Sử dụng bất biến trong giải toán sơ cấp

„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC  Nguy¹n Trung Th nh SÛ DƯNG B‡T BI˜N TRONG GIƒI TON SÌ C‡P LUŠN V‹N TH„C Sž CHUY–N NG€NH: PH×ÌNG PHP TON Sè CP M số: 60.46.40 Ngữới hữợng dăn khoa håc: GS.TSKH H  Huy Kho¡i Th¡i Nguy¶n - 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn Cổng trẳnh ữủc hon thnh tÔi TRìNG I HC KHOA HC - I HC THI NGUYN Ngữới hữợng dăn khoa håc: GS-TSKH-H€ HUY KHOI Ph£n bi»n 1: Ph£n bi»n 2: TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC - „I HÅC THI NGUY–N Luªn vôn s ữủc bÊo vằ trữợc hởi ỗng chĐm luên vôn hồp tÔi: Ngy thĂng nôm 2011 Cõ th tẳm hiu tÔi THì VIN I HC THI NGUYN S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mửc lửc Mửc lửc M Ưu Chữỡng NGUYN L B‡T BI˜N 1.1 Giợi thiằu và phữỡng phĂp Ôi lữủng bĐt bián 1.2 KhĂi niằm và bĐt bián Ch÷ìng MậT Sẩ BT BIN TRONG BNG Sẩ 2.1 BĐt bián dỹa trản tẵnh chia hát 2.2 BĐt bián cừa mởt Ôi lữủng no õ Chữỡng MậT Sẩ LOI BI TON KHC Kát luên T i li»u tham kh£o 9 16 27 52 53 Số hóa Trung tâm Học liệu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn M Ưu "Dắ bián ựng vÔn bián" õ l lới BĂc Hỗ dn cử Huýnh Thúc KhĂng trữợc BĂc lản ữớng sang PhĂp nôm 1946, giao lÔi trồng trĂch QuyÃn Chừ Tch nữợc cho cử Huýnh Thúc KhĂng "BĐt bián" Ơy l ởc lêp dƠn tởc, trản cỡ s õ m tẳm nhỳng ối sĂch mÃm thẵch hủp vợi tẳnh hẳnh hon cÊnh Đt nữợc ang ngn cƠn treo sủi tõc CƠu nõi trản cụng l "câm nang" cho giÊi mởt loÔt bi toĂn rới rÔc, tứ Hẳnh hồc án Số hồc, m iÃu quan trồng nhĐt l tẳm cho mởt "bĐt bián" Vêy bĐt bián l gẳ? õ l nhỳng c im cõ tẵnh cố nh cừa mởt ối tữủng suốt quĂ trẳnh bián ời, chuyn hoĂ Náu ta xĂc nh ữủc bĐt bián ta s phƠn biằt ữủc mối quan hằ cừa cĂc vêt th trữợc v sau quĂ trẳnh bián ời,  tứ õ giÊi Ăp ữủc nhiÃu vĐn à mởt cĂch ởc Ăo v bĐt ngớ Ta cõ th phƠn tẵch trÔng thĂi cừa hằ thống  xĂc nh v trẵ cƯn Ôt ữủc tứ nhỳng v trẵ khĂc Mởt nhỳng cổng cử rĐt mÔnh cho viằc phƠn tẵch hằ thống l tẵnh bĐt bián cừa mởt số Ôi lữủng hằ thống Nhỳng Ôi lữủng ny khổng thay ời dữợi nhỳng thao tĂc khĂc hằ thống Hỡn nỳa, tẵnh bĐt bián cõ th dũng  ch rơng tứ mởt cĐu hẳnh khổng th Ôt tợi mởt cĐu hẳnh khĂc Trong cĂc ký thi hồc sinh giọi, bĐt bián cụng thữớng xuyản xuĐt hiằn mởt cĂch ëc ¡o c¡c b i to¡n tê hñp, sè håc, Ôi số, hẳnh hồc, Tuy bi toĂn phực tÔp,  ân chựa nhỳng Ôi lữủng bĐt bián, chng hÔn nhữ tẵnh chđn, l hoc tờng, tẵch cĂc bián khổng thay ời Mc dũ bĐt bián ữủc sỷ dửng rởng rÂi giÊi toĂn sỡ cĐp, cho án nay, theo chộ chúng tổi ữủc biát, chữa cõ mởt ti liằu no viát mởt cĂch cõ hằ thống và vĐn à ny Vẳ thá, chúng tổi cố gưng sữu tƯm tø r§t nhi·u t i li»u kh¡c nhau, chån låc nhúng b i to¡n m  cỉng cư chõ y¸u sû Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn dửng l phữỡng phĂp bĐt bián  lm thnh luên vôn ny Trong chứng mỹc cõ th, chúng tỉi khỉng ch¿ n¶u líi gi£i cõa c¡c b i to¡n nhữ nhỳng ti liằu khĂc, m cỏn cố gưng phƠn tẵch, phĂt hiằn bĐt bián mợi v lới giÊi cừa b i to¡n düa v o â i·u n y câ thº câ ẵch cho hồc sinh tẳm hiu và phữỡng phĂp â Chóng tỉi cơng cè g­ng tr¼nh b y thỉng qua nhỳng bi têp thuởc nhiÃu loÔi khĂc nhữ hẳnh hồc, tờ hủp, số hồc, nhơm lm nời bêt tẵnh phờ dửng cừa phữỡng phĂp bĐt bián giÊi toĂn sỡ cĐp Luên vôn gỗm chữỡng: Chữỡng Nguyản lỵ và bĐt bián Trong chữỡng I ny chúng tổi têp trung trẳnh by và nguyản lỵ bĐt bián Ơy l  cì sð º gi£i nhúng b i to¡n ð ch÷ìng sau Nâ ÷đc chia th nh mưc â mửc 1.1 giợi thiằu và phữỡng phĂp bĐt bián, mửc 1.2 trẳnh by khĂi niằm và bĐt bián Chữỡng Mởt số bĐt bián bÊng số Trong chữỡng ny, chóng tỉi chån låc giỵi thi»u mët sè b i to¡n thuởc dÔng õ v chia thnh dÔng toĂn; â mưc 2.1 chóng tỉi tr¼nh b y mët sè b i toĂn m bĐt bián dỹa trản tẵnh chia hát, mửc 2.2 trẳnh by mởt số bi toĂn m bĐt bián cừa nõ l mởt Ôi lữủng no õ Chữỡng Mởt số loÔi bi toĂn khĂc Ngoi nhỳng bi toĂn trản bÊng ổ vuổng m  trẳnh by chữỡng II, chữỡng ny chúng tổi trẳnh by mởt số dÔng bi toĂn khĂc m phữỡng phĂp giÊi cụng l sỷ dửng bĐt bián no õ Luên vôn ny  ữủc hon thnh dữợi sỹ ch bÊo v hữợng dăn tên tẳnh cừa GS.TSKH H Huy KhoĂi - Viằn To¡n håc H  Nëi Tỉi xin ÷đc b y tä láng biát ỡn sƠu sưc án GS.TSKH H Huy KhoĂi Tổi cụng xin gỷi lới cÊm ỡn án cĂc thƯy, cổ ang cổng tĂc tÔi Khoa ToĂn, Phỏng quÊn lỵ khoa hồc Trữớng Ôi Hồc Khoa Hồc cụng nhữ cĂc thƯy, cổ tham gia giÊng dÔy Khõa Cao hồc 2009 - 2011  tÔo iÃu kiằn tốt cho tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp v hon thnh luên vôn Do thới gian cõ hÔn v sỹ hiu biát cừa bÊn thƠn nản luên vôn ny S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn mỵi ch dứng lÔi viằc tẳm hiu, têp hủp ti liằu, sưp xáp v trẳnh by kát quÊ theo tứng chừ à t Dũ  rĐt cố gưng, chưc chưn nởi dung trẳnh by luên vôn khổng trĂnh khọi thiáu sõt nhĐt nh v tĂc giÊ rĐt mong nhên ữủc gõp ỵ cừa cĂc thƯy cổ giĂo v cĂc bÔn ThĂi Nguyản, ngy 16 thĂng 05 nôm 2011 T¡c gi£ Nguy¹n Trung Th nh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chữỡng NGUYN L BT BIN 1.1 Giợi thiằu và phữỡng phĂp Ôi lữủng bĐt bián Vẵ dử 1.1.1 a, b, c ∈ R S = a+b+c a b, b c c a S V½ dư 1.1.2 Cho ché cho cho v  Ta x²t têng cho th¼ têng N¸u ta êi ln ch¿ l  mët sè Ta x²t bi toĂn xuĐt phĂt tứ cƠu chuyằn cờ tẵch: Ngữới nổng dƠn trỗng ữủc mởt cƠy thƯn cõ 99 quÊ chữa chẵn mu xanh v 1000 quÊ  chẵn mu vng Mởt QuÔ án ôn mội ngy hai quÊ v nõi vợi ngữới nổng dƠn: n mởt qu£ tr£ cưc v ng, may tói ba gang em i m ỹng QuÔ án ôn hai quÊ bĐt kẳ khổng phƠn biằt quÊ xanh v quÊ vng Náu QuÔ ôn mởt quÊ vng v mởt quÊ xanh thẳ cƠy lÔi sinh mởt quÊ xanh Náu QuÔ ôn hai quÊ vng thẳ cƠy lÔi sinh mởt quÊ vng Náu QuÔ ôn hai quÊ xanh thẳ cƠy lÔi sinh cụng quÊ vng Họi cõ th xÊy trữớng hủp quÊ cuối cỏn lÔi trản cƠy l mu vng khổng?  thuên tiằn cho viằc giÊi bi toĂn ta kẵ hiằu: QuÊ xanh l quÊ vng l V; X; quÔ ôn quÊ l (+) v cƠy sinh quÊ l (-) Khi õ bi toĂn cõ th viát lÔi ngưn gồn: V + V = V, X + X = V, V + X = X Tứ cĂch viát trản ta thĐy rơng số lữủng quÊ xanh hoc khổng thay ời hoc l giÊm i hai quÊ sau mội lƯn ôn (mội lƯn QuÔ ôn hai quÊ) Vẳ trản cƠy, số nhỳng qu£ m u xanh l  l´, cán sè nhúng qu£ m u vng l chđn, nản quÊ cuối trản cƠy s l  m u xanh, khỉng phư thc v o c¡ch «n qu£ cừa QuÔ Tẵnh bĐt bián bi toĂn trản l gẳ? õ l số nhỳng quÊ xanh dũ QuÔ cõ ôn quÊ nhữ thá no i nỳa thẳ nõ khổng thay ời hoc náu nõ thay ời thẳ thay ời mët c¡ch cè ành l  gi£m i hai qu£ Nh÷ vêy, tẵnh S húa bi Trung tõm Hc liu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ch®n l´ cõa sè cĂc quÊ xanh l mởt bĐt bián Chẵnh iÃu bĐt bián ối vợi quÊ xanh v giÊ thiát cừa bi toĂn ữa ta án lới giÊi Nhữ vêy viằc tẳm bĐt bián nhỳng Ôi lữủng  cho cừa b i to¡n l  r§t quan trång Nhúng b i to¡n câ dÔng nhữ mởt quy trẳnh hay thuêt toĂn thữớng tỗn tÔi mởt trÔng thĂi Ưu v mởt dÂy nhỳng bữợc i hủp lằ (bữợc bián ời) Kát luên cừa nhỳng bi toĂn loÔi ny thữớng phÊi trÊ lới nhỳng cƠu họi sau Ơy: Cõ th Ôt tợi mởt trÔng thĂi cuối  cho khổng? Tẳm tĐt cÊ trÔng thĂi cuối cõ th Ôt tợi? Cõ tỗn tÔi giợi hÔn tián tợi mởt trÔng thĂi cuối khổng? Tẳm tĐt cÊ chu kẳ cõ th cõ dÂy trÔng thĂi? 1.2 KhĂi niằm và bĐt bián Xt nhỳng bi toĂn mang cĐu trúc mởt hằ thống m trản õ ta phÊi xỷ lỵ nhỳng thao t¡c kh¡c ð tøng mùc ë V§n · t ra: Cõ th xĂc nh ữủc mởt v trẵ no Đy tứ nhỳng v trẵ  biát? Mởt cổng cử rĐt mÔnh  giÊi quyát nhỳng bi toĂn nhữ vêy l xt mởt số tẵnh chĐt hằ thống m nõ khổng thay ời tứng bữợc thỹc hiằn thao tĂc Tẵnh chĐt khổng thay ời nhữ trản thữớng ữủc xem nhữ l bĐt bián Theo mởt số ti liằu tham khÊo chúng tổi ữa nh nghắa sau: ành ngh¾a 1.2.1 Gi£ sû ta câ mët h» thèng (F) cĂc Ôi lữủng v cĂc php bián ời theo thự tỹ Tẵnh chĐt P ữủc gồi l mởt bĐt bián sau s bữợc hằ thống (F) náu cự s bữợc bián ời ta Ãu nhên lÔi ữủc tẵnh chĐt P Vẵ dử 1.2.1 (an ), (bn ), (cn ) v (dn ) ữủc xĂc nh nhữ dữợi Ơy: a0 , b0 , c0 , d0 ∈ Z, an+1 = an − bn , bn+1 = bn − cn ,cn + = cn − dn ,dn+1 = dn − an , n ≥ (i) H¢y ch¿ khổng tỗn tÔi số nguyản ban Ưu a0 , b0 , c0 , d0 º cho |an bn − cn dn | , |an cn − bn dn | , |an dn − bn cn | l  sè nguy¶n tè n ≥ X²t d¢y sè Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn (ii) Chựng minh rơng 503 hát cho a2012 b2012 , b2012 c2012 , c2012 d2012 , d2012 a2012 ·u chia Líi gi£i Kiºm tra trüc ti¸p     a4 = 2(a0 − 2b0 + 3c0 − 2d0 )       b4 = 2(b0 − 2c0 + 3d0 − 2a0 )    c4 = 2(c0 − 2d0 + 3a0 − 2b0 )       d4 = 2(d0 − 2a0 + 3b0 − 2c0 ) Nh÷ sè vêy, nguyản cự chia sau hát bữợc cho bián Tứ ời Ơy ta Ãu suy nhên cĂc ữủc nhỳng số nguyản |an bn cn dn | , |an cn − bn dn | , |an dn bn cn | Ãu l cĂc số nguyản