Sóng âm và ứng dụng trong địa chấn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ THU HƯƠNG SÓNG ÂM VÀ ỨNG DỤNG TRONG ĐỊA CHẤN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2014 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ THU HƯƠNG SÓNG ÂM VÀ ỨNG DỤNG TRONG ĐỊA CHẤN Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN VĂN NGỌC THÁI NGUYÊN, 2014 Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Cơ sở vật lý sóng âm 1.1 Khái niệm 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Các đặc trưng vật lý sóng 1.2 Hiệu ứng Doppler ứng dụng 1.2.1 Hiện tượng Doppler 1.2.2 Tần số Doppler 1.2.3 Súng bắn tốc độ 1.2.4 Siêu âm Doppler 1.3 Các sóng AM FM 1.3.1 Nguyên lý phát thu sóng AM 1.3.2 Nguyên lý phát thu sóng FM 1.4 Các sóng siêu âm hạ âm 1.4.1 Sóng siêu âm 1.4.2 Sóng hạ âm Phương trình sóng âm Sóng âm điều hịa Địa chấn khúc xạ 2.1 Các định luật phương trình sóng âm 2.1.1 Các ký hiệu toán học 2.1.2 Các ký hiệu học 2.1.3 Định luật Hooke (The Hooke’s Law) 2.1.4 Định luật hai Newton (The Second Newton’s Law) 2.2 Phương trình sóng âm (Acoustic Wave Equation) 2.3 Sóng âm điều hồ 2.3.1 Sóng điều hồ chiều mơi trường đồng 2.3.2 Sóng hai chiều môi trường đồng 4 4 6 7 9 10 11 11 11 14 14 14 15 15 15 16 16 16 17 2.4 2.5 2.6 2.7 2.3.3 Sóng ba chiều mơi trường đồng Vận tốc pha vận tốc nhóm 2.4.1 Vận tốc pha 2.4.2 Vận tốc nhóm Năng lượng q trình truyền sóng âm 2.5.1 Mật độ lượng sóng đàn hồi 2.5.2 Véctơ mật độ thông (mật độ dịng lượng ) Truyền sóng phẳng hai nửa không gian 2.6.1 Sóng tới thẳng góc với bề mặt phân cách 2.6.2 Sóng tới xiên góc với bề mặt phân cách Định luật Snell (Snell’s Law) 2.6.3 Hệ số phản xạ vận tốc hạt Phương pháp địa chấn khúc xạ nghiên cứu môi trường địa tầng 2.7.1 Khái niệm 2.7.2 Môi trường hai lớp song song 2.7.3 Môi trường ba lớp song song Bài tốn Cauchy phương trình sóng 3.1 Hàm suy rộng 3.1.1 Khái niệm δ hàm Dirac hàm suy rộng 3.1.2 Các không gian hàm D S 3.1.3 Không gian hàm suy rộng D0 S 3.1.4 Đạo hàm hàm suy rộng 3.2 Biến đổi Fourier 3.2.1 Biến đổi Fourier hàm thông thường 3.2.2 Biến đổi Fourier hàm suy rộng 3.3 Nghiệm tốn tử sóng ứng dụng 3.3.1 Nghiệm tốn tử sóng 3.3.2 Nghiệm suy rộng toán Cauchy toán tử 3.3.3 Nghiệm cổ điển toán Cauchy 17 18 18 20 20 20 21 21 21 23 26 28 28 29 31 sóng 33 33 33 34 35 36 36 36 37 37 37 38 39 Phương pháp sai phân giải phương trình sóng 41 4.1 Phép tính gần sai phân hữu hạn 41 4.2 Các thuật tốn số cho phương trình sóng 46 Kết luận 53 Tài liệu tham khảo 54 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa hoc - Đại học Thái Nguyên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Nguyễn Văn Ngọc, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả suốt q trình hồn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy, cô giáo Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Phòng Đào tạo Trường Đại học Khoa học, người trực tiếp giảng dạy giúp đỡ tác giả trình học tập trường toàn thể bạn bè người thân đóng góp ý kiến, giúp đỡ, động viên tác giả q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Tuy nhiên, hiểu biết thân hạn chế, nên luận văn khơng tránh khỏi khiếm khuyết Kính mong nhận ý kiến đóng góp thầy, bạn bè đồng nghiệp để luận văn hoàn chỉnh Xin chân thành cảm ơn Thái Nguyên, ngày 10 tháng 08 năm 2014 Tác giả Phạm Thị Thu Hương MỞ ĐẦU Âm học nhánh vật lý học, nghiên cứu lan truyền sóng âm môi trường khác tác động qua lại chúng với môi trường vật chất Âm phát sinh từ nhiều nguồn, thí dụ tiếng nói người, tiếng động vật kêu, tiếng trống tiếng đàn phát từ nhạc cụ v.v Nói chung, âm phát có va chạm vật Trong thực tế, âm tạo từ nhiều cách khác Trong không gian rộng mở sóng âm truyền tự theo hướng Trong không gian hạn hẹp hay bị vật cản, sóng âm bị phản hồi giao thoa với sóng khác, tạo nên giao thoa sóng Sóng âm ứng dụng nhiều ngành kỹ thuật y học Người ta sử dụng sóng âm để tìm vị trí dị tật khối đó, vị trí mỏ lịng đất Sóng âm bị vật cản bị phản xạ, sóng phản xạ cho biết vị trí vật bên khối hay lòng Quả Đất Các sóng hạ âm siêu âm ứng dụng nhiều y học kỹ thuật cao Âm học đóng vai trị quan trọng hệ thống thông tin viễn thông, radio, tivi, điện thoại, máy tính, v.v Một ứng dụng quan trọng âm học phương pháp địa chấn khúc xạ để nghiên cứu bên lòng Quả Đất Các tượng âm mơ tả phương trình tốn học ∂ 2P − c2 ∆P = f, (1) ∂t P = P (x, t), x = (x1 , x2 , , xn ) biểu thị áp suất mơi trường sóng âm gây ra, c vận tốc truyền âm mơi trường Phương trình (1) phương trình quan trọng vật lý tốn Mục đích luận văn tìm hiểu học tập sâu thêm tượng âm ứng dụng chúng địa chấn,tìm hiểu phương pháp tốn học hữu hiệu giải phương trình sóng âm Bố cục luận văn gồm Mở đầu, bốn chương nội dung, Kết luận Tài liệu tham khảo Chương : Cơ sở vật lý sóng âm Chương trình bày sở vật lý sóng âm, bao gồm khái niệm âm học, đặc trưng vật lý sóng âm, hiệu ứng Doppler ứng dụng Nguyên lý phát thu sóng AM FM Các sóng siêu âm hạ âm v.v Chương : Phương trình sóng âm Sóng âm điều hịa Địa chấn khúc xạ Chương trình bày Định luật Hooke, Định luật hai Newton thành lập phương trình sóng âm sở hai định luật Xét phương trình sóng âm điều hịa, định luật sóng khúc xạ phản xạ, vận tốc pha, vận tốc nhóm, lượng sóng v.v Các ứng dụng sóng âm địa chấn học Chương : Bài toán Cauchy phương trình sóng Chương trình bày tốn Cauchy cho phương trình sóng âm Đã tiếp cận lý thuyết hàm suy rộng biến đổi tích phân Fourier trình bày nghiệm suy rộng nghiệm cổ điển tường minh tốn Cauchy phương trình sóng với số chiều n = 1, Chương : Phương pháp sai phân giải phương trình sóng Chương trình bày phương pháp sai phân hữu hạn giải gần toán biên giá trị ban đầu phương trình sóng chiều khoảng hữu hạn Chương Cơ sở vật lý sóng âm Chương trình bày sở vật lý tượng âm ứng dụng thường nhật tượng âm Nội dung chương hình thành từ nhiều tài liệu khác nhau, đặc biệt tài liệu [2] 1.1 Khái niệm 1.1.1 Định nghĩa Sóng âm sóng áp suất mơi trường vật chất(sóng học) dao động nén-giãn theo phương truyền sóng (sóng dọc) Tai