Nguyễn Duy Tuấn, Nguyễn Khánh Ly, Bùi Đức Dũng Đề thi nm 2011-2012 Cõu Giải phơng trình: x x 10 2 x Lời giải x x 10 2 x 2 a) + Điều kiện: x 2 + Phương trình ban đầu tương đương: ( x 2)( x 5) x 0 x 2[( x 5) x 2] 0 x 2 ( x 5) x 2 (2) +Ta có: x 5 (2) ( x 5) ( x 2) 4 x 5 x 12 x 45 x 54 0 x 5 ( x 6)( x 3) 0 x 6 +Vậy phương trình cho có tập nghiệm: S={2;6} x y x y Câu Giải h phơng trình: y xy x Lời giải 2 x y x y ( x 1) ( y 1) 2 y xy x ( y x) ( x 1) a x +Đặt b a y Khi đó, hệ ban đầu trở thành: b y a b a b ( II ) 2 ( b a ) a b ab 5a 5b 15 (1) 3b 6ab 15 (2) Trừ vế theo vế (1) (2) ta có: 5a 6ab 8b 0 (a 2b)(5a 4b) 0 a 2b a 4b - Với a = -2b, hệ (II) trở thành: a 2b a 2b 2 ( 2b) b b Hệ phương trình vơ nghiệm 4b - Với a , hệ trở thành: 4b 4b a a 16b b b 25 25 x 1 hay y 1 +Đáp số: (x;y)=( x 1 y 1 5 ;1 ); (x;y)=( ;1 ) 3 Câu Tam giác ABC có độ dài cạnh a, b, c có diện tích 1.Chứng minh rằng: 2012a 2010b 1005c 4 2010 Lời giải +Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: (1005a 1007 a ) (1005b 1005b ) 1005c 4 2010 S 1005b 1007a 4 2010 S 1005(a b c ) 1005a 1007b 4 2010 ab sin C 1005.2ab cos C 2 1005a 1007b 2010.sin C 1005.cos C (1) 2ab +Áp dụng AM-GM: 2ab 1005.1007 VT (1) 2010 10052 2ab +Áp dụng Cauchy Schwarz: VP(1) (2010 10052 )(sin C cos C ) 2010 10052 Từ suy điều phải chứng minh Câu Nhận dạng tam giác ABC biết góc A, B, C tam giác thỏa mãn hệ thức sin C 2 sin A.cos B Lời giải Áp dụng định lí hàm số Sin Cosin Ta có: sin C 2 sin A.cos B c a c b2 a ac 2 a b 0 a b Vậy ABC cân A Câu Cho hình thoi ABCD , biết đường thẳng AB, AC có phương trình x y 0 , 13 3x y 0 đường thẳng BC qua điểm M 4; Lập phương trình đường thẳng CD 2 Lời giải Tọa độ điểm A nghiệm hệ: x y 0 x 3 x y 0 y 5 Suy A(-1;5) 13 +Đường thằng BC qua M(-4; ) nên có phương trình là: 13 BC: a.( x 4) b.(y ) 0 Ta có: cos(BC,AC)=cos(AB,AC) a.3 b.( 1) 3.2 ( 1).( 1) 10 a b 10 49 (3a b) (a b ) (a-2b)(2a+11b)=0 2a+11b =0 (Do a-2b=0 BC//AB) Chọn a=11 suy b=-2 Khi BC: 11x y 57 0 +Tọa độ điểm C nghiệm hệ: 41 x 11x y 57 0 3 x y 0 y 83 41 83 Suy C( ; ) 5 41 83 +Đường thẳng CD qua C( ; ) nhận n AB (2;-1) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình 5 là: 41 83 CD: 2( x ) (y ) 0 5 CD: 10 x y 0 +) Đáp số: CD: 10x-5y-1=0 Câu Các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x xy y M yz y yz z z zx x zx xy Lời giải x xy y y yz z z zx x M yz zx xy 1 +) Ta chứng minh 3 x xy y x y (* ) 2 Thật 1 x y ) 0 , (*) ( 2 Tương tự ta có: 3 y z 2 3 z yz x z x 2 +) Đặt: x y a y z b suy : a b c 3 z x c y yz z Ta có: M 3 a b c 2 b 1 c 1 a 1 = 3 ab bc ca a b c ( ) b2 1 c2 1 a 1 3 ab bc ac ) (a b c) ( 3 ( a b c) 3 a b c = +Dấu đẳng thức xảy x=y=z= 3 +Vậy giá trị nhỏ M