Câu [DS11.C3.3.E01.c] (Olimpic Toán 11 - TP HCM năm 1718) Cho số thực dương a , a2 , a3 , a4 , a5 lập thành cấp số cộng số thực dương b , b2 , b3 , b4 , b5 lập thành cấp số nhân Biết a1 b1 a5 b5 Chứng minh rằng: a2 a3 a4 b2 b3 b4 Lời giải a b x 0, a b y 5 Đặt 1 Gọi d , q công sai, công bội cấp số cộng cấp số nhân cho Ta có cơng thức a5 3a1 x y a5 a1 4d a2 a1 d nên a2 4 x y x 3y a3 , a4 Tương tự tính 4 Lập luận tương tự với cấp số nhân, ta có b2 x y , b3 xy , b4 xy Theo bất đẳng thức Cô- Si hai số x y a3 xy b3 x y x x y x xy a2 x y b2 4 x y y x y y xy a4 xy b4 4 a2 a3 a4 b2 b3 b4 Vậy ta có Câu u1 3 u 5un , n * n 1 3u n u [DS11.C3.3.E01.c] Cho dãy số n xác định u 1 n v un , n * Chứng minh dãy số cấp số cộng Tìm số hạng Xét dãy số n với u tổng quát dãy số n Lời giải un un u thay vào hệ thức truy hồi ta có n Ta có 3 1 v v 1 v n 1 n n 1 1 4 v hay 1 vn , v1 2 Suy dãy số n cấp số cộng có v1 1 công sai d 3 v v1 n 1 d 2 n 1 3n Ta có n 3n 3n un 3n 3n Thử lại thấy dãy số thỏa mãn Do 3n u n u 3n , n * Vậy số hạng tổng quát dãy số n A B C tan , tan , tan 2 theo thứ tự lập thành cấp số [DS11.C3.3.E01.c] Cho tam giác ABC , có cộng Chứng minh cos A,cos B,cos C lập thành cấp số cộng theo thứ tự Câu Lời giải Có tan tan A B C , tan , tan 2 theo thứ tự lập thành cấp số cộng, nên ta có A C B tan 2 tan 2 AC B sin sin 2 A C B cos cos cos 2 cos2 B A C B 2 cos cos sin 2 2 cos B AC A C B cos cos sin 2 B A C B cos B 2 sin cos sin 2 cos B 2sin B A C AC cos cos 2 cos B 1 cos B cos A cos C cos A cos C 2 cos B Tức cos A,cos B,cos C lập thành cấp số cộng theo thứ tự Câu [DS11.C3.3.E01.c] Cho tam giác ABC Có sin A,sin B,sin C theo thứ tự lập thành cấp số nhân C A Tìm số đo góc tam giác ABC Lời giải Có sin A,sin B,sin C theo thứ tự lập thành cấp số nhân, nên ta có sin A sin C sin B 1 cos B cos A C cos A C 2 cos B cos 1 cos B cos2 B cos B 0 cos B 13 arccos 13 , A arccos 13 , C 2 arccos 13 B 4 Câu [DS11.C3.3.E01.c] Từ 2012 số nguyên dương lấy số xếp thành dãy số có dạng u1 , u2 , u3 , u4 , u5 , u6 Hỏi có dãy số có dạng biết u1 , u2 , u3 theo thứ tự lập thành cấp số cộng Lời giải u1 , u2 , u3 lập thành csc u1 u3 2u2 u1 , u3 tính chẵn lẻ Số csc u1 , u2 , u3 số cặp u1 , u3 tính chẵn lẻ Khi số hạng u4 , u5 , u6 chọn 2009 số nguyên dương lại Số cách chọn csc u1 , u2 , u3 2.A1006 Số cách chọn số hạng u4 , u5 , u6 A2009 Vậy số dãy số thỏa mãn yêu cầu là: A1006 A2009 Câu [DS11.C3.3.E01.c] (Giao lưu HSG cấp tỉnh un thỏa mãn điều kiện u1 2 trường Nguyễn Ba Phước 19-20) Cho dãy số u1 u2 u3 un n 2un , n 1, 2, Tìm cơng thức số hạng tổng quát un dãy số un Lời giải +) Với n 2 ta có u1 u2 4u2 u2 u u un un n 2un +) Với n 2,3, , ta có u1 u2 un (n 1) un 2 +) Trừ hai đẳng thức ta un n un (n 1) un , n 3 n n un ( n 1) un , n 3 un un 1, n 3 n 1 n n 6u2 un u2 , n 3 