + 2c + a + Lời giải a b c A= 2 + 2 + 2a + b + 2b + c + 2c + a + Ta có: 2a + b + = a + b + a + + ≥ 2ab + 2a + 2abc a a ⇒ ≤ = 2a + b + 2ab + 2a + 2abc 2(b + + bc) Tương tự b ≤ 2 2b + c + 2(c+ + ac) c ≤ 2 2c + a + 2(a + + ab) b bc 1 1 1  1  + + = + + A≤     1 + b + bc + c + ac + a + ab  1 + b + bc b + bc + abc bc + abc + ab.bc  A= b bc  1 + + =  1 + b + bc b + bc + bc + + b  Dấu “ =” xảy a= b= c= 1 Vậy giá trị lớn biểu thức A a= b= c= (7 điểm) ⇒ A≤ Câu Cho đoạn thẳng AB = 8cm điểm M nằm đoạn thẳng AB , nửa mặt phẳng bờ AB , dựng hai hình vng AMCD BMEF Gọi giao điểm đường thẳng AE BC điểm N , giao điểm đường thẳng AC BE P a) Chứng minh bốn điểm A, N , P, B thuộc đường tròn Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 134 Website: tailieumontoan.com b) Chứng minh DN FN = MN điểm N , P, F thẳng hàng c) Tìm vị trí điểm M đoạn thẳng AB để độ dài đoạn thẳng MN đạt giá trị lớn Lời giải a) Chứng minh bốn điểm A, N , P, B thuộc đường tròn  = 45o hay PAB  = 45o Hình vng AMCD có đường chéo AC , suy CAM  = 45o hay PBA  = 45o Hình vng BMEF có đường chéo BE , suy EBM Suy tam giác PAB vuông cân P , suy AP ⊥ BE Xét tam giác EAB có AP, EM đường cao cắt C , suy C trực tâm tam giác EAB , suy BC ⊥ AE hay BN ⊥ AE ANB =  APB = 90o nên tứ giác nội tiếp Tứ giác ANPB có  Suy minh bốn điểm A, N , P, B thuộc đường tròn b) Chứng minh DN FN = MN điểm N , P, F thẳng hàng   Xét tứ giác ADNC , có  ADC =  ANC = 90o nên nội tiếp, suy DNA = DCA = 45o (1)   Tương tự ENF = EBF = 45o (2)   Từ (1) (2), suy DNA = ENF = 45o Vì E , N , A thẳng hàng nên D, N , F   Suy MNF = MEF = 90o hay MN ⊥ DF  = DMC  + EMF  = 90o , từ theo hệ thức lượng tam Xét tam giác DMF có DMF giác vng ta có DN FN = MN  + EPC =   = NPC  hay  Ta có tứ giác ENCP nội tiếp ENC 180o , suy CEN APD = NEM  = NEM  , suy   hay Mặt khác tứ giác MNEF nội tiếp, suy MFN APD = MFN   mà AP //MF , suy D, P, F thẳng hàng, lại có D, P, N APD = DFM Do bốn điểm D, N , P, F thẳng hàng (đpcm) Cách   Xét tứ giác ADNC , có  ADC =  ANC = 90o nên nội tiếp, suy DNA = DCA = 45o (1)   Tương tự ENF (2) = EBF = 45o   Từ (1) (2), suy DNA = ENF = 45o Vì E , N , A thẳng hàng nên D, N , F Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 135 Website: tailieumontoan.com   Suy MNF = MEF = 90o hay MN ⊥ DF  = DMC  + EMF  = 90o , từ theo hệ thức lượng tam giác Xét tam giác DMF có DMF vng ta có DN FN = MN  + EPC =  = NPC  hay   Ta có tứ giác ENCP nội tiếp ENC 180o , suy CEN APD = NEM  = NEM  , suy   hay Mặt khác tứ giác MNEF nội tiếp, suy MFN APD = MFN   mà AP //MF , suy D, P, F thẳng hàng, lại có D, P, N APD = DFM Do bốn điểm D, N , P, F thẳng hàng (đpcm) c) Tìm vị trí điểm M đoạn thẳng AB để độ dài đoạn thẳng MN đạt giá trị lớn 1 1  4 1 1 1 ≥  + = = = + = + Ta có  ≥ 2 2 2  MA MB  ( MA + MB ) AB 16 MN MD MF MA MB Suy MN ≤ 16 ⇔ MN ≤ Đẳng thức xảy M trung điểm AB Câu (1 điểm) Một hình hộp chữ nhật có kích thước số nguyên dương tính theo đơn vị cm, tích a (cm3 ) Biết đặt hình hộp chữ nhật lên mặt bàn tổng diện tích mặt nhìn thấy a (cm ) (minh họa hình vẽ bên) Tìm giá trị nhỏ a Lời giải Gọi kích thước hình hộp chữ nhật x, y, z Từ giả thiết, ta có = a xyz = z ( x + y ) + xy ⇔ xy ( z − 1= ) z ( x + y ) ⇒ z ≥ Ta có xy ( z − 1= ) z ( x + y ) ≥ z xy ⇒ xy ≥ 4z 16 z ⇔ xyz ≥ z −1 ( z − 1) ( z − 3) ( z − 3) 16 z Xét hiệu xyz ≥ = − 108 ≥ 0, z ≥ 2 ( z − 1) ( z − 1) Suy xyz ≥ 16 z ( z − 1) ≥ 108 Dấu “=” xảy x= 3; y= z= Vậy a = 108 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 136 Website: tailieumontoan.com UBND QUẬN TÂY HỒ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP TRƯỜNG THCS CHU VĂN AN NĂM HỌC: 2020 – 2021 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: Tốn (Đề thi gồm 01 trang) Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Bài (4,0 điểm) Tính giá trị biểu thức sau: A = 3+ 5+ 3− 5+ B= Bài + + 18 + 27 + 3+ 6+ (4,5 điểm) Tìm x thỏa mãn điều kiện : x − x + = − x 1)   2) 2x2 + 6x − + x2 + x − = x+4 + x+3 3) 1 x + + 1= x + x Bài (2,0 điểm) Cho hai số nguyên a , b thỏa mãn Bài 58 = a + b Tính S = a.b 14 + 40 ( điểm)  Cho ∆ABC vuông A , vẽ đường cao AH phân giác AD CAH 1) Chứng minh tam giác BAD tam giác cân DH BD 2) Chứng minh = DC BC 3) Giả sử AB = 10cm , HC = 21cm Tính độ dài đoạn thẳng BH , AC  Tam giác ABC cần thêm điều kiện để DE đạt 4) Vẽ đường phân giác AE BAH BC giá trị lớn nhất? Bài (1,5 điểm) Cho tập A có tính chất sau: a Tập A chứa toàn số nguyên b + 3∈A c Với x, y ∈ A x + y ∈ A x y ∈ A Chứng minh ∈A 2+  HẾT  Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 137 Website: tailieumontoan.com HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP QUẬN TÂY HỒ (4,0 điểm) Bài Tính giá trị biểu thức sau: A = 3+ 5+ 3− 5+ B= + + 18 + 27 + 3+ 6+ Lời giải ( A= ) 32 − + = B= ( = ( = 4−2 3= + + 18 + 27 + 3+ 6+ ) ( + +3 + +3 +3 + +3 ) + +3 + ( + +3 + +3 Bài ( − +1= ) −1 = −1 )= 1+ ) )= ( )( + + 1+ 3 + +3 (4,5 điểm) Tìm x thỏa mãn điều