Chuyên đề tứ giác nọi tiếp phung thao hoa hồng

GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định nghĩa Tứ giác nội �ếp đường tròn tứ giác có bốn đỉnh nằm đường trịn Trong Hình 1, tứ giác ABCD nội �ếp (O) (O) ngoại �ếp tứ giác ABCD Định lí Trong tứ giác nội �ếp, tổng số đo hai góc đối diện 180° Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đổi diện 180° tứ giác nội �ếp đường trịn Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội �ếp Tứ giác có tổng hai góc đổi 180° Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện Tứ giác có đỉnh cách điểm cố định (mà ta xác định được) Điểm tâm đường trịn ngoại �ếp tứ giác Tứ giác có hai đinh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc α Chú ý: 1.Trong hình học hình chữ nhật, hình vng, hình thang cân nội �ếp đường trịn 2.Góc nội �ếp chắn nửa đường trịn đường kính có số đo 900 3.Đường kính qua trung điểm dây vng góc với dây 4.Nếu hai �ếp tuyến cắt điểm thì: + Điểm cách hai �ếp điểm + Đường thẳng nối từ điểm đến tâm phân giác góc tạo hai �ếp tuyến + Đường thẳng nối từ tâm đến điểm phân giác góc tạo hai bán kính qua �ếp điểm B.CÁC DẠNG BÀI TỐN | Nhóm làm tài liệu Tốn THCS Tiên Phong GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Dạng 1.Tứ giác có tổng hai góc đối 180° I.Phương pháp giải Định lí: Trong tứ giác nội �ếp, tổng số đo hai góc đối 180° Định lí đảo: Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc 180° tứ giác nội �ếp đường trịn Dạng 2: Tứ giác có góc góc ngồi đỉnh đối diện I.Phương pháp giải II Bài tập mẫu Bài 1: Cho tam giác ABC, đường cao BB’, CC’ Chứng minh tứ giác BCB’C’ nội tiếp Lời giải:  = 900 Ta có: BB’ ⊥ AC (giả thiết) ⇒ BB'A  = 900 CC’ ⊥ AB (giả thiết)⇒ CC'A  chung ′B  ′C 900 BAC AB = AC = Xét ∆AB′B ∆AC ′C có  AB ' AB AB ' AC ' =⇒ = AC ' AC AB AC AB ' AC '  chung Vậy ∆AB′C ′  ∆ABC (c-g-c) = Xét ∆AB′C ′ ∆ABC ta có BAC AB AC  Tứ giác BC ' B ' C có góc ngồi đỉnh B ' góc ⇒ AB 'C' = ABC Vậy ∆AB′B  ∆AC ′C (g-g) ⇒ đỉnh B Vậy tứ giác BC ' B ' C nội �ếp Bài 2: Cho hình thang cân ABCD ( AB > CD, AB / /CD ) nội �ếp đường tròn ( O ) Kẻ �ếp tuyến với đường tròn ( O ) A D chúng cắt E Gọi M giao điểm hai đường chéo AC BD a) Chứng minh tứ giác AEDM nội �ếp đường trịn Lời giải: | Nhóm làm tài liệu Tốn THCS Tiên Phong GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027  = sđ  AC (góc tạo �a �ếp tuyến AE dây a) Ta có: EAC AC đường tròn ( O ) )  = sđ DB  ( Dx �a đối �a �ếp tuyến DE Tương tự: xDB )  AC = BD Mà AC = BD (do ABCD hình thang cân) nên   = xDB  Do EAC Vậy tứ giác AEDM nội �ếp đươc đường tròn Bài 4: Cho tam giác ABC cân A nội �ếp đường tròn tâm O , đường kính AI Gọi E trung điểm AB , K trung điểm OI , H trung điểm EB a) Chứng minh HK ⊥ EB b) Chứng minh tứ giác AEKC nội �ếp đường tròn Phân �ch đề a) HK ⊥ EB  HK //OE //IB  đường trung bình hình thang OEBI b) Tứ giác AEKC nội �ếp đường tròn  KBE  = có BEK = ,  ABK  ACK HK = BEK ACK Lời giải: a) Tam giác ABI