Câu [DS11.C1.1.E05.c] (HSG Tốn 11 – Cụm Hồn Kiếm Hai Bà Trưng năm 1617) Cho tam giác Câu A B C tan tan 1 ABC thỏa mãn 2 Chứng minh tam giác ABC tam giác Lời giải 2 Áp dụng BĐT: a b 2ab (dấu xảy a b ) A B A B B C B C tan tan 2 tan tan tan tan 2 tan tan 2 2, 2 2 Ta có A C A C tan tan 2 tan tan 2 2 A B C A B B C C A tan tan tan tan tan tan tan tan tan 1 2 2 2 2 Suy A B C tan tan tan 2 ABC Dấu xảy A B B C C A tan tan tan tan tan tan 1 * 2 2 2 : Mặt khác, ta lại có B C A tan tan 1 A B C B C tan B C * tan tan tan 1 tan tan tan tan 2 2 2 2 Thật A B C A 180 A A A tan tan 1 tan tan 1 tan cot 1 2 2 2 (luôn đúng) A B C tan tan tan 1 1 xảy hay 2 dấu đẳng thức Vậy theo giả thiết ABC [DS11.C1.1.E05.c] (HSG - KonTum - 1819) Cho tam giác ABC vuông A , đặt BC a , tan AC b , AB c Cho biết a , b , c theo thứ tự lập thành cấp số nhân Tính B, C Lời giải Do tam giác ABC vng A nên ta có b a sinB , c a cosB a, 2 b ac b a cos B a sin B 3cos B 2sin B , c lập thành cấp số nhân 3 cos B cos B cos B 3cos B 2 cos B cos B 3cos B 0 2 (vì cosB 1 ) B 60 (vì 0 B 180 ) Vậy B 60 , C 30 Câu [DS11.C1.1.E05.c] (HSG TP HỒ CHÍ MINH ĐỀ 2-2019) Cho đa thức bậc ba P x x3 3x P a b, P b c, P c a Chứng minh tồn số thực a, b, c đôi phân biệt cho Lời giải P a b, P b c, P c a Giả sử a, b, c số thực đôi phân biệt thỏa mãn 0; b P a P cos 8cos3 cos 2 cos3 Xét a 2 cos với Tương tự, c P b P cos 3 2 cos 9 a P c P cos 9 2 cos 27 , k 13 k Z k 14 Từ ta cần có cos 2 cos 27 27 k 2 Vậy chọn a 2 cos 3 9 b 2 cos c 2 cos 13 13 , 13 ta số thực a, b, c đôi phân biệt thỏa mãn toán