Về chuẩn lôgarit của ma trận

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ LAN ANH VỀ CHUẨN LÔGARIT CỦA MA TRẬN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, tháng 5/2018 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ LAN ANH VỀ CHUẨN LƠGARIT CỦA MA TRẬN Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN THANH SƠN Thái Nguyên, tháng 5/2018 Mục lục Bảng ký hiệu ii Mở đầu 1 Chuẩn lôgarit ma trận 1.1 Chuẩn ma trận 1.1.1 Chuẩn véc tơ 1.1.2 Chuẩn ma trận Chuẩn lôgarit ma trận 1.2.1 Khái niệm chuẩn lôgarit 1.2.2 Một số tính chất chuẩn lơgarit Một số ứng dụng 16 1.3.1 Cận cho nghiệm phương trình vi phân tuyến tính 16 1.3.2 Sai số phương pháp Euler ẩn 18 1.3.3 Sai số phương pháp Newton-Raphson 22 1.2 1.3 Chuẩn lôgarit cặp ma trận 25 2.1 Chuẩn lôgarit cho cặp ma trận 25 2.1.1 Khái niệm mở đầu 25 2.1.2 Định nghĩa chuẩn cặp ma trận 26 2.1.3 Chuẩn lôgarit cặp ma trận 35 i 2.2 Chuẩn lơgarit cho tốn tử tuyến tính vơ hạn chiều 40 2.3 Sự tăng nghiệm 41 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 ii Bảng ký hiệu kxkp chuẩn p kxk∞ chuẩn vô kAkP chuẩn ma trận A P kA, BkV chuẩn cặp ma trận A, B V h·, ·i tích vơ hướng k · km b chuẩn véc tơ Rm Q> ma trận chuyển vị ma trận Q µ(A) chuẩn lơgarit ma trận A µP (A) chuẩn lơgarit P AP −1 Rn×n khơng gian ma trận vng cỡ n × n exp hàm lũy thừa số e B(x∗ ; r) hình cầu mở tâm x∗ , bán kính r σ(A, B) tập phổ cặp ma trận ρ(A, B) bán kính phổ cặp ma trận diag ma trận đường chéo Ir ma trận đơn vị cỡ r × r D+ đạo hàm bên phải bD A ma trận nghịch đảo Drazin Ab Mở đầu Khi nghiên cứu định lượng phương trình vi phân tuyến tính phương trình vi phân đại số, người ta quan tâm đến tính bị chặn nghiệm chúng Rõ ràng, đại lượng liên quan đến độ đo ma trận hệ số Thơng thường, việc làm ta liên tưởng đến chuẩn ma trận Song chuẩn ma trận đại lượng không âm nên không cho ta ước lượng chặt cho tính bị chặn nghiệm Việc giới thiệu sử dụng khái niệm chuẩn lôgarit ma trận giúp ta khắc phục điều Khơng vậy, cịn sử dụng nhiều đánh giá tính phân tích tính hội tụ số phương pháp số giải phương trình vi phân Mặc dù có tầm quan trọng vậy, chuẩn lôgarit không giới thiệu chương trình đại học cao học Chính lẽ đó, chúng tơi chọn đề tài “Về chuẩn lôgarit ma trận” để làm luận văn thạc sĩ Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương Chuẩn lôgarit ma trận Trước tiên, nhắc lại khái niệm chuẩn thông thường ma trận Sau đó, chúng tơi trình bày chi tiết định nghĩa nhiều tính chất phong phú Cuối cùng, Chương I kết thúc số ứng dụng chuẩn lôgarit ma trận Chương Chuẩn lôgarit cặp ma trận Chương này, chúng tơi trình bày khái niệm chuẩn lơgarit cho cặp ma trận (A, B) tính chất chuẩn lơgarit cặp ma trận Khái niệm mở rộng cho cặp tốn tử tuyến tính vơ hạn chiều Cuối cùng, nghiên cứu tăng nghiệm hệ vi phân đại số có hệ số thay đổi Luận văn kết thúc với phần kết luận tài liệu tham khảo Mặc dù nghiêm túc cố gắng thực luận văn này, luận văn không tránh khỏi khiếm khuyết định Kính mong góp ý thầy để luận văn hoàn chỉnh ý nghĩa Luận văn thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn TS Nguyễn Thanh Sơn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình đầy trách nhiệm