Thông tin tài liệu
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LONG AN LỚP 12 THPT NĂM 2012 (VỊNG 1) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Mơn: TỐN, BẢNG A Ngày thi: 23/10/2012 Thời gian: 180 phút (không kể giao đề) Câu 1: ( 5,0 điểm ) a) Giải phương trình sau tập số thực: x (2 x 1) x 1 x y xy y 8 b) Giải hệ phương trình sau tập số thực: xy y xy x y 12 Câu 2: ( 5,0 điểm ) a Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hai điểm A 1;2 , B 4;3 Tìm trục hồnh điểm M cho AMB 450 b Cho tam giác ABC đều, cạnh 6cm , trọng tâm G Một đường thẳng qua G , cắt đoạn thẳng AB AC hai điểm M N cho AM 3 AN Tính diện tích tam giác AMN Câu 3: ( 4,0 điểm ) n Cho dãy số un xác định u1 1 un 1 un với n 1 n Chứng minh rằng: un 2 Tính tổng S u1 u2 u3 un theo n Câu 4: ( 3,0 điểm ) Cho số thực dương a, b, c a Chứng minh rằng: a b 16 a b b Tìm giá trị nhỏ biểu thức: (2 a )(2 b )(2 c ) P (3 a b c) Câu 5: ( 3,0 điểm ) 3 Cho hàm số y mx m 1 x 3m x có đồ thị Cm , m tham số Tìm giá trị m để Cm có điểm có hoành độ âm mà tiếp tuyến Cm điểm vng góc với đường thẳng d : x y 0 Hết Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:……………………………………;Số báo danh:………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM LONG AN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM 2012 (VÒNG 1) Mơn: TỐN, BẢNG A Ngày thi: 23/10/2012 ĐỀ THI CHÍNH THỨC ( Hướng dẫn có 03 trang ) Nếu thí sinh làm khơng theo cách nêu hướng dẫn chấm mà cho đủ điểm phần hướng dẫn quy định Câu Đáp án Thang điểm a ( 2,5 điểm ) (5,0 điểm) Điều kiện: x Đặt y x ( y ), x y 2( x 1) y ta thu hệ y x 2 Suy x 1 y y 0,25 0,25 0,25 x ( x 1) y y x y x y x 0 y x y x 0 y 2 x 0,25 0,25 0,25 Do x 2 x x Thay vào, thử lại thấy x 15 33 32 15 33 thỏa mãn 32 15 33 32 b ( 2,5 điểm ) Đáp số: x u v 8 Đặt u x x y , v y y 1 , hệ trở thành: u.v 12 0,5 0,25 0,25 0,5 u 2 u 6 Giải hệ tìm hay v 6 v 2 u 2 Với ta tìm được: v 6 17 x x y 2 y u 6 x 2 x Với ta tìm được: , v 2 y 1 y 1 0,25 + 0,25 0,25 + 0,25 0,25 x 1 y 0,25 Kết luận : Hệ cho có nghiệm x x 17 x 2 x x 1 , , , , y 2 y y 1 y 1 y 0,5 a ( 2,5 điểm ) (5,0 điểm) Gọi I x; y tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB AI BI Ta có: AI BI 0 0,25 + 0,25 3x y 10 2 x y x y 10 0 0,25 + 0,25 x 3 x 2 hay y 1 y 4 0,25 + 0,25 Với I 3;1 IA Đường trịn tâm I bán kính IA có phương 2 trình x 3 y 1 5 cắt trục hoành hai điểm M 1;0 M 5;0 Với I 2; IA Đường trịn tâm I, bán kính IA khơng 0,5 cắt trục hoành 0,5 b ( 2,5 điểm ) Đặt AM x, AN y với x 0, y x y , S ANG AN AG.s in300 S AMG AM AG.s in300 2 2 xy S , AMN S AMG S ANG S AMN AM AN s in600 Nên ta có: 3 ( x y) xy x y xy x y xy Vậy ta có hệ : x 3 y x 5cm Giải hệ tìm 10 y cm Diện tích cần tìm: S AMN Câu 0,25 + 0,25 0,25 + 0,25 0,25 0,25 0,5 xy 25 cm2 Đáp án 0,5 Thang điểm a 2,0 điểm (4,0 điểm) Khi n 1 : u2 u1 21 1 2 0,5 k Giả sử uk 2 với k 1, k N 0,5 k 1 Ta chứng minh: uk 1 2 0,5 k k k k 1 Thật vậy: uk 1 uk 2 2 0,5 b 2,0 điểm S 21 22 n 21 22 n n 0,5 + 0,5 2n S 2 n 2n 1 n 2 a 1,5 điểm Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: 0,5 + 0,5 0,5 0,5 14a 14b 16a 2b 36ab 0 (3,0 điểm) 2 14 a b 4ab 1 0 Đẳng thức xảy a b 0,5 b 1,5 điểm Đặt t a b , ta có: 0,5 16 P (2t 7)(c 2) (3 t c) 2 1 1 tc 3(t 1) c 2 (2t 7)(c 2) 2 2 1 1 2 (3 t c) (3 t c) Vậy giá trị nhỏ P / a b c 16 2 y mx 2(m 1) x 3m Tiếp tuyến có hệ số góc (3,0 điểm) Ta tìm m : mx 2(m 1) x 3m 2 * có nghiệm âm * x 1 mx 3m 0 x 1 mx 2 3m m 0 : không thỏa yêu cầu m 0 3m 0 m 0 , yêu cầu toán xảy m m m 0 Kết luận: m 0,25 + 0,25 0,25 + 0,25 0,25 + 0,25 0,5 0,25 + 0,25 0,5 0,25 + 0,25 0,5
Ngày đăng: 18/10/2023, 20:10
Xem thêm:
