SỞ GD& ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2012 - 2013 Đề thi thức (Đề thi gồm 01 trang) Mơn thi: TỐN - THPT BẢNG A Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Câu I: (3,0 điểm) Cho hàm số y 2x có đồ thị (C) điểm P 2;5 x 1 Tìm giá trị tham số m để đường thẳng d : y x m cắt đồ thị C hai điểm phân biệt A B cho tam giác PAB Câu II: (6,0 điểm) Giải phương trình x 1 2x x x 1 2 x y 5 x y2 Giải hệ phương trình xy 1 x y x, y Câu III: (6,0 điểm) Cho lăng trụ ABC.A 'B'C' có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc điểm A ' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường thẳng AA ' BC a Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A 'B'C' Cho tứ diện ABCD có G trọng tâm tam giác BCD Mặt phẳng qua trung điểm I đoạn thẳng AG cắt cạnh AB, AC, AD điểm (khác A ) Gọi h A , h B , h C , h D khoảng cách từ điểm A, B, C, D đến mặt phẳng Chứng minh rằng: h 2B h C2 h D2 h 2A Câu IV: (2,5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho điểm A 1; 1 T : x 3 đường tròn y 25 Gọi B, C hai điểm phân biệt thuộc đường tròn T ( B, C khác A ) Viết phương trình đường thẳng BC , biết I 1;1 tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Câu V: (2,5 điểm) Cho số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: P a ab abc a bc - - Hết - Họ tên thí sinh: Số báo danh: SỞ GD& ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2012 - 2013 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: TỐN THPT- BẢNG A (Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) Câu Nội dung I Phương trình hoành độ giao điểm đường thẳng d đồ thị (C) là: (3,0đ) Điểm 2x x m x (m 3)x m 0 1 , với x x 1 Đường thẳng d cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt khác 0,5 0,5 m 2m 13 (đúng m ) 0.m x1 x m x1 x m Gọi x1 , x nghiệm phương trình (1), ta có: 0,5 Giả sử A x1 ; x1 m , B x ; x m Khi ta có: AB x1 x 2 2 PA x1 x1 m x1 x , PB x 2 2 x m 5 x 2 x1 0,5 Suy PAB cân P Do PAB PA AB2 2 2 x1 x 2 x1 x x1 x x1 x 6x1 x 0 II 1, (3,0đ) m 1 m 4m 0 Vậy giá trị cần tìm m 1, m m B' x A' ĐKXĐ: x 13 Phương trình cho tương đương với x 0,5 C' 0,5 x 2x D 0,5 x 1 x x 2x 2x (1)B E A 0,5 G C Xét hàm số f t t t ; f ' t 3t 0, t Suy hàm số f t liên tục đồng biến Khi đó: Pt(1) f x f 2x x 2x 1 x x 0 x x x 0 x 1 x 1 2x 1 x x x 0 x 1 0,5 0,5 0,5 Đối chiếu ĐKXĐ nghiệm phương trình cho là: II 2, (3,0đ) x 0 x x 0 ĐKXĐ: y 0 0,5 2 1 1 x y 5 x y Ta có hệ phương trình cho tương đương với: 2 x 1 y 1 2xy 2 1 1 x y 5 u x x y x * , đặt 1 1 v y x y y x y 0,5 u v 5 Hệ phương trình * trở