Điều kiện tối ưu cấp cao qua nón tiếp tuyến cấp cao

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN THỊ LAN HƯƠNG ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP CAO QUA NĨN TIẾP TUYẾN CẤP CAO LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN THỊ LAN HƯƠNG ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP CAO QUA NÓN TIẾP TUYẾN CẤP CAO Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS ĐỖ VĂN LƯU THÁI NGUYÊN - 2016 Mục lục Mở đầu Điều kiện tối ưu cấp cao cho tốn đơn mục tiêu có ràng buộc 1.1 Các khái niệm kết bổ trợ 1.2 Điều kiện tối ưu cấp cao cho cực tiểu địa phương 10 1.3 Bài tốn có ràng buộc đẳng thức 13 Điều kiện tối ưu cấp cao cho nghiệm hữu hiệu tốn tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc 17 2.1 Các khái niệm kết bổ trợ 17 2.2 Điều kiện cần cấp cao cho nghiệm hữu hiệu 20 2.3 Điều kiện đủ cấp cao cho nghiệm hữu hiệu 26 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 Mở đầu Lí chọn đề tài Điều kiện tối ưu cấp cao phận quan trọng lý thuyết tối ưu Năm 1986, Studniarski [12] đưa vào khái niệm cực tiểu địa phương cô lập cấp n dẫn điều kiện cần đủ tối ưu cấp cao Jiménez ([6], 2002) đưa vào khái niệm cực tiểu Pareto địa phương chặt cấp n nghiên cứu tính chất loại cực tiểu Constantin ([2], 2009) thiết lập điều kiện tối ưu cấp cao ngôn ngữ nón tiếp tuyến cấp cao Đ.V Lưu ([11], 2014) thiết lập điều kiện tối ưu cấp cao cho nghiệm hữu hiệu toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc nón ràng buộc tập ngơn ngữ nón tiếp tuyến cấp cao Chú ý điều kiện tối ưu cấp cho phép ta tìm nghiệm tối ưu tập điểm dừng Điều kiện tối ưu cấp cao đề tài nhiều tác giả nước quan tâm nghiên cứu (xem [2-6], [8-12]) tài liệu tham khảo cơng trình Chính vậy, tơi chọn đề tài: "Điều kiện tối ưu cấp cao ngơn ngữ nón tiếp tuyến cấp cao" Mục đích đề tài Luận văn trình bày điều kiện tối ưu cấp cao cho toán tối ưu đơn mục tiêu trơn E Constantin ([2], 2009) toán tối ưu đa mục tiêu không trơn Đ.V Lưu ([11], 2014) ngơn ngữ nón tiếp tuyến cấp cao Nội dung luận văn Luận văn bao gồm phần mở đầu hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương "Điều kiện tối ưu cấp cao cho toán tối ưu đơn mục tiêu có ràng buộc" Trình bày điều kiện cần tối ưu cấp cao E Constantin [2] cho tốn tối ưu đơn mục tiêu trơn có ràng buộc ngôn ngữ đạo hàm Fréchet cấp cao nón tiếp tuyến cấp cao Chương "Điều kiện tối ưu cấp cao cho nghiệm hữu hiệu toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc" Trình bày điều kiện cần tối ưu cấp cao cho cực tiểu yếu, cực tiểu Pareto điều kiện đủ tối ưu cấp cao Đ.V