De so 70

ĐỀ HSG LỚP 11 – THPT VĨNH LỘC - NĂM 2018-2019 Câu 1: Cho parabol  P  : y  x   m  1 x  m  Tìm giá trị tham số m để  P  cắt trục hoành hai điểm phân biệt có hồnh độ x12   m  1 x2  x1 x2  m  0 Giải phương trình x   x   x  3x  0 Lời giải + Phương trình hồnh độ x   m  1 x  m  0  1  a 1 0, m + Ta có  nên ln tồn hai giao điểm phân biệt   m  3m   0, m + Vì x1 nghiệm phương trình  1 nên x1   m  1 x1  m  0 + Mặt khác x1   m  1 x2  x1 x2  m  0   x12   m  1 x1  m  3   m  1  x1  x2   x1 x2  2m  0   m  1  x1  x2   x1 x2  2m  0  m 1  x1  x2 2  m  1 + Theo vi-ét ta có  nên  m  1  m  0    m 5  x1 x2 m   + Đáp số m 1 m  + Điều kiện x 1 + Phương trình tương đương với x    x    x  x  0     x x    x  1  x   0 x  1 x 7 3 1     x  2    x   0 x 7 3  x  1  1   x  10 + Vì x 1 nên x  1 x 7 3 + Suy x 2  Câu 2: Giải phương trình: tan x  3cot x 4(sin x  3cosx) ( x  y )  3( x  y )  2( x  y  1)  Giải hệ phương trình:  ( x  y  2) x  x  y  Lời giải tan x  3cot x 4(sin x  3cosx) s in x  3cos x  4(s inx  cosx) s inx.c osx x1 , x2 thỏa mãn:  s inx  cosx 0    s inx - cosx  s inx.c osx 4  tan x = -  (Đều thỏa mãn s inx.c osx 0 )  s inx - cosx 4s inx.c osx     x = -  k x =  k      (Nghiệm x   k 2 tập con)  sin x sin  x     x  4  k 2     3   ( x  y )  3( x  y )  2( x  y  1)  (1) Giải hệ phương trình:  (2) ( x  y  2) x   x  y    Đặt x + y = u 0 Từ (1)   u    u    0  u 2 3u  2u    Thế y = – x vào (2) ta có: x  x  x   x3  (2 x  3) Đặt  x  v 0 2 Ta x v  xv x  v   v  x  x  v 0  v x   (Vì x  v 0 khơng thỏa) x 0   x 3 v=x    x  x  0 Vậy Hệ có nghiệm (x; y) = ( 3;  ) Câu 3: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c 3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  a3 b3 c3   b3 c 3 a3 Cho dãy số (un) xác định u1 2012   n  4n  u n , n 1 u n 1  2n  4n  Hãy lập cơng thức tính u n theo n tính lim un Lời giải + Áp dụng bất đẳng thức cô-si 2a b  3a a3 a3 b 3 a3 a3 b       3 8 b 3 b 3 b 3 b 3 b 3 + Hoàn toàn tương tự ta có 2b3 c  3b 2c a  3c        3 8 c 3 a 3 + Cộng bất đẳng thức  1 ,    3 ta a bc 9 2P    a  b2  c  a bc 9  2P    a  b  c 39  2P    P  2 + Vậy P   a b c 1 (n  1)  2(n  1) un 1 u u  un   n Ta có n 1 2 n  2n (n  1)  2(n  1) n  2n  1 Đặt    un u 2012  1   (vn) cấp số nhân có cơng bội q  số hạng đầu v1   3 n  2n 2 2012 4024 n  2n  u  n 2n  2n +) Ta có 2n (1  1) n Cn0  Cn1  Cn2  Cn3   Cn2 Cn3   un  8048 n  2n n( n  1)(n  2) n(n  1)(n  2)    n  2n n n2 lim  8048  8048 lim 0  lim un 0  2 n(n  1)(n  2)         n  n  Câu 4: Có hai hộp A B Hộp A chứa viên bi trắng, viên bi đen Hộp B chứa viên bi trắng, viên bi đen Người ta lấy ngẫu nhiên viên bi từ hộp A bỏ vào hộp B sau từ hộp B lấy ngẫu nhiên hai viên bi Tính xác suất để hai viên bi lấy từ hộp B hai viên bi trắng Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A   1;  1 đường tròn  T  :  x  3 2   y   25 Gọi B, C hai điểm phân biệt thuộc đường tròn  T  ( B, C khác A ) Viết phương trình đường thẳng BC , biết I  1;1 tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Lời giải Gọi  khơng gian mẫu Có 10 cách lấy viên bi từ hộp A Khi bỏ viên bi lấy từ hộp A vào hộp B số bi 2 hộp B 11 Khi có C11 cách lấy viên bi từ hộp B Do ta có n    10C11 Có cách lấy viên bi đen từ hộp A Khi bỏ viên bi đen lấy từ hộp A vào hộp B số bi trắng hộp B Khi có C7 cách lấy viên bi trắng từ hộp B Có cách lấy viên bi trắng từ hộp A Khi bỏ viên bi trắng lấy từ hộp A vào hộp B số bi trắng hộp B Khi có C8 cách lấy viên bi trắng từ hộp B 2 Vậy có tổng cộng 4C7  6C8 cách lấy theo yêu cầu Do xác suất cần tính P 4C72  6C82 126  10C112 275 A I AI : x  y 0 H B + Phương trình đường C D  x  y 0  D  6;6  + Tọa độ điểm D nghiệm hệ  2  x  3   y   25 + Chứng minh DB  DC  DI 5 Suy B, C thuộc đường trịn thứ hai có phương trình 2  x     y   50  x  3   y   25  x   x 7   + Tọa độ hai điểm B, C nghiệm hệ   2  y   x     y   50  y 5 + Vậy phương trình đường thẳng BC : 3x  y  17 0 Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có cạnh a Gọi I tâm hình vng CDC’D’, K trung điểm CB a Tính diện tích thiết diện theo a cắt hình lập phương ABCDA’B’C’D’ mặt phẳng (AKI) Câu 5: b Tính góc tạo hai đường thẳng A’D’ AQ với Q giao điểm (AKI) CC’ Lời giải Gọi J giao điểm AK CD Q giao điểm JI CC’; N giao điểm IJ DD’ Thiết diện tứ giác AKQN Chứng minh AKQN hình thang có đáy KQ, AN Chứng minh C trung điểm JD, K trung điểm JA, Q trung điểm JN SJKQ JK JQ 1     S AKQN SJAN  SJKQ 3SJKQ SJAN JA JN 2 D' C' CQ 1 CQ  ND QC '    CQ  a I N Q CC ' 3 D a 13 a a 10 Tính KQ  ; JK  ; JQ  C J JQ  JQ  KQ cosKJQ=  JK JQ 50 A' sin KJQ   cos KJQ  14a S JKQ  JK JQ.sin KJQ  12 14a S AKQN 3SJKQ  K B' A B Vì A’D’//AD nên góc tạo A’D’, AQ góc tạo AQ, AD Tính AQ  2 a 19 a 10 cos QAD  AQ  AD  QD  ; AD a; QD  AQ AD 19 3 -Hết -