nội �ếp đường trịn đường kính AI nên tam giác ABI vuông B ⇒ IB ⊥ AB Lại có OE ⊥ AB (quan hệ đường kính dây cung) Do OE //IB Suy OEBI hình thang Mà HK đường trung bình hình thang OEBI ⇒ HK //OE //IB ⇒ HK ⊥ EB =  KBE b) ∆EB cân K có KH vừa trung tuyến đồng thời đường cao ⇒ BEK (1) ∆ABC cân có AI đường kính đường trịn ( O ) nên AK đường trung trực đoạn BC  ⇒ ABK = ACK (2)  góc đỉnh E tứ giác AEKC = ACK Mà BEK Từ (1) (2) suy BEK nên tứ giác AEKC nội �ếp | Nhóm làm tài liệu Tốn THCS Tiên Phong GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Bài 5: Cho nửa đường tròn tâm I , đường kính MN Kẻ �ếp tuyến Nx lấy điểm P nửa đường trịn Trên cung PN , lấy điểm Q (khơng trùng với P, N ) Các �a MP MQ cắt �ếp tuyến Nx theo thứ tự S T a) Chứng minh NS = MN b) Chứng minh tam giác MNT đồng dạng với tam giác NQT c) Chứng minh tứ giác PQTS nội �ếp đường tròn Lời giải: a) Tam giác MPI có: PI ⊥ MN (vì P điểm đường tròn ( O ) ); IP = IM (bán kính đường trịn ( O ) ) = 45° = IMP Suy ∆MPI vuông cân I nên MPI = 45° nên ∆SMN vuông Tam giác vuông SMN có SMN cân N Do MN = SN b) Xét ∆MNT ∆NQT có: = NQT = 90° (giả thiết); MNT  chung MTN Suy ∆MNT  ∆NQT ( g.g )  (góc ngồi ∆TMS ) c) Ta có T=1 S1 + M (1) Kẻ �ếp tuyến PH ( P ∈ Nx ) Ta có PH //MN (vì vng góc với PI ), suy ∆PHS  vng cân H ⇒ S1 = P =P  (góc nội �ếp góc tạo �a �ếp tuyến dây cung chắn Mặt khác M 1  ) PQ +P  = SPQ   + S = P ⇒M 1 (2)  Từ (1) (2) suy T1 = SPQ Mà T1 góc ngồi đỉnh đối diện với đỉnh P nên tứ giác PQTS nội �ếp Bài 6:Cho đường trịn tâm O đường kính AB , kẻ �ếp tuyến Bx lấy hai điểm C D thuộc nửa đường tròn Các �a AC AD cắt Bx E , F ( F B E )  ABD = DFB a) Chứng minh:  b) Chứng minh CEFD tứ giác nội �ếp Lời giải: | Nhóm làm tài liệu Tốn THCS Tiên Phong GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 = ADB = 90o ( nội �ếp chắn nửa đường trịn ) ⇒  ABD + BAD 90o (vì a) ∆ADB có  tổng ba góc tam giác 180o )(1) = AFB + BAF 90o (vì tổng ba góc ABF = 90o ( BF �ếp tuyến ) ⇒  ∆ABF có  tam giác 180o ) (2)  ABD = DFB Từ (1) (2) ⇒  ABD +  ACD = 180o b) Tứ giác ACDB nội �ếp ( O ) ⇒    + = DBA ACD = 180o ( Vì hai góc kề bù) ⇒ ECD mà ECD  , ECD =  Mà EFD  + DFB  =  = DBA  ⇒ ECD ABD = DFB DFB 180o ( Vì Theo  hai góc kề bù) nên  + ⇒ ECD AEFD = 180o , tứ giác CEFD tứ giác nội �ếp Bài 7:Cho nửa đường tròn đường kính BC = R Từ điểm A nửa đường tròn vẽ AH ⊥ BC Nửa đường trịn đường kính BH , CH có tâm O1 ; O2 cắt AB CA thứ tự D E a) Chứng minh tứ giác ADHE hình chữ nhật, từ �nh DE biết R = 25 BH = 10 b) Chứng minh tứ giác BDEC nội �ếp đường tròn Lời giải:  = 90o (vì góc nội �ếpchắn nửa đường trịn) a)Ta có BAC   = CEH = 90o Tương tự có BDH A  = ADH =  AEH = 90o hay ADHE hình chữ nhật Xét tứ giác ADHE có Từ DE = AH mà AH =BH CH (Hệ thức lượng tam giác vuông) hay AH = 10.40 = 202 ( BH = 10; CH = 2.25 − 10= 40 ) ⇒ DE= 20 | Nhóm làm tài liệu Tốn THCS Tiên Phong GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 = C =  (góc