Lưu [11] cho cực tiểu Pareto địa phương chặt cấp cao toán tối ưu đa mục tiêu khơng trơn có ràng buộc ràng buộc tập qua đạo hàm Gâteaux cấp cao nón tiếp tuyến cấp cao Nhân dịp tác giả xin gửi lời cảm ơn đến tập thể thầy cô giáo truyền đạt tri thức quý giá thời gian tác giả học tập trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Đặc biệt tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thầy giáo PGS.TS Đỗ Văn Lưu giúp đỡ, hướng dẫn tận tình đầy trách nhiệm để tác giả hoàn thành luận văn Cuối tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp động viên, ủng hộ tạo điều kiện cho tác giả suốt thời gian nghiên cứu học tập Thái Nguyên, 10 tháng 10 năm 2016 Tác giả Trần Thị Lan Hương Chương Điều kiện tối ưu cấp cao cho toán đơn mục tiêu có ràng buộc Chương trình bày điều kiện cần tối ưu cấp cao Constantin ([2], 2009) cho toán tối ưu đơn mục tiêu trơn có ràng buộc ngơn ngữ đạo hàm Fréchet cấp cao nón tiếp tuyến cấp cao Các kết trình bày chương tham khảo [1], [2] 1.1 Các khái niệm kết bổ trợ Xét toán tối ưu sau: F (x), x ∈ D, (P ) X khơng gian tuyến tính định chuẩn thực với chuẩn k · k F : U ⊆ X → R hàm lớp C p tập mở U , x ∈ D ⊆ U , p số dương Định nghĩa 1.1 Ánh xạ F : X → Y khả vi x biểu diễn dạng sau lân cận x F (x + h) = F (x) + Λh + α(h)khk, Λ tốn tử tuyến tính liên tục từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y lim kα(h)k = kα(0)k = khk→0 Toán tử Λ gọi đạo hàm Fréchet F x kí hiệu F (x) Dưới ngôn ngữ ξ, δ quan hệ phát biểu sau: Với ξ > 0, tồn δ > cho kF (x + h) − F (x) − Λhk ≤ ξkhk với h mà khk < δ Đạo hàm cấp cao định nghĩa quy nạp F (n) (x) = (F (n−1) ) (x) ∈ L(X, , L(X, Y ) )) Định nghĩa 1.2 Ta nói F (p) tồn x ∈ U F (x), F ”(x), , F (p−1) (x) tồn lân cận x F (p) (x) tồn Nếu F (p) (x) tồn tại điểm x ∈ U x → F (p) (x) liên tục theo tô pô chuẩn không gian L(X, , L(X, Y ), ) (sinh chuẩn) F gọi ánh xạ lớp C p U Nếu hàm F thuộc lớp C p tập mở U F (x), F ”(x), , F (p) (x), p ≥ kí hiệu đạo hàm Fréchet cấp 1, cấp 2, , cấp p x ∈ U F (p) (x)[y]p = F (p) (x)(y) (y) Định nghĩa 1.3 Nhắc lại giá trị thực F : U ⊆ X → R gọi có cực tiểu địa phương D ⊆ U x ∈ D tồn δ > cho F (x) ≥ F (x) với x ∈ D thỏa mãn < kx − xk < δ Nếu bất đẳng thức chặt x gọi cực tiểu địa phương chặt F D Chúng ta phát biểu điều kiện cần cấp cao cho ràng buộc tập D sau phân tích chi tiết trường hợp D tập không điểm ánh xạ khả vi Fréchet G : X → Y , tức D = DG = {x ∈ X; G(x) = 0} Định lí 1.1 (Quy tắc nhân tử Lagrange) Giả sử F : U ⊆ Rn → R G = (G1 , G2 , , Gk ) : U → Rk thuộc lớp C tập mở U ⊆ Rn Nếu F có cực trị D = {x ∈ U ; G1 (x) = 0, G2 (x) = 0, , Gk (x) = 0}, x ∈ D G01 (x), G02 (x), , G0k (x) độc lập tuyến tính tồn véc tơ λ = (λ1 , λ2 , , λk ) gọi véc tơ nhân tử Lagrange cho: F (x) = λG0 (x) = λ1 G01 (x) + λ2 G02 (x) + + λk G0k (x) Giả thiết thêm F, G lớp C U Nếu x cực tiểu địa phương F D [F ”(x) − λG”(x)][y]2 ≥ 0, với y cho G0 (x)(y) = Nếu x cực đại địa phương F D [F ”(x) − λG”(x)][y]2 ≤ 0, với y cho G0 (x)(y) = Chúng ta nhắc lại điều kiện đủ cấp hai cổ điển sau: Định lí 1.2 Giả sử F : U ⊆ Rn → R G : (G1 , G2 , , Gk ) : U → Rk thuộc lớp C tập mở U , x ∈ D = {x ∈ D; G1 (x) = 0, G2 (x) = 0, , Gk (x) = 0} λ ∈ Rk thỏa mãn F (x) = λG0 (x) Khi đó, (i) Nếu [F ”(x) − λG”(x)][y]2 > với y 6= cho G0 (x)(y) = x cực tiểu địa phương chặt F D (ii) Nếu [F ”(x) − λG”(x)][y]2 < với y 6= cho G0 (x)(y) = x cực đại địa phương chặt F D Khái niệm sau đây: véc tơ pháp tuyến tập D x ∈ D đóng vai trị quan trọng sau Định nghĩa 1.4 Phần tử v ∈ X gọi véc tơ tiếp tuyến D x lim d(x + tv; D) = t↓0 t (1.1) Tập tất véc tơ tiếp tuyến D x ∈ D kí hiệu Tx D gọi nón tiếp tuyến D x Tx D nón đóng X ln khác rỗng chứa ∈ X Định nghĩa 1.5 Phần tử ∈ X gọi véc tơ tiếp tuyến cấp n D x ∈ D tồn vi ∈ X, i = 1, 2, , n − 1, n ≥ cho lim t↓0 t2 t3 tn d(x + tv + v + v + + ; D) = 0, tn 2! 3! n! (1.2) d(z, D) = inf{kz − yk; y ∈ D} Các véc tơ vi , i = 1, 2, , n − gọi véc tơ liên kết với Tập tất véc tơ tiếp tuyến cấp n D x ∈ D kí hiệu Txn D Ta có Txn D, n ≥ nón X Thật vậy, lấy ∈ Txn D với véc tơ liên kết v1 , , vn−1 Khi đó, tồn hàm γn : (0, +∞) → X với γn (t) → t ↓ cho tn t2 x + tv1 + v2 + + (vn + γn (t)) ∈ D (∀t > 0) 2! n! Chú ý với λ > 0, bao hàm thức viết lại sau  2     t  1 t   λ n v1  +  λ n v2  + x+ 1 2! λn   λn n + +     (λvn + λγn (t) ∈ D (∀t > 0), n! λn λγn (t) → t ↓ Vì vậy, λvn ∈ TXn D với véc tơ kết hợp n−1 X n v1 , , λ n vn−1 Do đó, Txn D nón Rõ ràng x thuộc vào phần D Txn D = X, n ≥ 1, Tn1 D = Tx D Mệnh đề sau (xem [2]) cho ta tính chất đặc trưng véc tơ pháp tuyến cấp n Mệnh đề 1.1 (i) v ∈ Tx D tương đương với tồn hàm γ : (0, ∞) → X với γ(t) → t ↓ x + t(v + γ(t)) ∈ D, ∀t > ii) ∈ Txn D với véc tơ liên kết vi ∈ X, i = 1, 2, , n − 1, n ≥ 2, (1.2) tương đương với tồn hàm γn : (0, ∞) → X với γn (t) → t ↓ tn t2 x + tv1 + v2 + + (vn + γn (t)) ∈ D, ∀t > n! Mệnh đề 1.2 Nếu ∈ Txn D véc tơ kết hợp vi , ≤ i ≤ n − thuộc Txi D Tập tiếp tuyến cấp n: Txn D khác rỗng chứa điểm (trong lấy vi ∈ Txi D, i = 1, 2, , n − 1, n ≥ 2) Chứng minh Bởi x cực tiểu yếu địa phương (M P ) tồn số δ > cho f (x) − f (x) ∈ −(Y \ intQ) h∀x ∈ M ∩ B(x; δ)i (2.7) Chú ý ∈ Txn C với véctơ liên kết vi ∈ TXi