Phương pháp chiếu và phương pháp cực đối cực

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI THỊ HUỆ PHƯƠNG PHÁP CHIẾU VÀ PHƯƠNG PHÁP CỰC-ĐỐI CỰC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2018 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI THỊ HUỆ PHƯƠNG PHÁP CHIẾU VÀ PHƯƠNG PHÁP CỰC-ĐỐI CỰC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN VIỆT HẢI Thái Nguyên - 2018 i Danh mục hình 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 10 11 15 16 17 18 21 22 25 28 Dựng đường đối cực ED, GH, BC đồng quy N, A, N thẳng hàng Quỹ tích N = A0 B ∩ AB Điểm H cố định IM ⊥BC (AHCD) = −1 A liên hợp với B qua (O, R) Dựng đường đối cực điểm M đường tròn (O, R) 2.10 Điểm Gergone đường thẳng Gergone d = DHF d 2.11 BHE 30 31 32 33 34 35 36 37 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 Phép chiếu từ mặt phẳng lên mặt phẳng AS, BT, CR đồng quy P Hình minh họa Mệnh đề 1.8 Phép chiếu song song Phép chiếu M → M Hệ 1.2,P R0 : Π → Π0 6= Π, C 7→ C , l 7→ δ Hệ 1.3,P R0 : Π → Π0 6= Π, C 7→ C l 7→ δ , Minh họa Định lý Desargues P R0 : Π → Π0 6= Π, C 7→ C , I = AC ∩ BD 7→ I Hình thoi ngoại tiếp Hai toán tương tự Cắt nhau; tiếp xúc; đồng tâm 38 40 44 ii 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.18 2.19 2.20 2.21 2.22 2.23 E trực tâm ∆F OS Bốn đường thẳng đồng quy M M1 , N N1 , P P1 đồng quy song song Đường tròn sở (O) Điểm C thuộc đường đối cực A Dựng hình nhờ cực-đối cưc Trường hợp Trường hợp D thuộc tiêp tuyến chung (O1 ), (O2 ) CD qua điểm cố định M N ⊥OH d góc nhọn RIS 45 46 47 49 50 52 53 54 55 56 57 58 iii Mục lục Lời cảm ơn v Mở đầu 1 Phương pháp chiếu ứng dụng 1.1 Phép chiếu từ đường thẳng lên đường thẳng 1.1.1 Phép chiếu xuyên tâm tỷ số đơn 1.1.2 Tỷ số kép, hàng điểm điều hòa 1.2 Phép chiếu từ mặt phẳng lên mặt phẳng 1.2.1 Các tính chất phép chiếu P RO 1.2.2 Phép chiếu song song từ mặt phẳng lên mặt phẳng 1.3 Biến đổi chiếu đường thẳng, đường tròn mặt phẳng 1.4 Phép chiếu không gian 1.5 Ứng dụng phép chiếu giải toán 1.5.1 Phương pháp chiếu với đường thẳng kỳ dị 1.5.2 Phương pháp chiếu toán chứng minh 1.5.3 Phương pháp chiếu tốn dựng hình 13 14 17 17 20 24 Phương pháp cực-đối cực 2.1 Cực-đối cực cặp đường thẳng 2.1.1 Định nghĩa tính chất 2.1.2 Các ứng dụng 2.2 Cực-đối cực đường tròn 2.2.1 Định nghĩa tính chất 29 29 29 31 35 36 4 11 iv 2.3 2.2.2 Đường tròn sở đường 2.2.3 Đường tròn sở đường 2.2.4 Tạo đường tròn sở Một số toán nâng cao Tài liệu tham khảo tròn nội tiếp tròn ngoại tiêp 39 44 47 52 62 v Lời cảm ơn Để hoàn thành luận văn thạc sĩ cách hoàn chỉnh, bên cạnh nỗ lực cố gắng thân cịn có hướng dẫn giúp đỡ nhiệt tình quý