hát cho n ≥ V¼ cù sau bữợc nhên ữủc số 503 hát cho nản a2012 , b2012 , c2012 , d2012 ·u chia h¸t cho Do a2012 b2012 , b2012 c2012 , c2012 d2012 , d2012 a2012 ·u chia h¸t cho 4503 Vẵ dử 1.2.2 Xt dÂy số (an ), (bn ), (cn ) v (dn ) chia chia vêy ữủc xĂc nh nhữ dữợi Ơy: a0 , b0 , c0 , d0 ∈ Z         an+1 = an − bn + cn    bn+1 = bn − cn + dn        cn + = cn − dn + an       dn+1 = dn − an + bn , n ≥ Chùng minh r¬ng a2012 − a0 , b2012 − b0 , c2012 − c0 , d2012 d0 Ãu l nhỳng số nguyản chia hát cho Líi gi£i Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Kiºm tra trüc ti¸p     a4 = 21a0 − 20b0 + 20c0 − 20d0       b4 = 21b0 − 20c0 + 20d0 − 20a0    c4 = 21c0 − 20d0 + 20a0 − 20b0       d4 = 21d0 20a0 + 20b0 20c0 Nhữ vêy, cự sau bữợc bián ời ta Ãu nhên ữủc nhỳng số nguyản thọa xk+4 xk (mod4) Tứ Ơy suy a2012 − a0 , b2012 − b0 , c2012 − c0 , d2012 − d0 ·u l  nhúng sè nguyản chia hát cho mÂn tẵnh chĐt P: Vẵ dử 1.2.3 Xt dÂy số Chựng minh rơng (an ) v (bn ) ữủc xĂc nh nhữ dữợi Ơy:   a0 , b0 ∈ R, < b0 < a0     an + bn an+1 =      bn+1 = 2an bn , n ≥ an + bn √ lim an = lim bn = a0 b0 n→∞ n→∞ Líi gi£i (an + bn )2 ≥ an + b n 4an bn , an 6= bn , n¶n (an > bn ) vợi mồi n Vẳ an+1 = = an nản dÂy (an ) l dÂy ỡn iằu giÊm, b chn dữợi nản tỗn tÔi a = lim an Bði n→∞ 2an bn > bn nản dÂy (bn ) l dÂy ỡn iằu tông, b chn trản vẳ bn+1 = an + b n nản tỗn tÔi b = lim bn Sỷ dửng tẵnh chĐt bĐt bián P: an bn = an+1 bn+1 n √ an + b n a+b v  a = lim an+1 = lim = ta nhên ữủc a = b = a0 b n→∞ n→∞ 2 Do a0 , b0 > nản dng ch an , bn > Do bði Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn B i to¡n 3.0.29 Ta thay méi sè tø ¸n 1.000.000 bði têng c¡c sè cõa nâ C¡c số nhên ữủc lÔi tiáp tửc thay bơng tờng cĂc chỳ số Lm nhữ vêy cho án ch cỏn lÔi cĂc số cõ mởt chỳ số Họi dÂy ci cịng n y, sè sè nhi·u hìn hay ½t hìn sè sè 2? Líi gi£i Trong st quĂ trẳnh, thng dữỡng b nhĐt mổulổ cừa méi sè l  khæng thay êi Trong c¡c sè tø án 1.000.000 cõ 111112 số ỗng mổulổ 9, v cõ 111111 số ỗng mổulổ Vêy dÂy cuối cũng, số chỳ số nhiÃu hìn sè sè B i to¡n 3.0.30 Gi£ sû M v N l hai số nguyản dữỡng cõ chỳ số cõ tẵnh chĐt l náu bĐt kẳ chỳ sè cõa M ÷đc thay bði sè cõa N tữỡng ựng thẳ ta ữủc mởt cừa Chựng minh rơng vợi bĐt kẳ mởt số Ôt ữủc bơng c¡ch thay mët sè cõa N t÷ìng ùng bði mët sè cõa M công l  mët bëi cõa Lới giÊi KátPquÊ úng vợi P bĐt kẳ d ≡ 2(mod7) mk 10k , N = nk 10k , ð ¥y mk v  nk l  c¡c sè Khi k õ vợi bĐt kẳ k ta cõ 10 (nk − mk ) ≡ − M ( mod 7) LĐy tờng theo k , ta k ữủc M N dM ( mod 7) Vẳ thá N −M ( mod 7) v  10 (nk − mk ) N (mod7) Vêy thay bĐt kẳ chỳ số N bi chỳ số tữỡng ựng M Viát M = ữủc mởt số chia hát cho B i to¡n 3.0.31 C¡c sè 1, 2, 3, , 2005 ữủc viát theo thự tỹ tông dƯn Bốn số tuý ỵ dÂy cõ th ữủc xáp lÔi theo thự tỹ Êo ngữủc tÔi v trẵ  cõ Bơng cĂch õ, cõ th nhên ữủc dÂy 2005, 2004, , 2, hay khæng? Líi gi£i Ta chùng minh vỵi n = 4k + thẳ yảu cƯu cừa bi toĂn thỹc hiằn ữủc cho dÂy k = 1, bián 51234 54321 Vợi 1, 2, , n êi nh÷ sau: 12345 → 15432 → 34512 → 32154 → k > v iÃu phÊi chựng minh  úng vợi k < k X²t d¢y 1, 2, , 4k + Theo giÊ thiát quy nÔp cho k 1, ta bián ời ữủc nõ thnh d¢y: 1, 2, 3, 4, 4k + 1, 4k , , 6, Gi£ sû 39 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn p dửng liản tiáp trữớng hủp 4k + 1, k = 1, ta lÔi thu ữủc cĂc dÂy sau 4, 3, 2, 1, 4k, , 6, 4k + 1, 4k , 1, 2, 3, 4, 4k + 1, 4k , 4k − 4k − 1, , , 4, 3, 2, 1, 6, 4k − 2, , 6, ··· 4k + 1, 4k , 4k − 1, , 6, 1, 2, 3, 4, V cuối l dÂy sau Ơy: 4k + 1, 4k , , 6, 5, 4, 3, 2, B i to¡n 3.0.32 Câ 25 xe æ tæ xuĐt phĂt mởt lúc tứ cĂc v trẵ khĂc dồc theo mởt ữớng ua khp kẵn, v chÔy theo mởt hữợng Theo quy tưc cừa cuởc ua, c¡c xe câ thº v÷đt nhau, nh÷ng khỉng ÷đc v÷đt xe cịng mët lóc (khi câ hai xe n o õ ang vữủt thẳ tÔi thới im chúng v trẵ, xe thự ba khổng ữủc vữủt) Sau mởt thới gian, cĂc xe tr và v trẵ xuĐt phĂt cõa chóng cịng mët lóc Chùng minh r¬ng qu¡ trẳnh chÔy, số lƯn cĂc xe vữủt l mởt sè ch®n Líi gi£i º gi£i b i to¡n n y, ta phÊi dũng mởt phữỡng phĂp rĐt thổng dửng giÊi cĂc bi toĂn rới rÔc, l Ănh dĐu mởt ối tữủng no õ, m cĂc ối tữủng bẳnh ng bi toĂn (lm nhữ thá s dng hỡn lỵ luên) Trong bi toĂn  cho, vẳ ữớng ua khp kẵn nản v trẵ cừa cĂc ổ tỉ l  ho n to n b¼nh ¯ng Ta chån mët xe v sỡn mu vng cho nõ (tĐt