kiện : x − x + = − x 1)   2) 2x2 + 6x − + x2 + x − = x+4 + x+3 3) 1 x + + 1= x + x Lời giải x2 − x + = − 5x 1)   ⇔  5x ( x − 3) =− ⇔ x − = − 5x TH1 : x ≥ ta có x − = − x ⇔ x = ⇔ x =   (loại) TH2 : x < 3 ta có − x = − x ⇔ x =1 ⇔ x = (nhận) Phương trình có nghiệm x = 2) 2x2 + 6x − + x2 + x − = x+4 + x+3 ⇔ ( x − 1)( x + ) + ( x − 1)( x + 3) = ⇔ x − x + + x − x + = x + + x + , (ĐK : x ≥ ) x+4 + x+3 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 138 Website: tailieumontoan.com ⇔ 2x − ⇔ ( ) ( ( x+4 + x+3 − x+4 + x+3 )( ) x+4 + x+3 =  x+4 + x+3 = ( *) 2x − −1 = ⇔   x − − =0 (**) ) Phương trình (*) vơ nghiệm x ≥ (**) ⇔ x − =1 ⇔ x − =1 ⇔ x = ⇔ x = Phương trình có nghiệm x = 3) 1 x + + 1= x + x ( x ≥ ) ⇔ ( ⇔ ⇔ ) x + − 3x = x − x + − 3x = ( x − 1)( x + 1) x + + 3x 1− 2x = ( x − 1)( x + 1) x + + 3x  1− 2x = ( *)  ⇔ − = x + 1(**)  x + + 3x ( *) ⇔ − x = 0⇔ x= VP ≥ ⇒ (**) vô nghiệm Xét (**) ta có với x ≥ VT < 0, 1 Phương trình có nghiệm x = (2,0 điểm) Bài Cho hai số nguyên a , b thỏa mãn 58 = a + b Tính S = a.b 14 + 40 Lời giải Ta có: ⇔ ⇔ 58 = a+b 14 + 40 29 = a+b + 10 ( 29 − 10 39 )= a+b ⇔ 203 − 29 10 = 39a + 39b ( ⇔ 203 − 39a = 39b + 29 ) Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 139 Website: tailieumontoan.com  203 − 39a  ⇒ 39b + 29  =   ( ⇒ 39 b + 2.39b.29 + = 2.29 2 ) ( 203 − 39a ) ∈ ⇒ 392 b + 2.39b.29 + 2.292 ∈  Trường hợp 1: b ≠ ⇒ ∈  (vô lý) Trường hợp 2: b = ⇒ 203 − 29 10 = 39a ⇒ 203 − 39a = 29 10 ⇒ 10 ∈  (vô lý) Vậy giá trị a , b thỏa mãn điều kiện đề Bài ( điểm)  Cho ∆ABC vuông A , vẽ đường cao AH phân giác AD CAH 1) Chứng minh tam giác BAD tam giác cân DH BD 2) Chứng minh = DC BC 3) Giả sử AB = 10cm , HC = 21cm Tính độ dài đoạn thẳng BH , AC  Tam giác ABC cần thêm điều kiện để DE đạt 4) Vẽ đường phân giác AE BAH BC giá trị lớn nhất? Lời giải A B E H D C  nên HAD  = DAC  Vì AD phân giác HAC  ) = Vì ∆ABC vng A , vẽ đường cao AH nên BAH ACD (do phụ B   + DCA  (góc ngồi tam giác) Ta có BDA = DAC 1)  = BAD  , suy tam giác BAD tam  = DAC  + DCA  = HAD  + BAH  = BAD  hay BDA BDA AB giác cân B (đpcm) ⇒ BD =  nên DH = BD ( T/chất) (1) Vì AD phân giác HAC DC BC Áp dụng hệ thức lượng cho ∆ABC vuông A , vẽ đường cao AH ta có AH AB BD AB AC = AH BC ⇒ (2) = = AC BC BC 2) Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 140 Website: tailieumontoan.com DH BD = DC BC x BC =+ x 21 , x > Đặt BH =⇒ Từ (1) (2) ta có 3) Áp dụng hệ thức lượng cho ∆ABC vuông A , vẽ đường cao AH ta