thầy cô, ủng hộ động viên gia đình, nhà trường bạn bè trình học tập nghiên cứu luận văn Tơi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy PGS.TS Nguyễn Việt Hải, Giảng viên cao cấp Trường Đại học Hải Phịng, người hướng dẫn, nhiệt tình giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho tơi hồn thành luận văn Xin gửi lời tri ân điều thầy dành cho Tôi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo phịng Đào tạo, q thầy giảng dạy lớp Cao học K10B (2016 - 2018) Trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện cho tơi hồn thành khóa học Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, ban giám hiệu đồng chí tổ Tốn trường THPT Lý Thường Kiệt, Thủy Nguyên, Hải Phòng, người động viên, hỗ trợ tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập thực luận văn Xin trân trọng cảm ơn! Hải Phòng, tháng năm 2018 Người viết luận văn Bùi Thị Huệ Mở đầu Mục đích đề tài luận văn Tỷ số kép, hàng điểm điều hòa bất biến quan trọng hình học Những ứng dụng phép chiếu, khái niệm cực-đối cực phong phú hình học xạ ảnh hình học Euclid sách giáo khoa hình học chưa có điều kiện khai thác vận dụng nhiều Với ý định muốn phát triển khái niệm thành phương pháp ứng dụng có hiệu giải tốn hình học phẳng, tơi đặt vấn đề tìm hiểu đề tài "Phương pháp chiếu phương pháp cực-đối cực" làm luận văn Mục đích đề tài là: - Nhắc lại bổ sung phép chiếu xuyên tâm chiếu song song mặt phẳng không gian Các ứng dụng phép chiếu giải tốn hình học phẳng: dạng tốn chứng minh, dựng hình, tìm quỹ tích Đặc biệt, ứng dụng giải tốn dựng hình dụng cụ hạn chế, loại tốn khó, có tài liệu đề cập đến - Trình bày sở toán học phương pháp cực-đối cực, phương pháp giải toán hiệu quả, hay gặp kỳ thi học sinh giỏi Khái niệm cực-đối cực không đường tròn mà xét trường hợp cực-đối cực cặp đường thẳng, cực-đối cực tam giác, - Hai phương pháp giải toán nói dựa vào khái niệm tỷ số kép, bất biến quan trọng hình học xạ ảnh Qua giới thiệu cách áp dụng Tốn cao cấp vào hình học sơ cấp 2 Nội dung đề tài, vấn đề cần giải Xuất phát từ khái niệm phép chiếu từ mặt phẳng lên mặt phẳng, luận văn trình bày tính chất phép chiếu (xuyên tâm song song), sau xét đến phép chiếu từ đường thẳng lên đường thẳng, đường tròn lên đường tròn, Từ số tính chất, định lý xây dựng phương pháp cực-đối cực cặp đường thẳng cực-đối cực đường tròn Ứng dụng phương pháp chiếu phương pháp cực-đối cực vào việc giải tốn hình học phẳng Trong ví dụ minh họa luận văn có xét đến toán dành cho học sinh giỏi quốc gia quốc tế với cách giải sử dụng hai phương pháp xét (khác với cách giải có) Nội dung luận văn chia làm chương Chương Phương pháp chiếu