nhiản vợi giÊ thiát cĂc xe cỏn lÔi Ãu khổng cõ mu vng) Xem xe mu vng ựng Ưu tiản, tiáp theo l c¡c xe sè 1, 2, , 24 GiÊ sỷ cõ mởt quan sĂt viản ghi lÔi thự tü c¡c xe, v  g­n cho méi xe sè thù tü ban ¦u cõa nâ Méi l¦n câ mët xe n o v÷đt xe kh¡c, hai sè n o â s³ êi chộ cho GiÊ sỷ tÔi thới im no õ, cõ mởt xe vữủt qua xe mu vng Náu thự tỹ cĂc số xe trữợc vữủt l a1 , a2 , , a24 th¼ sau v÷đt, thù tü s³ l  a2 , a3 , , a24 , a1 Ph²p th¸ n y cõ th nhên ữủc bi 23 php dch chuyn sau ¥y: a1 , a2 , , a24 → a2 , a1 , , a24 → a2 , a3 , , a1 , a24 → a2 , a3 , , a24 , a1 a2 , a3 , a1 , , a24 Náu xe mu vng vữủt mởt xe khĂc thẳ ph²p th¸ → ··· a1 , a2 , , a24 40 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn → trð th nh a24 , a1 , , a23 Dạ thĐy rơng, php thá ny cụng cõ th nhên ÷đc bði vi»c thüc hi»n 23 ph²p dàch chuyºn Tâm lÔi, bĐt ký mởt lƯn vữủt no cừa hai xe tuý ỵ cụng tữỡng ựng vợi mởt số l cĂc php dch chuyn TÔi thới im cuối cũng, thự tỹ cĂc xe trũng vợi thự tỹ xuĐt phĂt nản têng sè ph²p dàch chuyºn ph£i l  sè ch®n Tø õ suy số lƯn cĂc xe vữủt phÊi l  sè ch®n B i to¡n 3.0.33 Hai tê håc sinh cừa mởt lợp ngỗi hồp quanh mởt cĂi bn trỏn cho số hồc sinh cõ bÔn tờ ngỗi phÊi Chựng minh rơng tờng số hồc sinh cõa hai tê l  mët sè chia h¸t cho Lới giÊi CĂch thự nhĐt: Ta kẵ hiằu cĂc hồc sinh cõa mët tê bði d§u (+) v  (-) Khi â ta câ mët h» thèng c¡c d§u (+) v  (-) sưp xáp theo mởt hẳnh trỏn (Hẳnh 3.19) BƠy gií ta xo¡ t§t c£ c¡c d§u cõa méi nhâm cĂc dĐu giống trứ dĐu cuối (khi ám cĂc dĐu theo chiÃu ngữủc vợi chiÃu quay cừa kim ỗng hỗ) Khi õ ta dăn án hằ thống hẳnh m õ, dắ nhiản số cĂc dĐu cởng bơng số cĂc dĐu trứ Do õ, tờng số cĂc dĐu trản hằ thống ny l số chđn Những chuyºn tø h» thèng sang h» thèng ta  xoĂ tĐt cÊ cĂc dĐu cõ dĐu giống nõ phÊi v ch cỏn lÔi nhỳng dĐu cõ dĐu khĂc nõ phÊi Hẳnh 3.19 Theo iÃu kiằn bi toĂn, số cĂc dĐu b xoĂ bơng số chđn cĂc dĐu cỏn lÔi Do õ, tờng số c¡c d§u (tùc l  têng sè håc sinh) l  mët số chđn chia hát cho 41 S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn C¡ch thù hai: Ta k½ hi»u c¡c håc sinh cõa mët tê bði sè v  tê bði n số v -1 ữủc sưp xáp theo mởt hẳnh trán Ta x1 , x2 , , xn bưt Ưu tứ số no õ theo chiÃu ngữủc sè -1 Khi â ta câ ¡nh sè c¡c sè l vợi chiÃu quay cừa kim ỗng hỗ Theo iÃu ki»n cõa b i to¡n ta câ: x1 x2 + x2 x3 + · · · + xn x1 = (*) V¼ c¡c sè x1 , x2 , , xn l  v  (x1 x2 )(x2 x3 ) (xn x1 ) = Do â sè c¡c số Ơm tẵch ny l -1 nản: mởt số chđn Những tứ (*) suy số cĂc số dữỡng bơng số cĂc số Ơm, nản n chia hát cho B i to¡n 3.0.34 Mët váng trán ÷đc chia th nh 10 cung, trản mội cung t mởt miáng bẳa Cõ th di chuyn hai miáng bẳa tuý ỵ sang cung kà bản, phÊi di chuyn hai miáng theo chiÃu ngữủc Vợi viằc thỹc hiằn liản tiáp hai php toĂn trản, cõ th hay khổng dỗn tĐt cÊ cĂc miáng bẳa vo mởt cung? Lới giÊi Ănh số cĂc cung trỏn tứ án 10 é trÔng thĂi ban Ưu s0, mội s no õ, số miáng bẳa cung thù r(s) = (1.a1 (s) + 2.a2 (s) + · · · + 10.a10 (s)) mod 10 Kiºm cung cõ miáng bẳa GiÊ sỷ trÔng thĂi k l ak (s) t tra rơng Ôi lữủng ny khổng thay ời quĂ trẳnh di chuyn cĂc miáng bẳa theo c¡ch ¢ cho Ta câ r(s0 ) = (1 + + · · · + 10) mod 10 = t m 10 miáng bẳa nơm mởt cung th chuyn tứ trÔng thĂi s0 và trÔng thĂi t Trong õ ối vợi trÔng thĂi thẳ r(t) = Do vêy khổng theo cĂch  cho Bi toĂn 3.0.35 V vỏng trỏn quanh cÔnh cõa mët tam gi¡c, mët váng ð méi gâc, hai vỏng mội cÔnh, mội số tứ án ữủc viát vo nhỳng vỏng trỏn ny cho: i) Tờng cừa số mội cÔnh cừa tam giĂc l bơng ii) Tờng cừa bẳnh phữỡng cừa số trản mội cÔnh cừa tam giĂc l bơng Tẳm tĐt cÊ cĂc cÔnh thoÊ mÂn yảu cƯu ny Lới giÊi Xt mởt cĂch viát tũy ỵ c¡c sè, gåi x, y, z l  sè ð gõc v S1 , S2 lƯn lữủt l tờng cừa số, tờng cừa bẳnh phữỡng số trản cÔnh bĐt 42 S húa bi Trung tõm Hc liu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ký Do i·u ki»n ¢ cho ta câ: 2 3S2 = x +y +z + P k = x2 +y +z +285 Tø ¯ng thùc thù ta suy x, y, z ho°c t§t c£ chia h¸t cho ho°c khỉng câ sè n o chia h¸t cho Bi nguyản lỵ Pigeouhole cõ hai số l ỗng moulổ LĐy phữỡng trẳnh thự nhĐt theo mỉulỉ ta cơng suy |(x + y + z) N¸u Do â (x, y, z) = (3, 6, 9) Náu cÔnh l khe Vẳ x y ≡ z(mod3) hay (1, 4, 7) th¼ S2 = 137 ho°c 17 S2 ≡ 1( mod 3) suy ch¿ câ sè tr¶n ba l´ i·u n y khỉng th vẳ > số l ữủc viát méi 2 