C(i = 1, , n − 1), ta có: t2 tn lim n d(x + tv1 + v2 + + ; C) = t↓0 t 2! n! Điều tương đương với tồn hàm γn : (0, +∞) → X với γn (t) → t ↓ tn t2 v2 + + (vn + γn (t)) ∈ C 2! n! n−1 t t Đặt ϕ(t) = v1 + v2 + + (vn + γn (t)), 2! n! Từ (2.8) ta suy với t > đủ nhỏ: x + tv1 + (∀t > 0) x + tϕ(t) ∈ C ∩ B(x; δ) (2.8) (2.9) Bởi g khả vi Gâteaux m lần x (m ≤ n) ta khai triển sau:   tn t2 g x + tv1 + v2 + + (vn + γn (t)) 2! n! = g(x) + tgG (x)(ϕ(t)) t2 (2) tm (m) + gG (x)(ϕ(t)) + + gG (x))ϕ(t))m + o(tm ) 2! m! i h t 0 (2) = g(x) + tgG (x)(v1 ) + g (x)(v1 ) + gG (x)(v2 ) 2! G i t3 h (3) (2) g (x)(v1 ) + 3gG (x)(v1 , v2 ) + gG (x)(v3 ) + 3! G tm g + + Hm (x; v1 , , vm ) + o(tm ) (2.10) m! Hơn nữa, (2.4) với t > đủ nhỏ, ta có g Hm (x; v1 , , vm ) 21 o(tm ) + m ∈ −S t (2.11) Kết hợp (2.3), (2.10) (2.11) ta suy với t > đủ nhỏ, g(x + tϕ(t)) ∈ −S (2.12) Do (2.9) (2.12), x + tϕ(t) ∈ M ∩ B(x; δ) với t > đủ nhỏ Vì vậy, từ (2.7) ta suy với t > đủ nhỏ, ta có f (x + tϕ(t)) − f (x) ∈ −(Y \ intQ) (2.13) Mặt khác, tính khả vi Gâteaux n lần f x, khai triển Taylor f x, viết sau: t2 (2) f (x + tϕ(t)) − f (x) =tfG (x)(ϕ(t)) + fG (x)(ϕ(t))2 2! tn (n) t (3) + fG (x)(ϕ(t)) + + fG (x)(ϕ(t))n + o(tn ) 3! n! i h t 0 (2) = tfG (x)(v1 ) + f (x)(v1 ) + fG (x)(v2 ) 2! G tn f + + Hn (x; v1 , , ) + o(tn ) (2.14) n! Kết hợp (2.5), (2.13) (2.14) ta nhận với t > đủ nhỏ, ta có cơng thức: tn f Hn (x; v1 , , ) + o(tn ) ∈ −(Y \ intQ) n! Điều kéo theo Hnf (x; v1 , , ) 6∈ −intQ  Định lý chứng minh Xét trường hợp Y = Rr , Q = Rr+ , f = (f1 , , fr ) Một điều kiện cần cấp cao cho cực tiểu Pareto địa phương ngơn ngữ nón tiếp tuyến cấp cao phát biểu sau: Định lí 2.2 Giả sử x cực tiểu Pareto địa phương toán (M P ) Giả sử f1 , , fr (tương ứng g) khả vi Gâteaux n lần (m lần) x (m ≤ n) 22 Khi với s = 1, , n, ∈ Txn C với véctơ liên kết v1 , , vn−1 thõa mãn: Hkg (x; v1 , , vk ) ∈ −S, k = 1, , m − 1, g Hm (x; v1 , , vm ) ∈ −intS, HiJk (x; v1 , , vi ) ≤ (i = 1, , n − 1; k 6= s), Hnf k (x; v1 , , ) < (k 6= s), Hjf s (x; v1 , , vj ) = 0; j = 1, , n − 1, ta có Hnf s (x; v1 , , ) ≥ Chứng minh Bởi x cực tiểu Pareto địa phương (M P ), với s ∈ {1, r}, x cực tiểu địa phương tốn tối ưu vơ hướng sau: fs (x), fk (x) ≤ fk (x) (k = 1, , r; k 6= s), (P1 ) − g(x) ∈ S, x ∈ C Kí hiệu M1 tập chấp nhận tốn (P1 ) Khi đó, tồn lân cận V x cho fs (x) ≥ fs (x) (∀x ∈ M1 ∩ U ) (2.15) Với ∈ Txn C, tồn hàm γn : (0, +∞) → X với γn (t) → t ↓ với t > 0, t2 tn x + tv1 + v2 + + (vn + γn (t)) ∈ C 2! n! tn−1 t Đặt ϕ(t) = v1 + v2 + + (vn + γn (t)) nhận x + tϕ(t) ∈ C 2! n! Vì với t > đủ nhỏ, ta có x + tϕ(t) ∈ C ∩ U 23 (2.16) Lí luận tương tự chứng minh Định lý 2.1 ta nhận với t > đủ nhỏ, ta có fk (x + tϕ(t)) ≤ fk (x) (∀k = 1, , r; k 6= s), (2.17) −g(x + tϕ(t)) ∈ S (2.18) Kết hợp (2.16), (2.18) cho ta x + tϕ(t) ∈ M1 ∩ U với t > đủ nhỏ Vì vậy, từ (2.15) ta suy với t > đủ nhỏ, ta có fs hx + tϕ(t)i ≥ fs (x) Do tính khả vi Gâteaux fs tương tự chứng minh định lý 2.1 ta nhận với t > đủ nhỏ, ta có tn fs fs (x + tϕ(t)) − fs (x) = Hn (x; v1 , , ) + o(tn ) ≥ n! Điều kéo theo Hnfs (x; v1 , , ) ≥  Định lý chứng minh Bây giờ, ta xét tốn có ràng buộc đẳng thức ràng buộc nón: f (x), − g(x) ∈ S, (M P1 ) h(x) = 0, f, g, S toán (M P ), h ánh xạ từ X vào khơng gian tuyến tính định chuẩn W , h khả vi Fréchet n lần x với đạo hàm Fréchet h(n) (x) Ta nhắc lại số kết Constantin[2]: Mệnh đề 2.2 Giả sử h ánh xạ từ X → Rl thuộc lớp C n (n ≥ 1) lân cận x ∈ X với h(x) = h (x) ánh xạ từ X lên Rl Khi đó, ∈ Txn Dh với véctơ liên kết v1 , , vn−1 nếu: Hjh (x; v1 , , vj ) = (j = 1, , n), 24 Dh = {x ∈ X : h(x) = 0} khác rỗng Một điều kiện cần cấp cao cho cực tiểu yếu địa phương tốn (M P1 ) phát biểu sau: Định lí 2.3 Giả sử x cực tiểu yếu địa phương (M P1 ) intQ 6= ∅ Giả sử f (tương ứng g) khả vi Gâteaux n lần (m lần) x(m ≤ n) Hơn nữa, giả sử h thuộc lớp C n lân cận x cho h (x) ánh xạ lên Khi đó, với v1 , , thõa mãn: Hkg (x; v1 , , vk ) ∈ −S, k = 1, , m − 1, (2.19) g Hm (x; v1 , , vm ) ∈ −intS, (2.20) Hlh (x; v1 , , vl ) = 0, l = 1, , n, (2.21) j = 1, , n − 1, (2.22) Hjf (x; v1 , , vj ) = 0, ta có Hnf (x; v1 , , ) 6∈ −intQ (2.23) Chứng minh Chú ý tốn (M P1 ) viết sau: f (x), − g(x) ∈ S, (M P2 ) x ∈ Dh Từ Mệnh đề 2.2 ta suy ∈ Txn Dh với véctơ liên kết v1 , , vn−1 (2.21) Như vậy, với điều kiện (2.19) − (2.22), ta áp dụng Định lý 2.2 để suy (2.23)  Bằng lí luận tương tự chứng minh Định lý 2.3 ta có định lý sau đây: Định lí 2.4 Giả sử x cực tiểu Pareto địa phương toán (M P1 ) Giả sử f1 , , fr (tương ứng g) khả vi Gâteaux n lần (m lần) x (m ≤ n) 25 Hơn nữa, giả sử h ánh xạ lớp C n lân cận x cho h (x) ánh xạ lên Khi đó, với s = 1, , n, ∈ Txn C với véctơ liên kết v1 , , vn−1 thõa mãn: Hkg (x; v1 , , vk ) ∈ −S (k = 1, , m − 1), g Hm (x; v1 , , vm ) ∈ −intS, Hlh (x; v1 , , vl ) = (l = 1, , n), Hifk (x; v1 , , vi ) ≤ (i = 1, , n − 1; k 6= s), Hnfk (x; v1 , , ) < (k 6= s), Hjfs (x; v1 , , vj ) = (j = 1, , n − 1), ta có Hnfs (x; v1 , , ) ≥ 2.3 Điều kiện đủ cấp cao cho nghiệm hữu hiệu Xét toán (M P3 ) f (x), − g(x) ∈ S, h(x) = 0, x ∈ C, f, g, S, C toán (M P ) (M P1 ), intS 6= ∅, dimX < +∞ Kí hiệu M3 tập chấp nhận (M P3 ) S mặt cầu đơn vị X Đặt Sg (x) = cl(cone(S + g(x)) bao đóng nón lồi sinh S + g(x) Chú ý intSg (x) 6= ∅ intS 6= ∅ Định lí 2.5 Giả sử x điểm chấp nhận (M P3 ), C tập lồi, g h khả vi Gâteaux x, f khả vi Gâteaux n lần x Hơn nữa, ta giả sử điều kiện sau đúng: 26 (i) i) fG (x)(v)i ∈ Q(∀v ∈ (Tx C) ∩ S, i = 1, , n − 1; (n) 0 ii) fG (x)(v)n 6∈ −Q(∀v ∈ (Tx C) ∩ S ∩ {u : gG (x)(u) ∈ −Sg(x) , hG (x)(u) = 0} Khi đó, x cực tiểu Pareto địa phương chặt cấp n toán (M P3 ) Chứng minh Giả sử ngược lại x không cực tiểu Pareto địa phương chặt cấp n (M P3 ) Theo Mệnh đề 2.2, điều kéo theo tồn xm ∈ M3 , xm 6= x, xm → bm ∈ Q cho f (xm ) − f (x) + bm = m→+∞ kxm − xkn lim (2.24) Bởi C lồi xm − x ∈ Tx C Vì (xm − x)/tm ∈ Tx C, tm = kxm − xk Do tính compắc S, khơng tính tổng qt, ta giả sử vm := (xm − x)/tm → vo với kvo k = 1.Vì vo ∈ (Tx C) ∩ S, Tx C đóng Bởi g khả vi Gâteaux x nên ta khai triển sau: g(xm ) = g(x) + tm gG (x)(vm ) + o(tm ), o(tm )/tm → m → +∞ Vì vậy, gG (x)(vm ) + o(tm ) ∈ −cone(S + g(x)) tm Cho m → +∞, ta nhận được: gG (x)(vo ) ∈ −Sg (x) (2.25) Bởi h khả vi Gâteaux x ta khai triển sau: h(xm ) = h(x) + tm hG (x)(vm ) + o(tm ) Từ suy ra: hG (x)(vo ) = 27 (2.26) Từ (2.25), (2.26) giả thiết (ii) ta suy ra: fGn (x)(vo )n 6∈ −Q (2.27) Mặt khác, g khả vi Gâteaux n lần x, ta khai triển sau: t2m (2) f (xm ) =f (x) + tm fG (x)(vm ) + fG (x)(vm )2 2! tnm (n) + + fG (x)(vm )n + o(tnm ), n! o(tnm )/tnm → m → +∞ Do đó, (n) (n) fG (x)(vo )n = lim fG (x)(vm )n m→+∞ " # n−1 j X n! tm (j) = lim n f (xm ) − f (x) − fG (x)(vm )j m→+∞ tm j! j=1 (j) Sự tồn fG (x)(vm )j , (j = 1, , n) với (2.24) cho ta tồn giới hạn " # n−1 j X tm (j) lim n bm + fG (x)(vm )j m→+∞ tm j! j=1 Do n! [f (xm ) − f (x) + bm ] m→+∞ tn m " # n−1 j X n! tm (j) − lim n bm + fG (x)(vm )j m→+∞ tm j! j=1 # " n−1 j X n! tm (j) = − lim n bm + fG (x)(vm )j m→+∞ tm j! j=1 (n) fG (x)(vo )n = lim " n−1 P tjm # (j) b + f (x)(vm )j ∈ Q, m G m→+∞ tn j=1 j! m Có thể thấy lim (j) bm ∈ Q, fG (x)(vm )j ∈ Q(i = 1, 2, , n − 1) Q đóng Vì vậy, (2.24) ta có cơng thức: (n) fG (x)(vo )n ∈ −Q 28 Điều mâu thuẫn với (2.27) Định lý chứng minh  Bây ta xét trường hợp Y = Rr , Q = Rr+ f = (f1 , , fr ) Kí hiệu (i) fk,G (x) đạo hàm Gâteaux cấp i fk x Một điều kiện đủ cấp cao cho cực tiểu Pareto địa phương chặt cấp n tốn (M P3 ) phát biểu sau: Định lí 2.6 Giả sử x điểm chấp nhận (M P3 ), giả sử C lồi, g h khả vi Gâteaux x, fs khả vi Gâteaux n lần x với s ∈ {1, n} Giả sử hai điều kiện sau đúng: (i) (i) fs,G (x)(v)i ≥ (∀v ∈ (Tx C) ∩ S, (i = 1, 2, , n − 1); (n) 0 (ii) fs,G (x)(v)n > 0(∀v ∈ (Tx C)∩S∩{u : gG (x)(u) ∈ −Sg(x) , hG (x)(u) = 