thành uv 2 u v 3 u v (I) (II) uv 2 uv 2 Ta có: u v 9 uv 2 u 1 u 2 v 2 v 1 I u u v v II Vì u x u 2 nên có x 0,5 u 2 u thỏa mãn v 1 v 0,5 x 2 x 1 u 2 x ta có (thỏa mãn ĐKXĐ) v 1 y 1 y y x x u x ta có (thỏa mãn ĐKXĐ) y v y y Vậy hệ phương trình cho có nghiệm x; y là: 0,5 0,5 0,5 1 1 1 1 1; , 1; , 1; , 1; 2 2 III a Diện tích đáy SABC 1, (3,0đ) Gọi G trọng tâm tam giác ABC 0,5 BC AE BC AA'E BC A 'G Gọi E trung điểm BC Ta có 0,5 Gọi D hình chiếu vng góc E lên đường thẳng AA ' Do BC DE, AA' DE 0,5 Suy DE khoảng cách hai đường thẳng AA ' BC DE DAE 300 AE aA Xét tam giác A 'AG vng G ta có A 'G AG.tan 30 D' a B' Vậy VABC.A 'B'C ' A 'G.SABC I 12 C' III Gọi B', C', D' giao điểm mp với Tam giác ADE vuông D suy sin DAE B 0,5 0,5 0,5 D G C 0,5 2, cạnh AB, AC, AD (3,0đ) VAID' B' (*) nên Ta có VAGBC VAGCD VAGDB VABCD (*) Vì VAB'C' D' VAIB'C ' VAIC' D' VAB'C ' D' VAIB'C ' V V AIC ' D' AID'B' VABCD 3VAGBC 3VAGCD 3VAGDB 0,5 AB'.AC'.AD' AI.AB'.AC' AI.AC'.AD' AI.AD'.AB' AB.AC.AD 3.AG.AB.AC 3.AG.AC.AD 3.AG.AD.AB 0,5 AB AC AD AG BB' CC' DD' 3 6 3 AB' AC' AD' AI AB' AC' AD' BB' h B CC' h C DD' h D , , Mặt khác ta có AB' h A AC' h A AD' h A hB hC hD 3 h B h C h D 3h A (**) Suy hA hA hA Ta có: hB hC hD 2 0,5 0,5 3 h B2 h C2 h D2 2 h B h C h C h D h D h B 0 ( ) 2 Kết hợp với (**) ta 3h A 3 h B h C h D 0,5 h 2B h C2 h D2 h 2A IV Đường tròn T có tâm K 3;2 bán kính R 5 Hay (2,5đ) Ta có AI :x y 0 , đường thẳng AI cắt A đường tròn T A ' ( A' khác A ) có tọa độ I nghiệm hệ K B x 3 y 25 x y 0 x (loại) y C 0,5 A' x 6 y 6 Vậy A ' 6;6 Ta có: A 'B A 'C ' CA ') (*) (Do BA 0,5 'BC BAI ) (1) (Vì IAC A Mặt khác ta có ABI (2) IBC ' ABI 'BC IBA ' Từ (1) (2) ta có: BIA BAI IBC A Suy tam giác BA 'I cân A ' A 'B A 'I (**) Từ * , ** ta có A 'B A 'C A 'I Do B,I,C thuộc đường trịn tâm A ' bán kính A 'I có phương trình x 6 0,5 y 50 x 3 y 25 Suy tọa độ B, C nghiệm hệ 2 x y 50 Nên tọa độ điểm B,C : (7; 1),( 1;5) Khi I nằm tam giác ABC (TM) V (2,5đ) 0,5 0,5 Vậy phương trình đường thẳng BC : 3x 4y 17 0 Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có a 4b a 4b 16c a ab abc a a b c 2 3 0,5 Đẳng thức xảy a 4b 16c Suy P 2 a b c a bc Đặt t a b c, t Khi ta có: P Xét hàm số f t 0,5 3 2t t 3 3 với t ta có f ' t 2t t 2t t 2t f ' t 0 3 0 t 1 2t t 2t Bảng biến thiên t f ' t f t 0,5 0,5 + Do ta có f t t 0 t 1 16 a 21 a b c 1 b Vậy ta có P , đẳng thức xảy 21 a 4b 16c c 21 Vậy giá trị nhỏ P 16 , , a,b,c 21 21 21 - - Hết - - Chú ý: - Học sinh giải cách khác cho điểm phần tương ứng - Khi chấm giám khảo không làm tròn điểm 0,5