Câu [DS10.C4.2.E01.b] (Olimpic Toán 10 - Đồng Nai 1718) Xét số thực dương x, y, z thỏa mãn 1 2 x y z Chứng minh rằng: x y z 6 Hỏi đẳng thức xảy ? Lời giải 1 2z 2 z z Theo bất đẳng thức quen thuộc x y x y 4z z z với Suy 4z z 6 z 1 z 3 0 Do đó, ta cần chứng minh z , Đẳng thức xảy x y 2, z 1 x y Câu [DS10.C4.2.E01.b] (HSG Toán 11 - THPT Quỳnh Lưu - Nghệ An năm 1718) Chứng minh: a b3 c a bc b ac c ab ; a , b , c Lời giải 3 2 a b c a bc b ac c ab ; a , b , c a abc 2a bc , b3 abc 2b ac , c abc 2c ab a b3 c 3abc 2 a bc b ac c ab Câu 2 3 3 3 a b c 2 a bc b ac c ab , : a b c 3abc a b3 c a bc b ac c ab Vậy: [DS10.C4.2.E01.b] (HSG Toán 11 - Bắc Giang năm 1213) Cho a; b; c cạnh tam giác có chu vi Chứng minh (a b c )3 (b c a )3 (c a b)3 1 3c 3a 3b Lời giải ( a b c )3 c , , 3c 3 ta Áp dụng BĐT Cô-si cho số dương ( a b c )3 c a b c (1) 3c 3 (b c a )3 a b c a 3a 3 Tương tự: Câu (2) (c a b ) b c a b (3) 3b 3 Cộng (1); (2); (3) ta suy điều phải chứng minh Dấu “=” xảy a b c 1 [DS10.C4.2.E01.b] (HSG Toán 11 – Vĩnh Long năm 1314) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c 3 Chứng minh rằng: 3a 5b 3b 5c 3c 5a 6 Lời giải 8,8,3 a 5b ta có: Áp dụng bất đẳng thức Cơ si cho số dương 8.8.(3a 5b) (3a 5b) 3 16 3a 5b 3a 5b 12 Tương tự ta có Do 16 3b 5c 3b 5c 12 , 3a 5b 3b 5c 3c 5a 16 3c 5a 3c 5a 12 48 8(a b c ) 6 12 (dpcm) Dấu xảy a b c 1 Câu [DS10.C4.2.E01.b] Cho a , b , c số thực dương Chứng minh rằng: 2 1 2 2 a b b c c a a bc b ca c ab Lời giải 1 2 a c a bc a b Ta chứng minh bất đẳng thức ( a bc)(2a ab ac b c ) ( a ab bc ca) 1 2 2 Khai triển rút gọn, ta được: a b c 2a bc ( a bc ) 0 (ln đúng) Tương tự cho trường hợp cịn lại 1 với hai bất đẳng thức tương tự, suy đpcm Cộng bất đẳng thức Câu [DS10.C4.2.E01.b] (HSG 11-Quỳnh Lưu 3-19-20) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn điều x y z 2 kiện x y z 3 Chứng minh y z x x y z Lời giải 2 2 y z x y z x y z x y z x x y y z z x x y y z z x Ta có y z x y z y y z z x x x * x y y z z x x y z Ta có: Đặt t 32 t t t 2 * thành BĐT (luôn đúng) HẾT -Câu [DS10.C4.2.E01.b] (HSG Tốn 12 - Hịa Bình năm 1718) Cho a b hai số thực dương a b Chứng minh a b 8a 2b Lời giải Ta có a b a 2 4ab 0; b 2ab Nhân vế tương ứng BĐT ta suy điều cần chứng minh 3 2 Câu [DS10.C4.2.E01.b] Cho số thực dương a, b thỏa mãn a a b b Chứng minh a b 1 Lời giải a a b b3 a a 1 a 0,1 a 0,1 1 b b3 2 b.b3 2b b 0,1 a a 1 Do đó, 2 Giả sử, a b 1 Từ giả thiết ta suy Với a b a b3 a b a b ab a b 1 ab ab a b 2 Vậy a b 1 2 (vô lí)