ĐỀ HSG SỐ 48 5x x cos sin 2x 3cos x 2 0 2sin x sin x cos x cos Câu 1: Giải phương trình: Lời giải Phương trình cho tương đương với phương trình: sin 2x cos x cos 3x cos 2x sin 2x 3cos x 0 sin 2x cos x 1 cos 3x cos x cos 2x 1 cos x 1 0 sin 2x cos x 1 cos x.sin x 2sin x cos x 1 0 sin 2x cos x 1 2sin x cos x 1 cos x 1 0 cos x 1 cos x 1 sin 2x cos 2x 0 sin 2x 2sin x 0 1 cos x cos x 0 cos 2x sin 2x cos 2x 0 3 2 x 2k k x k; x k Đối chiếu điều kiện ta nghiệm phương trình là: x k; x 2 k2; x k2(k Z) 3 5x x cos sin 2x 3cos x 2 0 2sin x sin x cos x cos Câu 2: Giải phương trình: Lời giải 1 x y x y xy 16 x y Điều kiện x y Khi x y xy x y xy 16 x y x y xy x y xy 16 x y x y x y x y 0 x y 4 x y x2 y x y (Vì ) Thay x y 4 vào PT(2) ta được: x x 0 x 1 y 3 Vậy hệ có nghiệm (1;3) Câu 3: Từ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số tự nhiên gồm chữ số cho chữ số có mặt lần chữ số chẵn không đứng cạnh Lời giải Gọi n số thỏa mãn u cầu tốn, chữ có mặt lần nên n có chữ số khác chữ số lại trùng với chữ số - Nếu chữ số trùng số lẻ n có chữ số lẻ chữ số chẵn Có cách chọn chữ số lẻ trùng Đầu tiên ta xếp thứ tự chữ số lẻ: Có C5 c¸ch xÕp hai ch÷ sè lÏ trïng nhau, có 3! cách xếp chữ số lẻ lại ứng với cách xếp chữ số lẽ, ta có vị trí (trước, xen giữa, sau chữ số lẻ) xếp chữ số chẵn để số n Do có A6 cách xếp chữ số chẵn Trong trường hợp có 4C5 3! A6 28800 số - Nếu chữ số trùng chữ số chẵn n có chữ số lẻ chữ số chẵn Có cách chọn chữ số chẵn trùng Tương tự ta có 4! cách xếp chữ số lẽ, có vị trí để xếp chữ số chẵn Có C5 cách xếp hai chữ số chẵn trùng nhau, có A cách hai chữ số chẵn lại 2 Trong trường hợp có 3.4!C5 A3 4320 số Vậy có tất 28800 + 4320 = 33120 số thỏa mãn yêu cầu toán Câu 4: 2x Cho khai triển: 10 x 2 x 1 a o a1x a x a 14 x 14 Hãy tìm giá trị a Lời giải x +x+1= (2 x+ 1)2 + 4 Ta có ( 1+2 x )10 ( x +x +1)2 = (1+2 x )14 + (1+2 x )12 + (1+2 x )10 16 16 • Trong khai triển ( 1+2 x ) 12 Trong khai triển ( 1+2 x ) 10 Vậy hệ số Tính giới hạn x→∞ hệ số x 6 Đặt y 6 6 hệ số x là: C 12 hệ số x là: C 10 [ (√ x +2x −√ x +3x ) ] Lời giải x= là: C 14 6 6 6 C14 + C12 + C 10=41748 16 16 lim x Câu 5: 14 Trong khai triển ( 1+2 x ) a6 = nên x →∞ y →0 3 1+2 y−√ 1+3 y √1+2 y−(1+ y ) − √1+3 y−(1+ y ) √ I=lim =lim y2 y→0 =lim y →0 [ [ y2 y2 ] y ( y +3) − y2 + y √ 1+2 y +(1+ y ) y ( 3√(1+3 y )2 +(1+ y ) 3√ 1+3 y +(1+ y )2 ) [ =lim − y →0 I= y →0 y+3 ] 1 =− +1= 2 1+ y+ √ 1+2 y (1+ y)2 +(1+ y) √3 1+3 y+ √(1+3 y )2 Vậy + ] Câu 6: Xét hai dãy số: (an ),(b n ) thỏa mãn Chứng minh (a2006 + b2006)2 > 16039 a1 >0 ; b1 >0 ;an+1 =bn + 1 , bn+1=an + , n=1,2,3 an bn Lời giải Ta có Si = (ai + bi) (i=1,2,3….) Thì… Si+1 = (a i+1 + bi+1 1 ) = bi : (i=1,2, ) bi 2 = bi bi 1 1 +2 bi bi bi 1 bi bi Nên ta có: (a1 + b1)2 > 0; (a2 +b2)2 > 0; (a2 +b2)2 > (a1 + b1)2 + ……………………… (a2006 +b2006)2 > (a2005 + b2005)2 + Cộng bất đẳng thức ta có: (a2006 +b2006)2 > 2005 = 16040 > 16039 Câu 7: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình thoi MNPQ có M(1; 2), phương trình NQ x− y−1=0 Tìm toạ độ đỉnh cịn lại hình thoi, biết NQ = 2MP N có tung độ âm Lời giải Phương trình MP là: x y 0 x y 0 x 2 I 2;1 I MP NQ tọa độ I nghiệm hệ phương trình x y 0 y 1 I trung điểm MP nên suy P 3; phương trình NQ x y 0 nên tọa độ N, Q có dạng (m; m-1) Do NQ 2MP IN 4IM m m 4 12 12 m 4 m 4 m 0 Vì N có tung độ âm nên N(0; -1) Q(4; 3) Câu 8: Cho hình chóp S ABCD ABCD hình thang cân , có đáy AD / / BC BC 2a; AB AD DC a , a Mặt bên SBC tam giác Gọi O giao điểm AC BD Biết SD vuông góc với AC a) Tính SD qua điểm M thuộc đoạn OD ( M khác O, D ) song song với hai b) Mặt phẳng đường thẳng SD AC Xác định thiết diện hình chóp S ABCD cắt mặt phẳng ( ) ) Biết M MD x Tìm x để diện tích thiết diện lớn Lời giải a) Dễ thấy đáy ABCD hình lục giác cạnh a Kẻ DT//AC (T thuộc BC) Suy CT = AD = a DT vng góc SD Ta có: DT = AC = a Xét tam giác SCT có SC=2a, CT=a, SCT 1200 ST a Xét tam giác vng SDT có DT= a S K Q B C J P O , ST a SD 2a b) Qua M kẻ đường thẳng song song T A M N D với AC cắt AD, DC N,P Qua M, N, P kẻ đường thẳng song song với SD cắt SB, SA, SC K, J, Q Thiết diện ngũ giác NPQKJ Ta có: NJ, MK, PQ vng góc với NP 1 SNPQKJ SNMKJ SMPQK (NJ MK)MN (MK PQ)MP ( NJ MK ).NP (do NJ=PQ) NP MD AC.MD x.a NP 3x a AC OD OD Ta có: a 2a x NJ AN OM SD.OM 2(a x 3) NJ a SD AD OD OD KM BM SD.BM 2a a x KM (a x ) SD BD BD a 3 1 2(a x 3) (a x) x 2(3a x) x S Suy ra: NPQKJ = 1 3 a (3a x)2 x (3 a x ) x 4 3 3 a x a Diện tích NPQKJ lớn Câu 9: 17 2sin A.cos B.sin C cos A cos B cos C Tính góc tam giác ABC, biết Lời giải § k ⇔cos B[ cos( A−C )−cos( A+C )]+ √ 3(cos A+sin B+cos C )=17/ ⇔cos B−cos( A−C ) cos( A+C )]+ √ 3(cos A+sin B+cosC )=17 /4 ⇔cos A +sin2 B+cos C−√ 3(cos A+sin B+cosC )−9/4=0 2 √ + sin B− √ + cosC− √ =0 ⇔ cos A− ( )( )( ) ⇔ A=C=300 , B=1200 Câu 10: Cho a,b,c số thực dương a b c 3 Chứng minh : 2a b ab bc abc 7 Lời giải 3 1 M 2a b ab bc abc 2a b a.4b b.4c a.4b.16c 4 2 Ta có a 4b b 4c a 4b 16c 28(a b c) M 2a b 7 4 12 12 16 a ,b ,c 7 Dấu xảy HẾT