Chuyên đề tứ giác nọi tiếp phung thao hoa hồng

GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định nghĩa Tứ giác nội tiếp đường tròn tứ giác có bốn đỉnh nằm đường trịn Trong Hình 1, tứ giác ABCD nội tiếp (O) (O) ngoại tiếp tứ giác ABCD Định lí Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện 180° Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đổi diện 180° tứ giác nội tiếp đường trịn Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp Tứ giác có tổng hai góc đổi 180° Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện Tứ giác có đỉnh cách điểm cố định (mà ta xác định được) Điểm tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác Tứ giác có hai đinh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc α Chú ý: 1.Trong hình học hình chữ nhật, hình vng, hình thang cân nội tiếp đường trịn 2.Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn đường kính có số đo 900 3.Đường kính qua trung điểm dây vng góc với dây 4.Nếu hai tiếp tuyến cắt điểm thì: + Điểm cách hai tiếp điểm + Đường thẳng nối từ điểm đến tâm phân giác góc tạo hai tiếp tuyến + Đường thẳng nối từ tâm đến điểm phân giác góc tạo hai bán kính qua tiếp điểm B.CÁC DẠNG BÀI TỐN | Nhóm làm tài liệu Tốn THCS Tiên Phong GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Dạng 1.Tứ giác có tổng hai góc đối 180 I.Phương pháp giải Định lí: Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối 180 Định lí đảo: Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc 180 tứ giác nội tiếp đường trịn Dạng 2: Tứ giác có góc góc ngồi đỉnh đối diện I.Phương pháp giải II Bài tập mẫu Bài 1: Cho tam giác ABC, đường cao BB’, CC’ Chứng minh tứ giác BCB’C’ nội tiếp Lời giải:   900 Ta có: BB’  AC (giả thiết)  BB'A   900 CC’  AB (giả thiết) CC'A  chung ABB   AC C  900 BAC Xét AB B AC C có  AB ' AB AB ' AC '    AC ' AC AB AC AB ' AC '  chung Vậy ABC   ABC (c-g-c)  Xét ABC ABC ta có BAC AB AC  Tứ giác BC ' B ' C có góc ngồi đỉnh B ' góc  AB 'C'  ABC Vậy ABB  AC C (g-g)  đỉnh B Vậy tứ giác BC ' B ' C nội tiếp Bài 2: Cho hình thang cân ABCD  AB  CD , AB / / CD  nội tiếp đường tròn  O  Kẻ tiếp tuyến với đường tròn  O  A D chúng cắt E Gọi M giao điểm hai đường chéo AC BD a) Chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp đường tròn Lời giải:   sđ  AC (góc tạo tia tiếp tuyến AE a) Ta có: EAC dây AC đường trịn  O  ) | Nhóm làm tài liệu Tốn THCS Tiên Phong GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027   sđ DB  ( Dx tia đối tia tiếp tuyến DE ) Tương tự: xDB  AC  BD Mà AC  BD (do ABCD hình thang cân) nên    xDB  Do EAC Vậy tứ giác AEDM nội tiếp đươc đường tròn Bài 4: Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường trịn tâm O , đường kính AI Gọi E trung điểm AB , K trung điểm OI , H trung điểm EB a) Chứng minh HK  EB b) Chứng minh tứ giác AEKC nội tiếp đường tròn Phân tích đề a) HK  EB  HK //OE //IB  đường trung bình hình thang OEBI b) Tứ giác AEKC