có cạnh tương ứng vng góc) mà DAH ADE (1) b) Ta có: BAH  + BDE = 180o nên tứ giác BDEC ADE C (Vì ADHE hình chữ nhật) => C =  nội �ếp đường trịn Lưu ý: Có thể hướng dẫn học sinh cách sử dụng hệ thức lượng tam giác đồng dạng sau: Tam giác AHB vuông H, đường cao AH Ta có AH = AD AB Tam giác AHC vuông H, đường cao AE Ta có AH = AE AC AD AC = AE.AC ⇒ = Ta có AD.AB AE AB AD AE   = = DAE = 900 (góc chung) , BAC AC AB    = = ACB mà ADE + EDB 1800 nên  ADE + ECB 1800 ⇒ ∆ADE ” ∆ACB ⇒ ADE = = ADE + ECB 1800 nên tứ giác BDEC nội �ếp đường tròn Tứ giác BDEC có  Xét tam giác ADE tam giác ACB có Bài 10: Cho tam giác ABC cân A nội �ếp đường tròn tâm O , đường kính AI Gọi E trung điểm AB , K trung điểm OI , H trung điểm EB a) Chứng minh HK ⊥ EB b) Chứng minh tứ giác AEKC nội �ếp đường tròn Lời giải: a) Tam giác ABI nội �ếp đường trịn đường kính AI nên tam giác ABI vuông B ⇒ IB ⊥ AB Lại có OE ⊥ AB (quan hệ đường kính dây cung) Do OE //IB Suy OEBI hình thang Mà HK đường trung bình hình thang OEBI ⇒ HK //OE //IB ⇒ HK ⊥ EB =  KBE b) ∆EB cân K có KH vừa trung tuyến đồng thời đường cao ⇒ BEK ∆ABC cân có AI đường kính đường trịn ( O ) nên AK (1) đường trung trực đoạn BC  ⇒ ABK = ACK (2) | Nhóm làm tài liệu Tốn THCS Tiên Phong GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027  góc đỉnh E tứ giác = ACK Mà BEK Từ (1) (2) suy BEK AEKC nên tứ giác AEKC nội �ếp BÀI TẬP TỰ LUYỆN HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: Cho nửa đường trịn tâm I , đường kính MN Kẻ �ếp tuyến Nx lấy điểm P nửa đường tròn Trên cung PN , lấy điểm Q (không trùng với P, N ) Các �a MP MQ cắt �ếp tuyến Nx theo thứ tự S T a) Chứng minh NS = MN b) Chứng minh tam giác MNT đồng dạng với tam giác NQT c) Chứng minh tứ giác PQTS nội �ếp đường tròn Lời giải: a) Tam giác MPI có: PI ⊥ MN (vì P điểm đường trịn ( O ) ); IP = IM (bán kính đường trịn ( O ) ) = IMP = 45° Suy ∆MPI vuông cân I nên MPI = 45° nên ∆SMN vuông cân N Do Tam giác vng SMN có SMN MN = SN b) Xét ∆MNT ∆NQT có: = NQT = 90° (giả thiết); MNT  chung MTN Suy ∆MNT  ∆NQT ( g.g )  (góc ngồi ∆TMS ) c) Ta có T=1 S1 + M (1) Kẻ �ếp tuyến PH ( P ∈ Nx ) Ta có PH //MN (vì vng góc với PI ),  suy ∆PHS vuông cân H ⇒ S1 = P =P  (góc nội �ếp góc tạo �a �ếp tuyến dây cung Mặt khác M 1  ) chắn PQ | Nhóm làm tài liệu Tốn THCS Tiên Phong GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH  +P  = SPQ  + S = P ⇒M 1 Zalo: 0382254027 (2)  Từ (1) (2) suy T1 = SPQ Mà T1 góc ngồi đỉnh đối diện với đỉnh P nên tứ giác PQTS nội �ếp Dạng 4: Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc I Phương pháp giải II Bài tập mẫu Bài 7: Trên cạnh BC , BD hình vng ABCD ta lấy điểm M , N = 45° Đường thẳng BD cắt đường thẳng AM , AN tương ứng cho MAN điểm P, Q a) Chứng minh tứ giác ABMQ ADNP nội �ếp b) Chứng minh điểm M , N , Q, P, C nằm đường tròn Lời giải: a) Các đỉnh A B nhìn đoạn thẳng MQ góc 45° Vì tứ giác ABMQ nội �ếp Tương tự ta suy tứ giác ADNP nội �ếp