th¸ (x, y, z) = (2, 5, 8) v  S2 = 126 V¼ + > 126 S2 = 137 thẳ nản khổng th nơm cÔnh vợi 8, tực l nõ nơm trản cÔnh chùa v  V¼  72 + 92 72 + 52 + 82 > 126 n¶n sè phÊi nơm trản cÔnh chựa hoc nhữ vêy lƯn cĂc số trản cÔnh phÊi l (2, 4, 9, 5); (5, 1, 6, 8); (8, 7, 3, 2)  cho tờng bẳnh phữỡng cĂc số trản mội cÔnh l 126 Cuối ta thĐy cĂc bở số trản thoÊ mÂn Bi toĂn 3.0.36 Mởt hẳnh trỏn ữủc chia thnh sĂu r quÔt Nhỳng số 1, 0, 1, 0, 0, ữủc viát vo cĂc r quÔt ny thự tỹ theo ngữủc chiÃu kim ỗng hỗ Ta thüc hi»n thao t¡c l°p T«ng sè cõa hai r´ quÔt cÔnh lản ỡn v Khi thỹc hiằn cĂc thao tĂc trản cõ ữa án kát quÊ cĂc số cĂc r quÔt Ãu bơng khổng? Lới gi£i K½ hi»u a1, a2, a3, a4, a5, a6 l  nhỳng số cĂc r quÔt hiằn thới Khi õ têng êi Khði ¦u ta S = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 l  mët Ôi lữủng khổng cõ S = v ẵch cuối thoÊ mÂn bi s khổng bao giớ Ôt tợi Bi toĂn 3.0.37 Ngữới ta chia hẳnh trỏn thnh hẳnh quÔt v t vo mội hẳnh quÔt quƠn cớ Mội lữủt i cho php chuyn mởt quƠn cớ bĐt kẳ sang mởt hai hẳnh quÔt cÔnh Họi sau thỹc hiằn úng 20 lữủt i cõ th têp trung cĂc quƠn cớ vo mởt hẳnh quÔt ữủc khổng? Lới giÊi Ta chựng minh sau 20 lữủt i khổng th têp trung cĂc quƠn cớ vo mởt hẳnh quÔt ữủc 43 S húa bi Trung tõm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ta tæ en cĂc hẳnh quÔt I, III, V nhữ hẳnh v trản Ta kẵ hiằu số quƠn n l an1 Dắ nhiản a0 = v vợi k th¼ ak a1 , a3 , , a19 l  nhúng sè ch®n, cán a2 , a4 , , a20 cớ ổ en trữợc l¦n i thù kh¡c ak−1 l  Do â l  nhỳng số l Sau 20 lữủt i số cĂc quƠn cớ cĂc quÔt en l l Những náu cĂc quƠn cớ Ãu ựng mởt hẳnh quÔt thẳ số õ l số chđn (bơng hoc bơng ) MƠu thuăn vợi iÃu khng nh cừa l óng B i to¡n 3.0.38 Ð ¿nh cõa mët lưc giĂc lỗi cõ ghi số chđn liản tiáp theo chiÃu kim ỗng hỗ Ta thay ời cĂc số nhữ sau: Mội lƯn chồn mởt cÔnh bĐt kẳ rỗi cởng mội số hai nh thuởc cÔnh õ vợi mởt số nguyản no õ Họi sau mởt số lƯn thay ời nhữ thá thẳ số mợi cĂc ¿nh lưc gi¡c câ thº b¬ng khỉng? Líi gi£i Gåi c¡c sè ch®n ghi ð ¿nh cõa lưc gi¡c lóc ¦u theo thù tü tø a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 Ta câ: (a2 +a4 +a6 )−(a1 +a3 +a5 ) = ời thẳ hai số kà (theo thự tỹ trản, coi a6 kà vợi a1 ) nhọ án lợn l Mội lƯn thay Ãu cởng thảm mởt số nản hiằu cừa hai tờng trản khổng ời v luổn bơng Náu số mợi cĂc nh lửc giĂc Ãu bơng thẳ hiằu trản bơng 0, nản iÃu ny khổng th xÊy Bi toĂn 3.0.39 Mội cÔnh v  ÷íng ch²o cõa mët n-gi¡c ·u (n ≥ 3) ÷đc tỉ m u ä ho°c m u xanh Ta chån mët nh v thay ời mu cừa cĂc oÔn thng nhên iºm â l m ¦u mót â tø m u ä th nh mu xanh v ngữủc lÔi Chựng minh rơng, vợi bĐt kẳ cĂch tổ mu lúc Ưu thá no, ta văn cõ th biát số cÔnh mu xanh xuĐt phĂt tứ mội nh l số chđn Chựng minh rơng, kát quÊ ci cịng cõa vi»c tỉ m u ÷đc quy ành düa trản cĂch tổ mu ban Ưu Lới giÊi Nhên thĐy, thự tỹ cĂc nh khổng Ênh hững tợi kát quÊ tỉ m u ci cịng v  vi»c chån mët ¿nh hai lƯn khổng Ênh hững án kát quÊ tổ mu Vẳ thá, viằc chồn mởt têp hủp cĂc nh cụng cho kát quÊ nhữ viằc chồn cĂc nh cỏn lÔi QuĂ trẳnh sau cụng tữỡng tỹ nhữ viằc chồn mởt têp hủp cĂc nh Ưu tiản, sau õ chồn tĐt cÊ cĂc nh (é Ơy, têp hủp cĂc nh cỏn lÔi, nhỳng nh ban Ưu ữủc chồn số l lƯn bƠy giớ ữủc chồn theo số chđn lƯn v ngữủc lÔi) t tản cĂc nh l 44 S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1, 2, 3, , 2n + Gồi l cĂc oÔn mu xanh xuĐt phĂt tứ ¿nh thù P i, gåi bi l  sè l¦n méi ¿nh ÷đc chån v  B = bi Khi chån ¿nh k th¼ ak trð th nh 2n − a ≡ ak Mt khĂc, mội oÔn tứ nh k án mởt nh khĂc ời mu nản cỏn lÔi khổng thay ời tẵnh chđn l Tẵnh tờng số thẳ cho kát quÊ l hai lƯn tờng số cĂc oÔn mu xanh, vẳ thá cõ mởt số chđn vợi c¡c ¿nh thay êi 2x − l¦n º thnh số chđn Tẵnh chđn cừa cĂc số cỏn lÔi thẳ thay ời 2x lƯn  giỳ nguyản l số chđn Do õ, tĐt cÊ cĂc nh Ãu cõ mởt số chđn cĂc oÔn mu xanh Vêy ta  chựng minh ữủc kát quÊ tổ mu cuối l nhĐt Ta xt mởt cĂch tổ mu vợi kát qu£ nh÷ mong mn Ci cịng, sè i l  + B − bi ( mod 2) Khi â, sè oÔn mu xanh xuĐt phĂt tứ cĂc nh l bơng nhau, â bj ≡ bk v  ch¿ lúc Ưu aj ak Vẳ vêy, hoc bi ≡ v  ch¿ ≡ ho°c l  bi ≡ v  ch¿ ≡ 0, ta cõ kát quÊ tổ mu nhữ trản Do oÔn mu xanh xuĐt phĂt tứ nh thự õ kát quÊ tổ mu l nhĐt Bi toĂn ữủc chùng minh B i to¡n 3.0.40 Chùng minh r¬ng mët a diằn lỗi, luổn tỗn tÔi ẵt nhĐt mởt nh l nh cừa mởt gõc tam diằn