SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA ĐỀ THI GIAO LƯU ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 11 CÁC TRƯỜNG THPT HUYỆN NƠNG CỐNG NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn thi: Toán – Lớp 11 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 24 tháng 02 năm 2019, THPT Nơng Cống ĐỀ CHÍNH THỨC ========== Câu I (4,0 điểm) 1) Cho parabol P : y x mx đường thẳng d : y mx 3m Tìm tất giá trị m để d cắt P hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 cho biểu thức P x12 x22 đạt giá trị nhỏ 2) Giải phương trình: x x 4 x( x 4) Câu II (4,0 điểm) 1) Giải phương trình: sin x cos x 3sin x cos x 0 x y x y xy y 8 y 2) Giải hệ phương trình: x y y y Câu III (4,0 điểm) 1) Chọn ngẫu nhiên số tập hợp tất số tự nhiên có chữ số Tính xác suất để chọn số chia hết cho chữ số hàng đơn vị 2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân A , phương trình đường thẳng AB, AC x y 0, x y 14 0 Gọi D trung điểm BC , E trung điểm AD, 8 M ; hình chiếu vng góc D BE Tìm tọa độ điểm A, B, C 5 Câu IV (4,0 điểm) u1 2018 1) Cho dãy số (un) xác định Hãy lập cơng thức tính un theo n n 4n u , n un 1 n 2n 4n tính lim un 2) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn ac 12 bc 8 Tìm giá trị nhỏ 1 biểu thức D a b c ab bc ca abc Câu V (4,0 điểm) 1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA a , SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M điểm khơng gian, tìm giá trị nhỏ biểu thức: MA2 MB MC MD MS 2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành M trung điểm SC Một mặt phẳng (P) chứa AM cắt cạnh SB, SD điểm B', D' khác S Chứng minh rằng: SB ' SD ' SB SD -Hết ĐỀ HSG NÔNG CÔNG – THANH HÓA NĂM 2017-2018, ĐỀ SỐ 73 Câu 1: Cho parabol P : y x mx đường thẳng d : y mx 3m Tìm tất giá trị m để d 2 cắt P hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 cho biểu thức P x1 x2 đạt giá trị nhỏ Lời giải + Phương trình hoành độ x 2mx 3m 0 15 + Ta có m 3m m 0, m 2 39 39 Ta có: P 2m 2 4 x1 x2 2m + Áp dụng định lí vi-et x1 x2 3m + Ta có P x12 x22 x1 x2 x1 x2 4m 6m 12 39 + Vậy giá trị nhỏ P m 4 Câu 2: Giải phương trình: x 3x 4 x( x 4) Lời giải Giải phương trình: x x 4 x( x 4) (1) Điều kiện: x 0 (*) Vì x 0 khơng phải nghiệm phương trình x2 1 x x2 x2 (1) 3 4 x2 x x 3 x TH1: x2 1 x x 0 (phương trình vơ nghiệm) x x2 65 3 x x 0 x (thỏa mãn) x 65 Vậy tập nghiệm phương trình S Câu 3: Giải phương trình: sin x cos x 3sin x cos x 0 Lời giải Phương trình sin x cos x cos x 2sin x 3sin x 0 cos x(2sin x 1) (2sin x 1)(sin x 1) 0 TH2: 5 sin x x k 2 , x k 2 2sin x 0 6 cos x cos x sin x 0 x k 2 , x k 2 4 2 5 Vậy (1) có nghiệm: x k 2 , x k 2 , x k 2 , x k 2 , k Z 6 x y x y xy y 8 y Câu 4: Giải hệ phương trình: x y y y Lời giải 3 3 x y x y xy y 8 y 1 Giải hệ phương trình: 2 x y y y Nhận thấy y = không thỏa mãn hệ phương trình Xét y 0 , chia hai vế (1) cho y ta x 3x x y3 y 2 2 ( x 1) 3( x 1) 3 y y (3) 2 ( x 1) (3) có VT > VP nên (3) vơ nghiệm y y Chia hai vế (2) cho y ta x 3 y y Thế y x vào phương trình ta +) Nếu x x 2( x 1) 3 3( x 1) x x 3( x 1) 3( x 1) (4) Lập luận tương tự ta có x 3 3( x 1) x x 3 (5) +) Nếu x x 3x x x 3 (5) khơng có nghiệm x ( 2;2) nên 1 x t (5) trở thành: t 3 t t (t ) 3t 0 t1 3 x 2 ta đặt ; t 3 2 Do: t1 t 1 , nên (5) có nghiệm x 3 3 a 2 với a 3 3 Suy hệ có nghiệm ( x; y ) a; a 2 Câu 5: Chọn ngẫu nhiên số tập hợp tất số tự nhiên có chữ số Tính xác suất để chọn số chia hết cho chữ số hàng đơn vị Lời giải Gọi A biến cố chọn số chia hết cho chữ số hàng đơn vị Số số tự nhiên có chữ số: 99999 10000 90000 số phần tử không gian mẫu A Giả sử số tự nhiên có chữ số chia hết cho chữ số hàng đơn vị