người cảm nhận sóng âm có tần số từ 16 Hz đến 20000 Hz Sóng có tần số 16 Hz gọi sóng hạ âm (ví dụ, sóng địa chấn, sóng sinh học, v.v ) Sóng có tần số cao 20 000 Hz gọi sóng siêu âm Tai người nghe thính với âm có tần số từ 1000 Hz đến 000 Hz 1.1.2 Các đặc trưng vật lý sóng Khoảng thời gian ngắn để thực dao động(động toàn phần) gọi chu kỳ (period) hiệu T, đơn vị chu kỳ giây (s) Số lần dao động thực giây gọi tần số (frequency) ký hiệu f Đơn vị chu kỳ hec (Hz) Như : f= T (1.1) Tần số góc (angular frequency) (rad/s): ω = 2πf = 2π T (1.2) Khoảng cách hai điểm gần môi trường dao động đồng pha phương truyền sóng gọi bước sóng (wavelength) Bước sóng ký hiệu λ có đơn vị mét (m) Nếu c vận tốc sóng (vận tốc truyền pha dao động: wave propagation velocity) c λ = cT = f (1.3) • Vận tốc sóng âm dây kim loại lị xo: r  F F lực căng (N ), , c= D khối lượng đơn vị dài(kg/m) D • Vận tốc sóng âm chất lưu: 331, √ c≈ √ τ , τ nhiệt độ tuyệt đối (K o ), 273 • Vận tốc trung bình sóng âm số chất: cthép ≈ 4980m/s, cnước ≈ 1450m/s ckhơng khí ≈ 332m/s Độ rời cực đại phần tử dao động so với vị trí cân gọi biên độ (biên độ sóng) Biên độ sóng ký hiệu A (Amplitute), có đơn vị mét (m) Năng lượng sóng khơng định chỗ, ln truyền từ chỗ đến chỗ khác Do người ta đưa khái niệm " cường độ âm" lượng lượng truyền qua đơn vị diện tích vng góc với véctơ vận tốc sóng đơn vị thời gian Như vậy, cường độ âm có thứ ngun ốt/mét vng Dịng lượng sóng cho cơng thức I = ρω A2 c = 2ρπ f A2 c (1.4) • Tiếng nói thầm: I ≈ 10−6 w/m2 • • • • Tiếng cịi tơ: I ≈ 10−3 w/m2 Tiếng cịi báo động: I ≈ 1w/m2 Nếu f = 50Hz, Ingưỡng nghe ≈ 10−7 w/m2 Nếu f = 1000Hz, Ingưỡng nghe ≈ 10−12 w/m2 Mức cường độ âm điểm đại lượng vật lý xác định theo công thức I L = lg , Io  I0 = 10−12 w/m2 cường độ âm chuẩn, I − cường độ âm điểm xét (1.5) Đơn vị mức cường độ âm ben (B) Thông thường người ta đo mức cường độ âm dexiben (dB): 1B=10 dB • Tiếng nói thầm: L ≈ 20dB • Tiếng chân người đi: L ≈ 48dB • Tiếng nói to: L ≈ 80dB Sóng âm có mức cường độ âm cao nghe rõ Khi mức cường độ âm lớn đến mức gây cảm giác đau tai Độ to âm nằm phạm vi từ ngưỡng nghe đến ngưỡng đau 1.2 1.2.1 Hiệu ứng Doppler ứng dụng Hiện tượng Doppler Khi di chuyển, nguồn phát âm di chuyển, chúng ta nghe thấy thay đổi âm (cao, thấp) truyền đến tai Hiện tượng gọi hiệu ứng Doppler Hiện tượng vật lý đặt theo tên nhà vật lý người Áo, Christian Andreas (Johann) Doppler, người phát tượng Doppler cho rằng, tiếng động đến gần bạn, nguồn phát tiến lại gần bạn, bạn phía phát âm thanh, cường độ tăng lên cường độ thật Ngược lại, nguồn phát âm xa, bạn xa nguồn âm, âm mà bạn nghe có cường độ thật Hiện tượng Doppler xảy khoảng cách đến nguồn âm thay đổi độ dài ngắn thời gian nghe âm Nếu bạn nghe sóng âm có tần số không đổi khoảng thời gian ngắn dài, bạn có cảm giác âm có tần số, cao thấp khác Biểu diễn toán học hiệu ứng Doppler Đối với sóng chuyển động mơi trường, sóng âm, nguồn sóng người quan sát chuyển động tương đối so với mơi trường Hiệu