THÔNG TIN TÀI LIỆU
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM H THÀ LNH THC TRIN CÕA NH X CHNH HNH GIÚA CC SIU MT THÜC C SÈ CHIU KHC NHAU LUN VN THC S TON HC ThĂi Nguyản - Nôm 2015 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM H THÀ LNH THC TRIN CÕA NH X CHNH HNH GIÚA CC SIU MT THÜC C SÈ CHIU KHC NHAU Chuyản ngnh: TON GII TCH M số: 60.46.01.02 LUN VN THC S TON HC Ngữới hữợng dăn khoa hồc TS Nguyạn Th Tuyát Mai ThĂi Nguyản - Nôm 2015 Lới cam oan Em xin cam oan rơng nởi dung trẳnh by luên vôn ny l trung thỹc v khổng trịng l°p vỵi c¡c · t i kh¡c Em cơng xin cam oan r¬ng måi sü gióp ï cho vi»c thüc hiằn luên vôn ny  ữủc cÊm ỡn v cĂc thổng tin trẵch dăn luên vôn  ữủc ch ró nguỗn gốc ThĂi nguyản, thĂng nôm 2015 Ngữới viát luên vôn H Th Lắnh XĂc nhên XĂc nhên cừa trững khoa chuyản mổn cừa ngữới hữợng dăn khoa hồc TS Nguyạn Th Tuyát Mai i Mửc lửc Lới cam oan i Mưc lưc ii Mð ¦u 1 Kián thực chuân b 1.1 a tÔp phực [2] 1.2 Si¶u m°t thüc Cn [3] 1.3 Hm iÃu hỏa dữợi, a iÃu hỏa dữợi [1] 1.3.1 Hm iÃu hỏa dữợi 1.3.2 H m a i·u hỏa dữợi Mi·n giÊ lỗi, giÊ lỗi cht 1.4.1 MiÃn giÊ lỗi [14] 1.4.2 MiÃn giÊ lỗi cht [8] 1.4 1.5 10 Têp giÊi tẵch phùc [5] 11 1.5.1 11 Têp giÊi tẵch phực ii 1.5.2 Số ối chiÃu cừa têp giÊi tẵch 13 1.5.3 Têp giÊi tẵch bĐt khÊ quy 14 nh xÔ riảng [5] 16 1.6.1 nh xÔ riảng 16 1.6.2 nh cõa têp giÊi tẵch 17 1.7 H m x¡c ành ch½nh tc [5] 21 1.8 a tÔp Ôi số xÔ Ênh phực [5] 22 1.8.1 Khổng gian xÔ Ênh phực 22 1.8.2 Têp Ôi số, a tÔp Ôi số xÔ Ênh phực 23 Sè chi·u generic [4] 24 1.6 1.9 ThĂc trin cừa Ănh xÔ chnh hẳnh giỳa cĂc siảu mt thỹc cõ số chiÃu khĂc 26 2.1 2.2 Mët sè kh¡i ni»m cì b£n [16] 26 2.1.1 a tÔp Segre 26 2.1.2 Cỹc tuyán cừa mởt têp 28 2.1.3 Quÿ t½ch r³ nh¡nh 29 2.1.4 ữớng cong CR, qu Ôo CR 29 ThĂc trin cừa Ănh xÔ chnh hẳnh giỳa cĂc si¶u m°t thüc câ sè chi·u kh¡c [16] 30 2.2.1 Th¡c triºn theo Qξ 31 2.2.2 Th¡c triºn theo Qa 32 iii 2.2.3 Th¡c triºn t÷ìng ùng 2.2.4 Mët số nh lỵ thĂc trin cừa Ănh xÔ chnh hẳnh giúa c¡c si¶u m°t thüc câ sè chi·u kh¡c 38 41 Kát luên 48 Ti liằu tham khÊo 49 iv M Ưu ThĂc trin chnh hẳnh l mët nhúng b i to¡n trung t¥m cõa Gi£i tẵch phực hỳu hÔn cụng nhữ vổ hÔn chiÃu Trản thá giợi cõ nhiÃu nh toĂn hồc quan tƠm tợi vĐn à ny nhữ Shiffman, Nguyen Thanh Van, Ahmed Zeriahi, v  Ôt ữủc nhiÃu kát quÊ nghiản cựu quan trồng Cho án viằc thĂc trin Ănh xÔ chnh hẳnh ữủc trin khai theo hai hữợng: Hữợng thự nhĐt: ThĂc trin Ănh xÔ chnh hẳnh lản bao ch¿nh h¼nh, hay cán gåi l th¡c triºn ch¿nh hẳnh kiu Hartogs Hữợng thự 2: ThĂc trin Ănh xÔ qua c¡c tªp mäng (tùc l c¡c tªp câ ë o Lebesgue bơng 0) ThĂc