0} Khi đó, x cực tiểu Pareto địa phương chặt cấp n toán (M P3 ) Chứng minh Xét tốn tối ưu vơ hướng sau fs (x), − g(x), (P2 ) h(x) = 0, x ∈ C, f, g, h, C, S toán (M P3 ) Chú ý tập chấp nhận (P2 ) M3 Trước hết, ta x cực tiểu địa phương chặt cấp n (P2 ) Giả sử ngược lại x không cực tiểu địa phương chặt cấp n (P2 ) Khi đó, tồn dãy {xm } ⊂ (M3 ) với xm → x cho kxm − xkn (∀m) (2.28) m Chú ý xm − x ∈ Tx C, C convex(lồi) Đặt tm = kxm − xk fs (xm ) < fs (x) + nhận (xm − x)/tm ∈ Tx C Cũng chứng minh Định lý 2.5, 29 ta giả sử vm := (xm − x)/tm → vo với kvo k = Điều có nghĩa vo ∈ S, vo ∈ (Tx C) ∩ S, Tx C đóng Lí luận tương tự chứng minh Định lý 2.5, ta có: gG (x)(vo ) ∈ −S, hG (x)(vo ) = (2.29) (2.30) Từ (2.29), (2.30) điều kiện (ii) ta có: (n) fs,G (x)(vo )n > (2.31) Mặt khác, fs khả vi Gâteaux n lần x, ta khai triển sau: fs (xm ) = fs (x)+tm fs,G (x)(vm )+ t2m (2) tn (n) fs,G (x)(vm )2 + + m fs,G (x)(vm )n +o(tnm ) 2! n! (2.32) (i) Ta có fs,G (x)(vm )i ≥ 0(i = 1, , n − 1) vm ∈ Tx C ∩ S Vì vậy, kết hợp (2.28) (2.32) ta suy tnm (n) tnm n n n fs,G (x)(vm ) + o(tm ) ≤ fs (xm ) − fs (x) < kxm − xk = kvm kn n! m m Cho m → +∞ ta nhận (n) fs,G (x)(vo )n ≤ Điều mẫu thuẫn với (2.31) Vì vậy, x cực tiểu địa phương chặt cấp n toán (P2 ) Ta x cực tiểu Pareto địa phương chặt cấp n toán (M P3 ) Nếu điều khơng theo Mệnh đề 2.1, tồn xm ∈ M3 , xm 6= x, xm → x bm = (bm,1 , , bm,r ) ∈ R2+ cho f (xm ) − f (x) + bm = m→+∞ kxm − xkn lim Điều dẫn đến: fs (xm ) − fs (x) + bm,s = m→+∞ kxm − xkn lim 30 Sử dụng Mệnh đề 2.1 lần cho ta x không cực tiểu địa phương chặt cấp n (P2 ) Khi ta đến mâu thuẫn Định lý chứng  minh Ví dụ 2.1 Giả sử X = Y = Z = R2 , S = R2+ , C = {(x1 , x2 ) ∈ R2 : x1 + x2 ≤ 1, ≤ x2 ≤ 10x1 }, x = (0, 0) f g xác định R2 sau: f (x) = (f1 (x), f2 (x)) , f1 (x) = xn1 (n ∈ N, n ≥ 1), f2 (x) = −max{|x1 |, |x2 |} (x = (x1 , x2 ) ∈ R2 ), g(x) = (g1 (x), g2 (x)),  −x1 − 1, x2 = x2 , g1 (x) = 0, x2 6= x21 ,   (x21 + x22 )sin − (x21 + x22 ), x1 + x2 g2 (x) =  0, x21 + x22 6= 0, x21 + x22 = Khi x điểm chấp nhận toán tối ưu đa mục tiêu sau: {min : f (x), −g(x) ∈ R2+ x ∈ C} Chú ý tập chấp nhận M3 = C, Tx C = {(x1 , x2 ) ∈ R2 : ≤ x2 ≤ 10x1 }, S mặt cầu R2 Hàm g1 khả vi Gâteaux x với g1,G (x) = (0, 0) (g1 không khả vi x) Hàm g2 khả vi Gâteaux x với g2 (x) = (0, 0) Hàm f1 khả vi Fréchet n lần x với (i) f1 (x)(v)i = (∀v ∈ (Tx C) ∩ S; i = 1, , n − 1)   (n) n f1 (x)(v) = ∀v ∈ (Tx C) ∩ S ∩ {v : gG (x)(v) ∈ −Sg(x) } 31 Khi đó, tất giả thiết Định lý 2.6 thõa mãn x cực tiểu Pareto địa phương cấp n toán 32 Kết luận Luận văn trình bày điều kiện cần