ĐỀ SỐ 75 Câu Tìm m để đường thẳng d : y x 2m tiếp xúc với parabol P : y x x 3m Đáp án Hoành độ giao điểm nghiệm phương trình: x x 3m x 2m x x m 0 Đường thẳng tiếp xúc với parabol phương trình có nghiệm kép 0 4m 0 m Câu Giải phương trình: x x x x 3 Đáp án Đặt t x 3x x x t 2 Phương trình thành: t t 3 t 3 t 3 t 2 t 1 t t Suy x x 0 x 1; 2 Vậy tập nghiệm phương trình x 1; 2 (cos x 1).(sin x sin x cos x 2) 1 (1) Câu Giải phương trình: sin x.(1 cos x) Đáp án x k s inx 0 (k Z ) *ĐK: 1 cosx x k 2 * Ta có: (1) (cos x 1).(sin x sin x cos x 2) sin x sin x (2) Khi đó: (2) (cos x 1).(sin x sin x cos x 1) (cos x 1) sin x sin x (cos x 1).(sin x sin x cos x 1) (sin x sin x cos x 1) 0 (cos x 2).(sin x sin x cos x 1) 0 sin x sin x cos x 0 (sin x cos x 1)(sin x cos x 2) 0 x k 2 (k ) sin x cos x 0 cos x x k 2 Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm phương trình là: x k 2 (k ) x y x y 2 y (1) Câu Giải hệ phương trình (2) x y 3 Đáp án x y Điều kiện 2 y x 0 x y x y 2 y x x y 4 y x y 2 y x 2 x y (2 y x) 2 y x 2 y x y 0 5 y xy 0 y 4 x Với y 0 thay vào (2) ta suy x 9 (loại) Với y 4 x thay vào (2) ta có x 1 x 1 y 4 Vậy hệ phương trình có nghiệm 1; 5 (thỏa mãn) x y 2 x Câu Giải hệ phương trình 3 2 x y 7( x y ) xy 8 xy 2( x y ) Đáp án x Điều kiện y 0 Đặt a x y b x y 2a b 4 xy (2) x y x y 12 xy 16 xy x y a 6a 2b 4 2a b b a b 3a 2b 0 a b 2x x 2 x x y thay vào (1) x 2 x 3 2x x x 3 2x x 1 Vì x nên phương trình x x vơ nghiệm 2 Với x 3 hệ có nghiệm x; y 3;3 1 1 2 a 2b b 2c c 2a a , b , c Trong số thực dương thỏa mãn: abc 1 Đáp án 2 2 Ta có a b 2ab; b 2b a 2b 2 ab b 1 Câu Chứng minh rằng: 1 a 2b ab b 1 1 Tương tự ta có 2 b 2c bc c 1 1 2 c 2a ac a 1 1 ab b Ta lại có ab b bc c ac a ab b ab c abc ab abc ab b Suy ab b ab b 1 ab b ab b ab b ab b 1 1 Vậy 2 2 a 2b b 2c c 2a u1 5 Câu Cho dãy số un xác định , n 1 Tính lim un n un n 1 un n Đáp án 1 un 0, n N * ; unn11 unn n unn11 unn n 5 Do đó: u2 u1 ; u33 u22 52 unn unn 11 5n 1 1 Suy ra: n 1 1 un u1 n 5 n 1 1 n un n n 1 1 n (theo bất đẳng thức côsi) un n 1 n n 5 Mặt khác lim 1 Vậy lim un 1 n Câu Có số tự nhiên có 10 chữ số đơi khác nhau, chữ số 1, 2, 3, 4, xếp theo thứ tự tăng dần từ trái qua phải chữ số 1, 2, 3, 4, 5, khơng xếp Đáp án Theo u cầu tốn chữ số 1, 2, 3, thiết phải đứng trước chữ số Do chữ số đứng vị trí a6;7;8; 9;10 Ta xét vị trí 5, vị trí vị trí (1,2,3,4) cuối vị trí chữ số lại Xét trường hợp: +) a10 5 có vị trí cho (1,2,3,4) có C8 cách; bốn chữ số cịn lài 0,7,8,9 có 4! cách xếp 4 4 nên có 9.C8 4! tính a1 0 Khi a1 0 có 8.C7 3! nên trương hợp có 9.C8 4! 8.C7 3! số 4 +) a9 5 8.C7 4! 7.C6 3! 4 +) a8 5 7.C6 4! 6.C5 3! 4 +) a7 5 6.C5 4! 5.C4 3! +) a6 5 5.C4 4! Do có thảy 22680 số Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD Các đường thẳng AC AD có phương trình x + y = x - y + = ; đường thẳng BD qua im ổ1 Mỗ - ;1ữ ữ ỗ ữ Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD ç è ø Đáp án ïì x + y = Þ A ( - 3;1) Tọa độ điểm A thỏa mãn hệ ïí ïïỵ x - y + = Gọi N điểm thuộc AC cho MN //AD Suy MN có phương trình x - y + = ìï ïï x - y + = ổ 1ử ị Nỗ - 1; ữ Vỡ N thuộc AC , nên tọa độ điểm N thỏa mãn h ữ ỗ ữ ỗ ùù ố 3ứ ùợ x + y = Đường trung trực D MN qua trung điểm MN vuông góc với AD , nên có phương trình x+ y =0 Gọi I K giao điểm D với AC AD ìï x + y = Þ I ( 0;0) Suy tọa độ điểm I thỏa mãn hệ ïí ïïỵ x + y = ìï x + y = Þ K ( - 2; 2) tọa độ điểm K thỏa mãn hệ ïí ïïỵ x - y + = uuu r uur uuu r uuur AC = AI Þ C ( 3; - 1) ; AD = AK Þ D ( - 1;3) uuu r uuu r BC = AD Þ B ( 1; - 3) Câu 10 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật SA vng góc với mặt phẳng ABCD Biết AB a, BC a SD a a) Đường thẳng qua A vng góc với AC cắt đường thẳng CB, CD I , J Gọi H hình chiếu vng góc A SC Hãy xác định giao điểm K , L SB, SD với HIJ chứng minh AK SBC b) Tính diện tích tứ giác AKHL S H L J K D A I B C Đáp án Trong SCD gọi L SD JH L SD HIJ Trong SBC gọi K SB IH K SB HIJ IJ AC IJ SAC IJ SC , mà AH SC Suy SC IJH Ta có IJ SA Suy AK SC Mà BC SAB BC AK Vậy AK SBC SA AC 2a SA AB 2a b) Ta có SA SD AD a ; AH ; AK 2 2 SA AC SA AB 2a 2 Do AK SBC AK KH , KH AH AK Tương tự phần (a) AL SCD AL HL Từ tính LH AH AL2 a 15 1 8a Suy S AKHL S AKH S ALH AK KH AL.LH 2 15