trin kiu ny ữủc gồi l th¡c triºn ch¿nh h¼nh kiºu Riemann Mët nhúng hữợng nghiản cựu cừa thĂc trin chnh hẳnh kiu Riemann l thĂc trin cừa Ănh xÔ chnh hẳnh giỳa cĂc siảu mt ThĂc trin chnh hẳnh cừa mởt mƯm cừa Ănh xÔ giỳa cĂc siảu mt thỹc  thu hút ữủc nhiÃu sỹ ỵ cừa cĂc nh toĂn hồc nh÷ Pinchuk, R.Shafikov, A Vitushkin Poincar² [13] l ng÷íi xữợng vĐn à ny trữớng hủp siảu mt nguỗn v siảu mt ẵch cõ số chiÃu Trữớng hủp siảu mt nguỗn v siảu mt ẵch khĂc số chiÃu thẳ dữớng nhữ khõ hỡn Pinchuk [12] l ngữới ữa kát quÊ Ưu tiản cho trữớng hủp ny v  chựng minh rơng "Mởt mƯm cừa Ănh xÔ chnh hẳnh tứ siảu Cn án hẳnh cƯu S 2N −1 th¡c triºn m°t gi£i t½ch thüc gi£ lỗi cht M chnh hẳnh dồc theo ữớng trản M " GƯn Ơy, Diederich v Sukhov [7]  chựng minh rơng "Mởt mƯm cừa Ănh xÔ chnh hẳnh tứ siảu mt giÊi tẵch thỹc giÊ lỗi yáu M Cn án hẳnh cƯu S 2N thĂc trin chnh hẳnh dồc theo ữớng trản M " Rasul Shafikov v Kaushal Verma [16]  tờng quĂt hai kát quÊ trản v ữa nh lỵ "Cho M l siảu mt cỹc tiu giÊi tẵch thỹc liản thổng Cn, M l siảu mt Ôi số thỹc giÊ lỗi cht compact CN , < n N Gi£ sû f l mởt mƯm cừa Ănh xÔ chnh hẳnh tÔi p ∈ M v f (M ) ⊂ M Khi õ f thĂc trin nhữ mởt Ănh xÔ chnh hẳnh tứ M án M theo bĐt ký ữớng cong CR trản M " Hỡn nỳa, trữớng hủp dimM = dimM , nh lỵ trản tờng qu¡t c¡c k¸t qu£ cõa S Pinchuk [19], õ siảu mt M ữủc giÊ sỷ l hỳu hÔn, iÃu kiằn ny mÔnh hỡn iÃu kiằn M cỹc tiu Mửc ẵch cừa luên vôn l nghiản cựu và thĂc trin chnh hẳnh cừa mởt mƯm cừa Ănh xÔ chnh hẳnh tứ siảu mt giÊi tẵch thỹc lản cĂc siảu mt Ôi số thỹc cõ số chiÃu lợn hỡn Nởi dung cừa luên vôn ữủc trẳnh by hai chữỡng Chữỡng trẳnh by nhỳng kián thực cỡ s và a tÔp phực, têp giÊi tẵch phực v cĂc tẵnh chĐt ỡn giÊn cừa têp giÊi tẵch phực, khổng gian xÔ Ênh phực, a tÔp Ôi số xÔ Ênh phực Chữỡng trẳnh by lÔi mởt cĂch chi tiát ró rng và thĂc trin cừa Ănh xÔ chnh hẳnh giỳa cĂc siảu mt thỹc c biằt siảu mt ẵch l siảu mt Ôi số cõ số chiÃu lợn hỡn hon thnh ữủc luên vôn, em luổn nhên ữủc sỹ hữợng dăn v giúp ù nhiằt tẳnh cừa TS Nguyạn Th Tuyát Mai ( Ôi hồc Sữ PhÔm ThĂi Nguyản) Em xin chƠn thnh by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc án cổ v xin gỷi lới tri Ơn nhĐt cừa em ối vợi nhỳng iÃu cổ  dnh cho em Em xin chƠn thnh cÊm ỡn ban lÂnh Ôo sau Ôi hồc, quỵ thƯy cổ giÊng dÔy lợp Cao hồc K21B (2013- 2015) Trữớng Ôi hồc Sữ PhÔm - Ôi hồc ThĂi Nguyản  tên tẳnh truyÃn Ôt nhỳng kián thực quỵ bĂu cụng nhữ tÔo iÃu kiằn cho em ho n th nh khâa håc Em xin gûi líi cÊm ỡn chƠn thnh nhĐt tợi gia ẳnh, bÔn b, nhỳng ngữới  luổn ởng viản, hộ trủ v tÔo måi i·u ki»n cho em suèt qu¡ tr¼nh håc têp v thỹc hiằn luên