để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả học tập nhiều kiến thức chuyên ngành bổ ích cho cơng tác nghiên cứu thân Nhân dịp tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy giáo, Cô giáo tham gia giảng dạy lớp Cao học Toán K10A; Nhà trường phòng chức Trường, Khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Cuối tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp động viên, ủng hộ tạo điều kiện cho tác giả suốt thời gian nghiên cứu học tập Thái Nguyên, tháng năm 2018 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Lan Anh Chương Chuẩn lơgarit ma trận Chương trình bày khái niệm, phát biểu chứng minh tính chất số ứng dụng chuẩn lôgarit Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [2–4, 7, 8] Đáng ý, chúng tơi tự chứng minh nhiều tính chất mà tài liệu liệt kê 1.1 Chuẩn ma trận Trong mục này, chúng tơi trình bày khái niệm chuẩn ma trận Trước tiên, nhắc lại khái niệm chuẩn khơng gian tuyến tính Đây kiến thức học chương trình giải tích hàm Song trình bày đây, chúng tơi chọn nhấn mạnh đến khía cạnh tính tốn nên trình bày khơng gian hữu hạn chiều Khái niệm chuẩn ma trận sau trình bày dựa hai cách: chuẩn tốn tử tuyến tính không gian hữu hạn chiều chuẩn véc tơ Để đảm bảo tính ngắn gọn, chứng minh cho phát biểu lược Người đọc tìm hiểu tài liệu chúng tơi tham khảo [3] 1.1.1 Chuẩn véc tơ Chuẩn sử dụng để tính tốn sai số phép tính ma trận, cần hiểu làm để tính tốn vận dụng chúng Định nghĩa 1.1.1 Chuẩn khơng gian tuyến tính Rn hàm k ·k : Rn −→ R, thỏa mãn tất tính chất sau đây: 1) kxk ≥ 0, kxk = x = 0; 2) kαxk = |α|kxk với vô hướng α; 3) kx + yk ≤ kxk + kyk Ví dụ 1.1.2 Các chuẩn phổ biến kxkp =
1/p p i |xi | P với ≤ p < ∞ mà ta hay gọi chuẩn p, chuẩn kxk∞ = maxi |xi |, mà ta gọi chuẩn ∞ hay chuẩn vơ cực Ta chứng minh dễ dàng rằng, kxk chuẩn C ma trận khơng suy biến bất kỳ, kCxk chuẩn Bây ta định nghĩa tích vơ hướng, khái qt hóa tích vơ hướng tiêu P chuẩn i xi yi phát sinh thường xuyên đại số tuyến tính Định nghĩa 1.1.3 Cho Rn khơng gian tuyến tính thực Hàm số h·, ·i : Rn ×Rn −→ R gọi tích vơ hướng tính chất sau thỏa mãn: 1) hx, yi = hy, xi; 2) hx, y + zi = hx, yi + hx, zi; 3) hαx, yi = αhx, yi với vô hướng α thực; 4) hx, xi ≥ 0, hx, xi = x = Ví dụ 1.1.4 Trên R, hx, yi = y > x = P i xi y i tích vơ hướng Định nghĩa 1.1.5 x y trực giao hx, yi = Một tính chất quan trọng tích vơ hướng thỏa mãn bất đẳng thức p Cauchy-Schwartz Điều dẫn đến việc ta chứng minh hx, xi chuẩn Bổ đề 1.1.6 Bất đẳng thức Cauchy-Schwartz |hx, yi| ≤ Bổ đề 1.1.7 p p hx, xihy, yi hx, xi chuẩn Có tương ứng − tích vơ hướng ma trận đối xứng xác định dương định nghĩa Những ma trận xuất thường xuyên ứng dụng Định nghĩa 1.1.8 Một ma trận thực đối xứng A xác định dương x> Ax > với x 6= Ta viết tắt đối xứng xác định dương s.p.d Bổ đề 1.1.9 Cho B = Rn h·, ·i tích vơ hướng Thì có ma trận A s.p.d cỡ n × n mà hx, yi = y > Ax Ngược lại, A s.p.d y > Ax tích vô hướng Hai bổ đề cho phép so sánh chuẩn khác không gian hữu hạn chiều Bổ đề 1.1.10 Cho k · kα k · kβ hai chuẩn Rn Có số C1 , C2 > mà, với x, C1 kxkα ≤ kxkβ ≤ C2 kxkα Ta nói chuẩn k · kα k · kβ tương đương với số C1 , C2 Bổ đề 1.1.11 kxk2 ≤ kxk1 ≤ kxk∞ √ nkxk2 , √ ≤ kxk2 ≤ nkxk∞ , kxk∞ ≤ kxk1 ≤ nkxk∞ 1.1.2 Chuẩn ma trận Định nghĩa 1.1.12 k.k chuẩn ma trận ma trận cỡ m × n ma trận vectơ khơng gian m.n chiều: 1) kAk ≥ 0, kAk = A = 0; = I − h D1 f (τ yn+1 , n + 1)dτ yn+1 ≥ (1 + mh)|yn+1 | (1.10) Từ + mh > > 0, bất đẳng thức (1.10) trở thành |yn+1 | ≤ (1 + mh)−1 |yn | + (1 + mh)−1 |un+1 |, n ≥ Do cận (1.5) suy (1.11) 21 Định nghĩa sai số địa phương {ξn }∞ (1.12) ξn , xn+1 − xn − hx˙ n+1 , n ≥ Thứ nhất, ý x(·) u(·) bị chặn [0, ∞) Lấy vi phân hai v ca (1.2) i vi: xă(t) = D1 f (x, t)[f (x, t) + u(t)] + D2 f (x, t) + u(t) (1.13) Do vy Z |ă x(t)| ≤ kD1 f (x, t)k  kD1 f (τ x, t)kdτ |x(t)| + |u(t)| + |D2 f (x, t)| + |u(t)| ˙ < ∞, ∀ t ∈ R+ (1.14) Bằng định nghĩa ξn (1.12) công thức Taylor áp dụng vào thành phần ξn = − h2 Un (1.15) thành phần thứ j [Un ]j Un thành phần thứ j xăj ca xă ỏnh giỏ ti mt im ca [nh, (n + 1)h] T (1.13), xă l b chn [0, ∞), Un bị chặn [0, ∞) Vì |Un | bị chặn; |Un | ≤ ρ1 số ρ1 > với n ≥ Do |ξn | ≤ h2 ρ1 , (1.16) ∀ n ≥ Bây giờ, từ (1.2), (1.3), (1.12), Z (yn+1 − xn+1 ) − h D1 f [(1 − τ )xn+1 + τ yn+1 , n + 1]dτ (yn+1 − xn+1 ) = yn − xn − ξn (1.17) sử dụng công thức Taylor cho f (yn+1 , n + 1) − f (xn+1 , n + 1) Tương tự cho chứng minh phần 1), thu |yn+1 − xn+1 | ≤ (1 + mh)−1 |yn − xn | + (1 + mh)−1 |ξn | (1.18) 22 Do n |yn − xn | ≤ (1 + mh) −n X |y0 − x0 | + h2 ρ1 (1 + mh)−k k=1 ≤ (1 + mh)−1 |y0 − x0 | + h2 ρ1 ∞ X (1 + mh)−1 k=1 1 = (1 + mh)−n |y0 − x0 | + h2 ρ1 mh (1.19) Cho ρ , ρ1 /(2m), bất đẳng thức (1.6) chứng minh 1.3.3 Sai số phương pháp Newton-Raphson Xét phương trình sai phân (1.20) xk+1 = f (xk ) xk ∈ Rd với k ∈ Z+ f : Rd −→ Rd liên tục Vì vậy, với x0 ∈ Rd , nghiệm {x(k, x0 )}∞ (1.20) định nghĩa cố định với k ∈ Z+ , x 7→ x(k, x0 ) liên tục Hội tụ phương pháp Newton - Raphson Bài toán: Cho f : Rd −→ Rd f ∈ C Cho vài y ∈ Rd tìm x∗ cho f (x∗ ) = y Phương pháp sử dụng phép lặp: xk+1 = xk − [Df (xk )]−1 [f (xk ) − y], k = 0, 1, 2, (1.21) với x0 cho trước Định lí 1.3.4 Giả sử f : Rd → Rd f ∈ C ; Tồn m > −µ[Df (x)] ≥ m > hay −µ[−Df (x)] ≥ m > 0, ∀ x ∈ Rd ; 23 Tồn hàm đơn điệu liên tục tăng k ∗ (·) : R+ −→ R+ cho ∀ r > kDf (u) − Df (v)k ≤ k ∗ (r)|u − v|, ∀ u, v ∈ B(x∗ ; r) Định nghĩa r∗ nghiệm r = 2m/k ∗ (r), r > Với điều kiện này, x0 ∈ B(x∗ ; r∗ ), dãy tương ứng {xk }∞ định nghĩa (1.21) nằm B(x∗ , r∗ ) hội tụ bậc hai đến nghiệm x∗ Bằng định nghĩa r∗ , vùng hội tụ rộng m trở nên lớn hay f (·) trở nên trơn nhẵn, tức là, k ∗ (r) giảm cố định r > Nếu k ∗ (·) hàm số, r∗ trở thành 2m/k ∗ , kết m k ∗ vùng hội tụ hiển nhiên Vấn đề giải tích tìm cận trên k[Df (x)]−1 k Sử dụng ràng buộc µ(·) giả thiết Chứng minh Từ giả thiết, ta suy f C vi đồng phơi Rd lên nó; cho y ∈ Rd , f (x) = y có nghiệm Đặt ek , x∗ − xk , ∀ k ∈ Z+ Do ek+1 = x∗ − xk+1 = x∗ − xk + [Df (xk )]−1 [f (xk ) − y] = [Df (xk )]−1 [Df (xk )(x∗ − xk ) + f (xk ) − f (x∗ )] −1 = [Df (xk )] ∗ Z [Df (xk )(x − xk ) − Df (x∗ − rek )drek ] sử dụng công thức Taylor Tính ek+1 theo ek , có ∗ −1 Z ∗ ek+1 = [Df (x − ek )] ∗ [Df (x − ek ) − Df (x − rek )]drek  (1.22) 24 Để nghiên cứu hội tụ phương pháp, đặt V (e) = |e| Từ (1.22) với ∆V (ek ) , V (ek+1 ), ∀ k ∈ Z+ , ta suy Z ∗ ∗ [Df (x − e) − Df (x − re)]dre − |e| ∆V (e) ≤ k[Df (x − e)] k