SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LẠNG SƠN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2019– 2020 01698735393 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn thi: Tốn – THPT Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi:05/12/2020 (Đề thi gồm 01 trang có câu) Câu (4 điểm) a Tìm tất giá trị tham số m để hàm số dấu y x x m 1 x 3m có hai điểm cực trị trái y f x a x bx x c y g x b Cho hàm bậc ba đường thẳng có đồ thị hình vẽ bên AB 5 Giải phương trình f x g x x Câu (6 điểm) x x 13 x y y 10 y x y 3 y a Giải hệ phương trình tập số thực sin x cos x cos x sin x 1 sin x b Giải phương trình 2 a, b, c, d , e 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9 Câu (2 điểm) Gọi S tập số có chữ số đơi khác abcde với Chọn ngẫu nhiên số từ S Tính xác suất để số chọn số chẵn a b c d e Câu (2 điểm) Một khách sạn có 50 phịng Hiện phịng cho th với giá 400 nghìn đồng ngày tồn phòng thuê hết Biết lần tang giá lên 20 nghìn đồng có thêm phòng trống Hỏi Giám đốc phải chọn giá phòng để số tiền thu khách sạn ngày lớn ? Câu (6 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ', AB 2 3, AA ' 4 Gọi M trung điểm AA ', G trọng tâm tam giác A ' B ' C ' a Gọi I giao điểm MB ' với A ' B J giao điểm MC ' A ' C Tính thể tích khối chóp A '.B ' C ' JI b Tính khoảng cách hai đường thẳng BC MG c Biết P mặt phẳng qua MG song song với B ' C ' Tính tang góc mặt phẳng P mặt phẳng A ' B ' C ' -Hết - Họ tên thí sinh: ………………………………… Số báo danh………… Chữ kí giám thị số 1:… .………Chữ kí giám thị số 2:… ……… Câu a Tìm tất giá trị tham số m để hàm số dấu y x x m 1 x 3m có hai điểm cực trị trái y f x a x bx x c y g x b Cho hàm bậc ba đường thẳng có đồ thị hình vẽ bên AB 5 Giải phương trình f x g x x Giải a y ' 3x x m 1 Hai điểm cực trị hàm số cho trái dấu phương trình y ' 0 có hai nghiệm trái dấu m 1 3.3 m 1 m 1 y f x a x3 bx x c C b A, B hai điểm thuộc đồ thị hàm số bậc ba Ta có: 1 A 1; a b c 3 2 B 2;8a 4b c 3 9a 3b 1 x y 6a 6b 3c 0 Vậy đường thẳng d qua A, B có phương trình là: 1 C 1; a b c d 3 Gọi C giao điểm thứ d , ta có: 9a 3b 3a 3b 3c 6a 6b 3c 0 C 2a b 0 1 Vì y A yB 8a 4b c a b c 3 9a 3b Ta có AB 5 AB 25 2 1 8a 4b c a b c 25 3 9a 3b 1 25 9a 3b 4 TM 9a 3b KTM 2a b 0 1 a b Từ ta có hệ phương trình Vậy d có phương trình là: x y 3c 0 g x x c Hay Vậy C : y f x x x x c a 1 b Ta có: f x g x x x3 x x c x x c 3 3 x x x 0 x 0 13 x x 13 Câu (6 điểm) x x 13 x y y 10 x y x y 3 y a Giải hệ phương trình tập số thực sin x cos x cos x sin x 1 sin x b Giải phương trình Giải a Điều kiện x y 0 , x y 0 2 Ta có: x x 12 x x 10 y y 10 x x 10 y y 10 Xét hàm số * f t t t 10, t f ' t 3t 0, t Hàm số Suy 3x f t * đồng biến y x , thay vào (2), ta x 5 x x 3x 1 x 0 x x x 0 3x 2x x 3 0 3x x x 3 0 3x x x 3 3;1 Vậy hệ có nghiệm sin x cos x cos x sin x 1 sin x b) cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x 0 sin x cos x sin x cos x 0 x k 2 x k 2 k x k 2 Câu a, b, c, d , e 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9 Gọi S tập số có chữ số đôi khác abcde với Chọn ngẫu nhiên số từ S Tính xác suất để số chọn số chẵn a b c d e Giải n S A95 Số phần tử tập hợp S : Gọi A biến cố: “Chọn số chẵn abcde từ tập S cho a b c d e Nhận thấy e chữ số chẵn chữ số lớn chữ số a, b, c, d , e nên e 6 e 8 a, b, c, d 1; 2;3; 4;5 C4 TH1: e 6 , chọn chữ số xếp theo thứ tự từ bé đến lớn có cách a, b, c, d 1; 2;3; 4;5;6; 7 C4 TH2: e 8 , chọn chữ số xếp theo thứ tự từ bé đến lớn có: cách Do đó: n A C54 C74 40 P A Vậy 40 A9 378 Câu Một khách sạn có 50 phòng Hiện phòng cho thuê với giá 400 nghìn đồng ngày tồn phịng thuê hết Biết lần tăng giá lên 20 nghìn đồng có thêm phịng trống Hỏi Giám đốc phải chọn giá phòng để số tiền thu khách sạn ngày lớn ? Giải Cứ lần tăng giá lên thêm 20 nghìn đồng có phịng trống, tăng giá lên 10 nghìn đồng có phịng trống Gọi số phịng trống x x 50 giá tiền phòng 400 000 10 000x (đồng) Tổng số tiền thu khách sạn ngày là: T x 400 000 10 000 x 50 x (đồng) Lập bảng biến thiên ta có số tiền lớn thu 20 250000 đồng với x 5 hay giá tiền phịng 450000 đồng Câu Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ', AB 2 3, AA ' 4 Gọi M trung điểm AA ', G trọng tâm tam giác A ' B ' C ' a Gọi I giao điểm MB ' với A ' B J giao điểm MC ' A ' C Tính thể tích khối chóp A '.B ' C ' JI b Tính khoảng cách hai đường thẳng BC MG c Biết P mặt phẳng qua MG song song với B ' C ' Tính tang góc mặt phẳng P mặt phẳng AB ' C ' Giải a) Dễ thấy I trọng tâm tam giác AA ' B ' , J trọng tâm tam giác ACC ' VM A ' I J Ta có VM A ' B 'C ' MI MJ 1 MB ' MC ' 3 VA ' B 'C ' JI VM A ' B 'C ' VM A ' IJ VM A ' B 'C ' 1 VM A ' B 'C ' MA '.S A ' B 'C ' 3 Mà 16 VA '.B 'C ' JI VM A ' B 'C ' 9 Suy ra: 2 PQ B ' C ' P A ' B ', Q A ' C ' b) Qua G kẻ đường thẳng A ' B BB ' Ta có Gọi E , F giao điểm đường thẳng MP với d BC , MG d BC , MPQ d B, MPQ h d A ', MPQ BE d A ', MPQ A'E Ta có: 1 1 1 h 2 2 h A 'G A'M 2 5 d BC , MG 2 TPQ AB ' C ' c) Gọi T điểm cạnh AA ' cho PT AB ' Suy ra: Suy TPQ , MPQ AB ' C ' , MPQ Dễ thấy hai tam giác TPQ MPQ tam giác cân suy tan AB ' C ' , MPQ Ta có: TPQ , MPQ AB ' C ' , MPQ TGM 1 tan TGA ' tan MGA ' tan TGM tan TGA ' MGA ' tan TGA '.tan MGA '