ứng Doppler lúc tổng hợp hai hiệu ứng riêng rẽ gây hai chuyển động Công thức biểu thị tần số thật sóng âm tần số cuả âm Có thể giải hệ số vận tốc hạt hệ số truyền : ρc − ρ0 c0 , ρ0 c0 + ρc 2ρc Tw = 0 ρ c + ρc Rw = Lưu ý hệ số phản xạ phân cực ngược lại so với hệ số phản xạ áp lực Ngồi ra, số trường hợp biên độ sóng khúc xạ lớn so với biên độ sóng tới Điều có vi phạm định luật bảo tồn lượng hay khơng? Khơng, lượng tỉ lệ với mơ đun bình phương biên độ trở kháng Như vậy, trung bình khối yếu (trở kháng nhỏ) truyền sóng với biên độ lớn so với sóng tới môi trường chắn (trở kháng lớn hơn) Phải lượng nhiều để dịch chuyển khối rắn mm so với khối mềm Hệ số phản xạ bề mặt tự (mặt thoáng) Hệ số vận tốc hạt phản xạ +1 bề mặt tự do, tổng số trường vận tốc hạt bề mặt tự + Rw = Tại bề mặt thống tự có độ cứng coi khơng nên khối dao động với lực biên độ lớn so với khối nằm vùng nửa tự Khi trận động đất xảy hố rãnh sâu xuất sụt xuống, đồng thời bị bao phủ bụi bẩn Quan sát hình 2.3 Hình 2.3: Chuyển vị thẳng đứng mặt tự 27 w so với pháp r tuyến) đạo hàm pháp tuyến phương trình (2.22) ta kz từ k Do phương trình (2.22) trở thành: k0 kz (1 − Rp ) = z0 Tp , (2.37) ρ ρ 2π cos θ 2π cos θ0 hay kz = kz0 = λ λ0 cos θ cos θ0 (1 − Rp ) = 0 Tp (2.38) λρ λρ c Do λ = nên ta có f cos θ cos θ0 (1 − Rp ) = 0 Tp (2.39) cρ cρ Nếu góc tới sóng phẳng khác khơng (tính Giải phương trình hệ số phản xạ cos θ0 ρc − cos θρ0 c0 Ru = cos θρ0 c0 + cos θ0 ρc (2.40) ω sin θ ) c ω sin θ0 số sóng theo phương ngang môi trường kx = , theo định c sin θ0 sin θ = luật Snell: c c Điều có nghĩa tia khúc xạ bị bẻ lệch mặt giao hai môi trường, bẻ lệch theo hướng thẳng đứng bước vào môi trường vận tốc chậm bẻ phía ngang vào mơi trường nhanh Ở góc giới hạn góc tới độ tỷ lệ quan trọng θcrit  góckhúc xạ tia µ0 truyền 90 độ để định luật Snell nói θcrit = arcsin cc0 c0 > c Nếu số sóng theo phương ngang mơi trường (kx = Điều đưa đến sóng đầu khúc xạ lan truyền song song với giao diện vận tốc c0 môi trường 2.7 2.7.1 Phương pháp địa chấn khúc xạ nghiên cứu môi trường địa tầng Khái niệm Địa chấn khúc xạ sử dụng để nghiên cứu phân bố lớp bên mặt đất cách ghi nhận thông tin thời gian đến theo khoảng 28 cách từ nguồn dao động Nguồn dao động tạo súng hơi, búa, nặng, cách thức khác tạo nguồn lượng tác động vào môi trường Các máy dị sóng đặt cách qng để đo lượng sóng ban đầu thời gian lan truyền Những liệu trình bày dạng biểu đồ thời khoảng Trên sở người ta tính tốn vận tốc sóng âm lớp bề dày lớp địa tầng 2.7.2 Môi trường hai lớp song song Xét mô hình mơi trường truyền sóng đơn giản gồm hai lớp phân cách mặt phẳng R song song với mặt tự lớp (lớp 1) cách mặt tự khoảng h Hình 2.4: Biểu đồ thời khoảng bước sóng khúc xạ môi trường hai lớp Như vậy, lớp (lớp 2) nửa không gian Để đơn giản giới hạn xét toán phẳng mặt phẳng thẳng đứng (Oxz) với trục thẳng đứng Oz Giả sử mặt tự người ta đặt nguồn phát sóng vị trí S đặt máy thu sóng phản xạ vị trí G Giả sử vận tốc truyền sóng đàn hồi môi trường