ứng dụng Nội dung chương trình bày phép chiếu xuyên tâm (bao gồm chiếu song song) từ mặt phẳng lên mặt phẳng, từ đường thẳng lên đường thẳng, từ đường tròn lên đường tròn tính chất chúng Phép biến đổi chiếu, thực chất biến đổi xạ ảnh, định nghĩa cách sơ cấp thơng qua tích phép chiếu Sau luận văn chứng minh tính chất hay sử dụng phép biến đổi chiếu, hình thành phương pháp giải tốn hình học nhờ vào kỹ thuật chọn phép chiếu thích hợp Một loạt ví dụ loại tốn chứng minh (tính đồng quy, thẳng hàng), tốn dựng hình, tìm quỹ tích minh họa cho phương pháp Nội dung chương gồm mục: 1.1 Phép chiếu từ đường thẳng lên đường thẳng 1.2 Phép chiếu từ mặt phẳng lên mặt phẳng 1.3 Biến đổi chiếu đường thẳng, đường tròn mặt phẳng 1.4 Phép chiếu không gian 1.5 Ứng dụng phép chiếu giải toán Chương Phương pháp cực-đối cực ứng dụng Khái niệm cực liên quan đến tỷ số kép bốn điểm, bất biến quan trọng phép chiếu Nội dung phương pháp cách lựa chọn điểm cực cặp đường thẳng cực đường trịn, từ áp dụng tính chất cực-đối cực để giải toán Các loại toán thường gặp phong phú: Chứng minh đồng quy, thẳng hàng, đường trịn trực giao, tốn đường trịn Cách áp dụng cực-đối cực thích hợp cho ta lời giải độc đáo, bất ngờ 2.1 Cực-đối cực qua cặp đường thẳng 2.2 Cực-đối cực qua đường tròn 2.3 Ứng dụng phương pháp cực-đối cực để giải toán Tác giả 24 phải sử dụng phép đối xứng trục l Do đó, kết là: Trong câu b., quỹ tích đường thẳng qua tiếp điểm C với hai đường thẳng kẻ qua P ; câu a., quỹ tích phần đường thẳng ngồi đường trịn C Điểm P nằm C Ta thực phép biến đổi chiếu cho C biến thành C , điểm P biến thành tâm C (theo Mệnh đề 1.3) Khi ảnh quỹ tích cần tìm hai câu a., b đường thẳng vơ tận Do quỹ tích cần tìm đường thẳng Bài tốn 1.3 Chứng minh ba đường thẳng nối ba đỉnh tam giác với tiếp điểm cạnh đối diện đồng quy điểm Bài toán 1.4 Các điểm A, B, C, D nằm đường tròn C, SA, SD hai tiếp tuyến C, đăt P = AB ∩ CD, Q = AC ∩ BD Chứng minh P, Q, S thẳng hàng Bài toán 1.5 Một đường tròn bàng tiếp ∆ABC tiếp xúc cạnh BC D, tiếp xúc phần kéo dài AB AC E, F Chứng minh A, D T = BC ∩ CE thẳng hàng Bài toán 1.6 (Brianchon) Giả sử ABCDEF đa giác ngoại tiếp Chứng minh đường chéo AD,BE,CF đồng quy 1.5.3 Phương pháp chiếu tốn dựng hình Sử dụng phép chiếu thích hợp ta giải số toán chứng minh dựng hình với thước kẻ compa với dung cụ dựng hình hạn chế Ví dụ 1.5.11 (Bài tốn Steiner) Cho đường trịn C, đường thẳng l điểm A, A0 , B, B , C, C , M ∈ l Theo tồn biến đổi chiếu ϕ từ l lên biến điểm A,B,C tương ứng thành A’,B’,C’ Chỉ thước dựng: a Điểm ϕ(M ) b Điểm bất động M0 ϕ, tức ϕ(M0 ) = M0 Lời giải Gọi O điểm đường tròn C gọi A1 , A01 , B1 , B10 , 25 C1 , C10 tương ứng ảnh điểm A, A0 , B, B , C, C qua phép chiếu xuyên tâm O từ l sang C Ký hiệu B2 = A01 B1 ∩ A1 B10 C2 = A01 C1 ∩ A1 C10 Gọi f = prA1 ◦ prO , prO : l → C, prA01 :C→B2 C2 g = prO ◦ prA1 , đó, prO : C → l, prA1 : B2 C2 → C Sau theo mệnh đề phép biến đổi f, g biến đổi chiếu tích chúng ϕ biến A, B, C tương ứng thành A0 , B , C Rõ ràng tất điểm xét dựng thước (một biên) a Dựng M1 = OM ∩ C; dựng M2 = f (M ) = A01 M1 ∩ B2 C2 ; dựng M3 = M2 A1 ∩ C; Cuối ϕ(M ) = g(f (M )) giao l với OM3 b Giả sử M1 , N1 giao C với B2 C2 Khi đó, điểm bất động biến đổi ϕ giao điểm OM1 ON1 với đường thẳng l Ví dụ 1.5.12 Cho hai đường thẳng l1 , l2 hai điểm A, B ∈ / l1 , l2 điểm I ∈ l2 Bằng thước kẻ compa dựng điểm X ∈ l1 cho đường thẳng AX BX định l2 đoạn thẳng a có độ dài a cho trước, b cho điểm I chia đơi đoạn thẳng Hình 1.11: Hai tốn tương tự 26 Lời giải a Xét biến đổi chiếu l1 : f = prA : l1 → l2 , M 7→ 0 − N, T→ a : l2 → l2 , N 7→ N , g = prB : l2 → l1 , N 7→ M Khi ánh xạ − tích ϕ = g ◦ T→ a ◦ f : l1 → l1 biến đổi chiếu Điểm X điểm bất động biến đổi chiếu ϕ − b Trong lời giải câu a., thay T→ a phép đối xứng qua tâm I Ví dụ 1.5.13 Cho A ∈ a, B ∈ b điểm P không nằm đường Bằng thước compa dựng đường thẳng qua P cho cắt a X, cắt b Y cho đoạn thẳng AX BY a có tỷ số số m cho trước, b có tích số k > cho trước Lời giải a Gọi f = prP : a → b, D phép dời mặt phẳng biến b thành a, điểm B thành điểm A cuối cùng, g = HkA (vị tự tâm A tỉ số k) Lấy ϕ = g ◦ D ◦ f ϕ biến đổi xạ ảnh Điểm X cần tìm điểm bất động ϕ Việc dựng điểm Y hiển nhiên b Qua B kẻ , qua A kẻ a0 k b, gọi Q = a0 ∩ b0 , đặt p = AQ.BQ A đặt ϕ = h ◦ g ◦ f Gọi f = prP : a → b, g = prQ : b → a, h = Hk/p ϕ biến đổi xạ ảnh Gọi X điểm bất động ϕ, Y = f (X), X1 = g(Y ) Ta chứng minh XY đường thẳng cần tìm Thật vậy, ∆AQX1 ∼ ∆BY Q nên AX1 BY = AQ.BQ = p đó, AX.BY = kp AX1 BY = k Ví dụ 1.5.14 Bằng thước compa dựng đường thẳng qua điểm cho trước cho cắt ba đường thẳng cho trước tạo hai đoạn thẳng Lời giải Gọi điểm cho trước P, A, B, C giao đôi đường thẳng cho trước a, b, c Giả sử X, Y, Z giao đường thẳng cần dựng với ba đường thẳng a,b,c Theo giả thiết XZ = XY Gọi T giao điểm c với đường thẳng qua X, song song với b Rõ ràng XT = AY Vì ∆XT B ∼ ∆CAB, kéo theo: XT : XB = CB : CA Từ suy BX : Y A = CB : CA = const Như ta đưa ví dụ 1.5.13a Sau tốn dựng hình thước Ví dụ 1.5.15 Cho đường tròn C, n điểm n đường thẳng Bằng thước 27 a dựng n - giác có cạnh qua n điểm đỉnh nằm n đường thẳng cho b nội tiếp C n - giác có cạnh qua n điểm cho Lời giải.a Các điểm cho M1 , M2 , , Mn , đường thẳng cho l1 , l2 , , ln Một đỉnh đa giác