nội tiếp đường trịn   KBE ,   có BEK ABK   ACK HK  BEK ACK Lời giải: a) Tam giác ABI nội tiếp đường trịn đường kính AI nên tam giác ABI vuông B  IB  AB Lại có OE  AB (quan hệ đường kính dây cung) Do OE //IB Suy OEBI hình thang Mà HK đường trung bình hình thang OEBI  HK //OE //IB  HK  EB   KBE  b) EB cân K có KH vừa trung tuyến đồng thời đường cao  BEK (1) ABC cân có AI đường kính đường trịn  O  nên AK đường trung trực đoạn BC  ABK   ACK (2)   góc ngồi đỉnh E tứ giác AEKC ACK Mà BEK Từ (1) (2) suy BEK nên tứ giác AEKC nội tiếp Bài 5: Cho nửa đường trịn tâm I , đường kính MN Kẻ tiếp tuyến Nx lấy điểm P nửa đường tròn Trên cung PN , lấy điểm Q (không trùng với P, N ) Các tia MP MQ cắt tiếp tuyến Nx theo thứ tự S T a) Chứng minh NS  MN | Nhóm làm tài liệu Tốn THCS Tiên Phong GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 b) Chứng minh tam giác MNT đồng dạng với tam giác NQT c) Chứng minh tứ giác PQTS nội tiếp đường tròn Lời giải: a) Tam giác MPI có: PI  MN (vì P điểm đường trịn  O  ); IP  IM  O  ) (bán kính đường trịn   IMP   45 Suy MPI vuông cân I nên MPI   45 nên SMN Tam giác vng SMN có SMN vng cân N Do MN  SN b) Xét MNT NQT có:   NQT   90 MNT (giả thiết);  chung MTN Suy MNT  NQT  g.g   (góc ngồi TMS ) c) Ta có T1  S1  M (1) Kẻ tiếp tuyến PH  P  Nx  Ta có PH //MN (vì vng góc với PI ), suy PHS vuông cân H  S1  P2 P  (góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn Mặt khác M 1  ) PQ   S  P P   SPQ  M 1 (2)  Từ (1) (2) suy T1  SPQ Mà T1 góc ngồi đỉnh đối diện với đỉnh P nên tứ giác PQTS nội tiếp Bài 6:Cho đường tròn tâm O đường kính AB , kẻ tiếp tuyến Bx lấy hai điểm C D thuộc nửa đường tròn Các tia AC AD cắt Bx E , F ( F B E )  ABD  DFB a) Chứng minh:  b) Chứng minh CEFD tứ giác nội tiếp Lời giải: | Nhóm làm tài liệu Tốn THCS Tiên Phong GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027   90o (vì ADB  90o ( nội tiếp chắn nửa đường tròn )   ABD  BAD a) ADB có  tổng ba góc tam giác 180o )(1)   90o (vì tổng ba góc ABF  90o ( BF tiếp tuyến )   AFB  BAF ABF có  tam giác 180o ) (2)  ABD  DFB Từ (1) (2)   ABD     ACD     180o b) Tứ giác ACDB nội tiếp  O          DBA  ACD     180o ( Vì hai góc kề bù)  ECD mà ECD   DBA   ECD   DFB  Mà EFD     DFB      180o ( Vì  , ECD Theo  ABD  DFB hai góc kề bù) nên      ECD AEFD     180o , tứ giác CEFD tứ giác nội tiếp Bài 7:Cho nửa đường tròn đường kính BC  R Từ điểm A nửa đường tròn vẽ AH  BC Nửa đường trịn đường kính BH , CH có tâm O1 ; O2 cắt AB CA thứ tự D E a) Chứng minh tứ giác ADHE hình chữ nhật, từ tính DE biết R  25 BH  10 b) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn Lời giải:   90o (vì góc nội tiếpchắn nửa đường trịn) a)Ta có BAC   CEH   90o Tương tự có BDH ADH   AEH  90o hay ADHE hình chữ nhật Xét tứ giác ADHE có A   Từ DE  AH mà AH =BH CH (Hệ thức lượng tam giác vuông) | Nhóm làm tài liệu Tốn THCS Tiên Phong GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 