tương ứng V1 V2 (V2 > V1 ) Xét tia sóng phát từ S gặp mặt phân cách C góc tới giới hạn i = igt Ta có cơng thức sin igt = V1 , V2 igt = arcsin V1 V2 (V2 > V1 ) Tia khúc xạ CD là mặt phân cách Tiếp xuất sóng đầu làm tia khúc xạ quay trở lại mơi trường thứ góc tới igh Tia sóng đến mặt tự điểm G2 (vị trí đặt máy thu) Tại điểm thu G ghi 29 nhận hai sóng đến từ điểm S, sóng trực tiếp từ nguồn đến thẳng máy thu sóng khúc xạ truyền trượt mặt phân cách Ký hiệu x = SG = khoảng cách từ máy nổ đến máy thu T1 = khoảng thới gian từ máy nổ trực tiếp đến máy thu, T2 = khoảng thới gian từ máy nổ đến máy thu qua nhiều lần khúc xạ Ta có x , V1 SC CD DG T2 = + + , V1 V2 V1 h , SC = DG = cos igh CD = x − 2h tan igh T1 = (2.41) (2.42) (2.43) (2.44) Thay vào phương trình (2.43) sử dụng cơng thức Định luật Snell V1 sin igh = , V2 ta có x V2 x = V2 x = V2 x = V2 T2 = 2h x − 2h tan igh + V1 cos igh V2  2h sin igh  + − cos igh V1 V2  2h sin igh  + − cos igh V2 sin igh V2 2h cot igh + V2 + (2.45) Sử dụng công thức q cot igh = − sin2 igh sin igh p V22 − V12 = V1 viết lại công thức (2.45) dạng p x 2h V22 − V12 T2 = + V2 V1 V (2.46) Công thức (2.46) chứa đại lượng T2 , V1 , V2 , h, x Biết bốn đại lượng ta xác định đại lượng cịn lại 30 2.7.3 Mơi trường ba lớp song song Xét môi trường địa tầng gồm ba lớp ngăn cách mặt phẳng song song với mặt tự lớp Hình 2.5: Biểu đồ thời khoảng môi trường ba lớp Từ xuống dưới, giả sử vận tốc sóng đàn hồi(nào đó) lớp tương ứng V1 , V2 , V3 (V1 < V2 < V3 ) Gọi h1 h2 bề dày lớp thứ (lớp cùng) thứ hai, R1 , R2 mặt phân cách lớp 1-2 2-3 tương ứng Ký hiệu i1 , i2 tương ứng góc tới giới hạn phản xạ toàn phần lớp 1-2 2-3 Theo định luật Snell ta có sin i1 = V1 V2 , sin i2 = V2 V3 (2.47) Ký hiệu x = SG = khoảng cách từ máy nổ đến máy thu T1 = khoảng thới gian từ máy nổ trực tiếp đến máy thu, T2 = khoảng thới gian từ máy nổ đến máy thu qua nhiều lần khúc xạ lớp T3 = khoảng thới gian từ máy nổ đến máy thu qua nhiều lần khúc xạ lớp 31 Tương tự trường hợp hai lớp, theo hình 2.5, ta có cơng thức T1 = TSG = x , V1 (2.48) x 2h1 cot i1 + , V2 V2 T3 = TSC + TCD + TDE + TEF + TF G = 2TSC + 2TCD + TDE 2h1 2h2 x − 2h1 tan i1 − 2h2 tan i2 = + + V1 cos i1 V2 cos i2 V3    x 2h1 sin i1 2h2 sin i2  = + − + − V3 cos i1 V1 V3 cos i2 V2 V3  2h1 cot i1 2h2 cot i2 2h1 sin i1 sin i1  x + + + − = V3 V2 V3 cos i1 V2 V3 p p 2h1 V22 − V12 2h2 V32 − V22 2h1 V1 (V3 − V2 ) x p + + + = V3 V1 V2 V2 V3 V2 V3 V22 − V12 T2 = TSA + TAB + TBG = (2.49) (2.50) (2.51) (2.52) (2.53) Nhận xét 2.1 Hoàn toàn tương tự, môi trường địa tầng gồm n lớp song song thời gian từ máy phát S đến may thu G tính theo cơng thức 2h1 2h2 2hn−1 + + + V1 cos i1 V2 cos i2 Vn−1 cos in−1 SG − 2h1 tan i1 − 2h2 tan i2 − − 2hn−1 tan in−1 , + Vn Tn = (2.54) h1 , h2 , , hn−1 bề dày n − lớp cùng, V1 , V2 , , Vn tương ứng vận tốc sóng đàn hồi lớp, i1 , i2 , , in−1 tương ứng góc phản xạ tồn phần lớp 1-2, 2-3, (n-1)-n 32 Chương Bài toán Cauchy phương trình sóng Phương trình sóng