Sở Giáo dục – Đào tạo Vĩnh Phúc KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2008 – 2009 Môn: Tốn 10 – THPT Chun Thời gian: 180 phút (Khơng kể giao đề) Đề thức Câu 1.(1.5điểm) Tìm tất ba số thực dương thỏa mãn Câu 2.(3điểm) Cho tam giác chiếu nhọn, có Xét điểm Gọi đoạn hình chiếu hình Chứng minh Câu 3.(2.5điểm) Tìm tất cặp hai số nguyên tố cho Câu 4.(2điểm) Cho ba số thực dương thỏa mãn Chứng minh Dấu đẳng thức xảy nào? Câu 5.(1điểm) Cho đa giác lồi điểm cạnh Chứng minh tồn tập hợp cho bên tam giác có đỉnh đỉnh HẾT gồm điểm , chứa Họ tên thí sinh: ……………………………………… Số báo danh: ………………… Giám thị 1………………………………………………………………………………… Giám thị 2………………………………………………………………………………… Sở Giáo dục – Đào tạo Vĩnh Phúc Câu Đáp án kỳ thi học sinh giỏi vịng Tỉnh Mơn: Tốn 10 – THPT Chuyên Ý Nội dung Điểm Viết lại hệ cho dạng Nhân ba phương trình với nhau, vế đối vế, 0.25 Mặt khác, theo bất đẳng thức AM-GM, ta có I (1.5điểm ) 0.5 Tương tự, có 0.25 Từ 0.25 Suy 0.25 Thử lại, kết luận nghiệm II (3điểm) Điều kiện cần (1.5) A E F B Nếu tứ giác C D nội tiếp Do Suy Mặt khác, Từ Suy 0.25 0.5 0.5 (g.g) nên 0.25 Từ (1) (2) suy Điều kiện đủ (1.5) Nếu 0.5 (do Suy 0.25 Suy 0.25 Mà (góc có cạnh tương ứng vng góc), nên Suy tứ giác nội tiếp Và Nhận xét Nếu Nếu Vơ lý, Vô lý, 0.5 lẻ Vậy 0.5 Suy Nếu III (2.5điểm ) Do (qui nạp), nên Với Theo định lý Fermat nhỏ, Nếu tìm (vơ lý) Nếu , 0.5 Đặt 0.5 Suy + Với + Với Nếu Vậy Với ta , (vơ lý) Với 0.5 Vậy IV (2điểm) Đặt 0.5 Do 0.25 nên Ta có 0.25 Do đó, bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 0.25 Ta có 0.25 0.25 0.5 Suy điều phải chứng minh Dấu “=” xảy 0.25 A3 A2 A3 A2 A1 A1 Bj Aj A0 A0 An An Ai-1 Ai-1 Bk Bi Ai+1 Bi Ak Ai Ai Ai+1 Hình Hình V (1điểm) Đánh số đỉnh đa giác hình Chọn điểm , chọn điểm giác cố định đoạn nằm phần đoạn thẳng (như hình 1) Ta chứng minh tập hợp gồm Với giới hạn tam 0.5 điểm thỏa mãn u cầu tốn Do tính lồi của đường thẳng , nên tất điểm (chứa điểm nằm phía ) Và đó, ba điểm có 0.5 điểm nằm tam giác ( ), đó, tất điểm nằm ngồi tam giác (Hình 2) Điều phải chứng minh với