vôn Mc dũ  cố gưng rĐt nhiÃu luên vôn ny khổng th trĂnh khọi nhỳng thiáu sõt Em rĐt mong cõ ữủc nhỳng ỵ kián õng gõp cừa cĂc thƯy cổ v cĂc bÔn Chữỡng Kián thực chuân b 1.1 a tÔp phực [2] Cho M l khổng gian tổpổ Hausdorff nh nghắa 1.1.1 Cp (V, ) ữủc gồi l mởt bÊn ỗ a phữỡng cừa M, õ V l mët tªp mð M v ϕ : V cĂc iÃu kiằn sau ữủc thọa mÂn : Cn l mởt Ănh xÔ, náu i) (V ) l têp mð Cn, ii) ϕ : V → ϕ(V ) l mởt ỗng phổi nh nghắa 1.1.2 Hồ A = {(Vi, i)}iI cừa M ữủc gồi l mởt têp bÊn ỗ giÊi tẵch (atlas) cừa M náu cĂc iÃu kiằn sau ữủc thọa mÂn i) {Vi}iI l mởt phừ m cõa M , ii) Vỵi måi m Vi ∩ Vj 6= , Ănh xÔ j (Vi Vj ) l Ănh xÔ chnh hẳnh Vi , Vj j i −1 : ϕi (Vi ∩ Vj ) → X²t hå cĂc atlas trản M Hai atlas gồi l tữỡng ữỡng náu hủp cừa chúng cụng l mởt atlas trản M Dạ thĐy sỹ tữỡng ữỡng giỳa cĂc atlas (w0 , w00 ) ∈ A∗ Chån q k ∈ π −1 (Qw0 ∩ Ua ), k = 1, 2, , l cho Sl k=1 Ωq k cõ giao khĂc rộng vợi mồi thnh phƯn bĐt khÊ quy cõa π −1 (Qw ∩ Ua ) Cè ành mët sè q k , k ∈ 1, 2, , l v °t η = w, η = w0 Hìn núa, °t G = Ωqk × {|(η, η ) − (η0 , η 00 )| < δ} l lƠn cên nhọ cừa (q k , w0 , w00 ) n N Cnz × CN ζ × Cη × Cη Ta ành ngh¾a X1 = {(z, ζ , η, η ) ∈ G : P (ζ , η ) = 0} , X2 = (z, ζ , η, η ) ∈ G : ΦkI (z, ζ , η) = 0, |I| ≤ lqk , (2.24) (2.25) â ΦkI (z, ζ , η) l cĂc hm chnh hẳnh nhữ nh nghắa (2.21) Khi â X1 , X2 ·u l gi£i t½ch phùc G Vẳ vêy têp cĂc im (w, w0 ) cho π −1 (Qw ∩ Ua ) ∩ Ωqk ⊂ 01 (Q0w0 ) (2.26) văn úng l liản hủp vợi têp X khổng gian (, ), X cõ tẵnh chĐt c trững (, ) ∈ X ∗ vỵi méi π2 −1 (η, η ) ⊂ π1 −1 (η, η ), â πj l ph²p chi¸u tåa ë tø Xj lản (, ) -khổng gian Têp X cõ th cụng ữủc nh nghắa nhữ sau X ∗ = (η, η ) : dimπ2 −1 (η, η ) = dimπ12 −1 (η, η ) , (2.27) −1 â π12 : X1 ∩ X2 → Cn+N (η,η ) Hìn núa, dimπ2 (η, η ) = m − vỵi måi ˜ õ (, ), v vẳ vêy dim12 −1 (η, η ) ≤ m − Nh÷ vªy, X ∗ = π12 (X) ˜ = (z, ζ , η, η ) ∈ X1 ∩ X2 : diml(z,ζ ,η,η0 ) π12 > m − X (2.28) l têp giÊi tẵch phực cừa G Kỵ hiằu Theo nh lỵ Cartan-Remmer X lản khổng gian cĂc bián l php chi¸u tø X (z1 , z2 , , zn−1 , ζ1 , , ζkm−n , η, η ) 36 Theo cĂch xƠy dỹng cĂc hm (2.21) thẳ l Ănh xÔ riảng Do õ, l giÊi tẵch phực theo nh lỵ Ănh xÔ riảng Remmert, ˜ (X) ˜ → (η, η ) Tø c¡ch xƠy dỹng Cuối cũng, xt php chiáu (,0 ) : π ˜ (X) ˜ , th¼ dim π −1 (η, η ) = m − 1, vỵi (η, ) X Những têp ˜ (X) (η,η ) −1 dimπ(η,η ) (π(η,η ) (x)) = m Nhữ vêy, ta cõ th ỗng nhĐt X vợi vợi x ∈ π ˜ (X) ˜ ∩ {(z1 , z2 , , zn−1 , ζ1 , , ζk ) = const} (X) mn iÃu ny chựng minh rơng têp X ∗ l gi£i t½ch phùc Ta câ thº gi£ sỷ rơng têp nh nghắa (2.26) cụng l giÊi tẵch phực Náu mởt têp m cừa thnh phƯn bĐt kh£ quy Swj ÷đc