Phân hoạch và hàm sinh

„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC NGUY™N THÀ HU› LINH PH…N HO„CH V€ H€M SINH LUŠN V‹N THC Sò TON HC ThĂi Nguyản - 2014 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! „I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC NGUY™N THÀ HU› LINH PHN HOCH V HM SINH Chuyản ngnh: PHìèNG PHP TON Sè CP M số: 60.46.01.13 LUN VN THC Sò TON HC Ngữới hữợng dăn khoa hồ PGS.TS M VN NH Th¡i Nguy¶n - 2014 Mư lư Líi nâi u Kián thự huân b 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 Quan h» t÷ìng ÷ìng Tê hñp suy rëng Khai triºn a thù Cỉng thù huyºn êi ng÷đ Nguyản lỵ Bũ-Trứ Chuéi ly thøa h¼nh thù 1.6.1 V nh Ă huội ly thứa hẳnh thự 1.6.2 nh lỵ Fi htenholz và hởi tử PhƠn hoÔ h têp hủp hỳu hÔn 2.1 Phữỡng phĂp phƠn hoÔ h têp hủp 2.2 D¢y sè Stirling 2.2.1 C¡ sè Stirling loÔi hai 2.2.2 CĂ số Stirling loÔi mët 2.3 Mët v i k¸t qu£ v· sè Bell 2.3.1 Kh¡i ni»m sè Bell 2.3.2 Sè Bell â i·u ki»n 4 11 14 17 17 19 20 20 24 25 31 34 34 37 PhƠn hoÔ h số nguyản dữỡng 41 Kát luên Ti liằu tham khÊo 62 63 3.1 PhƠn hoÔ h số nguyản dữỡng 3.2 Ph÷ìng ph¡p h m sinh õa Euler 3.3 H m sinh thữớng ừa số Stirling v số phƠn hoÔ h 41 56 59 Líi nâi u Bi toĂn phƠn hoÔ h têp hủp v phƠn hoÔ h số nguyản dữỡng  ữủ biát án tứ rĐt lƠu v ng y nâ â vai trá quan trång khæng h¿ lắnh vỹ toĂn hồ m nõ ỏn ữủ Ăp dửng nhiÃu ngnh khoa hồ khĂ nhữ Vêt Lỵ, a Lỵ, Vêy thá no l phƠn hoÔ h têp hủp v thá no l phƠn hoÔ h số nguyản dữỡng Leibniz l ngữới u tiản quan tƠm án bi toĂn phƠn hoÔ h số tỹ nhiản Vo nôm 1674, mởt bự thữ gỷi J.Bernoulli,  họi vÃ Ă h hia mởt số nguyản khổng Ơm Nõi theo thuêt ngỳ hiằn Ôi, Leibniz  t Ơu họi u tiản và số phƠn hoÔ h ừa mởt số tỹ nhiản ặng  ữa mởt vi vẵ dử th dữợi Ơy: (1) Số õ hai phƠn hoÔ h = = + 1, (2) Số õ ba phƠn hoÔ h = = + = + + 1, (3) Số õ nôm phƠn hoÔ h = = 3+1 = 2+2 = 2+1+1 = 1+1+1+1 Nhi·u b i to¡n sè hå hay tê hñp s³ tr nản giÊi hỡn sỷ dửng phữỡng phĂp phƠn hoÔ h têp hủp PhƠn hoÔ h têp hủp ng ữủ Ăp dửng rĐt nhiÃu lắnh vỹ toĂn sỡ Đp, ° bi»t l  ¡ b i to¡n thi hå sinh giọi Luên vôn PhƠn hoÔ h v hm sinh nhơm hằ thống lÔi Ă kián thự ỡ bÊn và phƠn hoÔ h têp hủp v phƠn hoÔ h số nguyản dữỡng Luên vôn ữủ hia lm ba hữỡng Chữỡng - Kián thự huân b Chữỡng ny trẳnh by Ă vĐn à v·: Quan h» t÷ìng ÷ìng, tê hđp suy rëng, khai trin a