có AB = BH BC hay 102 = x ( x + 21) ⇔ x + 21x − 100 =  x = ( t/m ) Vậy = BH 4= cm; BC 25cm ⇔ ( x − )( x + 25 ) =0 ⇔   x = −25 ( loai ) Áp dụng định lý pitago cho ∆ABC ta có AB + AC = BC hay 102 + AC = 252 ⇒ AC = 525 ⇒ AC = 525  = CAE  ⇒ ∆CAE cân, suy CE = CA  = EAH  + CAE = 4) Ta có CEA ABC + BAE Khi ta có: DE =BD − BE =BA − ( BC − CE ) =AB + AC − BC ( AB + AC ) DE AB + AC − BC AB + AC Suy = = −1 ≤ − 1= BC BC BC BC Dấu “=” xảy ∆ABC vuông cân A −1 (1,5 điểm): Bài Cho tập A có tính chất sau: a Tập A chứa toàn số nguyên b + 3∈A c Với x, y ∈ A x + y ∈ A x y ∈ A ∈A 2+ Chứng minh Ta có + 3∈A ⇒ ( )( 2+ ) Lời giải 2+ ∈A ⇒ 5+ ∈ A Vì ∈ A ⇒ ∈ A Mà −1 ∈ A ⇒ ( −1) ∈ A ⇒ −2 ∈ A ⇒ 5−2 ∈ A ⇒ Giả sử Vậy ( ) 3− ∈A 3− 2∉A⇒ ( ) − ∉ A (mâu thuẫn) 3− 2∈A ⇒ ∈ A (điều phải chứng minh) 3+ Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 141 Website: tailieumontoan.com PHÒNG GD&ĐT TRƯƠNG MỸ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2019 -2020 ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1: (1,25 điểm) Tìm số a, b sơ đồ sau: b a (5,0 điểm) Cho biểu thức A = 10 12 Câu 2: 14 13 19 22 20 x 1 + − x −2 x +2 4− x 1) Tìm x để A < 2) Biết A =⋅ ( 19 + + ) 19 − − , tính giá trị B = 3) Tìm giá trị x nguyên để biểu thức P = A : 4) Tìm x để A Câu 3: ( ) x +3 : ( A) 2− x x −3 nhận giá trị nguyên? 2− x x − + x = x + + x + 16 + − x (3,25 điểm) 1) Tìm m để phương trình: x + x +1 = vô nghiệm x − m x −1 2) Tìm giá trị lớn biểu thức: y = x + (1 − x ) với ≤ x ≤ 3) Tìm nghiệm nguyên phương trình: Câu 4: 1 1 + + = x y xy (3,5 điểm) 1) Cho x − = , tính giá trị D = x − x − x − x + x + 2022 2) Tìm a, b để P ( x ) = x3 + ax + bx + chia hết cho Q ( x= ) x2 − a + b2 + c2  a + b + c  3) Cho a, b, c ba số thực Chứng minh đẳng thức: ≥  3   Câu 5: (2,0 điểm) Cho ∆ABC nhọn Các đường cao AD, BE , CF ∆ABC cắt H 1) Chứng minh ∆ABC đồng dạng với ∆AEF  = 45o , tính diện tích tứ giác BCEF , biết diện tích ∆ABC 60cm 2) Gỉa sử BAC 3) Chứng minh rằng: DC AC + BC − AB = BD BC + AB − AC Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 142 Website: tailieumontoan.com 4) Chứng minh rằng: H cách ba cạnh ∆DEF AH BH CH + + ≥ 5) Chứng minh rằng: BC AC AB HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Quy luật: Tổng hai số hàng chia trừ số hàng hai số Theo quy luật a= b= Câu 2: 1 x + − điều kiện: x ≠ 4; x ≥ x −2 x +2 4− x 1) Rút gọn: A = A= A= A= ( ( ( x +2+ x −2+ x x −2 )( x +2 x+2 x x −2 x x −2 )( x +2 ) ) ) Do A < ⇒ x