Đáp án đề cương hình l12 gk1

HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Câu Hình lăng trụ đứng có đáy tam giác cân khơng phải tam giác có mặt phẳng đối xứng? A B C D Lời giải Chọn C Hình lăng trụ đứng có đáy tam giác cân khơng phải tam giác có mặt phẳng đối xứng gồm mặt phẳng trung trực cạnh bên mặt phẳng trung trực cạnh đáy tam giác đáy hình lăng trụ (hình vẽ minh họa) Thể tích khối chóp có chiều cao h diện tích đáy B là: 1 A V = Bh B V = Bh C V = Bh D V = Bh Lời giải Chọn A Thể tích khối chóp có chiều cao h diện tích đáy B là: V = Bh Câu Câu Khối đa diện loại  p; q xếp theo thứ tự tăng dần số đỉnh A 3;3 , 3; 4 , 5;3 , 4;3 , 3;5 B 3;3 , 4;3 , 3; 4 , 3;5 , 5;3 C 3;3 , 3; 4 , 4;3 , 5;3 , 3;5 D 3;3 , 3; 4 , 4;3 , 3;5 , 5;3 Lời giải Chọn D Gọi Đ tổng số đỉnh, C tổng số cạnh, M tổng số mặt khối đa diện loại  p; q Ta có: pĐ = nM = 2C Cụ thể:  p = 3; q = pM pM Đ= = 4; C = =  Xét tứ diện loại 3; 3   q M =  p = 4; q = pM pM Đ= = 8; C = = 12  Xét khối lập phương loại 4;3   q M =  p = 3; q = pM pM Đ= = 6; C = = 12  Xét khối bát diện loại 3; 4   q M = “Sen nở tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp ĐÁP ÁN ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HÌNH HỌC GIỮA KÌ LỚP 12 HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp  p = 5; q = Đ=  Xét khối mười hai mặt loại 5; 3    M = 12  p = 3; q = Đ=  Xét khối hai mươi mặt loại 3; 5    M = 20 pM pM = 20; C = = 30 q pM qM = 12; C = = 30 q Vậy ta có xếp: 3;3 , 3; 4 , 4;3 , 3;5 , 5;3 Câu HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp A 2V Cho khối lăng trụ ABC ABC tích V , thể tích khối chóp C ABC là: 1 B V C V D V Lời giải Chọn C Gọi h khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( ABC ) B diện tích tam giác ABC Khi đó, thể tích 1 lăng trụ V = Bh , thể tích khối chóp C ABC VC ABC = Bh Do đó, VC ABC = V 3 Câu Khối đa diện loại 4; 3 có mặt? B A C D Lời giải Chọn D Khối đa diện loại 4; 3 hình lập phương nên có sáu mặt Câu Vật thể vật thể sau khối đa diện? A C B D Lời giải Chọn C Dựa vào định nghĩa khối đa diện : Khối đa diện giới hạn hữu hạn đa giác thoả mãn điều kiện : Câu Hình đa diện sau khơng có mặt phẳng đối xứng? HQ MATHS – “Sen nở tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp B Hình chóp tứ giác D Hình lăng trụ lục giác Lời giải Chọn C Câu Trong khẳng định sau khẳng định đúng? A Khối đa diện loại  p; q khối đa diện có p mặt, q đỉnh B Khối đa diện loại  p; q khối đa diện lồi thỏa mãn mặt đa giác p cạnh đỉnh đỉnh chung q mặt C Khối đa diện loại  p; q khối đa diện có p cạnh, q mặt D Khối đa diện loại  p; q khối đa diện lồi thỏa mãn đỉnh đỉnh chung p mặt mặt đa giác q cạnh Lời giải Chọn B Theo định nghĩa khối đa diện sách giáo khoa hình học 12 trang 15 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Biết SA ⊥ ( ABCD ) Câu SA = a Thể tích khối chóp S ABCD là: A a a3 B 12 a3 C a3 D Lời giải Chọn C S A D B C Ta có: h = SA = a ; B = S ABCD = a a3 V = B.h = 3 “Sen nở tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp A Hình lập phương C Hình lăng trụ tam giác HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Câu 10 Cho khối chóp S ABC , ba cạnh SA , SB , SC lấy ba điểm A , B  , C cho 1 SA = SA , SB = SB , SC = SC Gọi V V  thể tích khối chóp S ABC  V là: S ABC Khi tỉ số V 1 A 12 B C 24 D 12 24 Lời giải: Chọn D S C' B' A' C A B Theo công thức tỉ số thể tích khối chóp, ta được: V  SA SB SC 1 1 = = = V SA SB SC 24 Câu 11 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a , SA ⊥ ( ABC ) SA = a Thể tích khối chóp S ABC 3a A a3 B 3a C a3 D Lời giải Chọn D Ta tích khối chóp S ABC VS ABC 1 a2 a3 = SABC SA = a = 3 4 Câu 12 Hình bát diện có số cạnh A B C 12 D 10 Lời giải Chọn C Hình bát diện có số cạnh 12 Câu 13 Tìm số mặt hình đa diện hình vẽ bên: HQ MATHS – “Sen nở tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp B 10 A 11 C 12 D Chọn D Quan sát hình đa diện cho ta đếm tất có mặt Câu 14 Cho hình đa diện Khẳng định sau sai? A Mỗi mặt có cạnh B Mỗi đỉnh đỉnh chung cạnh C Mỗi đỉnh đỉnh chung mặt D Mỗi cạnh cạnh chung mặt Lời giải Chọn D Xét tứ diện Quan sát đường tơ đậm, ta thấy cạnh có hai mặt Do đó, khẳng định D sai Câu 15 Khối chóp có nửa diện tích đáy S , chiều cao 2h tích là: A V = S.h B V = S h C V = S.h D V = S.h 3 Lời giải Chọn C 1 Ta có: V = B.h = 2S 2h = S h 3 Câu 16 Tính thể tích V khối lập phương ABCD ABCD biết AC  = a A V = a a3 B V = 6a C V = D V = 3a Lời giải Chọn A Ta có AC  = AB  AB = a  AB = a Do thể tích V khối lập phương ABCD ABCD V = a3 “Sen nở tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Lời giải HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Câu 17 Lăng trụ tam giác có độ dài tất cạnh Thể tích khối lăng trụ cho A B 27 C 27 D D Lời giải Chọn B A C HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp B A C B 27 Diện tích đáy: SABC = 3.3.sin 60 = Thể tích Vlt = SABC AA = 4 Câu 18 Tính thể tích khối tứ diện có cạnh A B 2 C Lời giải Chọn D Cách 1: Áp dụng công thức tính nhanh thể tích khối tứ diện đều: V = 33 = 12 S A C G B Cách 2: Khối tứ diện S ABC có đáy tam giác đường cao SG SABC AB AB , AG = = = =  SG = SA2 − AG = − = 4 Vậy VS ABC = SABC SG = Câu 19 Cho khối lăng trụ ABC ABC tích V Tính thể tích khối đa diện ABCBC 3V 2V V V A B C D 4 Lời giải Chọn B HQ MATHS – “Sen nở tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp A C B A B Ta có: VABCBC = VBABC + VCBAC = V V 2V + = 3 Câu 20 Nếu không sử dụng thêm điểm khác đỉnh hình lập phương chia hình lập phương thành A Bốn tứ diện hình chóp tam giác B Năm hình chóp tam giác đều, khơng có tứ diện C Một tứ diện bốn hình chóp tam giác D Năm tứ diện Lời giải Chọn A Hình chóp tam giác ACBD Bốn tứ diện D ACD , C.CBD , B ACB A ABD Câu 21 Cho hình lập phương ABCD ABCD có diện tích tam giác ACD a Tính thể tích V khối lập phương A V = 2a3 B V = 2a3 C V = 8a3 Lời giải D V = a3 Chọn B “Sen nở tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp C HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp A B C D HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp B A D C Gọi độ dài cạnh hình lập phương x Khi đó: Tam giác ACD tam giác cạnh x : SACD = a (x 2) 3  ( Vậy V = x3 = a 2 ) = a2  x = a = 2a Câu 22 Khi tăng độ dài cạnh đáy khối chóp tam giác lên lần giảm chiều cao hình chóp lần thể tích khối chóp thay đổi thể nào? A Tăng lên lần B Không thay đổi C Tăng lên lần D Giảm lần Lời giải Chọn B Ta tích hình chóp là: V = Sđáy h Giả sử cạnh đáy a diện tích đáy S đáy a2 = Nếu cạnh đáy tăng lên lần, tức 2a diện tích đáy a chiều cao h giảm lần, tức h a2 h thể tích khối chóp a = h = S đáy h = V 4 Do thể tích khối chóp khơng thay đổi Câu 23 Cho lăng trụ tam giác ABC ABC có đáy tam giác cạnh a Độ dài cạnh bên 4a B Mặt phẳng ( BCC B ) vuông góc với đáy BBC = 30 Thể tích khối chóp ACC A a3 B a3 12 C a3 18 D a3 Lời giải Chọn D HQ MATHS – “Sen nở tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp B' C' A' 4a B a A Gọi H hình chiếu B  BC Từ giả thiết suy ra: BH ⊥ ( ABC ) 1 BB.BC.sin BBC = 4a.a.sin 30 = a 2 2a 2S Mặt khác: SBBC = BH BC  BH = BBC = = 2a a BC SBBC = VLT = BH S ABC = 2a a a3 = a3 a3 1 = VA.CCB = VA.CCBB = VLT = VLT = 2 3 Câu 24 Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đơi vng góc Biết OA = a , OB = 2a , OC = a Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ( ABC ) A a a 19 B C a 17 19 D 2a 19 Lời giải Chọn D Cách 1: A O C B a3 VOABC = OA.OB.OC = “Sen nở tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp C H HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Tính AB = OA2 + OB = a , AC = OA2 + OC = 2a , BC = OB + OC = a S ABC = p ( p − AB )( p − AC )( p − BC ) = 19 AB + AC + BC (với p = ) 2 3V Gọi h = d ( O; ( ABC ) ) Ta có VOABC = h.S ABC  h = OABC = S ABC 19 Cách 2: HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Áp dụng cơng thức tính độ dài đường cao hạ từ đỉnh O đến mặt phẳng ( ABC ) tứ diện vng OABC ta có: 2a 1 1 = + + =  OH = 2 2 OH OA OB OC 3a 19 Câu 25 Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABCD có diện tích mặt ABCD , BCCB , CDDC 2a , 3a , 6a Tính thể tích khối hộp chữ nhật ABCD ABCD A 36a3 B 6a3 C 36a D 6a Lời giải Chọn B B C D A C' B' A' D' Ta có S ABCD = 2a  AB.BC = 2a (1) SBCC  B = 3a  BC.BB = 3a ( ) SCDDC  = 6a  CD.CC = 6a  AB.BB = 6a ( 3) Nhân vế theo vế (1) , ( ) , ( 3) ta ( AB.BC.BB ) = 36a  AB.BC.BB = 6a3 VABCD A BC  D = AB.BC.BB = 6a3 Câu 26 Tính thể tích khối bát diện có cạnh A B 16 C D 16 Lời giải Chọn A HQ MATHS – 10 “Sen nở tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp S D HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp C B A Gọi D hình chiếu S lên mặt phẳng ( ABC ) , suy SD ⊥ ( ABC ) Ta có SD ⊥ AB SB ⊥ AB ( gt ) , suy AB ⊥ ( SBD )  BA ⊥ BD Tương tự có AC ⊥ DC hay tam giác ACD vuông C Dễ thấy SBA = SCA (cạnh huyền cạnh góc vng), suy SB = SC Từ ta chứng minh SBD = SCD nên có DB = DC Vậy DA đường trung trực BC , nên đường phân giác góc BAC a Ta có DAC = 30 , suy DC = Ngồi góc hai mặt phẳng ( SAB ) ( ABC ) SBD = 60 , SD a suy tan SBD =  SD = BD tan SBD = 3=a BD 1 a2 a3 a = Vậy VS ABC = SABC SD = 3 12 Câu 44 Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác ABC vng A góc ABC = 30 ; tam giác