cần dựng điểm bất động phép biến đổi chiếu tích fn ◦ f2 ◦ f1 , f1 = prM1 : l1 → l2 ; f1 = prM2 : l2 → l3 ; fn = prMn : ln → l1 b Lấy điểm tùy ý đường tròn C với phép chiếu từ điểm ta đồng đường tròn cho đường thẳng l Như phép chiếu xun tâm từ đường trịn lên biến đổi chiếu đường thẳng l Rõ ràng đỉnh đa giác cần dựng điểm bất động phép chiếu liên tiếp từ đường trịn cho trước thành qua điểm cho Ví dụ 1.5.16 Trên mặt phẳng cho hai đường tròn C1 , C2 Chỉ dùng thước dựng tâm hai đường trịn biết chúng: a cắt hai điểm, b tiếp xúc nhau, c đồng tâm Lời giải.a Giả sử M, N giao điểm C1 , C2 Các điểm A, B C1 chiếu từ M lên C2 , sau điểm A0 , B nhận chiếu qua N lên C1 Giả sử điểm A0 , B _ M B ), góc tương ứng góc \ AB =_ A0 B (vì AM B = A\ \ nội tiếp A\ M B1 A1 N B1 chắn cung đường tròn C2 ) AB k A0 B, suy đoạn thẳng nối điểm AB ∩A0 B với điểm AA0 ∩BB đường kính C1 (xem a.) Hồn tồn tương tự dựng đường kính thứ hai c Ta dựng từ A đường tròn lớn C1 tiếp tuyến AB AB tới C2 từ B dựng tiếp tuyến thứ hai BA0 tới C2 Rõ ràng B A (góc nội tiếp chắn \0 = ABA \0 (tính đối xứng), ABA \0 = A \ BAB B A suy AB k A0 B Như \0 = A \ cung) Do BAB giao điểm AA0 ∩ BB , AB ∩ BA0 nằm đường kính C1 (xem a) Tương tự dựng đường kính thứ hai C1 28 Hình 1.12: Cắt nhau; tiếp xúc; đồng tâm Bài tốn sau hồn tồn tương tự ví dụ 1.5.12 Bài tốn 1.7 Cho đường trịn C hai dây cung A1 B1 , C1 D1 đường tròn Hãy tìm điểm Y C cho đường thẳng A1 Y, B1 Y định C1 D1 đoạn thẳng PQ a có độ dài a cho trước, b nhận điểm I cho trước làm trung điểm Cách trình bày phép chiếu ứng dụng hồn tồn sơ cấp, trình bày giáo trình hình học Có số phép chứng minh phức tạp mang tính chất hình học túy có ý nghĩa sâu sắc mặt tư Kết ta đưa kỹ thuật chọn phép chiếu thích hợp để sử dụng tính chất chúng tốn chứng minh dựng hình 29 Chương Phương pháp cực-đối cực Ta chuyển sang phương pháp hay sử dụng giải tốn hình học liên quan đến đường thẳng đường tròn: phương pháp cực- đối cực Với phương pháp nhiều toán giải hay bất ngờ so với cách giải thơng thường: Có trường hợp lời giải cịn ngắn đề Phần minh họa tham khảo tài liệu [2],[4],[5], đặc biệt phần toán nâng cao tham khảo [3] với bổ sung bình luận cần thiết 2.1 Cực-đối cực cặp đường thẳng Trong chương ta định nghĩa nêu cách dựng cực đường đối cực cặp đường thẳng (Định nghĩa 1.5) tam giác (Định nghĩa 1.6) Từ tính chất tứ cạnh tồn phần ta thấy thực chất khái niệm hai điểm liên hợp qua cặp đường thẳng liên quan chặt chẽ với khái niệm hàng điểm điều hòa điểm 2.1.1 Định nghĩa tính chất Ta có định nghĩa tương đương với Định nghĩa 1.5, chương sau: Định nghĩa 2.1 Hai điểm A, B gọi liên hợp với cặp đường thẳng a, b chúng liên hợp với hai điểm C = AB ∩ a, D = 30 AB ∩ b, tức bốn điểm A, B, C, D lập thành hàng điểm điều hòa Trong định nghĩa ta gọi cặp đường thẳng a, b cặp đường thẳng sở Ta có kết sau: Mệnh đề 2.1 Cho cặp đường thẳng c, d cắt O, điểm A∈ / c, d Khi quỹ tích điểm B liên hợp với A c, d đường thẳng Hình 2.1: Dựng đường đối cực Chứng minh Phần thuận: Qua điểm A dựng cát tuyến cắt c, d tương ứng C, D Lấy điểm B cho (ABCD) = −1 Dễ thấy chùm bốn đường thẳng (OA, OB, OC, OD), tức (OA, OB, c, d) chùm điều hòa Vậy điểm B thuộc tia liên hợp thứ tư chùm điều hòa, B ∈ a Phần đảo Lấy B ∈ a, kẻ đường thẳng AB , cắt c, d C , D0 Hiển nhiên (A0 B C D0 ) = −1 Vậy quỹ tích điểm B liên hợp với điểm A c, d đường thẳng a Định nghĩa 2.2 Đường thẳng a nói gọi đường đối cực điểm A cặp đường thẳng đồng quy c, d Điểm A gọi cực đường thẳng a qua cặp đường thẳng Chú ý: Khi c k d đường đối cực điểm A đường thẳng song song với c, d Ta có số tính chất cực đối cực với cặp đường thẳng: Mệnh đề 2.2 Cho cặp đường thẳng c, d đồng quy O Lúc đó, a Đường đối cực điểm A ∈ / c, d đường thẳng hoàn toàn 31 xác định dựng thước b Hai điểm A, B phân biệt có hai đường đối cực phân biệt c Đường đối cực A qua B ⇔ Đường đối cực B qua A d Điểm A chạy đường thẳng l ⇔ Đường đối cực A đồng quy cực L đường thẳng l e Nếu m, n, p, q tương ứng đường đối cực M, N, P, Q M, N, P, Q hàng đểm điều hòa ⇔ m, n, p, q chùm điều hòa Cách dựng đường đối cực điểm, cực đường thẳng cặp đường thẳng (chỉ thước) có Mệnh đề 2.1 2.1.2 Các ứng dụng Với khái niệm cực-đối cực cặp đường thẳng đồng quy tính chất nêu Mệnh đề 2.2 ta ứng dụng để giải số toán Kỹ thuật chọn cặp đường thẳng sở thích hợp Ví dụ 2.1.1 Trên cạnh AC, AB ∆ABC lấy điểm D, E Gọi O = BD ∩ CE AO lấy điểm I tùy ý Các đường thẳng ID, IE cắt CE, BD theo thứ tự H G Khi DE, HG, BC đồng quy Hình 2.2: ED, GH, BC đồng quy Chứng minh Gọi P = ED ∩ BC, ta chứng minh GH qua P Chọn (AB, AC) cặp đường thẳng sở Ta có AI đường đối cực 32 điểm P Nếu gọi M = AI ∩ ED ta có (EDM P ) = −1 Mặt khác, gọi P = GH ∩ ED IM đường đối cực P qua cặp đường thẳng (IE, ID), vậy, (EDM P ) = −1 Ta suy (EDM P ) = (EDM P ) nên P ≡ P Ví dụ 2.1.2 Cho A đường thẳng d cố định không qua A Gọi D hình chiếu vng góc A d, I trung điểm AD Trên d lấy điểm thay đổi P, Q 6= D, dựng P x, Qy⊥d Đặt M = QI ∩ AP, N = QI ∩ P x, M = P I ∩ AQ, N = P I ∩ Qy Khi ta có: a Chứng minh (QM IN ) = (P M IN ) = −1 b Chứng minh N, A, N thẳng hàng Hình 2.3: N, A, N thẳng hàng Chứng minh a Lấy cặp đường thẳng cở sở (AP, AQ) ta có chùm (P Q, P M, P I, P N ) chùm điều hịa cát tuyến AD k P N chia đoạn AD làm đôi nên (QM IN ) = −1 Tương tự chùm (QP, QM , QI, QN ) chùm điều hòa, nên (P M IN ) = −1 b Vì (QM IN ) = −1 nên AN đường đối cực I, tương tự, AN đường đối cực I Suy AN ≡ AN hay N, A, N thẳng hàng Ví dụ 2.1.3 Cho cặp đường thẳng Ox, Oy điểm A ∈ / Ox, Oy Hai đường thẳng thay đổi qua A, đối xứng qua OA, đường thẳng cắt Ox M , đường thẳng cắt Oy N Chứng minh M N qua điểm cố định 33 Chứng minh Chọn cặp đường thẳng sở (Ox, Oy) Kẻ d qua A, d⊥OA, gọi K = M N ∩d Ta chứng minh K cực đường thẳng cố định Thật vậy, chùm (AN, AM, AI, AK) chùm điều hịa theo giả thiết cách dựng d ta có AI AK hai đường phân \ giác góc N AM Vậy (N M IK) = −1, ta có K cực đường thẳng AO cố định Ví dụ 2.1.4 Cho ∆ABC, H chân đường cao kẻ từ A Trên đoạn AH lấy điểm I Gọi E = BI ∩ CE, F = CI ∩ AB Khi AH \ phân giác góc EHF Chứng minh Nếu ∆ABC cân A tốn hiển nhiên Nếu khơng cân A ta giả sử AC > AB gọi K = EF ∩ BC Chọn cặp (AB, AC) làm sở AH đường đối cực K H(KLF E) \ chùm điều hịa Vì HA⊥HB nên suy HA phân giác góc EHF Ví dụ 2.1.5 Cho ∆OAB, điểm M thuộc cạnh AB, M 6= A, B Một đường thẳng d qua M, d ∩ OA = A0 , d ∩ OB = B Tìm quỹ tích điểm N = A0 B ∩ AB d thay đổi Hình 2.4: Quỹ tích N = A0 B ∩ AB Lời giải Cách Đặt M = ON ∩ AM Từ tứ giác toàn phần ABB A” ta có 34 (ABM M ) = −1 Vì A, B, M cố định Vậy N thuộc đường thẳng OM Đảo lại, B nằm cạnh OB nên N chạy đoạn OM Cuối dễ kiểm tra quỹ tích điểm N đoạn thẳng OM Cách Gọi K = AN ∩ OM , dễ thấy (ABM M ) = −1, suy chùm (OA, OB, OK, ON ) chùm điều hòa Vì tia cố định nên OK cố định Đảo lại hển nhiên Đôi ta phải xác định cặp đường thẳng sở với chọn đường tròn sở tốn Ví dụ 2.1.6 Cho góc xOy điểm P cố định Ox Đường trịn C di động ln tiếp xúc với Ox, Oy A B Từ P vẽ tiếp tuyến P M với C Chứng minh BM qua điểm cố định Hình 2.5: Điểm H cố định Chứng minh Trước hết lấy C đường trịn sở thì: Điểm E thuộc BM - đường đối cực N nên N thuộc đường đối cực E; Điểm E thuộc EA- đường đối cực A nên A thuộc đường đối cực E Nói cách khác, N A đường đối cực E Tiếp theo, chọn cặp (N O, N P ) cặp sở N A đường đối cực E (đối với(N O, N P )) Ta suy ra: (EAOP ) = −1 ⇒ H(EAOP ) chùm điều hòa Hai tam giác HBO, HAO đối xứng 35 \ Theo tính chất qua HO nên HO đường phân giác góc EHA chùm phân giác ta suy HP ⊥HO, H điểm cố định Ví dụ 2.1.7 Cho đường tròn tâm I nội tiêp tam giác ABC tiếp xúc với BC, CA, AB tương ứng D, E, F Hai đường phân giác góc b C b cắt EF P Q Gọi M = BP ∩ CQ Khi ta có B, IM ⊥BC Chứng minh Gọi N = EF ∩ BC Chọn (I) đường trịn sở AD đường đối cực N , suy AD đường đối cực N cặp đường thẳng (AB, AC) Từ bốn điểm (BCDN ) hàng điểm điều hịa Hình 2.6: IM ⊥BC Nếu chọn cặp (M B, M C) cặp đường thẳng sở ta