tối ưu cấp cao Constantin (2009) cho toán tối ưu đơn mục tiêu trơn qua đạo hàm Fréchet cấp cao nón tiếp tuyến cấp cao điều kiện tối ưu cấp cao Đ.V Lưu (2014) cho tốn tối ưu đa mục tiêu khơng trơn có ràng buộc nón ràng buộc tập qua đạo hàm Gâteaux cấp cao nón tiếp tuyến cấp cao Nội dung luận văn gồm: - Khái niệm nón tiếp tuyến cấp cao Pavel - Ursescu; - Khái niệm đạo hàm Gâteaux cấp cao; - Các điều kiện cần tối ưu cấp cao Constantin cho toán tối ưu đơn mục tiêu trơn; - Các điều kiện cần tối ưu cấp cao cho cực tiểu yếu địa phương cực tiểu Pareto địa phương Đ.V Lưu cho tốn tối ưu đa mục tiêu khơng trơn; - Các điều kiện đủ tối ưu cấp cao cho cực tiểu Pareto địa phương chặt cấp cao Đ.V Lưu cho tốn tối ưu đa mục tiêu khơng trơn Các điều kiện tối ưu cấp cao cho nghiệm tốn tối ưu đa mục tiêu khơng trơn đề tài nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu 33 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1 ] Đỗ Văn Lưu - Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, Nhà xuất KHKT Hà Nội Tiếng Anh [2 ] E Constantin (2009), "Higher-order necessary conditions in smooth constrained optimization", Contemporary Mathematics, 479, pp 41-49 [3 ] A Auslender (1984), "Stability in mathematical programming with nondifferentiable data", SIAM Journal on Control and Optimization, 22, pp 239–254 [4 ] E Constantin (2004), "Higher-order necessary and sufficient conditions for optimalion", PanAmerican Math J, 14, pp.1-25 [5 ] I Ginchev (2011), "Higher-order conditions for strict efficiency", Optimization, 60, pp.311-328 [6 ] B Jiménez (2002), "Strict efficiency in vector optimization", J Math Anal Appl,265, pp 264-234 [7 ] A.I Kostrikin and Y.I Manin (1997), "Linear Algebra and Geometry", Logic and Applications, 1.Gordon and Breach Science, Amsterdam [8 ] D.V Luu (2008), "Higher order nesessary and sufficient conditions for 34 strict local Pareto minima in terms of Studniarski’s derivatives", Optimization, 57, pp 593-605 [9 ] D.V Luu and W Oettli (1996), "Higher order optimality conditions and its applications", Bull Austral Math Soc., 54, pp 509-516 [10 ] N.H Pavel and C Ursescu (1982), "Flow-invariant sets for autonomous second order differential equations and applications in mechanics", Nonlinear Anal., 6, pp 35-77 [11 ] D V Luu (2014), "Higher-order efficiency conditions via higher-order tangent cones", Numer Funct Anal Optim., 35, pp 68-84 [12 ] M Studniarski (1986), "Necessary and sufficient conditions for isolated local minima of nonsmooth function", SIAM J Control and Optimization, 24, pp 1044-1049 35