hoc ẵt nhĐt mởt mt l tam giĂc Lới giÊi Ta nhên thĐy vẵ dử ny xa lÔ so vợi cĂc vẵ dử trữợc vẳ khổng cõ php bián ời no Thỹc ra, bĐt bián khổng ch xuĐt hiằn nhỳng chộ cõ cĂc php bián ời m nõ cỏn xuĐt hiằn ta xt mởt lợp cĂc ối tữủng thoÊ mÂn nhỳng tẵnh chĐt no õ Vẵ dử vợi cp số x2 + y l mởt bĐt bián Cỏn Euler V − E + F = 2, â V (x; y) trản ữớng trỏn ỡn v thẳ ối vợi a diằn lỗi thẳ ta cõ cổng thực l sè ¿nh, m°t v  E F l  sè l  sè cÔnh cừa mởt a diằn lỗi bĐt ký Ta s dịng cỉng thùc n y º gi£i b i to¡n tr¶n Gi£ sỷ ngữủc lÔi, tỗn tÔi mởt a diằn m khổng câ ¿nh n o l  ¿nh cõa mët gâc tam di»n v  khæng câ m°t n o l  tam gi¡c Khi â, mởt mt s cõ ẵt nhĐt cÔnh v mởt cÔnh ch cõ th l cÔnh cừa hai E F Vợi lỵ luên tữỡng E E V + F − E ≤ + − E = 0, mƠu thuăn 2 mt nản ta cõ tỹ, ta cõ V E Vẳ vêy 45 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Xo¡ bä i mët m°t cõa a diằn Bơng cĂch ko cĂc cÔnh cừa mt b bọ i, ta bián phƯn cỏn lÔi thnh mởt mÔng lữợi phng vợi cĂc im v cĂc ữớng, nhữ hẳnh v Ưu minh hoÔ cho trữớng hủp c biằt cừa hẳnh lêp phữỡng Sau php bián ời ny, cĂc mt nõi chung khổng cỏn l Ãu nỳa, thêm chẵ cõ th khổng cỏn l a giĂc Những số nh, số cÔnh v số mt văn giống vợi a diằn ban Ưu (Mt b xoĂ tữỡng ựng vợi phƯn ngoi cừa mÔng lữợi) Náu nhữ cõ mởt mt no õ cõ nhiÃu hỡn cÔnh, ta v ữớng cho, tực l ữớng cong nơm trản mt v nối nh chữa ữủc nối iÃu ny s lm số cÔnh tông lản 1, số mt tông lản cỏn số nh thẳ khổng thay êi, câ ngh¾a l  gi¡ trà V −E+F khỉng ời Bơng cĂch thảm cÔnh theo quy tưc ny, ta s i án tẳnh tĐt cÊ cĂc mt ·u l  tam gi¡c Ti¸p theo ta ¡p dưng ph²p bi¸n êi sau: i) Xo¡ i tam gi¡c ch¿ cõ cÔnh giĂp vợi phƯn ngoi, nhữ minh hoÔ trản hẳnh thự iÃu ny s lm giÊm số cÔnh v số mt i mởt ỡn v khổng lm thay ời số nh, vẳ thá php xoĂ ny b£o to n V − E + F ii) Xo¡ i tam giĂc cõ cÔnh giĂp vợi phƯn ngoi, nhữ minh hoÔ trản hẳnh thự Mởt php xoĂ nhữ vêy s xoĂ i mởt nh, cÔnh v mt, vẳ thá văn bÊo ton V E + F Lp lÔi hai bữợc ny nhiÃu lƯn cho án ch¿ cán mët tam gi¡c Lóc n y ta câ V = 3, E = 3, F = V − E + F = Con sè n y b¬ng (tẵnh án phƯn ngoi), nhữ thá số V E+F ban Ưu, vẳ cĂc php bián ời m ta  thỹc hiằn bÊo ton Ôi lữủng ny Nhữ vêy tứ bữợc Ưu cừa quĂ trẳnh ta phÊi cõ V E + F = nh lỵ ữủc chựng minh Bi toĂn 3.0.41 Cõ ba ống sọi gỗm nhỳng viản sọi nhọ cõ số lữủng tữỡng ựng l 19, v (viản sọi) Ta ữủc php chồn hai èng säi v  chuyºn mët vi¶n säi cõa nhúng èng säi ¢ chån sang èng säi thù ba Sau mët số lƯn lm nhữ vêy thẳ cõ khÊ nông tÔo måi èng säi ·u câ 12 vi¶n säi hay khỉng? Líi gi£i °t sè vi¶n säi ba èng säi t÷ìng ùng l  a, b v  c Ta x²t sè d÷ chia cho cõa nhúng sè n y Khi xuĐt phĂt, nhỳng số ỗng ny l 1, 2, Sau mởt lƯn chồn thay ời, nhỳng số n y l  0, 1, v¼ 46 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn hai ống sọi cõ sỹ chuyn mởt viản sọi án ống thự ba Nhữ vêy, nhỳng số luổn luổn l  0, 1, vỵi nhúng thù tü kh¡c Do â t§t c£ c¡c èng säi ·u câ 12 viản sọi l khổng th ữủc (vẳ õ số d÷ cõa ba èng säi l  0, 0, 0, vỉ lẵ) Vêy khổng th tÔo mồi ống sọi Ãu câ 12 vi¶n säi B i to¡n 3.0.42 Ngo i biºn ỉng, trản hỏn Êo sinh sống giống thơn lơn cõ ba loÔi mu: mu xĂm cõ 133 con, mu nƠu cõ 155 v  m u ä câ 177 N¸u hai thơn lơn khĂc mu gp nhau, thẳ chúng ỗng thíi êi m u sang m u thù ba Trong nhúng tr÷íng hủp hai thơn lơn mu gp thẳ chúng giỳ nguyản khổng ời mu Cõ xÊy tẳnh trÔng l trản Êo tĐt cÊ thơn lơn tr thnh cịng mët m u ÷đc khỉng? Líi gi£i Ta câ ba số nguyản 133, 155, 177 chia cho ữủc bở sè d÷ l  1, v  Khi â x²t cĂc khÊ nông sau: Náu mởt thơn lơn mu xĂm gp mởt thơn lơn mu nƠu, thẳ chúng ỗng thới ời thnh mu ọ Khi õ ta cõ 132 thơn lơn mu xĂm, 154 nƠu v 179 ä Nh÷ng sè d÷ cõa 132, 154 v  179 chia cho t÷ìng ùng l  0, v  2, nghắa l lÔi gp lÔi Ưy ừ cĂc số  cõ Náu mởt thơn lơn mu xĂm gp mởt thơn lơn mu ọ thẳ chúng ỗng thíi êi th nh m u n¥u Khi â ta câ 132 thơn lơn mu xĂm, 157 thơn lơn nƠu v 176 thơn lơn mu ọ LĐy nhỳng số trản chia cho cho sè d÷ t÷ìng ùng l  0, v  2, nghắa l lÔi gp cÊ ba khÊ nông cừa số Náu thơn lơn mu nƠu v thơn lơn mu ọ gp thẳ chúng ời mu th nh m u x¡m Khi â câ 135 th¬n l¬n x¡m, 154 thơn lơn nƠu v 176 thơn lơn ọ Số cừa nhỳng số thơn lơn trản chia cho tữỡng ựng l 0, v 2, văn cõ Ưy ừ cĂc số chia cho Vêy bĐt bián Ơy l dũ thay ời mu nhữ thá no thẳ số cừa cĂc số lữủng thơn lơn chia cho ·u câ ¦y õ ba sè 0, v Số lữủng tĐt cÊ thơn lơn trản £o l  133 + 155 + 177 = 465 l  mởt số chia hát cho Náu tĐt cÊ thơn lơn Ãu mởt mu thẳ số cừa 47 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn số lữủng thơn lơn mu xĂm, nƠu v  ä chia cho t÷ìng ùng l  0, 0, iÃu ny vổ lẵ, vẳ cĂc số phÊi cõ Ưy ừ cĂc số ny chia cho Nhữ vêy, cƠu trÊ lới l khổng th ữủc B i to¡n 3.0.43 Trong mët th nh nhi»m m u câ 10 kà s¾ tâc v ng, 15 kà s¾ tâc ä v  23 kà s¾ tâc xanh C¡c kà s¾ câ mởt c im rĐt thú v l hai ngữới khĂc m u tâc g°p th¼ tâc hå s³ êi sang m u thù ba Li»u sau mët sè l¦n n o â thẳ tĐt cÊ cĂc k sắ cõ mu tõc hay khổng? Lới giÊi Chúng ta s phƠn tẵch tẵnh chĐt cừa cĂc k sắ m à bi  nảu ra, náu hai ngữới khĂc mu tõc gp thẳ tõc hồ s ời sang mu thự ba Tẵnh chĐt c biằt ny cho ta iÃu gẳ, hÂy giÊ sỷ hai ng÷íi g°p l  xanh v  v ng, hå s³ ời thnh hai k sắ tõc ọ Nhữ vêy s ữủc gẳ, số k sắ tõc xanh giÊm i 1, sè kà s¾ tâc v ng gi£m i 1, số k sắ tõc ọ tông hai Sỹ tông giÊm ny cho ta tẵnh chđn l no ữ, số k sắ tõc ọ tông lản Đy thổi, thá lÔi cõ trữớng hủp giÊm hay tông Vêy thẳ chúng Ơu giỳ nguyản tẵnh chđn l ữ Ta thỷ xt tờng cĂc số, tờng khổng ời, bĐt bián xuĐt hiằn iÃu ny khổng giúp ta giÊi quyát bi toĂn Nhữ vêy ta thỷ xt hiằu i, hiằu l 0, 0, CĂc số ny cõ tẵnh chĐt gẳ, c¡c sè n y ·u chia h¸t cho Tuy»t qu¡, bĐt bián xuĐt hiằn rỗi, nhữ vêy dũ thay ời thá no thẳ hiằu số hai loÔi k sắ luổn chia hát cho Ơy chẵnh l sỹ bĐt bián theo mổulổ Ban Ưu hiằu số và số lữủng k sắ khổng chia hát cho 3, nhữ vêy thẳ khổng th xÊy trữớng hủp cõ hai loÔi k sắ mang số lữủng 0, ữủc, nghắa l cụng khổng cõ trữớng hủp tĐt cÊ cĂc loÔi k sắ ·u còng m u tâc B i to¡n 3.0.44 Trong mët cuëc thi §u bâng ¡ câ 15 ëi bâng, c¡c ëi Đu vợi vỏng trỏn mởt lữủt ởi chián thưng ữủc im, ởi thua ữủc im, cỏn náu kát quÊ ho thẳ mội ởi Ãu ữủc mởt im Chựng minh rơng sau kát thúc mũa giÊi, ẵt nhĐt cõ mởt ởi m số im ghi ữủc l số chđn Lới giÊi BĐt bián cĂc bi toĂn dÔng thi Đu ny thữớng nơm số im m mội ởi cõ ữủc sau mội Đu é Ơy, n¸u ta x²t têng 48 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iºm m  hai ởi thu ữủc sau mội Đu luổn l Ơy chẵnh l bĐt bián giỳa hai php bián ời thưng thua v ho BĐt bián ny cho ta biát iÃu gẳ, thự nhĐt l cõ th tẵnh ữủc số im tờng cởng cừa tĐt cÊ ởi bâng, tø ¥y ta câ thº suy gi¡ trà nhọ nhĐt số im m ởi ựng thự nhĐt nhên ữủc chng hÔn Tuy nhiản Ơy, à bi lÔi liản quan án tẵnh chđn l nản ta hÂy ỵ tợi tẵnh chđn l Theo phƠn tẵch trản, tờng số im hai ởi sau mởt Đu l 2, tực l mởt số chđn Nhữ vêy, sau kát thúc mũa giÊi thẳ số im m tĐt cÊ cĂc ởi thu ữủc cụng l mởt số chđn, õ khæng câ chuy»n måi ëi ·u câ sè iºm l´ ÷đc, sè ëi l  15 ëi l  mët sè l Nhữ vêy phÊi cõ mởt ởi ghi ữủc số im chđn Bi toĂn 3.0.45 A v B tián hnh trỏ chỡi vợi 2013 hÔt êu Mởt nữợc i l lĐy khọi ống hÔt êu 1, hoc hÔt êu A i trữợc v thay phiản Ngữới no lĐy ữủc hÔt êu cuối l ngữới chián thưng Vêy ngữới no cõ chián thuêt  luổn thưng cuởc chỡi v chián thuêt õ nhữ thá no? Lới gi£i A ln ln th­ng n¸u A thüc hi»n chi¸n thuêt sau: Ưu A lĐy hÔt êu, nữợc tiáp theo A s lĐy i 4x hÔt, Ơy x l số hÔt êu B  lĐy nữợc i trữợc õ Thêy vêy, sau A i lƯn Ưu tiản, cỏn lÔi 2012 hÔt êu Tiáp theo, theo chián thuêt trản thẳ sau mội lƯn B rỗi án A i, ống hÔt êu luổn cỏn lÔi số hÔt bơng số cừa Do vêy, cuối án lữủt B thẳ cỏn lÔi hÔt Dũ B thỹc hiằn cĂch no thẳ A cụng i ữủc nữợc cuối s lĐy i hát số hÔt êu v A thưng cuëc B i to¡n 3.0.46 Trong mët chi¸c hëp câ üng 15 qu£ c¦u xanh, v  mët hëp kh¡c câ 12 quÊ cƯu trưng Hai ngữới chỡi, mởt lữủt i, hồ buởc phÊi lĐy i quÊ cƯu xanh hoc quÊ cƯu trưng Ngữới thự nhĐt phÊi chỡi nhữ thá no thẳ mợi thưng cuởc? Lới giÊi Ta nhên thĐy rơng, im bĐt bián bi toĂn ch½nh l  t¿ l» : giúa c¡c qu£ cƯu xanh v quÊ cƯu trưng Nhữ vêy, vợi lữủt chỡi Ưu tiản, ngữới chỡi thự nhĐt s lĐy i qu£ c¦u tr­ng v  lóc â t¿ l» giúa qu£ c¦u xanh v  qu£ c¦u tr­ng l  15 : 10 = : 2, cĂc bữợc tiáp theo 49 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ch cƯn lĐy ngữủc lÔi ngữới thự hai thẳ ngữới thự nhĐt s thưng, Êm bÊo sỹ bĐt bián cừa t lằ 3:2 án cuối cuởc chìi B i to¡n 3.0.47 Hai ng÷íi chìi mët trá chìi vợi hai ống kào ống kào thự nhĐt cõ 12 c¡i v  èng kµo thù câ 13 c¡i Méi ngữới chỡi ữủc lĐy hai cĂi kào