SBC tam giác cạnh a mặt phẳng ( SAB ) vng góc mặt phẳng ( ABC ) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) là: A a B a C a D a Lời giải Chọn D HQ MATHS – 22 “Sen nở tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp S E A B H C Ta có tam giác ABC vng A góc ABC = 30 BC = a , suy AC = a a , AB = 2 ( SAB ) ⊥ ( ABC )  AC ⊥ ( SAB ) , suy tam giác SAC vuông A Lại có  CA ⊥ AB a a Suy SA = SC − AC = a −   = 2 2 Tam giác SAB có SA = a a , AB = , SB = a Từ sử dụng cơng thức Hê-rơng ta tính 2 2S a2 a a AB S SAB =  SH = SAB =  BH = = AB 3 Suy d ( H , ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC ) ) Từ H kẻ HK ⊥ BC Kẻ HE ⊥ SK  HE ⊥ ( SBC ) Ta dễ tính HK = Vậy d ( A, ( SBC ) ) = a a  d ( H , ( SBC ) ) = 3 a a d ( H , ( SBC ) ) =  = 2 Câu 45 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a , BC = a Cạnh bên SA vuông góc với đáy đường thẳng SC tạo với mặt phẳng ( SAB ) góc 30 Tính thể tích V khối chóp S ABCD theo a 6a A V = 2a B V = C V = 3a 3a D V = Lời giải Chọn A “Sen nở tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 23 HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp K HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp S A D HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp B C  BC ⊥ SA  BC ⊥ ( SAB )  SB hình chiếu SC lên mặt phẳng ( SAB ) Ta có:   BC ⊥ AB  ( SC, ( SAB ) ) = ( SC, SB ) = CSB = 30 Xét tam giác SBC vng B có tan 30 = BC  SB = 3a SB Xét tam giác SAB vuông A có SA = SB − AB = 2a Mà S ABCD = AB.BC = a 2a Vậy V = S ABCD SA = 3 Câu 46 Cho hình lăng trụ ABC ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc điểm A lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường thẳng AA BC A V = a Tính theo a thể tích V khối lăng trụ ABC ABC a3 B V = a3 a3 C V = 12 Lời giải D V = Chọn B A C B I H A G C M B Ta có AG ⊥ ( ABC ) nên AG ⊥ BC ; BC ⊥ AM  BC ⊥ ( MAA ) Kẻ MI ⊥ AA ; BC ⊥ IM nên d ( AA; BC ) = IM = a HQ MATHS – 24 “Sen nở tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” a3 24 HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Kẻ GH ⊥ AA , ta có AG GH 2 a a = =  GH = = AM IM 3 1 = +  AG = 2 HG AG AG a a2 a2  ( đvtt) = A G.S ABC = = 12 Câu 47 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy vuông; mặt bên ( SAB ) tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SCD ) 7a Tính thể tích V khối chóp S ABCD A V = a3 C V = a3 B V = a 3a3 D V = Lời giải Chọn D S K A D I B J C Gọi I ; J trung điểm AB ; CD ; K hình chiếu I lên SJ Đặt cạnh đáy x SI = x , IJ = x Vì AB // CD nên d ( A; ( SCD ) ) = d ( I ; ( SCD ) ) = IK =  3a = IS IJ IS + IJ x  x = a 3 2 x + x x Từ suy V = x 3a x = 2 “Sen nở tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 25 HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp VABC ABC  a a AG.HG =a = 2 AG − HG a a2 − 12 HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Câu 48 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC vuông cân B, AC = a 2, SA ⊥ ( ABC ) , SA = a Gọi G trọng tâm SBC , mp ( ) qua AG song song với BC chia khối chóp thành hai phần Gọi HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp V thể tích khối đa diện khơng chứa đỉnh S Tính V 4a 4a 5a A B C 27 54 Lời giải Chọn C D 2a Trong mặt phẳng ( SBC ) Qua G kẻ đường thẳng song song với BC cắt SC , SB E , F Khi ta khối đa diện không chứa đỉnh S ABCEF V SA SF SE 2 Ta có G trọng tâm SBC nên S AFE = = = VS ABC SA SB SC 3 4 Do VS AFE = VS ABC  VABCEF = VS ABC − VS ABC = VS ABC 9 Vì tam giác ABC vng cân B, AC = a nên AB = BC = a Mặt khác VS ABC 11 a3 a3 5a3 = a.a.a = Suy VABCEF = = 32 54 Câu 49 Cho lăng trụ tam giác ABC ABC có cạnh đáy 2a , khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( ABC ) A a a Khi thể tích khối lăng trụ bằng: B 3a C a D 3 a Lời giải Chọn B HQ MATHS – 26 “Sen nở tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp A' B' C' H A K C Gọi K trung điểm d( A;( ABC )) = AH = AH ⊥ AK ( H  AK ) Ta có BC , dựng AH ⊥ ( ABC ) , suy a 2a = a Xét tam giác AAK vuông A , đường cao AH 1 1 Ta có: = − = − =  AA = a 2 AA AH AK 6a 3a 3a Tam giác ABC đều, có đường cao AK = Thể tích khối lăng trụ: V = AA.S ABC = a 3 ( 2a ) = 3a Câu 50 Cho hình lăng trụ ABC ABC có độ dài tất cạnh a hình chiếu vng góc đỉnh C lên mặt phẳng ( ABBA ) tâm hình bình hành ABBA Thể tích khối lăng trụ ABC ABC tính theo a A a3 B a3 12 C a 3 D a3 Lời giải C B A O B' a C' A' Chọn A Gọi O tâm hình thoi ABBA Theo giả thiết suy CO ⊥ BA hay tam giác CBA cân C Tương tự tam giác CAB cân C “Sen nở tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 27 HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp B HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Do C.ABBA hình chóp tứ giác đều, cạnh a a 2 a Ta có CO = CA − AO = a −   =   2 HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp 1 a a3 Khi VC ABBA = S ABBA CO = a = 3 Ta có VC ABC = VABC ABC nên VC ABBA = VABC ABC 3 a3 Do VABC ABC  = VC ABBA = Câu 51 Cho lăng trụ ABC ABC có đáy tam giác vuông cân B , AB = a Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng ( ABC ) điểm H thuộc cạnh AC cho HC = 2HA Mặt bên ( ABBA ) tạo với đáy góc 60 Thể tích khối lăng trụ là: A a3 B a3 C 3a3 D 3a3 Lời giải Chọn D A C B A I H C B Tam giác ABC vuông cân B , AB = a = BC  SABC = 3a Ta có ( ABBA ) tạo với đáy góc 60 AIH = 60 , với IH // BC Suy AH = IH tan 60 = BC = a = h Vậy thể tích khối lăng trụ là: VABC ABC = SABC h = 3a3 Câu 52 Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB = cạnh lại x Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD 2 A x = B x = 2 C x = D x = Lời giải Chọn B Cách 1: Gọi M trung điểm CD H hình chiếu A BM HQ MATHS – 28 “Sen nở tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp CD ⊥ AM ; CD ⊥ BM  CD ⊥ ( ABM )  AH ⊥ ( BCD ) Đặt AMB =  suy sin  = VABCD x AH  AH = sin  AM x x2 512 = sin  = 2  sin  = = AH SBCD x HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp A A A B D H M C Xét tam giác AMB ta có: cos  = M B H H M B AM + BM − AB = 1− AM BM x Ta phương trình: 512   + 1 −  = Giải phương trình ta x = 2 x  x  CD ⊥ AM  CD ⊥ ( ABM ) Cách 2: Nhận xét:  CD ⊥ BM 2 1  VABCD = 2VNBCD = VBNCD = BN S DNC =  MN DC  3 2   DN = AB − AN = x −   , 0 xa 3x − 12 2  MN = DN − DM =  ( VABCD = ) 3x − 12 x = 2  x = 2 Câu 53 Một người cần làm hình lăng trụ tam giác từ nhựa phẳng để tích cm3 Để hao tốn vật liệu cần tính độ dài cạnh khối lăng trụ tam giác bao nhiêu? A Cạnh đáy cm cạnh bên cm B Cạnh đáy cm cạnh bên cm C Cạnh đáy 2 cm cạnh bên cm D Cạnh đáy cm cạnh bên cm Lời giải Chọn B “Sen nở tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 29 HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp B' A' C' h A B HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp x C Giả sử hình lăng trụ tam giác cần làm ABC ABC có độ dài AB = x , AA = h Khi S ABC = 3 x VABC ABC  = S ABC AA = x h 4 24 x h=6 3h= x Để tốn vật liệu diện tích tồn phần khối lăng trụ ABC ABC nhỏ Gọi Stp tổng diện tích mặt khối lăng trụ ABC ABC , ta có: Theo giả thiết Stp = 2SABC + 3S ABBA = Khảo sát f ( x ) = 3 72 x + 3hx = x + 2 x 72 ( 0; + ) , ta f ( x ) nhỏ x = x + x Với x =  h = cm Câu 54 Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a M , N trung điểm cạnh AD BC Biết thể tích khối ABCD V = A MN = a a3 a d ( AB; CD ) = a (giả sử MN  ) Khi độ dài đoạn MN là: 12 B MN = a a C MN = 2 Lời giải: D MN = a Chọn C HQ MATHS – 30 “Sen nở tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp A M H B N E C Dựng hình bình hành BDCE Khi ta có d ( CD; AB ) = d ( C ; ABE ) = a a  Đặt MN = x  x   , suy AE = x 2  1 Gọi H trung điểm AB , ta có: S ABE = AE.BH = x a − x = x a − x Nên kí hiệu diện tích 2 tam giác a3 V ( C ABE ) = V ( ABCD )  a.x a − x = 12  x a2 − x2 = a2  16 x a − 16 x = 3a 4  x = a a  Kết hợp điều kiện, x = 2 x = a  Câu 55 Xét khối tứ diện ABCD , AB = x , cạnh cịn lại Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD lớn A x = B x = 2 C x = 14 D x = Lời giải Chọn D “Sen nở tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 31 HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp D HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp A M x D HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp B H C Gọi M , H trung điểm AB CD CM ⊥ AB  AB ⊥ ( CDM ) Ta có tam giác ABC , ABD cân C D Suy   DM ⊥ AB Ta có: CAB = DAB ( c.c.c ) suy MC = MD Ta MH ⊥ CD Tứ diện BMCH có đường cao BM , đáy tam giác MHC vng H x Có BM = ; BH = BC − CH = 12 − = HC = ; HM = BH − BM = − VABCD = 2VBMCD = 2.2VBMHC = x2 1 x2 Suy S MHC = MH HC = − 2 x x2 = − 2 x x2 x x2  x2 x2  3 9− = 9−   + −  = 4  4 Vậy giá trị lớn thể tích khối tứ diện x2 x2 3 , đạt = −  x = 18  x = 4 Câu 56 Một viên đá có hình dạng khối chóp tứ giác với tất cạnh a Người ta cắt khối đá mặt phẳng song song với đáy khối chóp để chia khối đá thành hai phần tích Tính diện tích thiết diện khối đá bị cắt mặt phẳng nói (Giả thiết tổng thể tích hai khối đá sau thể tích khối đá đầu) A 2a B a2 C a2 D a2 Lời giải Chọn D HQ MATHS – 32 “Sen nở tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp S Q M N H A P D O B C  SO ⊥ ( ABCD ) H = SO  ( MNPQ ) Do   SH ⊥ ( MNPQ ) MNPQ ABCD ( ) ( )   SH SM SN SP SQ = = = = = k ( k  ) (Định lý Thales) V = VS ABCD Đặt SO SA SB SC SD VS MPQ V V  SM SN SP SM SP SQ  Ta có S MNPQ = S MNP + =  + = (k + k3 ) = k3  2VS ABC 2VS ACD  SA SB SC SA SC SD  V Theo ycbt : Mặt khác VS MNPQ V =  SMNPQ = = k3 = VS MNPQ V 1 k = 2 SH S MNPQ S = k MNPQ =3 S ABCD SO.S ABCD 3 2 a2 a = S ABCD = 2k Câu 57 Cho nhơm hình vng cạnh 1( m ) hình vẽ Người ta cắt phần tơ đậm nhơm gập thành hình chóp tứ giác có cạnh đáy x ( m ) , cho bốn đỉnh hình vng gập lại thành đỉnh hình chóp Tìm giá trị x để khối chóp nhận tích lớn A x = B x = C x = 2 D x = Lời giải Chọn C “Sen nở tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 33 HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Gọi M , N , P , Q giao điểm mặt phẳng cắt với cạnh bên SA , SB , SC , SD HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp S S A B D O A D M C S1 HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp M O B x C x 2−x Từ hình vng ban đầu ta tính OM = , S1M = S1O − OM = (0 x  ) 2 Khi gấp thành hình chóp S ABCD S1  S nên ta có SM = S1M − 2x (Điều kiện  x  ) 2 1 Thể tích khối chóp S ABCD : VS ABCD = S ABCD SO = x 2 − 2 x = x − 2 x5 6 Từ SO = SM − OM = Ta thấy VSABCD lớn f ( x ) = x − 2 x5 ,  x  ( Ta có f  ( x ) = 8x3 − 10 x4 = x3 − x ) đạt giá trị lớn x = f ( x) =   x = 2  Bảng biến thiên Vậy: VS ABCD lớn x = 2 Câu 58 Cho lăng trụ ABC ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc điểm A lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường thẳng AA BC a Khi thể tích khối lăng trụ HQ MATHS – 34 “Sen nở tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp A a3 12 B a3 C a3 D a3 24 Lời giải HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Chọn A Gọi H trọng tâm tam giác ABC I trung điểm BC Ta có  AH ⊥ BC   BC ⊥ ( AAI )  BC ⊥ AA  AI ⊥ BC  AH  AI = H  Gọi K hình chiếu vng góc I lên AA Khi IK đoạn vng góc chung AA BC nên IK =d ( AA, BC ) = a Xét tam giác vng AIK vng K có IK = a a , AI =  IK = AI  KAI = 30 2 Xét tam giác vng AAH vng H có AH =AH tan30 = Vậy VABC ABC  = a 3 a = 3 a a a3 = 12 Câu 59 Một người xây nhà xưởng hình hộp chữ nhật có diện tích mặt sàn 1152 m2 chiều cao cố định Người xây tường xung quanh bên để ngăn nhà xưởng thành ba phịng hình chữ nhật có kích thước (khơng kể trần nhà) Vậy cần phải xây phòng theo kích thước để tiết kiệm chi phí (bỏ qua độ dày tường) “Sen nở tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 35 HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp A 16 m  24 m B m  48 m C 12 m  32 m D 24 m  32 m Lời giải HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Chọn A Đặt x , y , h chiều dài, chiều rộng chiều cao phịng 384 x Để tiết kiệm chi phí diện tích tồn phần nhỏ 384 576   Ta có Stp = xh + yh + 3xy = xh + h + 1152 = 4h  x +  + 1152 x x   Theo giả thiết, ta có x.3 y = 1152  y = Vì h khơng đổi nên Stp nhỏ f ( x ) = x + Cách 1: Khảo sát f ( x ) = x + Cách BĐT Côsi x + 576 (với x  ) nhỏ x 576 với x  ta f ( x ) nhỏ x = 24  y = 16 x 576 576 576  x = 48 Dấu “=” xảy  x = → x = 24 x x x HQ MATHS – 36 “Sen nở tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.”