âm phương trình sóng cụ thể quan trọng lý thuyết phương trình sóng nói chung phương trình vật lý tốn phương trình đạo hàm riêng Chương trình bày số kiến thức lý thuyết toán học nghiệm toán Cauchy phương trình sóng Các kiến thức chủ yếu trích từ tài liệu [6] 3.1 Hàm suy rộng 3.1.1 Khái niệm δ hàm Dirac hàm suy rộng δ hàm Dirac hàm suy rộng quan trọng nhà vật lý người Anh đưa vào khoảng 1926 Có thể hiểu δ hàm Dirac cách hình thức sau: δ hàm " hàm " có tính chất δ(0) = ∞, δ(x) Z = 0, x 6= 0, δ(x)ϕ(x)dx = ϕ(0) hàm liên tục ϕ(x) Rn Tính chất thứ thơng thường lấy làm định nghĩa hàm suy rộng Dirac phiếm hàm tuyến tính liên tục khơng gian hàm bản, xác định theo công thức [6] < δ, ϕ >:= ϕ(0) (3.1) Các tính chất nói lên rằng, giá hàm Dirac tập trung gốc toạ độ x = 0, tức δ - hàm có giá compact.Chú ý rằng, tính chất tương 33 đương với Z δ(x − a)ϕ(x)dx = Z Rn δ(x)ϕ(x − a)dx = ϕ(a) (3.2) Rn Cùng với delta hàm, hàm Heaviside θ(x) hàm suy rộng Hàm Heaviside định nghĩa sau  1, x > 0, θ(x) = 0, x < (3.3) Trong nghĩa hàm suy rộng, delta hàm đạo hàm hàm Heaviside dθ(x) = δ(x) dx Đạo hàm theo nghĩa suy rộng xác định theo công thức θ0 (x) = (Dα f, ϕ) = (−1)|α| (f, Dα ϕ), 3.1.2 ϕ ∈ Co∞ (3.4) (3.5) Các không gian hàm D S Định nghĩa 3.1 Tập hợp tất hàm khả vi vô hạn có giá compact Rn ký hiệu Co∞ (Rn ) Ký hiệu D = D(Rn ) không gian tơpơ tuyến tính định nghĩa sau: 1) D = Co∞ (Rn ) hai tập hợp 2) Dãy {ϕk (x)} ⊂ D, tồn compact K Rn ( bị chặn đóng, Rn ), cho suppϕk ⊂ K ∀k, suppϕ tập điểm x Rn , ϕ(x) 6= 0, gọi giá hàm ϕ(x) 3) Dãy {ϕk } hàm thuộc D gọi hội tụ D đến hàm ϕ ∈ D, với đa số α = (α1 , α2 , , αn ) với compact K ⊂ Rn , dãy {Dα ϕk } hội tu compcat K dến Dα ϕ, ký hiệu ∂ |α| ϕ α D ϕ = α1 α2 , |α| = α1 + α2 + + αn ∂x1 ∂x2 ∂xαnn D gọi khơng gian hàm với giá compact Ví dụ: hàm    − ϕε (x) = e ε2 − |x|2 , |x| < ε,  0, |x| ≥ |x| hàm có giá compact 34 Định nghĩa 3.2 Ký hiệu S = S(Rn ) tập hợp hàm khả vi vô hạn ϕ ∈ C ∞ (Rn ) thỏa mãn điều kiện p ||ϕ||p = sup (1+|x|) x∈Rn p X |Dm ϕ| < ∞, ∀p = 0, 1, 2, , |m| = m1 +m1 + +mn |k|=0 Dãy hàm ϕk ∈ S gọi hội tụ đến hàm ϕ ∈ S, ||ϕk −ϕ||p −→ k −→ ∞, ∀p = 0, 1, 2, Tập hợp S với tô pô gọi không gian hàm giảm nhanh Ví dụ: hàm ϕ(x) = e−|x| ∈ S(Rn ) hàm giảm nhanh 3.1.3 Không gian hàm suy rộng D0 S Định nghĩa 3.3 Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục D (tương ứng S ) gọi hàm suy rộng Tập hợp hàm suy rộng D (trên S ) tương ứng ký hiệu D0 S Giá trị f ∈ S phần tử ϕ ∈ S ký hiệu hf, ϕi Dãy fk ∈ D0 (S ) hội tụ đến f ∈ D0 (S ), hfk , ϕi −→ hf, ϕi, ∀ϕ ∈ D(S) Định nghĩa 3.4 Hàm f (x) gọi hàm suy rộng Rn , tồn số m > 0, cho Z |f (x)|(1 + |x|)−m dx < ∞ (3.6) Rn Rõ ràng, hàm lũy thừa (đa thức) hàm tăng chậm Định nghĩa 3.5 Hàm suy rộng f gọi hàm suy rộng quy, tồn hàm thơng thường (khả tích địa phương), cho tích phân Z < f, ϕ >:= f (x)ϕ(x)dx (3.7) Rn tồn với hàm ϕ(x) Khi ta đồng phiếm hàm f xác định theo công thức (3.7) với hàm thông thường f (x) Ví dụ: Hàm Heaviside θ(x) tất đa thức, hàm lượng