chùa π 0−1 (Q0w0 ) vợi mởt số w0 , õ theo nh lỵ nhĐt ton bở thnh phƯn S Swj phÊi ữủc chựa 01 (Q0w0 ) Vẳ vêy, vẳ lk=1 Ωqk câ giao kh¡c réng vỵi måi Swj , h» cĂc phữỡng trẳnh xĂc nh (2.26) vợi k = 1, 2, , l x¡c ành ho n to n bao h m (2.15) v â nâ x¡c ành A∗ nh÷ mởt têp giÊi tẵch phực gƯn vợi (w0 , w00 ) Ta  cõ A l têp giÊi tẵch phực a phữỡng (tực l têp xĂc nh bi hằ cĂc phữỡng trẳnh giÊi tẵch lƠn cên cừa im thuởc nõ bĐt kẳ) chựng minh A l têp giÊi tẵch phực cừa U ì PN ta ch rơng A l têp õng U ì Pn Gi£ sû (wj , w0j ) → (w0 , w0 ) j , vợi dÂy (wj , w0j ) ∈ A∗ , v gi£ sû rơng (w0 , w0 ) Ua ì PN Vẳ (wj , w0j ) A nản −1 (Qwj ∩ Ua ) ⊂ π 0−1 (Q0w0j ) V¼ Qwj → Qw0 , Q0w0j → Q0w00 , theo t½nh gi£i t½ch ta cơng câ π −1 (Qw0 ∩ Ua ) ⊂ π 0−1 (Q0w00 ) v â (w0 , w00 ) A Vẳ vêy, A l tªp âng 37 Bê · 2.2.3 Tªp A∗ chùa mƯm cừa ỗ th cừa f tÔi (, f ()) Hìn núa, A∗ ∩ ((Uξ ∩ U ∩ U ∗ ) × PN ) ⊂ A Chùng minh Gi£ sû z ∈ (Uξ ∩ U ∩ U ∗) Ta cƯn ch rơng (Qz Ua ) ⊂ π 0−1 (Q0f (z) ) (2.29) L§y w ∈ Qz ∩ Ua l mët iºm b§t ký v l§y (w, w0 ) ∈ A V¼ (w, w0 ) ∈ A n¶n ta câ f (Qw ∩Uξ ) ⊂ Q0w0 c biằt, vẳ z Qw U nản ta câ f (z) ∈ Q0w0 Theo (2.3) ta câ w0 ∈ Q0f (z) Hay nâi c¡ch kh¡c th¼ (w, w0 ) {w} ì Q0f (z) Vẳ w0 l im bĐt ký A trản w, â π −1 (w) ⊂ π 0−1 (Q0f (z) ) Dăn án hằ quÊ (2.29) v (z, f (z)) A∗ V¼ π −1 (w) ⊂ π 0−1 (Q0f (z) ), ta thĐy rơng vợi (w, w0 ) A õ w ừ gƯn , vẳ Qw ∩ U l li¶n thỉng ta câ π −1 (Qw ∩ Ua ) ⊂ π 0−1 (Q0w0 ) t÷ìng ÷ìng vỵi π −1 (Qw ∩ Uξ ) ⊂ π 0−1 (Q0w0 ) Theo mưc 2.2.1 ta câ tªp A chùa mƯm cừa ỗ th cừa f gƯn , vẳ vªy Γf ⊂ A∗ , k²o theo f (Qw ∩ Uξ ) ⊂ Q0w0 , ngh¾a l (w, w0 ) ∈ A Theo bê · 2.2.3 ta th§y A∗ chùa mƯm cừa ỗ th cừa f õ A 6= Chú ỵ rơng, vẳ PN l compact, php chiáu : A U l Ănh xÔ riảng, vẳ vêy (A ) = U Ta ành ngh¾a π 0∗ : A∗ → PN 2.2.3 ThĂc trin tữỡng ựng Cho l lƠn cên nhọ liản thổng cừa ữớng Qa M nối v b, cho vợi bĐt ký w ∈ Ω iºm èi xùng ws ∈ U ∗ , v kỵ hiằu Qsw 38 l cĂc thnh phƯn li¶n thỉng cõa Qw ∩ U ∗ chùa ws Hỡn nỳa, kỵ hiằu S = {z U ∗ : π ∗ −1 (z) ⊂ A∗ } khæng cõ số chiÃu generic Lêp luên nhữ phƯn m Ưu cừa mửc 2.2.2 ta thĐy rơng S l têp giÊi tẵch phực cõ số chiÃu tÔi hƯu hát n 2, v vẳ vêy \S l liản thổng Bê · sau l mët nhúng cỉng cư º chựng minh cĂc nh lỵ thĂc trin phƯn sau Bờ à 2.2.4 Vợi bĐt ký w \S , ta câ −1 π ∗ −1 (Qsw ) ⊂ π 0∗ (Q0w0 ), ∀w0 ∈ π 0∗ ◦ π ∗ (w) Chựng minh Kỵ hiằu Z (2.30) = {w ∈ Ω\S ∗ : π ∗ −1 (Qsw ) ⊂ π 0∗ −1 (Q0w0 ), ∀w0 ∈ π 0∗ ◦ π ∗ −1 (w) Ta ch¿ r¬ng Z = Ω\S ∗ º chùng minh ta thu hµp Uξ cho Uξ ⊂ Ω L§y w ∈ Uξ \S v (w, w0 ) A Chú ỵ rơng z s = z vợi bĐt ký z M ,v vẳ vêy, vợi w ừ gƯn , têp Qw U trũng vợi Qsw U