Sở GD&ĐT Thừa Thiên - Huế Trường THPT Chuyên Quốc Học o ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ CHỌN HỌC SINH GIỎI DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN THỨ IV MƠN TỐN – LỚP 10 Thời gian: 180 phút Bài (4 điểm) Cho sáu tam thức bậc hai với hệ số thực sau: f(x), g(x), h(x), f(x) + g(x), g(x) + h(x), h(x) +f(x), có tất biệt số 2011 Hãy tìm tập nghiệm phương trình : f(x) + g(x) + h(x) = Bài (4 điểm) Cho a, b, c số dương Chứng minh Bài (4 điểm) Trên hai cạnh BC AB tam giác nhọn ABC lấy điểm A C1 khác đỉnh tam giác ABC Các đoạn thẳng AA1 CC1 cắt K Gọi P giao điểm khác B đường tròn ngoại tiếp tam giác BAA1 BCC1 Chứng minh P tâm đường tròn nội tiếp tam giác AKC P trực tâm tam giác ABC Bài (4 điểm) Gọi A tập phần tử cho với (p;q) x , p < q ≤ 2011,x chia hết Gọi B tập phần tử cho 15 với (p;q) x , p < q ≤ 2011,y chia hết Tính : Bài (4 điểm) Cho A = {1, 2, 3, …, 2010} σ hoán vị tập A Gọi X tập hợp bao gồm phần tử có dạng với i phần tử A thỏa mãn điều kiện : Tìm giá trị lớn - Hết - Sở GD&ĐT Thừa Thiên - Huế Trường THPT Chuyên Quốc Học o ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ CHỌN HỌC SINH GIỎI DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN THỨ IV MƠN TỐN – LỚP 10 ĐÁP ÁN Bài Bài Nội dung Cho sáu tam thức bậc hai với hệ số thực sau : f(x), g(x), h(x), f(x) + g(x), g(x) + h(x), h(x) +f(x), có tất biệt số 2011 Hãy tìm tập nghiệm phương trình : f(x) + g(x) + h(x) = Ta có: f(x) = a1x2 + b1x + c1 có biệt số Δ1 = b12 - 4a1c1 g(x) = a2x2 + b2x + c2 có biệt số Δ2 = b22 - 4a2c2 h(x) = a3x2 + b3x + c3 có biệt số Δ3 = b32 - 4a3c3 Gọi Δ12 , Δ23 ,Δ31 , Δ123 biệt số : f(x)+g(x) , g(x)+h(x) , h(x) + f(x) , f(x)+g(x)+h(x) Ta có : Δ12 + Δ23 + Δ31 - ( Δ1 + Δ2 + Δ3 ) =[(b1+b2) - b32 ] - ( 4(a1 +a2)(c1 + c2 + c3) - 4(a1 + a2)c3 ) + 4a3c3 + [(b2+b3) – b12 ] - ( 4(a2 +a3)(c1 + c2 + c3) - 4(a2 + a3)c1 ) + 4a1c1 + [(b3+b1) – b22 ] - ( 4(a3 +a1)(c1 + c2 + c3) - 4(a3 + a1)c2 ) + 4a2c2 = (b1+b2 + b3) - 4(a1 +a2 +a3)(c1 + c2 + c3) = Δ123 Do Δ1 = Δ2 = Δ3 = Δ12 = Δ23 = Δ31 Δ123 = Trường hợp a1 +a2 +a3 ≠ Lúc : f(x)+g(x)+h(x) = k(x-α))2 Với k = a1 +a2 +a3 ≠0 Ta có : f(x + α)) + g(x + α)) + h(x + α)) = kx2 , với x Đặt : f(x + α)) = A1x2 + B1x + C1, g(x + α))=A2x2 + B2x + C2, h(x + α)) = A3x2 + B3x + C3 Ta có : A1 +A2 + A3 = k, B1 + B2 + B3 =0, C1 + C2 + C3 = (1) Chú ý hai tam thức f(x) F(x) = f(x + α)) có biệt số giống Do từ giả thiết ta có tam thức f(x + α)) g(x + α))+h(x + α)) có biệt số 2011, : 2011= B 12 - A1C1 2011= (B2 +B3 )2 - 4(A2 +A3 )(C2 + C3 ) Dùng (1) : 2011= (-B1)2 – 4(k- A1)(- C1) = B12 - A1C1+ 4kC1 = 2011 + 4kC1 Suy : C1 =0 Lúc B12 = 2011 , C2 + C3 =0 , (B2 +B3 )2 = 2011 Tương tự ,với tam thức g(x + α)) h(x + α)) +f(x + α)) có biệt số 2011 nên có B22 = 2011 Các tam thức h(x + α)) f(x + α)) + g(x + α)) có biệt số 2011 nên có B32 = 2011 Như (B2 +B3)2 lấy giá trị : 8044 hay Mâu thuẩn với (B2 +B3 )2 = 2011 Điểm 1,5 2.Trường hợp a1 +a2 +a3 = Lúc : b1+b2 + b3 = f(x)+g(x) = - a3x2 - b3x + (c1+ c2) Do Δ12 =Δ3 nên b32 + 4a3 ( c1 +c2) = b32 - 4a3c3 Ngoài : a3≠0 nên c1 + c2 + c3 = Từ tập nghiệm phương trình : f(x) + g(x) + h(x) = tập Bài Nội dung 0,5 Điểm Cho a, b, c số dương Chứng minh : +Từ ta suy 0.5 Bài + Ta có : , Suy 1.5 Dấu xảy Bài Nội dung Điểm Trên hai cạnh BC AB tam giác nhọn ABC lấy điểm A1 C1 khác đỉnh tam giác ABC Các đoạn thẳng AA1 CC1 cắt K Gọi P giao điểm khác B đường tròn ngoại tiếp tam giác BAA1 BCC1 Chứng minh P tâm đường tròn nội tiếp tam giác AKC P trực tâm tam giác ABC B A1 C1 0,5 K P A Bài C 1) Cho P tâm đường tròn nội tiếp tam giác AKC Chứng minh P trực tâm tam giác ABC + Chứng minh tam giác A1PC cân P Do KA1P = ABP KCP = C1BP nên : KA1P = KCP Tứ giác A1KPC nội tiếp Suy A1CP = PKA = PKC = PA1C Vậy tam giác A1PC cân P + Chứng minh tam giác A1AC cân A Do P cách AA1 AC PA1=PC nên PA1A = PCA Từ AA1C = ACA1 Vậy tam giác A1AC cân A Suy : AP CB Tương tự : CP AB 2) Cho P trực tâm tam giác ABC Chứng minh P tâm đường tròn nội tiếp tam giác AKC + Do P trực tâm tam giác ABC nên : PCA = ABP = KCP Vậy CP phân giác ACK + Tương tự AP phân giác CAK Từ P tâm đường trịn nội tiếp tam giác AKC 1,5 Bà i Bà i4 Nội dung Gọi A tập phần tử Điểm với (p;q) x , p < q ≤ 2011, x chia hết cho Gọi B tập phần tử với (p;q) x , p < q ≤ 2011,y chia hết cho 15 Tính + Ta có 2011 số nguyên tố 0,5 + Chứng minh: (p,q)≠ (p’,q’) (p < q, p’ < q’) Thật trái lại: (*) Nếu p=p’ q=q’ Nếu p