giác hàm suy rộng quy 35 Định nghĩa 3.6 Hàm suy rộng f gọi hàm suy rộng khơng quy (kỳ dị), < f, ϕ > cho cơng thức tích phân (3.7) Ví dụ: Hàm Dirac δ(x)được định nghĩa theo công thức < δ, ϕ >:= ϕ(0) (3.8) hàm suy rộng khơng quy 3.1.4 Đạo hàm hàm suy rộng Định nghĩa 3.7 Đạo hàm Dα f hàm suy rộng f định nghĩa theo công thức < Dα f, ϕ >=< f, (−1)|α| Dα ϕ >, (3.9) ϕ hàm 3.2 3.2.1 Biến đổi Fourier Biến đổi Fourier hàm thơng thường • Giả sử f (x) ∈: L1 (Rn ) Biến đổi Fourier F [f ] biến đổi Fourier ngược F −1 [f ] hàm f (x) xác định theo công thức Z b f (ξ) = F [f ](ξ) = f (x)eix.ξ dx, (3.10) n ZR f˘(ξ) = F −1 [f ](ξ) = f (x)e−ix.ξ dx (3.11) n (2π) Rn Tích phân sau gọi tích phân Fourier hàm f (x), hay cịn gọi công thức biến đổi ngược f (x) = F −1 [fˆ](x) = (2π)n Z fˆ(ξ)e−ix.ξ dξ (3.12) Rn • Một số tính chất biến đổi Fourier Dưới số tính chất biến đổi Fourier (Riemann- Lebesque) Nếu f ∈ L1 fˆ(ξ) liên tục miền hữu hạn, bị chặn tồn khơng gian khơng vô F [Dα u](ξ) = (−iξ)α F [u](ξ) Dξα F [f ](ξ) = F [(ix)α f ](ξ) 36 F [f (x − a)](ξ) = eia.ξ F [f ](ξ) Biến đổi Fourier tích chập (f ∗ g)(x) = Z f (x − y)g(y)dy, (3.13) Rn F [f ∗ g] = F [f ]F [g] 3.2.2 (3.14) Biến đổi Fourier hàm suy rộng • Biến đổi Fourier mở rộng hàm suy rộng tăng chậm S không gian đối ngẫu không gian hàm giảm nhanh S theo công thức (F [f ], ϕ) := (f, F [ϕ]) Ví dụ: F [δ](ξ) = 1, F [1(x)](ξ) = (2π)n δ(ξ), F [θ](ξ) = πδ(ξ) + iP , ξ F [θ](−ξ) = πδ(ξ) − iP , ξ F [sign(x)](ξ) = 2iP , ξ P hàm suy rộng xác định theo công thức ξ Z Z ϕ(ξ) ϕ(ξ) − ϕ(0) (P , ϕ(ξ)) := P.V dξ = dξ ξ ξ R ξ R F [P ](ξ) = iπsign(ξ), x 3.3 Nghiệm tốn tử sóng ứng dụng 3.3.1 Nghiệm tốn tử sóng Để thuận tiện ta ký hiệu [6]: x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn , 37 c = ∂2 − c2 ∆ ∂t Định nghĩa 3.8 Ký hiệu En , n số chiều khơng gian, nghiệm tốn tử sóng, nghĩa là nghiệm phương trình c En = δ(x, t) (3.15) Tác động biến đổi Fourier vào hai phương trình (3.15), sử dụng tính biến đổi Fourier, ta có phương trình vi phân Ebn (ξ, t) : cn (ξ, t) ∂ 2E + c2 |ξ|2 En (ξ, t) = 1(ξ)δ(t) ∂t (3.16) Nghiệm phương trình (3.16) cho cơng thức sin(c|ξ|t) Ebn (ξ, t) = θ(t) c|ξ| (3.17) Do nghiệm phương trình sóng (3.11) cho cơng thức i h −1 sin(c|ξ|t) En (x, t) = θ(t)Fξ (x, t) (3.18) c|ξ| Tùy thuộc vào số chiều không gian n, ta có cơng thức [6] θ(t) 2 δ(c t − |x|2 ), x = (x1 , x2 , x3 ) 2πc θ(ct − |x|) p E2 (x, y) = , x = (x1 , x2 ) 2πc c2 t2 − |x|2 E1 (x) = θ(ct − |x|), x ∈ R1 , 2c E3 (x, y, x) = (3.19) (3.20) (3.21) θ(x) hàm Heaviside 3.3.2 Nghiệm suy rộng toán Cauchy tốn tử sóng Xét tốn Cauchy tốn tử sóng c P (x, t) = f (x, t), x ∈ Rn , t > 0, (3.22) P (x, 0) = ϕ(x), Pt (x, 0) = ψ(x), x ∈ Rn (3.23) Nghiệm suy rộng toán Cauchy (3.22)-(3.23) cho định lý [6](trang 174) Định lý 3.1 Giả sử f (x, t) = t < 0, f ∈ D0 (Rn+1 ), ψ ∈ D0 (Rn ), ϕ ∈ D0 (Rn ) Khi nghiệm tốn Cauchy (3.22)-(3.23) tồn 38 D0 (Rn+1 ) cho công thức P (x, t) = Vn (x, t) + Vn(o) (x, t) + Vn(1) (x, t), (3.24) Vn = En ∗ f, (3.25) Vn(o) = En (x, t) ∗ ψ(x), , ∂En Vn(1) = ∗ ϕ(x) ∂t (3.26) (3.27) Ở tích chập u ∗ v hiểu theo nghĩa suy rộng [3], điều tương đương với (xem (3.14)) b.vb](x), (u ∗ v)(x) = F −1 [u (3.28) u ˆ = F [u], vˆ = F [v] Một số trường hợp riêng Z f (ξ, t − |x − ξ|/c) V3 (x, t) = dξ, 4πc2 U (x:ct) |x − ξ| Z tZ f (ξ, τ )dξdτ p , V2 (x, t) = 2πc U (x:c(t−τ )) c2 (t − τ )2 − |x − ξ|2 Z Z t x+c(t−τ ) V1 (x, t) = f (ξ, τ )dξdτ, 2c x−c(t−τ ) Z θ(t) (o) V3 (x, t) = ψ(ξ)dS, 4πc2 t S(x;ct) Z ψ(ξ)dξ θ(t) (o) p V2 (x, t) = , 2πc U (x:ct) c2 t2 − |x − ξ|2 Z θ(t) x+ct (o) V1 (x, t) = ψ(ξ)dξ, 2c x−ct (3.29) (3.30) (3.31) (3.32) (3.33) (3.34) U (x; ct) S(x; ct) tương ứng hình cầu mặt cầu tâm x, bán kính ct 3.3.3 Nghiệm cổ điển toán Cauchy Định nghĩa 3.9 Giả sử Ω ⊂ Rl miền mở không gian Euclid Rl Ký hiệu C m (Ω) tập hợp hàm khả vi liên tục Ω đến cấp m 39 Định nghĩa 3.10 Nghiệm cổ điển toán Cauchy (3.22)-(3.23) hàm P (x, t) thỏa mãn phương trình (3.22) điều kiện đầu (3.23) điểm x ∈ Rn thời gian t ≥ Nghiệm cổ điển toán Cauchy (3.22)-(3.23) cho định lý sau [6] (trang 176) Định lý 3.2 Giả sử f ∈ C (t ≥ 0), ϕ ∈ C (Rn ) ψ ∈ C (Rn ) n = 3, 2; f ∈ C (t ≥ 0), ϕ ∈ C (R1 ) ψ ∈ C (R1 ) n = Khi nghiệm cổ điển tốn Cauchy (3.18)-(3.19) tồn biểu diễn sau: • Công thức Kirchhoff(n=3) P (x, t) = 4πc2 θ(t) f (ξ, t − |x − ξ|/c) dξ + |x − ξ| 4πc2 t U (x:at) Z i ∂ h1 ϕ(ξ)dS + 4πc2 ∂t t S(x;ct) Z Z ψ(ξ)dS S(x;ct) (3.35) • Cơng thức Poisson(n=2): P (x, t) = 2πc + Z tZ 2πc U (x:c(t−τ )) Z ∂ + 2πc ∂t U (x:ct) p f (ξ, τ )dξdτ + c2 (t − τ )2 − |x − ξ|2 ψ(ξ)dξ c2 t2 − |x − ξ|2 Z p U (x:ct) p ϕ(ξ)dξ c2 t2 − |x − ξ|2 (3.36) • Cơng thức d Alambert(n=1): P (x, t) = 2c Z tZ x+c(t−τ ) f (ξ, τ )dξdτ x−c(t−τ ) 1 + [ϕ(x + ct) + ϕ(x − ct)] + 2c Z x+ct ψ(ξ)dξ (3.37) x−ct Nghiệm phụ thuộc liên tục vào đại lượng cho f, ϕ, ψ Các đại lượng biến đổi nhỏ theo nghĩa ˜ ε1 , |(grad(ϕ − ϕ)| |f − f˜| ε, |ϕ − ϕ| ˜ εo , |ψ − ψ| ˜ ≤ ε0o (3.38) 40 Chương Phương pháp sai phân giải phương trình sóng Phương pháp sai phân hữu hạn (SPHH) phương pháp số quan trọng hữu hiệu giải phương trình đạo hàm riêng, đặc biệt phương trình sóng Phương pháp SPHH thuộc lớp phương pháp điểm lưới (grid-point methods) Trong phương pháp điểm lưới miền tính tốn bao phủ lưới khơng gian Chương trình bày cách tiếp cận phương pháp SSHH phương trình sóng chiều cho khoảng hữu hạn Nội dung chương chủ yếu dựa tài liệu [1] [5] 4.1 Phép tính gần sai phân hữu hạn Phương pháp SPHH áp dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khoa học, kỹ thuật kinh tế Nó đưa tốn giải phương trình vi phân (phương trình đạo hàm riêng) việc giải phương trình hệ phương trình sai phân, tức hệ thức nhiều hệ thức liên hệ giá trị hàm số điểm rời rạc Chúng ta bắt đầu với đạo hàm cấp Phép tính gần sai phân hữu hạn đơn giản thường khác Xét lược đồ sai phân tiến u (x + h) − u (x) ≈ u0 (x) h (4.1) xuất định nghĩa tính tốn ban đầu đạo hàm Thật vậy, u(x) hàm khả vi x, đạo hàm u0 (x) theo định nghĩa, giới hạn biểu thức bên trái (4.1) h → Về mặt 41