hay AH  10.40  20  BH  10; CH  2.25  10  40   DE  20 = C   (góc có cạnh tương ứng vng góc) mà DAH b) Ta có: BAH ADE (1)    BDE   180o nên tứ giác BDEC ADE C (Vì ADHE hình chữ nhật) => C nội tiếp đường trịn Lưu ý: Có thể hướng dẫn học sinh cách sử dụng hệ thức lượng tam giác đồng dạng sau: Tam giác AHB vng H, đường cao AH Ta có AH  AD.AB Tam giác AHC vuông H, đường cao AE Ta có AH  AE.AC Ta có AD.AB  AE.AC  AD AE  AC AB AD AE    , BAC  DAE  900 (góc chung) AC AB   1800 nên    1800 ADE   ACB mà  ADE  EDB ADE  ECB  ADE ACB     1800 nên tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn ADE  ECB Tứ giác BDEC có  Xét tam giác ADE tam giác ACB có Bài 10: Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường trịn tâm O , đường kính AI Gọi E trung điểm AB , K trung điểm OI , H trung điểm EB a) Chứng minh HK  EB b) Chứng minh tứ giác AEKC nội tiếp đường tròn Lời giải: a) Tam giác ABI nội tiếp đường tròn đường kính AI nên tam giác ABI vng B  IB  AB Lại có OE  AB (quan hệ đường kính dây cung) Do OE //IB Suy OEBI hình thang Mà HK đường trung bình hình thang OEBI  HK //OE //IB  HK  EB   KBE  b) EB cân K có KH vừa trung tuyến đồng thời đường cao  BEK (1) ABC cân có AI đường kính đường tròn  O  nên AK đường trung trực đoạn BC | Nhóm làm tài liệu Tốn THCS Tiên Phong GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027  ABK   ACK (2)  góc ngồi đỉnh E tứ giác  ACK Mà BEK Từ (1) (2) suy BEK AEKC nên tứ giác AEKC nội tiếp BÀI TẬP TỰ LUYỆN HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: Cho nửa đường trịn tâm I , đường kính MN Kẻ tiếp tuyến Nx lấy điểm P nửa đường trịn Trên cung PN , lấy điểm Q (không trùng với P, N ) Các tia MP MQ cắt tiếp tuyến Nx theo thứ tự S T a) Chứng minh NS  MN b) Chứng minh tam giác MNT đồng dạng với tam giác NQT c) Chứng minh tứ giác PQTS nội tiếp đường tròn Lời giải: a) Tam giác MPI có: PI  MN (vì P điểm đường trịn  O  ); IP  IM (bán kính đường trịn  O  )   IMP   45 Suy MPI vuông cân I nên MPI   45 nên SMN vuông cân N Do Tam giác vng SMN có SMN MN  SN b) Xét MNT NQT có:   NQT   90 MNT (giả thiết);  chung MTN Suy MNT  NQT  g.g   (góc ngồi TMS ) c) Ta có T1  S1  M (1) Kẻ tiếp tuyến PH  P  Nx  Ta có PH //MN (vì vng góc với PI ), suy PHS vng cân H  S1  P2 | Nhóm làm tài liệu Tốn THCS Tiên Phong GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 P  (góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây cung Mặt khác M 1  ) chắn PQ   S  P P   SPQ  M 1 (2)  Từ (1) (2) suy T1  SPQ Mà T1 góc đỉnh đối diện với đỉnh P nên tứ giác PQTS nội tiếp Dạng 4: Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc I Phương pháp giải II Bài tập mẫu Bài 7: Trên cạnh BC, BD hình vng ABCD ta lấy điểm M , N   45 Đường thẳng BD cắt đường thẳng AM , AN tương ứng cho MAN điểm P, Q a) Chứng minh tứ giác ABMQ ADNP nội tiếp b) Chứng minh điểm M , N , Q, P, C nằm đường tròn Lời giải: a) Các đỉnh A B nhìn đoạn thẳng MQ góc 