là: abcd1 Ta có abcd1 10.abcd 3.abcd 7.abcd 1 chia hết cho 3.abcd chia hết cho Đặt h 3.abcd 7h abcd 2h số nguyên h 3t với t Z Khi ta được: abcd 7t 1000 7t 9999 998 9997 t t 143, 144, , 1428 suy số cách chọn t cho số abcd1 chia hết cho 7 chữ số hàng đơn vị 1286 số kết thuận lợi biến cố A 1286 0, 0143 Vậy xác suất cần tìm là: P ( A) 90000 Câu 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân A , phương trình đường thẳng AB, AC x y 0, x y 14 0 Gọi D trung điểm BC , E trung điểm AD, 8 M ; hình chiếu vng góc D BE Tìm tọa độ điểm A, B, C 5 Lời giải Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân A , phương trình đường thẳng AB, AC lần 8 lượt x y 0, x y 14 0 Gọi D trung điểm BC , E trung điểm AD, M ; 5 hình chiếu vng góc D BE Tìm tọa độ điểm A, B, C A E M D B C 5 x y 0 x 1 A 1;3 Tọa độ điểm A thỏa mãn x y 14 0 y 3 Cách 1: Xét hai tam giác AEM CDM ; AEM 900 EBD MDC ME ME MD MD ( Vì MDE , DBE hai tam giác đồng dạng) EA ED BD CD AME CMD AME CME CMD CME 900 CM MA ME DE MBD , Cách 2: Ta có MDE , MBD đồng dạng nên MDE hay ME.BD DE.MD ; MD BD AM CM AE EM CD DM AE.DM EM CD DE.DM cos MDE EM DB.cos MBD 0 Do đó, AM CM 8 7 Đường thẳng CM qua M ; , vectơ pháp tuyến AM ; có phương trình 5 5 9 8 x y 0 x y 0 5 5 x y 0 x 6 C 6; Tọa độ điểm C thỏa mãn x y 14 0 y 4 b 0 2 Gọi B b;5b ta có AB AC b 1 5b 26 b 2 b 0 B 0; thỏa mãn b 2 B 2;8 loại A, B 2;8 phía với CM u1 2018 Câu 7: Cho dãy số (un) xác định Hãy lập công thức tính un theo n n 4n u un , n 1 n 1 2 n 4n lim u tính n Lời giải un 1 ( n 1) 2(n 1) u un n Ta có un 1 2 n 2n (n 1) 2( n 1) n 2n u 1 u 2018 Đặt n 1 (vn) cấp số nhân có cơng bội q số hạng đầu v1 n 2n 2 3 2018 4036 n 2n un n 3 2n n(n 1)(n 2) n n 3 +) Ta có (1 1) Cn Cn Cn Cn Cn Cn n 2n un 8072 n(n 1)(n 2) 2 n 2n n n lim 8072 8072 lim 0 lim un 0 n(n 1)(n 2) 2 1 1 n n Câu 8: Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn ac 12 bc 8 Tìm giá trị nhỏ 1 biểu thức D a b c ab bc ca abc Lời giải Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có a b a b ab 3 · · 3, dấu “=” xảy ab ab ab b c b c bc 3 · · 3, dấu “=” xảy bc bc bc (1) (2) c a 12 c a 12 c a 12 3 · · 3, dấu “=” xảy (3) ca ca ca a b c 24 a b c 24 a b c 24 4 · · · 4, dấu “=” xảy (4) abc abc abc 32 84 24 26 78 40 hay 3D 40 ab bc ca abc bc ca 1 1 Do Mặt khác, từ giả thiết suy ca 12 bc 1 13 117 121 40 3D 26 78 3D 39 3D D bc ca 12 12 a 3, b 2, c Dấu đẳng thức xảy 121 , đạt a 3, b 2, c 4 Vậy, giá trị nhỏ biểu thức D 12 Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA a , SA vng góc với mặt phẳng (1) (2) (3) (4) a b c (ABCD) Gọi M điểm khơng gian, tìm giá trị nhỏ biểu thức: MA2 MB MC MD MS Lời giải 2 2 2 Với điểm I ta ln có MA MB MC MD MS ( MI IA) ( MI IB) ( MI IC ) ( MI ID ) ( MI IS ) 5MI IA2 IB IC ID IS 2MI ( IA IB IC ID IS ) Chọn I thỏa mãn IA IB IC ID IS 0 IO IS 0 IS IO Suy I điểm thuộc đoạn SO cho IS = 4IO với O tâm đáy ABCD Khi 5MI IA2 IB IC ID IS IA2 IB IC ID IS Suy nhỏ M I 13a 2 2 SO SA OA Ta có BD AC 16 Suy IA2 IB IC ID IS 2 IO IO SO 2 25 16 16 36a 4 IO AC SO SO AC SO SO AC 25 25 25 5 36a Vậy nhỏ M I Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành M trung điểm SC Một mặt phẳng (P) chứa AM cắt cạnh SB, SD điểm B', D' khác S Chứng minh rằng: SB ' SD ' SB SD Lời giải D' M I D P O C B' A B N Lấy I = AMÇB'D' O = ACÇBD, Ta có: S, O, I điểm chung mặt phẳng (SAC) (SBD) S, O, I thẳng hàng Và I trọng tâm mặt chéo SAC SI SO Vẽ BP // B'I DN // D'I P, N SO OP ON x y Đặt x SD SB ; y SD ' SB ' SB SD SP SN 2SO 2 3 x, y [1; 2] (*) SB ' SD ' SI SI SI 2 1 Suy ra: 3 (1) x y xy xy Từ (*): x 2 x 3x 0 x(3 x) 2 x y 2 3 x y 1 (2) xy xy x y Từ (1) (2) ta có điều phải chứng minh