n 1 n n(n 1) n(n 1) +) Với n 1, n 2 công thức un , n * n n 1 Vậy Câu [DS11.C3.3.E01.c] (HSG 2018 - 2019 - THPT Đan Phượng - Hà Nội) Chứng minh tam 2 giác ABC cot A, cot B, cot C theo thứ tự lập thành cấp số cộng a , b , c theo thứ tự lập thành cấp số cộng Lời giải Chứng định lí hàm số cosin mở rộng: b2 c a cot A 4S a c b2 cot B 4S b a2 c2 cot C 4S Do cot A, cot B, cot C theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên: cot B cot A cot C a c b2 b2 c a b2 a c 4S 4S 4S 2 c a 2b 2 Điều chứng tỏ a , b , c lập thành cấp số cộng Câu [DS11.C3.3.E01.c] (HSG cấp trường Cao Bá Quát 2009-2010) Cho tam giác ABC Có A B C tan , tan , tan 2 theo thứ tự lập thành cấp số cộng Chứng minh cos A, cos B, cos C lập thành cấp số cộng theo thứ tự Lời giải Có tan tan A B C , tan , tan 2 theo thứ tự lập thành cấp số cộng, nên ta có A C B tan 2 tan 2 A C B sin sin 2 A C B cos cos cos 2 cos B A C B 2 cos cos sin 2 2 cos B AC A C B cos cos sin 2 B A C B cos B 2 sin cos sin 2 cos B 2sin B A C A C cos cos 2 cos B 1 cos B cos A cos C cos A cos C 2 cos B Tức cos A, cos B, cos C lập thành cấp số cộng theo thứ tự Câu [DS11.C3.3.E01.c] (HSG cấp trường Cao Bá Quát 2009-2010) Cho tam giác ABC Có C A sin A,sin B,sin C theo thứ tự lập thành cấp số nhân Tìm số đo góc tam giác ABC Lời giải Có sin A,sin B,sin C theo thứ tự lập thành cấp số nhân, nên ta có sin A sin C sin B 1 cos B cos A C cos A C 2 cos B cos 1 cos B cos B cos B 0 cos B 13 arccos 13 , A arccos 13 , C 2 arccos 13 B 4 Câu 1 [DS11.C3.3.E01.c] Cho tam giác ABC có A, B, C theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội 1 Chứng minh AB BC CA Lời giải 4 A A B C A 2 B B B C C Ta có: Gọi R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC 1 1 1 BC CA R sin A R sin B R sin 4 sin 2 7 Ta có: Câu 2 4 3 sin sin sin cos 1 7 7 R sin 2 sin 4 R sin cos sin 4 R sin AB 7 7 [DS11.C3.3.E01.c] (HSG trường THPT DTNT Con Cuông- Nghệ An 2009-2010) Cho tam giác ABC có số đo ba góc lập thành cấp số cộng sin A sin B sin C 3 Biết nửa chu vi p 3 Tìm bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC Lời giải ABC A 90 , B 60 , C 30 Tam giác tam giác vuông, giả sử Gọi R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Khi đó: BC 2 R , AB R , AC R R 2 R 2 Ta có p 3 Suy BC 4 , AB 2 , AC 2 S 2 r ABC SABC AB.AC p 3 2 2 Câu [DS11.C3.3.E01.c] Cho số x y;5 x y;8 x y theo thứ tự lập thành cấp số cộng; đồng thời số ( y 1) ; xy 1; x theo thứ tự lập thành cấp số nhân Hãy tìm x, y Lời giải Ta có: x y;5 x y;8 x y theo thứ tự lập thành CSC nên ta có: x y x y 2 x y x 2 y 1 y 1 ; xy 1; x 2 y 1 x theo thứ tụ lập thành CSN nên ta có: xy 1 2 y 1 y Thay (1) vào (2) ta đc: y x 2 y x y y y y 4 y y Câu [DS11.C3.3.E01.c] (HSG THUẬN THÀNH 2- 2019) Cho số x y;5 x y;8 x y theo thứ ( y 1) ; xy 1; x tự lập thành