L§y z ∈ Qw ∩ Uξ b§t ký Khi â (z, z ) ∈ A∗ tùc l π −1 (Qz ∩ Ua ) ⊂ π 0−1 (Q0z ) Vẳ z v w ừ gƯn , nản Qz l li¶n thỉng U , â, π −1 (Qz ∩ Uξ ) ⊂ π 0−1 (Q0z ) Ngh¾a l π −1 (w) ⊂ π 0−1 (Q0z ) Nhữ vêy, vợi bĐt ký w0 ◦ π −1 (w) th¼ w0 ∈ Q0z ho°c z ∈ Q0w0 Theo bê · 2.2.3, A∗ ữủc chựa A gƯn , õ vợi b§t ký w0 ∈ π ∗ ◦ π ∗ −1 (w) th¼ z ∈ Q0w0 Tø (2.30) ta cõ Z chựa mởt lƠn cên nhọ cừa t Z o Z l têp m liản thổng lợn nhĐt chựa v ữủc chựa Z Theo chựng minh trản ta thĐy Z o 6= Ta ch rơng náu w (Z o \Z o ) ∩ (Ω\S ∗ ) th¼ w ∈ Z o L§y (w, w0 ) ∈ A∗ V¼ dimS ∗ < dimQsw = n − 1, ta câ thº l§y iºm α ∈ (Qsw \S ∗ ), v lp lÔi lêp luên bờ à 2.2.2 ta cõ th xƠy 39 dỹng mởt têp giÊi tẵch phực n o N ∗ −1 s ∗0−1 Aw = (x, x ) ∈ Uw × P : π (Qx ∩ Uα ) ⊂ π (Qx0 ) , (2.31) õ Uw v U l cĂc lƠn cên ữủc chồn thẵch hủp cừa w v tữỡng ựng Vợi måi x ∈ Uw ∩ Z o v måi x0 cho (x, x0 ) ∈ A∗ , â π ∗ −1 (Qsx ∩ Uα ) ⊂ π ∗0−1 (Q0x0 ) Tø â ta câ A∗ ∩ ((Z o ∩ Uw ) × PN ) ⊂ Aw , (2.32) c biằt, Aw 6= Theo nh lỵ nhĐt, cho thĐy A (Uw ì PN ) Aw , v vẳ vêy php chiáu tứ Aw lản thnh phƯn thự nhĐt l ton Ănh Nhữ vêy, vợi x Uw bĐt ký, têp Qx Ua s ữủc Ănh xÔ bi A vo a tÔp Segre cừa im x, vỵi méi (x, x0 ) ∈ A∗ Do â Uw ⊂ Z V¼ Ω\S ∗ l liản thổng, nản Z = \S BƠy giớ ta ch xt thnh phƯn bĐt khÊ quy cừa A cõ số chiÃu nhọ nhĐt v chựa mƯm cừa ỗ th cừa f tÔi Ta kỵ hiằu cĂc thnh phƯn ny văn l A Chú ỵ rơng bờ à 2.2.4 văn úng vợi A mợi Bờ à sau cho ta sè chi·u cõa A∗ Bê · 2.2.5 dimA∗ = n Chùng minh V¼ π∗ : A∗ U l ton Ănh, vợi bĐt ký z ∈ M ∩ U ∗ tªp π ∗ −1 (z) 6= Ta ch rơng vợi im z0 P \S ∗ , tªp π ∗ −1 (z0 ) l rới rÔc gƯn (z0 , f (z0 )) A∗ Thªt vªy, theo bê · 2.2.4, (z, z )) ∈ A∗ \π ∗ −1 (S ∗ ) suy π ∗ −1 (Qsz ) ⊂ π 0∗ −1 (Q0z ) Tùc l π 0∗ (π ∗ (z)) Q0z , vẳ thá ta cõ z ∈ Q0z Khi â tø (2.4) cho thĐy vợi bĐt ký z M gƯn vợi z0 , v bĐt ký z dƯn án f (z0 ), tø (z, z ) ∈ A∗ suy z ∈ M V¼ π 0∗ ( (z)) l 40 hủp ám ữủc a phữỡng cừa cĂc têp giÊi tẵch phực, v M khổng chựa cĂc mƯm khổng tƯm thữớng cừa a tÔp giÊi tẵch phực ( theo [4] ), nản (z) l rới rÔc gƯn (z0 , f (z0 )) Nghắa l dimA = n gƯn vợi (z0 , f (z0 )) Vẳ dimA l hơng số nản dimA = n 2.2.4 Mởt số nh lỵ thĂc trin cừa Ănh xÔ chnh hẳnh giỳa cĂc siảu mt thỹc cõ số chiÃu khĂc nh lỵ 2.2.6 Cho M (tữỡng ùng M 0) l si¶u m°t trìn Cn(CN ), < n ≤ N, â M l gi£i tẵch thỹc v cỹc tiu, M l Ôi số thüc, compact Gi£ sû P ⊂ M l mët tªp mð li¶n thỉng, v f : P → M l Ănh xÔ CR giÊi tẵch thỹc Cho b P, v P M l a tÔp generic trỡn Khi õ tỗn tÔi mởt lƠn cên Ub ⊂ Cn cõa b cho f th¡c triºn ¸n mởt tữỡng ựng chnh hẳnh F : Ub CN vỵi F (Ub ∩ M ) ⊂ M Chùng minh Ta câ thº h¼nh dung c¡ch chùng