b) Do ABMQ tứ giác nội �ếp nên  AQM +  ABM= 180° ⇒  AQM= 90° APN= 90° Tương tự tứ giác ADNP nội �ếp suy  Tứ giác MNQP tứ giác nội �ếp có hai đỉnh Q P nhìn cạnh MN góc 90° (1) Suy bốn điểm M , N , Q, P thuộc đường tròn  + MPN = 90° + 90°= 180° Tứ giác MCNP tứ giác nội �ếp MCN (2) Suy bốn điểm M , C , N , P thuộc đường tròn Từ (1) (2) suy điểm M , N , Q, P, C nằm đường trịn | Nhóm làm tài liệu Tốn THCS Tiên Phong GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Bài 8: Cho hình vng ABCD có hai đường chéo cắt E Lấy I thuộc cạnh = 90° ( I M không trùng với đỉnh AB , M thuộc cạnh BC cho IEM hình vng) a) Chứng minh BIEM tứ giác nội �ếp  b) Tính số đo góc IME c) Gọi N giao điểm �a AM �a DC ; K giao điểm BN �a EM Chứng minh BKCE tứ giác nội �ếp Giải chi �ết: a) Theo giả thiết có: = IEM = 90° ⇒ IBM  + IEM = 180° IBM Vậy tứ giác BIEM nội �ếp đường trịn đường kính IM b) Tứ giác BIEM nội �ếp suy ra: = IBE = 45° (hai đỉnh nhìn cạnh IME IE ABCD hình vng) = MCE = 45° (do ABCD hình vng); c) Xét ∆EBI ∆ECM có: IBE BE = CE (do ABCD hình vng);  )  = CEM  (do phụ với BEM BEI IA ⇒ ∆EBI = ∆ECM ( g.c.g ) ⇒ MC = IB (hai cạnh tương ứng) ⇒ MB = MA MN MB MC Vì CN //BA nên theo định lí Ta-lét, ta có: = = đảo) IA Suy IM //BN (định lí Ta-lét IB =  =° = 45° (do ABCD hình vng) ⇒ BKE IME 45 Lại có BCE  = BCE  Tứ giác BKCE có hai đỉnh K C kề nhìn cạnh BE Suy BKE góc nên BKCE tứ giác nội �ếp Bài 9: Cho đường trịn đường kính AB , điểm C , D nằm đường trịn cho C , D nằm khác phía đường thẳng AB , đồng thời AD > AC Gọi điểm cung nhỏ AC , AD M , N ; giao điểm MN với AC , AD H , I ; giao điểm MD CN K  Từ suy tứ giác MCKH ACN = DMN a) Chứng minh  b) Chứng minh KH song song với AD AC sđ  AD để AK song song với ND c) Tìm hệ thức liên hệ sđ  Giải chi �ết:  AD ⇒  AN = DN a) Vì N điểm cung   (hai góc nội �ếp chắn hai cung   ) ⇒ ACN = DMN AN , DN | Nhóm làm tài liệu Tốn THCS Tiên Phong GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Khi tứ giác CMHK có hai đỉnh M C nhìn cạnh HK góc nên CMHK tứ giác nội �ếp b) Theo câu a) có CMHK tứ giác nội �ếp nên  = CMK  )  (cùng chắn cung CK CHK (1) Xét đường tròn đường kính AB có  = CAD  (cùng chắn CD ) CMK (2)  Mà hai góc vị trí  = CAD Từ (1) (2) suy CHK đồng vị, suy HK //AD (đpcm)  =  ⇔ MAIK tứ giác nội ADN = KMI c) AK //ND ⇔ KAD �ếp   ADN =  ACN =  AMI =  AKI ⇒ KAI =  AKI ⇒ ∆AKI cân I AIK ⇒ MI ⊥ AK Mà IM phân giác góc   =90° Lại có AK //ND ⇒ MI ⊥ ND hay MN ⊥ ND ⇒ MND ⇒ MD đường kính đường trịn đường kính AB  AC   + sđ  ⇒ MAD = 180° ⇔ sđ MA AD = 180° ⇔ sđ + sđ  AD = 180° Bài 10: Cho đường tròn ( O; R ) dây BC cố định, A điểm di động cung lớn BC ( A khác B, C ) cho tam giác ABC nhọn Các đường cao BD CE tam giác ABC cắt điểm H Kẻ đường kính AF đường trịn ( O ) , AF cắt BC điểm N a) Chứng minh tứ giác BEDC tứ giác nội �ếp b) Chứng minh AE AB = AD AC c) Chứng minh tứ giác BHCF hình bình hành d) Đường tròn ngoại �ếp tam giác ADE cắt đường tròn ( O ) điểm thứ hai K ( K khác O ) Chứng minh ba điểm K , H , F thẳng hàng Giải chi �ết: = BDC = 90° (giả thiết) Suy tứ giác BEDC tứ giác nội a) Tứ giác BEDC có BEC �ếp (hai góc kề nhìn cạnh BC góc nhau) AED =  ACB (góc ngồi tứ giác nội �ếp) b) Tứ giác BEDC nội �ếp suy  10 | Nhóm làm tài liệu Tốn THCS Tiên Phong GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 AED =  ACB (chứng minh trên); Xét ∆AED ∆ACB có:   chung BAC ⇒ ∆AED  ∆ACB ( g.g ) ⇒ ⇒ AE AB = AD AC AE AC = (hai cạnh tương ứng) AD AB c) Ta có: BD //CF (vì vng góc với AC ) BF //EC (vì vng góc với AB ) Do BHCF hình bình hành d) Ta thấy tứ giác ADHE nội �ếp đường tròn đường kính AH ⇒  AKH = 90° AKF = 90 Mà ∆AKF nội �ếp đường trịn đường kính AF ⇒  Từ (1) (2) suy ba điểm K , H , F thẳng hàng BÀI TẬP TỰ LUYỆN HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT (1) (2) Bài 6: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = R �a �ếp tuyến Ax phía với nửa đường tròn AB Từ điểm M Ax kẻ �ếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn ( C �ếp điểm) AC cắt OM E ; MB cắt nửa đường tròn ( O ) D ( D khác B ) a) Chứng minh: AMCO AMDE tứ giác nội �ếp đường tròn b) Chứng minh MBCD tứ giác nội �ếp Lời giải: x N C M D E A I H O B   = MCO = 900 Tứ giác AMCO có Vì MA, MC �ếp tuyến nên: MAO =  + MCO MAO 1800 ⇒ AMCO tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính MO  = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ ADM = ADB 900 (1) = OC = R ; MA = MC (tính chất tiếp tuyến) Lại có: OA Suy OM đường trung trực AC 11 | Nhóm làm tài liệu Tốn THCS Tiên Phong GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 = ⇒ AEM 900 (2) ADM =  AEM = 900 Tứ giác AMDE có hai đỉnh A, E kề Từ (1) (2) suy  nhìn cạnh MA góc khơng đổi Vậy tứ giác AMDE nội �ếp đường trịn đường kính MA Bài 7: Trên cạnh BC , BD hình vuông ABCD ta lấy điểm M , N = 45° Đường thẳng BD cắt đường thẳng AM , AN tương ứng cho MAN điểm P, Q a) Chứng minh tứ giác ABMQ ADNP nội �ếp b) Chứng minh điểm M , N , Q, P, C nằm đường tròn Lời giải: a) Các đỉnh A B nhìn đoạn thẳng MQ góc 45° Vì tứ giác ABMQ nội �ếp Tương tự ta suy tứ giác ADNP nội �ếp b) Do ABMQ tứ giác nội �ếp nên  AQM +  ABM= 180° ⇒  AQM= 90° APN= 90° Tương tự tứ giác ADNP nội �ếp suy  Tứ giác MNQP tứ giác nội �ếp có hai đỉnh Q P nhìn cạnh MN góc 90° Suy bốn điểm M , N , Q, P thuộc đường tròn (1)  + MPN = 90° + 90°= 180° Tứ giác MCNP tứ giác nội �ếp MCN Suy bốn điểm M , C , N , P thuộc đường tròn (2) Từ (1) (2) suy điểm M , N , Q, P, C nằm đường trịn Bài 8: Cho hình vng ABCD có hai đường chéo cắt E Lấy I thuộc cạnh = 90° ( I M không trùng với đỉnh AB , M thuộc cạnh BC cho IEM hình vng) a) Chứng minh BIEM tứ giác nội �ếp  b) Tính số đo góc IME c) Gọi N giao điểm �a AM �a DC ; K giao điểm BN �a EM Chứng minh BKCE tứ giác nội �ếp 12 | Nhóm làm tài liệu Tốn THCS Tiên Phong GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Lời giải: a) Theo giả thiết có: = IEM = 90° ⇒ IBM  + IEM = 180° IBM Vậy tứ giác BIEM nội �ếp đường trịn đường kính IM b) Tứ giác BIEM nội �ếp suy ra: = IBE = 45° (hai đỉnh nhìn cạnh IE ABCD hình vng) IME = MCE = 45° (do ABCD hình vng); c) Xét ∆EBI ∆ECM có: IBE BE = CE (do ABCD hình vng);  )  = CEM  (do phụ với BEM BEI IA ⇒ ∆EBI = ∆ECM ( g.c.g ) ⇒ MC = IB (hai cạnh tương ứng) ⇒ MB = MA MN MB MC Vì CN //BA nên theo định lí Ta-lét, ta có: = = Ta-lét đảo) IA Suy IM //BN (định lí IB =  =° = 45° (do ABCD hình vng) ⇒ BKE IME 45 Lại có BCE  = BCE  Tứ giác BKCE có hai đỉnh K C kề nhìn Suy BKE cạnh BE góc nên BKCE tứ giác nội �ếp Bài 9: Cho đường trịn đường kính AB , điểm C , D nằm đường trịn cho C , D nằm khác phía đường thẳng AB , đồng thời AD > AC Gọi điểm cung nhỏ AC , AD M , N ; giao điểm MN với AC , AD H , I ; giao điểm MD CN K  Từ suy tứ giác MCKH ACN = DMN a) Chứng minh  b) Chứng minh KH song song với AD AC sđ  AD để AK song song với ND c) Tìm hệ thức liên hệ sđ  Lời giải: 13 | Nhóm làm tài liệu Tốn THCS Tiên Phong GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027  AD ⇒  AN = DN a) Vì N điểm cung   (hai góc nội �ếp chắn hai cung   ) ⇒ ACN = DMN AN , DN Khi tứ giác CMHK có hai đỉnh M C nhìn cạnh HK góc nên CMHK tứ giác nội �ếp b) Theo câu a) có CMHK tứ giác nội �ếp nên  = CMK  )  (cùng chắn cung CK CHK (1) Xét đường trịn đường kính AB có  = CAD )  (cùng chắn CD CMK (2)  = CAD  Mà hai góc vị trí đồng vị, suy HK //AD Từ (1) (2) suy CHK (đpcm)  =  ⇔ MAIK tứ giác nội �ếp ADN = KMI c) AK //ND ⇔ KAD   ADN =  ACN =  AMI =  AKI ⇒ KAI =  AKI ⇒ ∆AKI cân I AIK ⇒ MI ⊥ AK Mà IM phân giác góc   =90° Lại có AK //ND ⇒ MI ⊥ ND hay MN ⊥ ND ⇒ MND ⇒ MD đường kính đường trịn đường kính AB  AC  + sđ   ⇒ MAD = 180° ⇔ sđ MA AD = 180° ⇔ sđ + sđ  AD = 180° Bài 10: Cho đường tròn ( O; R ) dây BC cố định, A điểm di động cung lớn BC ( A khác B, C ) cho tam giác ABC nhọn Các đường cao BD CE tam giác ABC cắt điểm H Kẻ đường kính AF đường tròn ( O ) , AF cắt BC điểm N a) Chứng minh tứ giác BEDC tứ giác nội �ếp b) Chứng minh AE AB = AD AC c) Chứng minh tứ giác BHCF hình bình hành d) Đường trịn ngoại �ếp tam giác ADE cắt đường tròn ( O ) điểm thứ hai ( K khác O ) Chứng minh ba điểm K , H , F thẳng hàng Lời giải: K 14 | Nhóm làm tài liệu Tốn THCS Tiên Phong GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 = BDC = 90° (giả thiết) Suy tứ giác BEDC tứ giác nội a) Tứ giác BEDC có BEC �ếp (hai góc kề nhìn cạnh BC góc nhau) AED =  ACB (góc ngồi tứ giác nội �ếp) b) Tứ giác BEDC nội �ếp suy  AED =  ACB (chứng minh trên); Xét ∆AED ∆ACB có:   chung BAC ⇒ ∆AED  ∆ACB ( g.g ) ⇒ ⇒ AE AB = AD AC AE AC = (hai cạnh tương ứng) AD AB c) Ta có: BD //CF (vì vng góc với AC ) BF //EC (vì vng góc với AB ) Do BHCF hình bình hành AKH = 90° (1) d) Ta thấy tứ giác ADHE nội �ếp đường trịn đường kính AH ⇒  AKF = 90 (2) Mà ∆AKF nội �ếp đường tròn đường kính AF ⇒  Từ (1) (2) suy ba điểm K , H , F thẳng hàng 15 | Nhóm làm tài liệu Tốn THCS Tiên Phong