45 Vì tứ giác ABMQ nội tiếp Tương tự ta suy tứ giác ADNP nội tiếp ABMQ b) Do tứ giác nội tiếp nên  AQM   ABM  180   AQM  90 APN  90 Tương tự tứ giác ADNP nội tiếp suy  Tứ giác MNQP tứ giác nội tiếp có hai đỉnh Q P nhìn cạnh MN góc 90 Suy bốn điểm M , N , Q, P thuộc đường tròn (1) | Nhóm làm tài liệu Tốn THCS Tiên Phong GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027   MPN   90  90  180 Tứ giác MCNP tứ giác nội tiếp MCN Suy bốn điểm M , C, N , P thuộc đường tròn (2) Từ (1) (2) suy điểm M , N , Q, P, C nằm đường tròn Bài 8: Cho hình vng ABCD có hai đường chéo cắt E Lấy I thuộc cạnh   90 ( I M không trùng với đỉnh AB , M thuộc cạnh BC cho IEM hình vng) a) Chứng minh BIEM tứ giác nội tiếp  b) Tính số đo góc IME c) Gọi N giao điểm tia AM tia DC ; K giao điểm BN tia EM Chứng minh BKCE tứ giác nội tiếp Giải chi tiết: a) Theo giả thiết có:   IEM   90  IBM   IEM   180 IBM Vậy tứ giác BIEM nội tiếp đường trịn đường kính IM b) Tứ giác BIEM nội tiếp suy ra:   IBE   45 (hai đỉnh nhìn cạnh IME IE ABCD hình vuông)   MCE   45 (do ABCD hình vng); c) Xét  EBI ECM có: IBE BE  CE (do ABCD hình vng);  )   CEM  (do phụ với BEM BEI  EBI  ECM  g.c.g   MC  IB (hai cạnh tương ứng)  MB  IA Vì CN //BA nên theo định lí Ta-lét, ta có: lét đảo) MA MB IA   Suy IM //BN (định lí TaMN MC IB   IME   45 Lại có BCE   45 (do ABCD hình vng)  BKE   BCE  Tứ giác BKCE có hai đỉnh K C kề nhìn cạnh BE Suy BKE góc nên BKCE tứ giác nội tiếp Bài 9: Cho đường trịn đường kính AB , điểm C, D nằm đường tròn cho C, D nằm khác phía đường thẳng AB , đồng thời AD  AC Gọi điểm cung nhỏ AC, AD M , N ; giao điểm MN với AC, AD H , I ; giao điểm MD CN K  Từ suy tứ giác MCKH ACN  DMN a) Chứng minh  b) Chứng minh KH song song với AD c) Tìm hệ thức liên hệ sđ  AC sđ  AD để AK song song với ND | Nhóm làm tài liệu Tốn THCS Tiên Phong GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Giải chi tiết:  AD   AN  DN a) Vì N điểm cung   (hai góc nội tiếp chắn hai cung   )  ACN  DMN AN , DN Khi tứ giác CMHK có hai đỉnh M C nhìn cạnh HK góc nên CMHK tứ giác nội tiếp b) Theo câu a) có CMHK tứ giác nội tiếp nên   CMK  (cùng chắn cung CK  ) CHK (1) Xét đường tròn đường kính AB có   CAD  (cùng chắn CD ) CMK (2)   CAD  Mà hai góc vị trí Từ (1) (2) suy CHK đồng vị, suy HK //AD (đpcm)    MAIK tứ giác nội tiếp ADN  KMI c) AK //ND  KAD   ADN   ACN   AMI   AKI  KAI AKI  AKI cân I AIK  MI  AK Mà IM phân giác góc    90 Lại có AK //ND  MI  ND hay MN  ND  MND  MD đường kính đường trịn đường kính AB    180  sđ MA   sđ AD   180  sđ AC  sđ A   MAD D  180 Bài 10: Cho đường tròn  O; R  dây BC cố định, A điểm di động cung lớn BC ( A khác B, C ) cho tam giác ABC nhọn Các đường cao BD CE tam giác ABC cắt điểm H Kẻ đường kính AF đường trịn  O  , AF cắt BC điểm N a) Chứng minh tứ giác BEDC tứ giác nội tiếp b) Chứng minh AE AB  AD AC c) Chứng minh tứ giác BHCF hình bình hành d) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE cắt đường tròn  O  điểm thứ hai K ( K khác O ) Chứng minh ba điểm K , H , F thẳng hàng Giải chi tiết:   BDC   90 (giả thiết) Suy tứ giác BEDC tứ giác nội a) Tứ giác BEDC có BEC tiếp (hai góc kề nhìn cạnh BC góc nhau) AED   ACB (góc ngồi b) Tứ giác BEDC nội tiếp suy  tứ giác nội tiếp) AED   ACB (chứng minh trên); Xét AED ACB có:   chung BAC 10 | Nhóm làm tài liệu Tốn THCS Tiên Phong GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH  AED  ACB  g.g    AE AB  AD AC Zalo: 0382254027 AE AC  (hai cạnh tương ứng) AD AB c) Ta có: BD //CF (vì vng góc với AC ) BF //EC (vì vng góc với AB ) Do BHCF hình bình hành AKH  90 (1) d) Ta thấy tứ giác ADHE nội tiếp đường trịn đường kính AH   Mà AKF nội tiếp đường trịn đường kính AF   (2) AKF  90 Từ (1) (2) suy ba điểm K , H , F thẳng hàng BÀI TẬP TỰ LUYỆN HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 6: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB  R tia tiếp tuyến Ax phía với nửa đường tròn AB Từ điểm M Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn ( C tiếp điểm) AC cắt OM E ; MB cắt nửa đường tròn  O  ( D khác B ) a) Chứng minh: AMCO AMDE tứ giác nội tiếp đường tròn b) Chứng minh MBCD tứ giác nội tiếp Lời giải: D x N C M D E A Vì MA,  MC I H O B   MCO   900 Tứ giác AMCO tiếp tuyến nên: MAO   MCO   1800  AMCO tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính MO MAO   900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)  ADM   900 (1) ADB Lại có: OA  OC  R ; MA  MC (tính chất tiếp tuyến) Suy OM đường trung trực AC   900 (2)  AEM 11 | Nhóm làm tài liệu Tốn THCS Tiên Phong có GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 ADM   AEM  900 Tứ giác AMDE có hai đỉnh A, E kề Từ (1) (2) suy  nhìn cạnh MA góc khơng đổi Vậy tứ giác AMDE nội tiếp đường tròn đường kính MA Bài 7: Trên cạnh BC, BD hình vng ABCD ta lấy điểm M , N   45 Đường thẳng BD cắt đường thẳng AM , AN tương ứng cho MAN điểm P, Q a) Chứng minh tứ giác ABMQ ADNP nội tiếp b) Chứng minh điểm M , N , Q, P, C nằm đường tròn Lời giải: a) Các đỉnh A B nhìn đoạn thẳng MQ góc 45 Vì tứ giác ABMQ nội tiếp Tương tự ta suy tứ giác ADNP nội tiếp b) Do ABMQ tứ giác nội tiếp nên  AQM   ABM  180   AQM  90 Tương tự tứ giác ADNP nội tiếp suy  APN  90 Tứ giác MNQP tứ giác nội tiếp có hai đỉnh Q P nhìn cạnh MN góc 90 Suy bốn điểm M , N , Q, P thuộc đường tròn (1)   MPN   90  90  180 Tứ giác MCNP tứ giác nội tiếp MCN Suy bốn điểm M , C, N , P thuộc đường tròn (2) Từ (1) (2) suy điểm M , N , Q, P, C nằm đường tròn Bài 8: Cho hình vng ABCD có hai đường chéo cắt E Lấy I thuộc cạnh   90 ( I M không trùng với đỉnh AB , M thuộc cạnh BC cho IEM hình vuông) a) Chứng minh BIEM tứ giác nội tiếp  b) Tính số đo góc IME c) Gọi N giao điểm tia AM tia DC ; K giao điểm BN tia EM Chứng minh BKCE tứ giác nội tiếp Lời giải: 12 | Nhóm làm tài liệu Tốn THCS Tiên Phong GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 