minh ành lỵ nhữ sau ThĂc trin cừa f án im b ữủc chựng minh hai bữợc Thự nhĐt, ta ch rơng têp A = (w, w0 ) U × CN : f (Qw ∩ Uξ ) ⊂ Q0w0 l giÊi tẵch phực cõ tẵnh chĐt l A chựa f , ỗ th cừa f , v php chi¸u π : A → U l to n ¡nh Hìn nỳa, A cõ th thĂc trin lản mởt têp giÊi tẵch cừa U ì PN , v ta kẵ hi»u π : A → PN l ph²p chi¸u lản tồa ở khĂc Thự hai, ta chồn lƠn cên th½ch hđp Ua v U ∗ cõa a v Qa tữỡng ựng, xt têp A = (w, w0 ) ∈ U ∗ × PN : π −1 (Qw ∩ Qa ) ⊂ π 0−1 (Q0w0 ) 41 Khi õ ta ch rơng A cụng chựa ỗ th cõa f , v ph²p chi¸u cõa nâ π ∗ lản thnh phƯn thự nhĐt cụng l ton Ănh c biằt, (A ) chựa lƠn cên cừa b Ta cõ: bờ à 2.2.1 cho thĐy A l têp giÊi tẵch phực v chựa ỗ th cừa f , v mưc 2.2.2 cho th§y π : A → U l to n ¡nh Theo bê · 2.2.2 ta câ A l têp giÊi tẵch phực, bờ à 2.2.3 cho thĐy A chựa ỗ th cừa f v : A U l ton Ănh Nhữ vêy, nhữ ta  ch ta thĐy f thĂc trin a phữỡng nhữ mởt sỹ tữỡng ựng chnh hẳnh lản lƠn cên cừa b kát thúc chựng minh nh lỵ ta xt hai trữớng hủp Thự nhĐt, giÊ sỷ b ∈ / S ∗ V¼ M l compact, têp cửm cừa f | (b) ữủc xĂc nh LĐy b0 l mởt im têp cửm cừa b Khi õ tỗn tÔi lƠn cên Ub cừa b v Ub0 cõa b0 cho A∗ ∩Ub × Ub00 l sỹ tữỡng ựng chnh hẳnh.Theo cĂch xƠy dỹng, (b, b0 ) ∈ A∗ , tø chùng minh bê · 2.2.5 ta cõ (b) l rới rÔc gƯn (b, b0 ) Vẳ vêy cõ th chồn Ub v Ub00 cho A∗ ∩ (Ub × ∂Ub00 ) = ∅ Khi â π ∗ |A∗ ∩(Ub ×U 0 ) l Ănh xÔ riảng, vẳ vêy b F := π |A∗ ∩(Ub ×U 0 ) ◦ π b ∗ −1 Ub (2.33) l th¡c triºn cõa f nhữ mởt sỹ tữỡng ựng chnh hẳnh P Thự hai, gi£ sû b ∈ S ∗ X²t d¢y c¡c iºm wj ∈ ( ∩Ω)\S ∗ cho wj → b v limf (wj ) = b0 vỵi b0 ∈ M Khi â π ∗ −1 (Qswj ) ⊂ π ∗ −1 (Q0f (wj ) ) K²o theo π ∗ −1 (Qsb ) ⊂ Q0b0 42 (2.34) Thêt vƠy, chựng minh (2.34) ta i chựng minh (2.34) úng lƠn cên cừa mởt im bĐt ký im Qsb Vẳ dim S < dim Qb , ta câ thº chån iºm b¶n ngoi S Theo tẵnh giÊi tẵch cừa thợ cõa π ∗ : A∗ → U ∗ ta câ (2.34) Theo chùng minh bê · 2.2.5, tø (2.34) ta cõ (b) l rới rÔc gƯn (b, b0 ), v vợi lêp luên nhữ trản cho thĐy f thĂc trin lản mởt lƠn cên cừa b nhữ mởt sỹ tữỡng ựng chnh hẳnh Cuối cũng, náu F l th¡c triºn cõa f nh÷ mët ph²p t÷ìng ựng, thẳ F (M ) M Náu z ∈ M, z ∈ F (z), â F (Qz ) ⊂ Q0z theo (2.30) v (2.34), k²o theo z ∈ Q0z v theo (2.4) ta câ z ∈ M i·u n y hon ton chựng minh nh lỵ 2.2.6 nh lỵ sau cho ta thĂc trin cừa Ănh xÔ chnh hẳnh f tứ siảu mt giÊi tẵch lản siảu mt Ôi số cõ số chiÃu lợn hỡn nh lỵ 2.2.7 Cho M l siảu mt cỹc tiu, giÊi tẵch thỹc, trỡn, liản thổng Cn, M l siảu mt Ôi số thỹc compact, giÊ lỗi cht CN GiÊ sỷ f l mởt mƯm cừa Ănh xÔ chnh hẳnh tÔi p ∈ M v f (M ) ⊂ M Khi õ f thĂc trin nhữ mởt Ănh xÔ chnh hẳnh tứ M án M theo