hoc chuyn mởt cĂi kào tứ ống thự nhĐt sang ống thự hai Ng÷íi chìi n o khỉng thº l m ÷đc nhúng thao t¡c trản coi nhữ l thua HÂy chựng minh rơng ngữới chìi i l÷đt thù hai khỉng thº thua Ng÷íi â câ thº th­ng khỉng? Líi gi£i Ta k½ hi»u S l  gi¡ trà tuy»t èi cõa èng kµo thù hai trø i èng S = |13 − 12| = Sau mội lƯn chỡi S s giÊm hoc tông lản Nhữ vêy, số cừa S chia cho cõ dÔng 1, 3, 1, 3, Mội lƯn sau ngữới thự nhĐt chỡi số cừa S chia cho luổn luổn kào thự nhĐt Khi Ưu Ta thĐy rơng ngữới chỡi b thua v  ch¿ khỉng cán c¡i kµo n o ð ống thự nhĐt v ch cỏn mởt cĂi kào èng thù hai, â S = |1 − 0| = Do â ng÷íi chìi thù hai ln thüc hi»n ÷đc c¡ch chìi, â ng÷íi â khỉng thua Ta thĐy rơng, hoc l tờng số kào hai èng gi£m i ho°c l  sè kµo ð èng thù nhĐt giÊm i, nhữ vêy trỏ chỡi phÊi cõ kát thóc, â ng÷íi chìi thù hai ph£i th­ng B i toĂn 3.0.48 Hai ngữới chỡi thay phiản viát liản ti¸p c¡c sè º ci cịng ta câ mët sè câ 10 sè, theo quy ành: Ng÷íi thự nhĐt viát chỳ số thự nhĐt, ngữới thự hai viát chỳ số thự hai, lÔi ngữới thự nhĐt viát sè thù ba, Ng÷íi thù hai mn câ mởt số chia hát cho 7, cỏn ngữới thự nhĐt chống lÔi ỵ muốn ny Vêy v chỡi thá no  Ôt ữủc ỵ muốn cừa mẳnh? Lới giÊi Ngữới thự hai l viát số cuối  quyát nh kát quÊ số Đy cõ chia hát cho khổng Khi ngữới thự nhĐt viát chỳ số cuối cừa mẳnh thẳ ngữới thự hai nhên ữủc mởt số cõ chỳ số  tẳm số thự mữới, ngữới thù hai th¶m sè v o sè â, sau â em chia cho 7, kát quÊ thu ữủc sau php chia câ sè d÷ l  thù hai l  − r r, thẳ số cƯn viát thảm vo cừa ngữới Ơy cụng l chián thuêt ngữới i sau luổn luổn th­ng 50 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn B i to¡n 3.0.49 Câ mët bn vuổng vợi số ổ vuổng trản cĂc cÔnh l l Hai ngữới chỡi lƯn lữủt t nhỳng ỗng xu v o c¡c ỉ vng cõa b n Ng÷íi chìi n o khỉng cỏn chộ  t ỗng xu coi nhữ l thua HÂy ch rơng ngữới chỡi thự nhĐt cõ th luổn chián thưng Lới giÊi Ta nhên thĐy rơng, Ôi lữủng bĐt bián Ơy l ổ vuổng tƠm b n (do sè ỉ vng l  l´ n¶n ỉ vng tÔi tƠm ny luổn tỗn tÔi) Tứ gủi ỵ õ, cho ta ữủc chián thuêt thưng cừa ngữới chỡi thự nhĐt l: t ỗng xu Ưu tiản vo ổ vuổng tÔi tƠm bn, cĂc nữợc i cỏn lÔi thẳ t ỗng xu ối xựng vợi ỗng xu m ngữới thự hai t qua ỗng xu tƠm bn Vẳ diằn t½ch cõa m°t b n cán trèng gi£m, trá chìi ph£i kát thúc Nhữ vêy, ngữới chỡi thự nhĐt s thưng 51 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Kát luên BĐt bián l mởt ph÷ìng ph¡p ÷đc sû dưng nhi·u gi£i to¡n cĐp, tứ nhỳng bi toĂn số hồc, hẳnh hồc án tờ hủp Tuy vêy cho án Viằt Nam chữa cõ mởt ti liằu no tờng kát, phƠn loÔi cĂc bi toĂn m phữỡng phĂp giÊi l dũng bĐt bián TĂc giÊ luên vôn cụng chữa biát ti liằu nữợc ngoi no chuyản dnh  trẳnh by phữỡng phĂp dũng bĐt bián Vẳ thá, luên vôn  t v  ho n th nh mët sè vi»c sau: - Giỵi thi»u chung và phữỡng phĂp sỷ dửng bĐt bián viằc giÊi toĂn sỡ cĐp - Tờng kát, phƠn loÔi cĂc bi toĂn m lới giÊi cƯn dũng phữỡng phĂp bĐt bián - Sữu tƯm (chừ yáu tứ cĂc ký thi Olympic quốc gia, quốc tá v cừa mởt số nữợc) m õ bĐt bián ữủc sỷ dửng nhữ mởt cổng cử chừ yáu Luên vôn cõ th giúp ẵch cho hồc sinh v giĂo viản viằc tẳm hiu mët ph÷ìng ph¡p hi»u qu£ º gi£i nhi·u b i to¡n sỡ cĐp Viằc sữu tƯm, phƠn loÔi ỏi họi nhiÃu cổng sực v thới gian BÊn luên vôn ny cụng ch mợi l kát quÊ bữợc Ưu, v tĂc giÊ s cố gưng hon chnh  cõ ữủc mởt chuyản · vỵi nëi dung phong phó 52 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ti liằu tham khÊo [1] Lả TrƯn Chẵnh, Nguyạn Quỵ Di, Nguyạn Vôn Lởc, Vụ Vôn ThÊo (2002),Tuyn têp 200 bi thi vổ nh toĂn (Số hồc v Ôi số), NXB Gi¡o Dưc [2] Nguy¹n Húu iºn (2004), Gi£i to¡n bơng phữỡng phĂp Ôi lữủng bĐt bián, NXB GiĂo Dửc [3] To¡n håc v  tuêi tr´ (1997-2004), NXB Gi¡o Döc [4] Tõ s¡ch to¡n håc v  tuêi tr´ (2007), C¡c b i thi Olympic to¡n trung håc phê thæng Vi»t Nam (1990-2006), NXB Gi¡o Dưc [5] Tuyºn tªp c¡c · thi Olympic to¡n quèc gia, quèc t¸ (1995-2010) [6] Agakhanov N (2007), Olypic ToĂn ton nữợc Nga, NXB MCCME [7] Kvant (TÔp chẵ toĂn hồc cho nh trữớng phờ thổng cừa Li¶n Xỉ v  ng y l  Li¶n bang Nga, n«m 1970-2002) [8] McEliece R J, Ash R B, Ash C (1989), Introduction to Discrete Mathematics, McGraw-Hill Book Co [9] Schen A (2007), Trỏ chỡi v chián thuêt dữợi quan iºm to¡n håc, NXB MCCME 53 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn