Câu [DS11.C3.3.E05.c] (HSG Bình Định năm 1314) Cho n số a1 , a2 , a3 , a4 , , an 0;1 a1 a2 a3 a4 an 4 a a22 a a a n Chứng minh Lời giải f x x a1 a2 a3 a4 an x a12 a 22 a 32 a 42 a n2 Xét tam thức f 12 a1 a2 a3 a4 an a12 a 22 a 32 a 24 a 2n Ta có f 1 a1 a1 1 a2 a2 1 a3 a3 1 a4 a4 1 an an 1 a1 a1 1 0 a2 a2 1 0 a3 a3 1 0 f 1 0 an an 1 a , a , a , a , , an 0;1 Mặt khác nên f a12 a 22 a 32 a 42 a n2 0 f f 1 0 Mà f x 0 0;1 Do phương trình có nghiệm a1 a2 a3 a4 an a12 a 22 a 32 a 24 a n2 0 a1 a2 a3 a4 an 4 a12 a 22 a 32 a 24 a n2 Câu Câu [DS11.C3.3.E05.c] Cho phương trình: x x 0 Chứng minh phương trình cho có nghiệm phân biệt Lời giải Ta có: Hàm số f x x x liên tục R f 3 f ; f f 1 ; f 1 f 3 phương trình cho có nghiệm phân biệt Mà phương trình bậc có tối đa nghiệm (Đpcm) [DS11.C3.3.E05.c] (HSG11 Bắc Giang 2012 - 2013) Chứng minh phương trình x x 0 có nghiệm phân biệt Hãy giải để tìm nghiệm Lời giải f x 8 x x Đặt ; tập xác định D suy hàm số liên tục Ta có 1 f 1 3, f 1, f 1, f 1 1 2 suy 1 f 1 f 0, f 2 1 f 0, f f 1 2 Từ bất đẳng thức tính liên tục f x 0 1; 1 hàm số suy pt có ba nghiệm phân biệt thuộc x cos t , t 0; Đặt thay vào pt ta được: 2 cos3 t 3cos t 1 cos 3t cos t k , kết hợp với t 0; ta 5 7 t ; ; 9 9 Do phương trình cho có nghiệm: x cos 5 7 , x cos , x cos 9 Câu [DS11.C3.3.E05.c] [HSG_NAM ĐỊNH_2011-2012] Chứng x mx nx px 2011 0 có nghiệm với m, n, p R minh phương trình Lời giải Xét phương trình: x mx nx px 2011 0 (1) f x x mx nx px 2011 Xét hàm số: lim f x lim x mx nx px 2011 x x b : f b lim f x lim x mx nx px 2011 x x a : f a f 2011 Câu f x a;0 0;b Hàm số liên tục đoạn f a f f f b Phương trình có nghiệm x1 a;0 nghiệm x2 0; b Vậy phương trình có nghiệm [DS11.C3.3.E05.c] (HSG K11 Bắc Giang 2013 – 2014) Cho số thực a , b , c thỏa mãn 2a 4b 11c 0 Chứng minh phương trình ax bx c 0 ln có nghiệm thuộc khoảng 0;1 Lời giải Xét f ( x ) ax bx c liên tục đoạn [0; 1] 1 f (0) f f (1) 2a+4b+11c=0 3 Ta có 1 f (0) 9 f f (1) 0 3 Nếu x = 1/3 nghiệm thỏa mãn 1 f (0);9 f ; f (1) 3 Nếu khơng đồng thời ba số phải có số âm số dương Câu 0;1 Từ tính liên tục f(x) ta phương trình ax bx c 0 ln có nghiệm thuộc khoảng [DS11.C3.3.E05.c] (HSG TỐN 11-VĨNH PHÚC-18-19) Chứng minh phương trình x5 2018 x 2019 0 có nghiệm thực Lời giải Cách 1: (sử dụng kiến thức lớp 12) f x 4 x 2018 x 2019 Xét hàm số liên tục Ta có y ' 20 x 2018 x f x 0 1 Suy phương trình có tối đa nghiệm x f 2019; f 1 f f 1 Ta có f x 0 a 1;0 Suy phương trình có nghiệm 1 ; suy phương trình f x 0 có nghiệm a 1;0 Từ Do vậy, phương trình cho có nghiệm thực Cách 2: (sử dụng kiến thức lớp 11) f x 4 x 2018 x 2019 Xét hàm số liên tục f 2019; f 1 f f 1 Ta có f x 0 a 1;0 Suy phương trình có nghiệm f x 0 Giả sử phương trình có nghiệm b a Ta có f b f a 4 b a 2018 b a 5 b5 a 2018 b a Nếu b a b a Suy f b f a f b f a 0 Do (vơ lí) 5 b5 a 2018 b a Nếu b a b a Suy f b f a f b f a 0 Do (vơ lí) Vậy điều giả sử sai f x 0 Do vậy, phương trình có nghiệm x a (đpcm) Câu [DS11.C3.3.E05.c] (HSG Toán 11 - Sở Quảng Ngãi - 2018 – 2019) Cho hàm số y f ( x ) liên tục 0;1 f ( x ) f (1) f (0) x f (1) Chứng minh phương trình có nghiệm thuộc 0;1 Lời giải Ta viết lại phương trình đề bài: Đặt: f ( x ) f (1) f (0) x f (1) 0 g( x ) f ( x ) f (1) f (0) x f (1) Ta có: g(0) f (0) f (1) ; g(1) f (1) f (0) 0;1 g(0).g(1) f (0) f (1) 0 Nhận thấy g( x ) liên tục 0;1 Vì phương trình g( x ) 0 ln có nghiệm thuộc (đpcm) Câu [DS11.C3.3.E05.c] (HSG Lớp 11 THPT Minh Châu 2014-2015) Chứng minh phương trình x3 x 0 có ba nghiệm thực phân biệt Hãy tìm nghiệm Lời giải f x 8 x x Đặt ; tập xác định D suy hàm số liên tục 1 f 1 3, f 1, f 1, f 1 1 2 Ta có 1 1 f 1 f 0, f f 0, f f 1 2 2 suy f x 0 Từ bất đẳng thức tính liên tục hàm số suy phương trình có ba nghiệm phân 1; 1 biệt thuộc x cos t , t 0; Đặt thay vào pt ta được: 2 cos3 t 3cos t 1 cos 3t cos t k , kết hợp với t [0; ] 5 7 t ; ; 9 Do phương trình cho có nghiệm: ta 5 7 x cos , x cos , x cos 9