ữớng cong-CR bĐt kẳ trản M Chựng minh Ưu tiản ch rơng Ănh xÔ f cõ th thĂc trin chnh hẳnh theo bĐt ký ữớng cong CR trỡn trản M, tực l vec tỡ tiáp xúc vợi tÔi im bĐt kẳ ữủc chựa khổng gian tiáp xúc phực vợi M Trong phƯn ny, ta sỷ dửng cĂch xƠy dỹng hồ cĂc ellipsoid ữủc thỹc 43 hiằn [10] LĐy q l im Ưu tiản trản m f khổng thĂc trin chnh hẳnh GƯn q tỗn tÔi mởt trữớng vectỡ CR trỡn L cho ữủc chựa mởt ữớng cong tẵch phƠn cừa L Theo cĂch lĐy tẵch phƠn L ta cõ ữủc mët h» tåa ë trìn (t, s) ∈ R × R2n2 trản M cho vợi bĐt ký s0 cố nh cĂc oÔn (t, s0 ) ữủc chựa qu Ôo cừa L Hỡn nỳa, cõ th chồn im p ừ gƯn q , nản f l chnh hẳnh gƯn p Theo php tnh tián, giÊ sỷ p = (0, 0) Vỵi ε > x¡c ành hå ellipsoid tr¶n M bði n o 2 Eτ = (t, s) : |t| /τ + |s| < ε , (2.35) â ε > nhä ¸n néi m vợi > ellipsoid E0 l compact ữủc chựa c¡c ph¦n cõa M â f l ch¿nh hẳnh Khi õ E l generic tÔi mồi im trứ tªp n o Λ = (0, s) : |s| = ε L§y τ1 > cho q ∈ ∂Eτ1 º chùng minh f th¡c triºn ch¿nh hẳnh lản lƠn cên cừa q ta chựng minh bơng ph£n chùng Gi£ sû τ ∗ l sè d÷ìng nhä nhĐt cho f khổng thĂc trin chnh hẳnh lản mởt số im trản E v giÊ sỷ rơng < Theo cĂch xƠy dỹng thẳ τ ∗ > τ0 Cơng theo c¡ch x¥y düng, gƯn vợi b E bĐt ký m f khổng thĂc trin chnh hẳnh, têp E l a tÔp generic trỡn cừa M, vẳ têp cĂc im khỉng generic cõa ∂Eτ ∗ ÷đc chùa Λ õ f  ữủc biát l chnh hẳnh Theo nh lỵ 2.2.6 Ănh xÔ f thĂc trin nhữ mởt tữỡng ựng F lản lƠn cên cừa b Ta cƯn ch r¬ng F l ìn trà Gi£ sû w0 ∈ F (w) vỵi w ∈ M , â theo tẵnh bĐt bián cừa a tÔp 44 Segre ta cõ F (Qw ) ⊂ Q0w0 , v w0 ∈ Q0w0 Vẳ M l giÊ lỗi cht, lƠn cên ừ nhọ cừa w0 M ch tỗn tÔi mởt im trản M m a tÔp Segre cừa nõ chựa w0 , l chẵnh Q0w0 Nhữ vêy php tữỡng ựng F ch lản mởt số Ănh xÔ chnh hẳnh, theo tẵnh giÊi tẵch mởt số õ thĂc trin Ănh xÔ f Nhữ vêy ∗ khỉng thº nhä hìn τ1 , chùng tä r¬ng Ănh xÔ f thĂc trin chnh hẳnh lản q , v vẳ vêy nõ thĂc trin theo bĐt ký ữớng cong CR trản M Cuối cũng,ta thĐy rơng tẵnh cỹc tiu cừa M dăn án qu Ôo CR cừa im bĐt ký trản M trũng vợi M Vẳ vêy, sỷ dửng thĂc trin giÊi tẵch theo ữớng cong CR ta cõ thĂc trin cừa f lản mởt lƠn cên cừa bĐt ký im no trản M Chú þ r¬ng i·u ki»n cõa ành lþ 2.2.7 cho thĐy M l giÊ lỗi, nhiản, nh lỵ 2.2.6 c£ M v M ·u khæng l gi£ lỗi Sỹ thĂc trin cho bi nh lỵ 2.2.6 ữủc bÊo Êm l ỡn tr náu M thọa mÂn tẵnh chĐt l Q0z M = {z } gƯn vợi z M c biằt, iÃu ny văn úng náu M l giÊ lỗi cht nh lỵ sau cho ta thĐy rơng thĂc trin giÊi tẵch cỏn ữủc sỷ dửng chựng minh bao chẵnh quy cừa Ănh xÔ chnh hẳnh nh lỵ 2.2.8 Cho D, D0 l cĂc miÃn vợi biản trìn Cn, CN t÷ìng ùng, < n ≤ N , D l giÊi tẵch thỹc, D0 l Ôi sè thüc, v f : D → D0 l ¡nh xÔ riảng chnh hẳnh GiÊ sỷ tỗn tÔi im p D v lƠn cên U cừa p cho f th¡c triºn trìn l¶n ∂D ∩ U Khi õ Ănh xÔ f thĂc trin liản tửc lản D, v thĂc trin ny l chnh hẳnh trản têp m trũ mêt cừa D Náu D0 l giÊ lỗi cht thẳ õ f thĂc trin chnh hẳnh lản mởt lƠn cên cừa D 45 Chựng minh Theo [6], [11] ta thĐy rơng thĂc trin trỡn cừa f dăn án thĂc trin chnh hẳnh lản lƠn cên cừa p LĐy M l mởt têp m õ th¡c triºn cõa f l ch¿nh h¼nh, v gi£ sû b ∈ ∂ω l mët iºm m g¦n b ∂ω l a tÔp generic trỡn Khi õ theo nh lỵ 2.2.6 Ănh xÔ f cõ mởt thĂc trin nhữ mởt tữỡng ựng chnh hẳnh F : Ub CN , õ Ub l lƠn cên cừa b Nghắa l f thĂc trin liản tửc lản Ub D Thêt vêy, náu q Ub D, thẳ têp cửm cừa q ối vợi f phÊi ữủc chựa F (q) hỳu hÔn Vẳ têp cửm l liản thổng nản phÊi dƯn án mởt im, iÃu ny cho thĐy f liản tửc tÔi q Hỡn nỳa, theo tẵnh chĐt ch cừa php tữỡng ựng, tỗn tÔi mởt têp giÊi tẵch phực S Ub cho gƯn vợi q Ub \S bĐt ký, F cõ th ữủc biu diạn bi têp hủp hỳu hÔn cừa cĂc Ănh xÔ chnh hẳnh Tứ nh lỵ nhĐt, ta thĐy rơng vợi q D\S mởt cĂc Ănh xÔ ch phÊi trũng vợi Ănh xÔ f xĂc nh trản D i·u n y chùng minh th¡c triºn ch¿nh h¼nh cõa f lản têp m trũ mêt cừa D Ub t P l têp lợn nhĐt cừa D nh nghắa bi tẵnh chĐt: náu a P , thẳ cõ lƠn cên Ua cừa a Cn cho f th¡c triºn li¶n tưc l¶n ∂D ∩ Ua v chnh hẳnh trản mởt têp m trũ mªt cõa ∂D ∩ Ua Khi â, theo P nh nghắa l m tữỡng ối D v khĂc rộng theo giÊ thiát Ta P ch rơng khổng chựa bĐt ký im biản no P P P GiÊ sỷ ngữủc lÔi l q = \ °t γ l mët ÷íng cong CR i P P qua q v v o Do t½nh cüc tiºu cõa M nản tỗn tÔi LĐy p dƯn án q Lp lÔi cĂch xƠy dỹng cõa hå cõa c¡c ellipsoid ¢ sû dưng chùng minh nh lỵ 2.2.7 t E l têp ữủc nh nghắa (2.35) v P tƠm tÔi p Khi õ vợi > 0, E0 tiáp xúc vợi tÔi mët sè iºm, gi£ sû 46 l b (câ thº khĂc vợi q ) Ta cƯn ch b P Thêt vêy, theo chựng minh nh lỵ 2.2.6, v¼ b ∈ ∂Eτ0 l mët iºm generic, â tỗn tÔi mởt têp m trũ mêt Qb cho vỵi a ∈ ω, Qa ∩ Eτ0 chùa mởt ữớng cong vợi im kát thúc tÔi b Cố ành a ∈ ω , v gi£ sû Qa ∩ Eτ0 6⊂ S, (2.36) ÷ â S l quÿ tẵch r nhĂnh cừa php tữỡng ựng F thĂc trin f Khi â câ thº chån iºm ζ ∈ (Qa ∩ Eτ0 )\S v mët nh¡nh cõa F câ thĂc trin chnh hẳnh cừa f gƯn Lp lÔi chựng minh nh lỵ 2.2.6 ch rơng f thĂc trin nhữ mởt php tữỡng ựng lản lƠn cên cừa b Náu Qa E0 S , câ thº chån iºm a ∈ ω kh¡c thäa m¢n (2.36) i·u n y chùng minh r¬ng P f th¡c triºn nhữ mởt php tữỡng ựng lản lƠn cên cừa b, v â b ∈ P P i·u n y mƠu thuăn vợi giÊ thiát rơng cõ biản khĂc rộng Vẳ vêy, khổng chựa im biản Cuối cũng, theo nh lỵ 2.2.7 ta cõ f thĂc trin chnh hẳnh lản lƠn cên cừa D náu D0 l giÊ lỗi cht 47
Ngày đăng: 11/10/2023, 19:21
Xem thêm: