SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LONG AN LỚP 12 THPT NĂM 2012 (VỊNG 1) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Mơn: TỐN, BẢNG A Ngày thi: 23/10/2012 Thời gian: 180 phút (không kể giao đề) Câu 1: ( 5,0 điểm ) a) Giải phương trình sau tập số thực: x (2 x 1) x 1 x y xy y 8 b) Giải hệ phương trình sau tập số thực: xy y xy x y 12 Câu 2: ( 5,0 điểm ) a Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hai điểm A 1;2 , B 4;3 Tìm trục hồnh điểm M cho AMB 450 b Cho tam giác ABC đều, cạnh 6cm , trọng tâm G Một đường thẳng qua G , cắt đoạn thẳng AB AC hai điểm M N cho AM 3 AN Tính diện tích tam giác AMN Câu 3: ( 4,0 điểm ) n Cho dãy số un xác định u1 1 un 1 un với n 1 n Chứng minh rằng: un 2 Tính tổng S u1 u2 u3 un theo n Câu 4: ( 3,0 điểm ) Cho số thực dương a, b, c a Chứng minh rằng: a b 16 a b b Tìm giá trị nhỏ biểu thức: (2 a )(2 b )(2 c ) P (3 a b c) Câu 5: ( 3,0 điểm ) 3 Cho hàm số y mx m 1 x 3m x có đồ thị Cm , m tham số Tìm giá trị m để Cm có điểm có hoành độ âm mà tiếp tuyến Cm điểm vng góc với đường thẳng d : x y 0 Hết Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:……………………………………;Số báo danh:………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM LONG AN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM 2012 (VÒNG 1) Mơn: TỐN, BẢNG A Ngày thi: 23/10/2012 ĐỀ THI CHÍNH THỨC ( Hướng dẫn có 03 trang ) Nếu thí sinh làm khơng theo cách nêu hướng dẫn chấm mà cho đủ điểm phần hướng dẫn quy định Câu Đáp án Thang điểm a ( 2,5 điểm ) (5,0 điểm) Điều kiện: x Đặt y x ( y ), x y 2( x 1) y ta thu hệ y x 2 Suy x 1 y y 0,25 0,25 0,25 x ( x 1) y y x y x y x 0 y x y x 0 y 2 x 0,25 0,25 0,25 Do x 2 x x Thay vào, thử lại thấy x 15 33 32 15 33 thỏa mãn 32 15 33 32 b ( 2,5 điểm ) Đáp số: x u v 8 Đặt u x x y , v y y 1 , hệ trở thành: u.v 12 0,5 0,25 0,25 0,5 u 2 u 6 Giải hệ tìm hay v 6 v 2 u 2 Với ta tìm được: v 6 17 x x y 2 y u 6 x 2 x Với ta tìm được: , v 2 y 1 y 1 0,25 + 0,25 0,25 + 0,25 0,25 x 1 y 0,25 Kết luận : Hệ cho có nghiệm x x 17 x 2 x x 1 , , , , y 2 y y 1 y 1 y 0,5 a ( 2,5 điểm ) (5,0 điểm) Gọi I x; y tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB AI BI Ta có: AI BI 0 0,25 + 0,25 3x y 10 2 x y x y 10 0 0,25 + 0,25 x 3 x 2 hay y 1 y 4 0,25 + 0,25 Với I 3;1 IA Đường trịn tâm I bán kính IA có phương 2 trình x 3 y 1 5 cắt trục hoành hai điểm M 1;0 M 5;0 Với I 2; IA Đường trịn tâm I, bán kính IA khơng 0,5 cắt trục hoành 0,5 b ( 2,5 điểm ) Đặt AM x, AN y với x 0, y x y , S ANG AN AG.s in300 S AMG AM AG.s in300 2 2 xy S , AMN S AMG S ANG S AMN AM AN s in600 Nên ta có: 3 ( x y) xy x y xy x y xy Vậy ta có hệ : x 3 y x 5cm Giải hệ tìm 10 y cm Diện tích cần tìm: S AMN Câu 0,25 + 0,25 0,25 + 0,25 0,25 0,25 0,5 xy 25 cm2 Đáp án 0,5 Thang điểm a 2,0 điểm (4,0 điểm) Khi n 1 : u2 u1 21 1 2 0,5 k Giả sử uk 2 với k 1, k N 0,5 k 1 Ta chứng minh: uk 1 2 0,5 k k k k 1 Thật vậy: uk 1 uk 2 2 0,5 b 2,0 điểm S 21 22 n 21 22 n n 0,5 + 0,5 2n S 2 n 2n 1 n 2 a 1,5 điểm Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: 0,5 + 0,5 0,5 0,5 14a 14b 16a 2b 36ab 0 (3,0 điểm) 2 14 a b 4ab 1 0 Đẳng thức xảy a b 0,5 b 1,5 điểm Đặt t a b , ta có: 0,5 16 P (2t 7)(c 2) (3 t c) 2 1 1 tc 3(t 1) c 2 (2t 7)(c 2) 2 2 1 1 2 (3 t c) (3 t c) Vậy giá trị nhỏ P / a b c 16 2 y mx 2(m 1) x 3m Tiếp tuyến có hệ số góc (3,0 điểm) Ta tìm m : mx 2(m 1) x 3m 2 * có nghiệm âm * x 1 mx 3m 0 x 1 mx 2 3m m 0 : không thỏa yêu cầu m 0 3m 0 m 0 , yêu cầu toán xảy m m m 0 Kết luận: m 0,25 + 0,25 0,25 + 0,25 0,25 + 0,25 0,5 0,25 + 0,25 0,5 0,25 + 0,25 0,5