ĐỀ SỐ 81 Câu 1: Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị P P hàm số y ax bx Biết parabol qua A 1; có trục đối xứng đường thẳng x 2 Lời giải P hàm số y ax bx Biết parabol P qua Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị điểm điểm P P A 1; qua điểm có trục đối xứng đường thẳng x 2 A 1; a b 1 có trục đối xứng đường thẳng x 2 b 4a b 0 2a Từ 1 , ta a y x x có b 4 Bảng biết thiên x y Đồ thị Câu 2: 2;3 Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x thuộc đoạn x 3x m x 3x m 0 Lời giải Tập xác định: x 1;2 2 x 1;2 ta cóTừ bảng thấy Đặt: t x x t x x Với bảng biếnbiến thiên thiên để tìmtađiều kiện t sau: 1 t 0; Bài toán quy tìm m để bất x 1;2 phương trình sau với 1 t 0; 2 1 m 0; t D f t t mt m , ta có trường hợp sau: Xét có Trường hợp 1: Từ bảng biến m 0 m 0 , ta có bảng biến thiên sau: thiên ta để bất phương trình với 1 t 0; 2 1 t 0; 2 m 0 m 2 2 m 0 Trường hợp 2: Từ bảng biến m m 2 , ta có bảng biến thiên sau: thiên ta để bất phương trình với m m 2m Trường hợp 3: 0 m 1 m 2 , ta có bảng biến thiên sau: Từ bảng biến thiên ta để bất phương trình với m 1 m m2 m Tóm lại m 2 giá trị cần tìm Câu 3: Giải phương trình sau: sin x cos x 5sin x cos x 3cosx+4 0 Lời giải 5 cos x 0 x k 2 ĐKXĐ: s inx cos2x 5sin x 3cosx+3=0 Phương trình cho tương đương với 2sin x 1 s inx 3cosx+3 0 7 x k 2 x k 2 6 7 x k 2 x k 2 6 So sánh ĐK ta có nghiệm phương trình Câu 4: x x x3 x y y 3 x x x y Giải hệ phương trình sau: Lời giải 1 x 3 ĐKXĐ: y 1 x x x3 x 3 y x 1 x3 3x 3x y 3x 3x x3 y x x x y 0 y x 1 3 y 0 x 3x 3x y x 1 x 2 y2 y 2 0 1 t 0; Thay 2 ta x x2 x x x x2 6x x x 15 x 15 2 x x x x 15 x 15 0 36 x 261x 450 x 225 0 x 15 x 15 0 x 5 x x 5 x 1 Hệ có hai nghiệm y 62 hay Câu 5: x y 127 64 Cho a, b, c số thực dương thỏa điều kiện a b c 2 Tìm giá trị nhỏ 1 P a b c biểu thức Lời giải 1 1 1 a a3 a 3a 3a 3a 3 Ta có áp dụng BĐT côsi: 1 b 2 b 3 1 1 1 c c c c c c 9 3 P 10 94 a b c P 3 3 Dấu đẳng thức xảy khi: a 1, b 3, c Câu 6: un Cho dãy số 2019 u1 12 n u n n u , n 1 k n xác định k 1 lim n 2018 un Tính giới hạn Lời giải u1 u2 un n n 2 n 1 n 1 u un u1 u2 u n n 3 Ta có n 1 n 1 u u n n u n n n 3 n 1 n 1 n un un un n 3 n 3 n 2 2019 n 1 n n u1 n 3 n n n n 1 n 1 n 1 u n n 3 n 1 u n n 1 un un n 3 2019 n 2018 2019 lim n 2018 un lim n 3 n Câu 7: Bạn A chọn ngẫu nhiên số tự nhiên từ đến 1972, bạn B chọn ngẫu nhiên số tự nhiên từ đến 2019 Tính xác suất để số bạn A chọn bé số bạn B chọn Lời giải 1972.2019 Số phần tử không gian mẫu Giả sử bạn A chọn số tự nhiên x , bạn B có 2019 x cách chọn số lớn bạn A chọn 1972 Khi số cách chọn số bạn A bé số bạn B có Khi xác suất để số A chọn nhỏ số B chọn là: Câu 8: P (2019 x) 2036090 x1 2065 4038 C 7; , M Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nhọn có đỉnh trung điểm BC D hình chiếu vng góc M cạnh AC Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD cắt đoạn thẳng BC điểm E 4; 3 Biết điểm A cách gốc tọa độ khoảng nằm phía bên phải trục tung Tìm tọa độ điểm A Lời giải A D B M H C E Do tứ giác ABED nội tiếp nên ABC ∽ EDC nên CA.CD CB.CE BC , tương tự ta có Gọi H hình chiếu A AHC ∽ MDC CA.CD CH CM 1 CM BC CE CH CB.CE CH CM mà 2 E trung điểm CH Do C 7; , E 4; 3 H 1; CE 3; 1 Từ Phương trình AH : 3x y 0 3 b 0 A a; b , b 2 a b 25 Giải hệ ta tìm A 3; Gọi Câu 9: Cho tứ diện ABCD , có AB AC , AB BD Gọi P, Q chia đoạn AB CD theo tỉ số k Chứng minh hai đường thẳng AB PQ vng góc với Lời giải A P D B Q C Chọn hệ sở AB a, AC b, AD c AB AC a.b 0 ; Ta có: AB.BD a c a 0 a.c a AA k AB k PA k PB AP a 1 k 1 k Ta có: AC k AD k QC kQD AQ b c 1 k 1 k 1 k k k k PQ AQ AP a b c a c b 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k k 2 k AB.PQ a a c b a a.c a.b 0 1 k 1 k 1 k 1 k hai đường thẳng AB PQ vng góc với Vậy Câu 10: Cho tứ diện ABCD Mọi M , N , P trung điểm cạnh AB, BC , AD G trọng tâm tam giác BCD Tính góc hai đường thẳng MG NP Lời giải A M M B D N G C 1 AG a b c Đặt AB a, AC b, AD c véctơ không đồng phẳng a b c 1 Vì ABCD tứ diện nên giả sử a.b b.c c.a Và 1 MG AG AM a 2b 2c MG a 2b 2c 6 2 PN AN AP a b c PN a b c 2 MG.PN 2 cos = cos MG, PN arccos 6 MG PN