a) Theo giả thiết có:   IEM   90  IBM   IEM   180 IBM Vậy tứ giác BIEM nội tiếp đường tròn đường kính IM b) Tứ giác BIEM nội tiếp suy ra:   IBE   45 (hai đỉnh nhìn cạnh IE ABCD hình vng) IME   MCE   45 (do ABCD hình vng); c) Xét  EBI ECM có: IBE BE  CE (do ABCD hình vng);   CEM  (do phụ với BEM  ) BEI  EBI  ECM  g.c.g   MC  IB (hai cạnh tương ứng)  MB  IA Vì CN //BA nên theo định lí Ta-lét, ta có: lí Ta-lét đảo) MA MB IA   Suy IM //BN (định MN MC IB   IME   45 Lại có BCE   45 (do ABCD hình vng)  BKE   BCE  Tứ giác BKCE có hai đỉnh K C kề nhìn Suy BKE cạnh BE góc nên BKCE tứ giác nội tiếp Bài 9: Cho đường trịn đường kính AB , điểm C, D nằm đường trịn cho C, D nằm khác phía đường thẳng AB , đồng thời AD  AC Gọi điểm cung nhỏ AC, AD M , N ; giao điểm MN với AC, AD H , I ; giao điểm MD CN K  Từ suy tứ giác MCKH ACN  DMN a) Chứng minh  b) Chứng minh KH song song với AD AC sđ  AD để AK song song với ND c) Tìm hệ thức liên hệ sđ  Lời giải: 13 | Nhóm làm tài liệu Tốn THCS Tiên Phong GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027  AD   AN  DN a) Vì N điểm cung   (hai góc nội tiếp chắn hai cung   )  ACN  DMN AN , DN Khi tứ giác CMHK có hai đỉnh M C nhìn cạnh HK góc nên CMHK tứ giác nội tiếp b) Theo câu a) có CMHK tứ giác nội tiếp nên   CMK  (cùng chắn cung CK  ) CHK (1) Xét đường trịn đường kính AB có   CAD  (cùng chắn CD ) CMK (2)   CAD  Mà hai góc vị trí đồng vị, suy Từ (1) (2) suy CHK HK //AD (đpcm)    MAIK tứ giác nội tiếp ADN  KMI c) AK //ND  KAD   ADN   ACN   AMI   AKI  KAI AKI  AKI cân I Mà IM phân giác góc  AIK  MI  AK   90 Lại có AK //ND  MI  ND hay MN  ND  MND  MD đường kính đường trịn đường kính AB    180  sđ MA   sđ AD   180  sđ AC  sđ A   MAD D  180 Bài 10: Cho đường tròn  O; R  dây BC cố định, A điểm di động cung lớn BC ( A khác B, C ) cho tam giác ABC nhọn Các đường cao BD CE tam giác ABC cắt điểm H Kẻ đường kính AF đường tròn  O  , AF cắt BC điểm N a) Chứng minh tứ giác BEDC tứ giác nội tiếp b) Chứng minh AE AB  AD AC c) Chứng minh tứ giác BHCF hình bình hành d) Đường trịn ngoại tiếp tam giác ADE cắt đường tròn  O  điểm thứ hai K ( K khác O ) Chứng minh ba điểm K , H , F thẳng hàng Lời giải: 14 | Nhóm làm tài liệu Tốn THCS Tiên Phong GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027   BDC   90 (giả thiết) Suy tứ giác BEDC tứ giác nội a) Tứ giác BEDC có BEC tiếp (hai góc kề nhìn cạnh BC góc nhau) AED   ACB (góc ngồi tứ giác nội tiếp) b) Tứ giác BEDC nội tiếp suy  AED   ACB (chứng minh trên); Xét AED ACB có:   chung BAC  AED  ACB  g.g    AE AB  AD AC AE AC  (hai cạnh tương ứng) AD AB c) Ta có: BD //CF (vì vng góc với AC ) BF //EC (vì vng góc với AB ) Do BHCF hình bình hành AKH  90 (1) d) Ta thấy tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn đường kính AH   AKF  90 Mà AKF nội tiếp đường trịn đường kính AF   (2) Từ (1) (2) suy ba điểm K , H , F thẳng hàng 15 | Nhóm làm tài liệu Toán THCS Tiên Phong