cấp số cộng; đồng thời số theo thứ tự lập thành x , y cấp số nhân Hãy tìm Lời giải x y;5 x y;8 x y theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên ta có: x y x y 2 x y x 2 y 1 y 1 ; xy 1; x 2 y 1 x theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có: xy 1 2 Thay (1) vào (2) ta được: y 1 y 2 y 1 y y 1 4 y y y x 2 y x y Vậy x; y 3; 3 3 , x; y 3; Câu [DS11.C3.3.E01.c] (HSG 12 Cần Thơ 2017 - 2018) Tại Hội chợ triển lãm quốc tế, Ban tổ chức xếp cho khách tham quan xem buổi biểu diễn văn nghệ hình thức bán vé khuyến Ban tổ chức có 100 vé ghi số liên tiếp từ đến 100 Người mua vé lấy vé ngẫu nhiên từ thùng đựng vé Nếu lấy vé có ghi số chia hết cho miễn phí tiền mua vé Nếu lấy vé cso ghi số không chia hết cho phải trả số tiền tương ứng với số ghi vé nhân với 1000 đồng Hỏi bán hết 100 vé Ban tổ chức thu tổng số tiền bán vé bao nhiêu? Lời giải Đặt u1 , u2 , u3 , , u100 số tiền tương ứng với vé có số 1, 2, , 100 Đây cấp số cộng có 100 số hạng với số hạng đầu 1, số hạng cuối 100, công sai d =1 Þ S100 = 100( 1+100) = 5050 Tổng số tiền bán hết 100 vé, chưa kể 20 vé miễn phí 050 000 đồng Các tám vé có ghi số chia hết cho tương ứng với u5 , u10 , u15 , , u100 Đây cấp số cộng có 20 số hạng với số hạng 5, số hạng cuối 100 cơng sai d = Þ S100 = 20( 5+100) = 1050 Tổng số tiền bán hết 20 vé miễn phí tính vào 100 vé la2 050 000 đồng Vậy tổng số tiền bán vé thực tế Câu ( 5050- 1050) ´ 1000= 000 000 đồng [DS11.C3.3.E01.c] (HSG TOÁN 11-VĨNH PHÚC-18-19) Từ 2018 số nguyên dương lấy số xếp thành dãy số có dạng a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 Hỏi có dãy số dạng biết a1 , a2 , a3 theo thứ tự lập thành cấp số cộng Lời giải a1 a3 a1 , a2 , a3 cấp số cộng nên a2 Suy a1 , a3 tính chẵn lẻ TH1: a1 , a3 lẻ a1 , a3 chọn số 1,3,5, , 2017 nên số cách A1009 a a a2 nên a2 có cách a4 , a5 , a6 chọn 2018 số loại ba số a1 , a2 , a3 nên số cách A2015 Do số cách A1009 A2015 TH2: a1 , a3 chẵn Làm tương tự TH1 có A1009 A2015 cách Vậy có A1009 A2015 cách lập thành dãy số thỏa mãn yêu cầu toán x x Câu [DS11.C3.3.E01.c] (HSG Toán 11 - TX Quảng Trị năm 2019) Cho hai nghiệm 2 x x phương trình: x x a 0 , hai nghiệm phương trình: x 12 x b 0 Biết x1 , x2 , x3 , x4 theo thứ tự lập thành cấp số nhân Hãy tìm a, b Lời giải Gọi q cơng bội cấp số nhân Theo viet ta có: x1 x2 3 x x a x x 12 x3 x4 b x2 x1q; x3 x1q ; x4 x1q (1) x1 (1 q ) 3 x x a (2) x1q (1 q) 12 (3) (4) x3 x4 b Từ (1) (3) suy q 4 q 2 từ (3) suy x1 1 , giải a 2; b 32 q từ (3) suy x1 , giải a 18; b 288 Câu [DS11.C3.3.E01.c] (HSG 12 Bình Thuận 18-19) Tìm số hạng tổng quát dãy số u 2un 5, n * n1 Lời giải un 1 2un un 1 2 un n * , ta có * Đặt wn un 5, n * Khi wn 1 2wn , n w Do n cấp số nhân có w1 u1 7, công bội q 2 n n * Suy wn w1.q 7.2 , n n * Vậy un 7.2 5, n un biết u1 2