thự , thự huyn ời ngữủ , nguyản lỵ Bũ-trứ, huội ly thứa hẳnh thự Chữỡng - PhƠn hoÔ h têp hủp hỳu hÔn Trẳnh by và phữỡng phĂp phƠn hoÔ h têp hủp, dÂy số Stirling v mởt vi kát quÊ và số Bell Chữỡng - Trẳnh by Ă khĂi niằm ỡ bÊn, mởt số nh lỵ, hằ quÊ, mằnh à và phƠn hoÔ h số nguyản dữỡng Ph÷ìng ph¡p h m sinh õa Eler H m sinh thữớng ừa số Stirling v số phƠn hoÔ h  hon thnh luên vôn ny, trữợ hát tĂ giÊ xin ữủ gỷi lới Êm ỡn sƠu sư tợi PGS TS m Vôn Nh  dnh thới gian hữợng dăn, h bÊo tên tẳnh giúp ù suốt quĂ trẳnh xƠy dỹng à ti ng nhữ hon thiằn luên vôn Tiáp theo, t¡ gi£ ng xin gûi líi £m ìn h¥n th nh tợi Ă thy ổ  ồ , kim tra, Ănh giĂ v ho nhỳng ỵ kián quỵ bĂu  luên vôn ữủ y ừ hỡn, phong phú hỡn Qua Ơy, tĂ giÊ ng xin ữủ gỷi lới Êm ỡn tợi Ban giĂm hiằu, o tÔo, Khoa ToĂn - Tin Trữớng Ôi hồ Khoa hồ - Ôi hồ ThĂi Nguyản v Ă bÔn ỗng nghiằp  tÔo iÃu kiằn thuên lủi suốt quĂ trẳnh hồ têp tÔi trữớng TĂ giÊ rĐt mong nhên ữủ sỹ õng gõp ỵ kián ừa Ă thy ổ v Ă bÔn ỗng nghiằp  luên vôn ữủ hon thiằn hỡn TĂ giÊ xin hƠn thnh Êm ỡn! ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2014 TĂ GiÊ Nguyạn Th Huằ Linh Chữỡng Kián thự huân b 1.1 Quan hằ tữỡng ữỡng GiÊ thiát têp X 6= Tẵ h Ã Ă X ì X ữủ nh nghắa nhữ dữợi Ơy: X ì X = {(x, y)|x, y X} nh nghắa 1.1 Têp on S ừa X ì X ữủ gồi l mởt quan hằ hai ngổi X Náu (x, y) S thẳ ta nõi x õ quan hằ S vợi y v viát xSy nh nghắa 1.2 GiÊ thiát X 6= v S 6= ∅ l  mët quan h» hai ngæi X Quan h» S ÷đ gåi l  mët quan h» tữỡng ữỡng X náu nõ thọa mÂn ba iÃu kiằn sau Ơy: (i) (PhÊn xÔ) Vợi mồi x X â xSx (ii) (èi xùng) Vỵi måi x, y X, náu õ xSy thẳ ng õ ySx (iii) (Bư u) Vợi mồi x, y, z X, náu â xSy v  ySz th¼ ng â xSz Khi S l mởt quan hằ tữỡng ữỡng X thẳ ta thữớng kỵ hiằu thay ho S t C(x) = {y ∈ X|y ∼ x} v  gåi nâ l  mët lợp tữỡng ữỡng vợi x lm Ôi diằn Dạ dng h Ă tẵnh hĐt sau: Tẵnh hĐt 1.1 GiÊ sû ∼ l  quan h» t÷ìng ÷ìng X 6= ∅ Khi â (i) Vỵi måi x ∈ X â x ∈ C(x) (ii) Vỵi måi y, z ∈ C(x) â y ∼ z v  y, z ∼ x (iii) Vỵi måi x, y ∈ X, â ho° C(x) ∩ C(y) = ho C(x) = C(y) (iv) Têp thữỡng X/ l têp Ă lợp tữỡng ữỡng khổng giao 1.2 Tê hđp suy rëng ành ngh¾a 1.3 Méi ¡ h s­p x¸p â thù tü k phn tỷ m Ă phn tỷ õ th lp lÔi ừa têp T gỗm n phn tỷ khĂ ữủ gồi l  mët h¿nh hđp l°p hªp k õa tªp n phn tỷ Kỵ hiằu số Ă hnh hủp lp hêp k ừa têp gỗm n phn tỷ khĂ l Akn Kát