có D liên hợp với N cặp mà IM đường đối cực N nên D ∈ IM , tức IM ⊥BC Nhận xét Trong toán ta thay đổi sở: trước tiên đường tròn (I), cặp (AB, AC), cuối cặp (M B, M C) 2.2 Cực-đối cực đường tròn Cực-đối cực cặp đường thẳng đồng quy gợi cho ta cách giải số toán liên quan đến điểm đường thẳng Tương tự 36 ta xét tiếp khái niệm cực-đối cực đường tròn Các ứng dụng khái niệm phong phú khẳng định ưu "phương pháp cực-đối cực giải tốn hình học" 2.2.1 Định nghĩa tính chất Định nghĩa 2.3 Hai đường tròn (O, R) (O0 , R0 ) gọi trực giao, ký hiệu (O)⊥(O0 ) chúng cắt góc vng, tức hai tiếp tuyến hai đường trịn giao điểm vng góc Dễ thấy điều kiện sau tương đương: i (O, R)⊥(O0 , R0 ) P, Q ii OO02 = OP + O0 P iii Tại giao điểm, tiếp tuyến đường tròn qua tâm đường trịn iv Phương tích tâm đường trịn đường trịn bình phương bán kính đường trịn thứ Định nghĩa 2.4 Điểm A liên hợp với điểm B đường trịn (O, R) đường trịn đường kính AB trực giao với (O, R) Mệnh đề 2.3 Quỹ tích điểm liên hợp điểm A đường tròn (O, R) đường thẳng Hình 2.7: (AHCD) = −1 37 Chứng minh Lấy điểm B liên hợp với A (O) Theo định nghĩa, ta có (O) trực giao với đường trịn đường kính AB (tâm O0 ) Giả sử đường thẳng AO cắt (O) C, D cắt (O0 ) H Theo hệ thức lượng tam giác vuông ta có OC = OD2 = OH.OA Suy (AHCD) = −1 hay H liên hợp với C, D.Vì A, C, D cố định nên H cố đinh Quỹ tích điểm liên hợp với A (O) đường thẳng a vng góc với OA H với OH.OA = R2 Định nghĩa 2.5 Cho đường tròn (O), đường thẳng a nói Mệnh đề 2.3 gọi đường đối cực (hay cực tuyến) điểm A điểm A gọi cực đường thẳng a (O) Hình 2.8: A liên hợp với B qua (O, R) Ta ý A liên hợp với B (O, R) đường thẳng AB không cắt (O, R) Trong trường hợp đường thẳng AB cắt (O, R) hai điểm C, D A liên hợp với B (O, R) (ABCD) = −1 Các tính chất cực-đối cực đường trịn phát biểu mệnh đề sau: Mệnh đề 2.4 Cho đường trịn (O, R) Khi đó, a Đường đối cực điểm A 6= O đường thẳng hoàn toàn xác 38 định (dựng thước kẻ) b Hai điểm A 6= B có hai đường đối cực phân biệt a 6= b c (Định lý La Hire) Nếu đường đối cực A qua B đường đối cực B qua A d Nếu điểm A chạy đường thẳng d đường đối cực A ln qua cực đường thẳng d e Gọi p đường đối cực điểm P đường tròn (O, R) Khi điểm M thuộc p OM − P M = 2R2 − OP (2.1) f Nếu A, B, C, D lập thành hàng điểm điều hịa đường đối cực chúng lập thành chùm điều hòa Chứng minh Ta chứng minh a., c., e., f b d hiển nhiên a Điểm H xác định theo hệ thức OH.OA = R2 Có thể sử dụng tính chất tứ giác toàn phần để dựng đường đối cực điểm M 6= O Hình 2.9: Dựng đường đối cực điểm M đường tròn (O, R) c Thật vậy, đường đối cực A qua B B điểm liên hợp A (O) A điểm liên hợp B (O),