quÊ sau Ơy l hin nhiản Mằnh à 1.1 Sè ¡ h¿nh hđp l°p hªp k õa mët têp gỗm n phn tỷ khĂ l k A n = nk nh nghắa 1.4 Mội Ă h lĐy k phn tû m  ¡ phn tû â thº l°p lÔi ừa mởt têp n phn tỷ ữủ gồi l mët tê hđp l°p hay tê hđp suy rëng hªp k ừa têp n phn tỷ Kỵ hiằu sốk tĐt £ ¡ tê hđp l°p hªp k õa mët tªp gỗm n phn tỷ khĂ l Cn Ta õ kát quÊ sau Ơy Mằnh à 1.2 Số Ă hoĂn l°p õa n phn tû, â â n nhữ thuở loÔi 1, n2 phn tỷ nhữ thuở loÔi 2, , nhữ thuở loÔi s, s óng b¬ng n! · n1 !n2 ! ns ! phn tû ns phn tû Chùng minh Kỵ hiằu Ă phn tỷ l a , a , , a , â a xu§t hi»n s ln, a2 xu§t hi»n n2 ln, , as xu§t hi»n ns ln n1 phn tû bơng a1 ữủ kỵ hiằu qua a11, , a1n ; n2 phn tû b¬ng a2 ữủ kỵ hiằu qua a21 , , a2n ; ; ns phn tû b¬ng as ữủ kỵ hiằu qua as1 , , asn Vỵi n = n1 + n2 + · · · + ns phn tû aij ta â n! ho¡n Khi è ành ¡ ai1 , , ain , i 6= 1, án n1 phn tû b¬ng a11 , , a1n hoĂn v vợi ta ng h ữủ mởt hoĂn v Trong trữớng hủp ny, thỹ tá mội phn tỷ  ữủ tẵnh n1! ln Tữỡng tỹ xt Ă trữớng hủp khĂ Vẳ Ă trữớng hủp l ở lêp vợi nản theo quy tư nhƠn ta thĐy mội hoĂn v thỹ tá  ữủ tẵnh n1! ns! ln Vªy sè ho¡n n tẵnh bơng n !n n! à ! n ! n1 s i s M»nh · 1.3 Kỵ hiằu T l số Ă h phƠn hia n ỗ vêt khĂ vo k hởp khĂ ho â Khi â n! T = · n1 !n2 ! nk ! ni vêt ữủ °t v o hëp thù i vỵi i = 1, 2, , k Chùng minh Ta â C ¡ h hån n vªt tø n vªt °t v o hëp thự nhĐt, n1 n tiáp theo õ Cnnn ¡ h hån n2 vªt tø n − n1 vªt °t v o hëp thù hai, , èi òng l  Cnn−n −···−n ¡ h hån nk vªt tø n − n1 − · · · − nk−1 vªt °t v o hëp thù k Vẳ Ă trữớng hủp hồn trản l ở lêp vợi nản theo quy tư nhƠn ta thĐy T = Cnn Cnn−n Cnn−n −···−n Nh÷ vêy húng ta nhên ữủ kát quÊ T = Cnn Cnn−n Cnn−n −···−n Bi¸n êi k k−1 k 1 k−1 k 1 k−1 n! (n − n1 )! (n − n1 − · · · − nk−1 )! · ··· n1 !(n − n1 )! n2 !(n − n1 − n2 )! nk !0! n! · = n1 !n2 ! nk ! T = Tõm lÔi T = n !n n! à ! n !  k V½ dư 1.1 Gi£ sû m v k l nhỳng số nguyản dữỡng v t n = mk Kỵ l số Ă h phƠn hia n ỗ vêt khĂ xáp vo ho mội hởp hùa óng m vªt Khi â hi»u T T = n! · k!(m!)k k hëp gièng B i gi£i Ta oi k hëp l  kh¡ Khi â sè ¡ h ph¥n hia l  T = n! n! · = m!m! m! (m!)k Do k hëp gièng nản mội Ă h phƠn hia n!  xuĐt hiằn k! ln Vêy thỹ tá số Ă h phƠn hia l T = k!(m!) · k V½ dư 1.2 Gi£ sû â s loÔi hởp gỗm m hiá loÔi thự nhĐt, m2  hiá loÔi ms hiá loÔi thự s, õ nhỳng hiá ũng loÔi giống hằt Cõ n = m1 n1 + m2 n2 + · · · + ms ns ỗ vêt xáp hát vo Ă hởp ho mội hởp thuở loÔi thự i hựa úng ni vêt Kỵ hiằu T l số Ă h phƠn hia n ỗ vêt khĂ xáp vo s loÔi hởp gỗm m1 + m2 + à à à + ms hi¸ thù hai, , â Khi â T = (m1 n1 + m2 n2 + · · · + ms ns )! · m1 !m2 ! ms !(n1!)m1 (n2 !)m2 à à à (ns!)ms Bi giÊi Trữợ tiản ta hia n vêt thnh s phn ho phn thù i â mi ni vªt Khi â sè ¡ h ph¥n hia l  T = n! · (m1 n1 )!(m1 n2 )! (ms ns)! em phn thự i l mini vêt xáp vo mi hởp gièng h»t Khi â sè ¡ h ph¥n hia l  Ti = m(m!(nin!)i)!m · Do ¡ h hia ð méi phn l ở lêp vợi i i nản tĐt Ê sè ¡ ¡ h ph¥n hia kh¡ l  T = S.T1.T2 Ts hay i T = (ms ns )! (m1 n1 )! n! · · · , · (m1 n1 )!(m1 n2 )! (ms ns )! m1 !(n1 !)m1 ms !(ns!)ms ho° vi¸t gån lÔi T = (m1 n1 + m2 n2 + à · · + ms ns )! · m1 !m2 ! ms !(n1!)m1 (n2 !)m2 · · · (ns!)ms  1.3 Khai triºn a thù ành ngh¾a h» số tờ hủp a ỡn thự dữợi Ơy nhữ mởt sü têng qu¡t ho tê hñp v  khai triºn Nhà thự Newton nh nghắa 1.5 Vợi số nguyản dữỡng n v  k, sè n r1 , r2 , , rk ! = n! , r1 !r2 ! rk ! â ¡ ri ∈ N v  r1 + r2 + · · · + rk = n, ÷đ gåi l  mët h» sè tê hđp a ìn thù Mët v i k¸t qu£ sau Ơy ữủ suy trỹ tiáp tứ nh nghắa Mằnh à 1.4 n r1 , r2 , , rk ! = n r1 ! ! ! n − r1 n − r1 − r2 − · · · − rk−1 ··· r2 rk M»nh · 1.5  n r1 , r2 , , rk  =       n−1 n−1 n−1 , +· · ·+ + r1 , r2 , , rk − r1 , r2 − 1, , rk r1 − 1, r2 , , rk â t§t £ ¡ ri r1 + r2 + · · · + rk = n triºn a ìn thù bª n nguyản dữỡng v nh lỵ sau Ơy ỏn ữủ gồi l  khai ành l½ 1.1 Cỉng thù khai triºn ho (x (x1 + x2 + · · · + xk )n = X r1 +···+rk =n + x2 + · · · + xk )n ! n xr11 xr22 xrkk , r1 , r2 , , rk r1 , , rk ∈ N â têng l§y theo t§t Ê Ă nhữ sau vợi r1 + à à à + rr = n Chùng minh Ta hùng minh k¸t quÊ bơng phữỡng phĂp qui nÔp theo Vợi n = ỉng thù hiºn nhi¶n óng Gi£ sû ỉng thù óng vỵi n Ta h¿ nâ óng vỵi n + Thªt vªy, ta â: n (x1 + · · · + xk )n+1 =(x1 + · · · + xk )n (x1 + · · · + xk ) X n! = xr11 xr22 xrkk (x1 + · · · + xk ) r !r ! rk ! r1 +r2 +···+rr =n = X [ r1∗ +···+rk∗ =n+1 + ··· + Tø â suy n! n! + (r1∗ − 1)!r2∗ · · · rk∗ ! r1∗ !(r2∗ − 1)! · · · rk∗ ! n! rk∗ r1∗ ] x x k r1∗ ! (rk∗ − 1)! (x1 + · · · + xk )n+1 = hay (x1 + · · · + xk )n+1 = n!(n + 1) r1∗ rk∗ x · · · x k r∗ ! · · · rk∗ ! r ∗ +···+r ∗ =n+1 1 X k (n + 1)! r1∗ rk∗ x x , k ∗ ∗ r ! · · · r ! k r ∗ +···+r ∗ =n+1 1 X k â têng l§y theo r1∗, · · · , rk∗ ∈ N vỵi P ri∗ = n + Vªy ta suy ỉng i=1  thự úng vợi n + Tõm lÔi, thự úng vợi mồi n k Vẵ dử 1.3 Vợi bĐt ký số nguyản dữỡng k luổn õ ỗng nhĐt thù kn = X r1 +···+rk =n â têng l§y theo t§t £ ¡ B i gi£i Ta â k n ! n , r1 , r2 , , rk r1 , , rk ∈ N = (1 + + · · · + 1)n = vỵi P r1 + · · · + rr = n r1 +···+rk =n n r1 , r2 , , rk ! theo [ ϕ(n) = n − Ai i=1 s X n X n n − p pp ppp i=1 i 16i 2n1 Tiáp theo ta h¿ k 2n−1 Thªt vªy, gi£ sû hån ữủ k > 2n1 têp on Ai ừa A thọa mÂn giao ừa hai têp on bĐt ký Ai, Aj ừa A Ãu khĂ rộng Chia tĐt Ê 2n têp on õa A th nh 2n−1 °p Ai v  phn bò Bi = A \ Ai vợi mội i Vẳ số têp on ữủ hồn l k > 2n1 nản phÊi õ ẵt nhĐt hai têp on ữủ hồn l Ar , As tr thnh p dÔng {Ar , As} = {Ai, Bi} theo nguyản lỵ Diri hlet Do vêy Ai Bi = Ar As 6= : mƠu thuăn Tứ Ơy suy k = 2n1  Vẵ dử 2.3 XĂ nh số nguyản dữỡng k  ho tªp hđp X = {2012, 2012 + 1, 2012 + 2, , 2012 + k} â thº phƠn lm hai têp tờng Ă số thuở têp A A v  B A ∩ B = ∅, A ∪ B = X ¡ sè thuë tªp B thäa mÂn úng bơng tờng ừa v Bi giÊi Trữợ tiản ta t¼m i·u ki»n ho k Gi£ sû â hai têp A v B thọa mÂn u bi t s l tờng ừa tĐt Ê Ă số thuở têp A Khi õ têp B ng õ tờng Ă số bơng s v têp X õ tờng ừa tĐt Ê Ă số bơng 2s Vêy 4s = 2[2012 + (2012 + 1) + (2012 + 2) + · · · + (2012 + k)] = 4024(k + 1) + k(k + 1) Nhữ vêy, k(k + 1) hia hát ho v  tø ¥y suy k k ≡ 0( mod 4) ≡ 3( mod 4) ho° 22 X²t tr÷íng hđp (1): k ≡ 3( mod 4) D¹ d ng suy ra: Sè phn tû thuë tªp X ph£i l  bëi õa Hin nhiản, số tỹ nhiản liản tiáp n, n + 1, n + 2, n + luæn thäa m¢n n + n + = n + + n + v  {n, n + 3} ∩ {n + 1, n + 2} = ∅ Tªp X thọa mÂn tẵnh hĐt ỏi họi Trữớng hủp (2): k ≡ 0( mod 4) Trong tr÷íng hđp n y, sè phn tû õa tªp X ph£i l  sè l´ Gi£ sỷ X ữủ phƠn lm hai têp rới A v  B v  A ∩ B = ∅ Ta â thº gi£ thi¸t Card (A) > Card (B) °t k = 4m vợi số tỹ nhiản m Khi õ Card (A) > 2m + 1, Card (B) 2m Ta â v  s > 2012 + (2012 + 1) + · · · + (2012 + 2m) s < (2012 + 2m + 1) + · · · + (2012 + 4m) Nhữ vƠy, ta õ ữủ 2012+(2012+1)+à à ·+(2012+2m) s < (2012+2m+1)+· · ·+(2012+4m) hay 2012 < 2m.2m hay m > 23 v  k = 4m > 23.4 = 92 Khi k = 92 : Ta x²t A1 = {2012, 2012 + 1, , 2012 + 46} vỵi têng ¡ sè a1 = 2012 + (2012 + 1) + · · · + (2012 + 46); v  B1 = {(2012 + 47) + · · · + (2012 + 92) vỵi têng ¡ sè b1 = (2012 + 47) + · · · + (2012 + 92) Ta â b1 − a1 = 46.46 − 2012 = 104 Th¸ sè 2012+52 B1 bi số 2012 v thá số 2012 ừa A1 bợi sè 2012+52 Khi â A = A1 \ {2012} ∪ {2012 + 52} v  B = B1 \ {2012 + 52} ∪ {2012} 23 thäa m¢n u b i Khi k ≡ 0( mod 4) v  k > 92 : Ta vi¸t X = {2012, 2012 + 1, , 2012 + 92} ∪ {2012 + 93, , 2012 + 4m} PhƠn têp X1 = {2012, 2012 + 1, , 2012 + 92} thnh hai têp A v B nhữ trản; phƠn têp X2 = {2012 + 93, , 2012 + 4m} vợi số phn tỷ hđn dng phƠn lm hai têp C v D thóa mÂn C ∩ D = ∅ v  C ∪ D = X2 vợi tờng Ă số têp C v D bơng Vªy A0 = A ∪ C, B0 = B D thọa mÂn u bi  Tõm lÔi, ho k ≡ 3( mod 4) ho° k ≡ 0( mod 4) vợi k > 92 Vẵ dử 2.4 GiÊ sỷ X l têp gỗm n phn tỷ XĂ nh số ¡ °p (A, B), ð â A, B ⊆ X, thọa mÂn A khổng l têp on thỹ sỹ ừa B Bi giÊi Ta biát rơng số têp on ừa têp X úng bơng Vêy số Ă n p (A, A) bơng 2n Vợi mội số tỹ nhiản k v têp on B gỗm k phn tỷ, số Ă têp on A ừa B úng bơng 2k Tø ¥y suy sè ¡ °p (A, B), ð õ A, B X, thọa mÂn A l têp on thü sü õa B óng b¬ng n X n k k=0 ! 2k − 2n = 3n − 2n Do vªy, sè ¡ °p (A, B), ð â A, B X, thọa mÂn A khổng l têp on thü sü õa B óng b¬ng 2n.2n − [3n − 2n] = 4n − 3n + 2n  V½ dử 2.5 Vợi hai số nguyản dữỡng l a, b, (a, b) = 1, ta luæn â a−1 h i X bi i=1 a + b−1 h X aj i j=1 b = (a − 1)(b − 1) B i gi£i Têp im nguyản A = {(i, j)|1 i a − 1, j b − 1} 24 õ lỹ lữủng úng bơng (a 1)(b 1) v khổng õ im no thuở A nơm trản ữớng thng y = ab x Chia têp A l m hai tªp on v  A2 = { j, b − [bj/a] |1 j b − 1} Khi â A1 ∪ A2 = A, A1 ∩ A2 = ∅ Tø h» thù |A| = |A1| + |A2| ta nhên ữủ

A1 = { i, [bi/a] |1 i a − 1} a−1 h i X bi i=1 a + b−1 h X aj i j=1 b = (a − 1)(b − 1)  ành ngh¾a 2.2 Mët ph²p hia tªp V th nh k phn l  mët k-kiºu ¡ tªp on (A1, A2, , Ak), â â thº mët v i tªp on l têp rộng, thọa mÂn hai iÃu kiằn: (i) V = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Ak (ii) Ai ∩ Aj = ∅ vỵi måi i, j, i 6= j M»nh · 2.1 Gi£ sû |V | = n v  |A | = r j kiºu (A1, A2 , , Ak ) õa têp Chựng minh Vẳ õ n r1 ! V úng b¬ng ! ! j Khi â sè ph²p hia ! n r1 , r2 , , rk ¡ h hån ho A1, n − r1 − r2 − · · · − rk−1 A2 , , v  rk (A1, A2 , , Ak ) ừa têp V úng bơng n r1 j vỵi måi n − r1 r2 ! º â Ak Do â sè ph²p hia kiºu ! n − r1 − r2 − · · · − rk−1 n r1 ÃÃÃ rk r2 v nhữ vêy úng b¬ng n r1 , r2 , , rk ! ¡ h hån º â ! theo M»nh · 1.4 2.2 DÂy số Stirling Trữợ tiản ta nảu khĂi ni»m h m sinh m õa mët d¢y sè