53 hsg9 thái bìnhx

Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Học sinh giỏi 99 Câu Tỉnh Thái Bình (3,0 điểm) x a) Cho 21 2022 A  x  x  x  x   2022  Tính giá trị biểu thức   b) Cho a, b, c ba số thực không âm thỏa mãn: a  b  c  a  b  c 3 a b c    3a 3b 3c   a   b   c Chứng minh rằng: Câu (3,0 điểm) a) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M (1; 2) đường thẳng ( d ) : y ax  b (với a  ) Tìm a, b để đường thẳng (d ) qua điểm M cắt hai trục tọa độ Ox, Oy hai điểm A, B ( A, B khác gốc tọa độ) thỏa mãn: 12.OA  5.OB 13 AB b) Chứng minh không tồn đa thức f ( x ) có hệ số nguyên thỏa mãn: f (6) 2022 f (3) 2 Câu (4,0 điểm) 10 x  x  a) Giải phương trình Câu 4x   x  y  2 x  xy  y  x  y  xy    x  x  12  x  y   y  b) Giải hệ phương trình  2 (2,0 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c 2 Chứng minh: ab  2c bc  2a ca  2b ab  bc  ca   2  2 2  ab  c  bc  a  ca  b Câu Câu (3,0 điểm) Cho tứ giác lồi ABCD Lấy điểm M đường chéo AC Qua M kẻ MP song song với AB ; MQ song song với CD ( P  BC ; Q  AD ) Chứng minh rằng: 1  2 2 MP  MQ AB CD 1  2 2 AB CD , tính độ dài đoạn thẳng CM theo độ dài đoạn thẳng Khi MP  MQ AB, AC , CD (3,0 điểm) Cho đường tròn (O; R ) điểm M nằm ngồi đường trịn, vẽ tiếp tuyến MA, MB ( A, B tiếp điểm) Lấy điểm N nằm đường tròn thuộc miền tam giác ABC ( N khác A, B ) Vẽ tiếp tuyến đường tròn (O; R ) N cắt MA, MB thứ tự P, Q Đoạn thẳng AB cắt đoạn thẳng OP E ; cắt đoạn thẳng OQ F Chứng minh AE BF PN NQ CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Câu (2,0 điểm) Cho hai số nguyên thỏa mãn a  b chia hết cho a  b2  ab   a  b   2023 chia hết cho Chứng minh -Hết HƯỚNG DẪN GIẢI Câu (3,0 điểm) x a) Cho 21 2022 A  x  x  x  x   2022  Tính giá trị biểu thức   b) Cho a, b, c ba số thực không âm thỏa mãn: a  b  c  a  b  c 3 a b c    3a 3b 3c   a   b   c Chứng minh rằng: Lời giải x a) Khi  21  1   21  1  21   21  2  Suy ra: Ta có x     x  1 2  x  x  0 A  x5  x  x3  x  x  x    2022  x3 x  x   x x  x   1        x  x  x3  x  1      2022  2022 2022  2022  2022   1 2022  2022 2023 (do x  x  0 ) 2 b) Đặt x  a ; y  b ; z  c , x  y  z  x  y  z 3 Ta có xy  yz  zx  Do đó:  x  y  z    x2  y  z2  3  a xy  yz  zx  x  x  y   x  z   b  xy  yz  zx  y  y  x   y  z   c  xy  yz  zx  z  z  x   z  y  a b c x y z       a b  c  x  y  x  z  y  z   y  x  z  x  z  y Suy ra:  xy  yz  zx      x  y  y  z   z  x  x  y  y  z   z  x Câu   a   b   c (đpcm) (3,0 điểm) CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 a) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M (1; 2) đường thẳng ( d ) : y ax  b (với a  ) Tìm a, b để đường thẳng (d ) qua điểm M cắt hai trục tọa độ Ox, Oy hai điểm A, B ( A, B khác gốc tọa độ) thỏa mãn: 12.OA  5.OB 13 AB b) Chứng minh không tồn đa thức f ( x ) có hệ số nguyên thỏa mãn: f (6) 2022 f (3) 2 Lời giải a) Do ( d ) : y ax  b qua điểm M (1; 2) nên a  b 2 Đường thẳng ( d ) : y ax  b cắt hai trục tọa độ Ox, Oy hai điểm A, B nên a, b 0 theo a  suy b b b b2 b  A  ;0  ; B  0; b   OA    ; OB  b ; AB  OA2  OB   b  b a a a  a  a Bài ra: 12.OA  5.OB 13 AB  12 b  b 13 b a a2 a2 1 1  12  13  a a b 0       12   132   1  a  a  19 5     12  0  a   b  12 12 a  b 2 a  19 a  ,b  12 12 Vậy b) Giả sử tồn đa thức đa thức nguyên Ta có f ( x) an x n  an 1x n   a1x  a0 , với hệ số f (6) an 6n  an 6n    a1 6  a0 f (3) an 3n  an  3n   a1 3  a0 Ta thấy, f (6)  f (3) 3.M 2022  hay 3.M 2020 (vô lí, M số ngun) Vậy khơng tồn đa thức f ( x) có hệ số nguyên thỏa mãn đề Câu (4,0 điểm) 10 x  x  a) Giải phương trình 4x   x  y  2 x  xy  y  x  y  xy    x  x  12  x  y   y  b) Giải hệ phương trình  Lời giải CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  1 Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 10 x  x  a) 4x   100 x  60 x   x  3    x      x      2  100 x  80 x  16   x    1   10 x     x    1      10 x    x  3 1    10 x    x     Giải phương trình (1):   x   10 x     x    10 x   (1) (2)    10  x  10  x  10 5  x  3  10 x  3  1    4  x   x   x  10 5  x  3   10 x   5  x  3   10 x     Giải phương trình (1):      10  S  ;  10 10    Vậy tập nghiệm phương trình  x  y  2 x  3xy  y x  y  xy    x  x  12  x  y   y  b)  (1) (2) (1)  x  xy  y  2 x  xy  y   x  y  0  2 x  xy  y   x  y         x  y  0 2 x  xy  y   x  y  7 x  y   x  y   2 x  3xy  y   x  y  0   x  y    0 1  2 x  3xy  y  x  y     2   x  y  0   0 1  2 2 x  xy  y  x  y    1 TH1: 2 2 x  xy  y   x  y  x  y  0   TH2: 0 ( vô nghiệm x  y 0 ) x y Thay vào phương trình (2) ta được: CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 x  x  12  x  3x   x    x  x  12  x  x    x  x  12  x  x    x    x  x  12  x  x          x    x    x  x  12  x  3x      x  x  12  x  3x  2 (do x  0) Mà x  x  12  x  x   x   x   x    2 x  x  12  x    2 x  x    x  x  12  x  14 x  49   Suy ra:    x     x   x  y    x  y 1 Suy ra:  Vậy hệ phương trình có hai nghiệm Câu  x, y  1 ;  7 7   1;  1 ,  2 (2,0 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c 2 Chứng minh: ab  2c bc  2a ca  2b ab  bc  ca   2  2 2  ab  c  bc  a  ca  b Lời giải 2 Do a  b  c 2 nên ta có ab  2c ab  2c ab  2c  2  2   ab  c a  b  c  ab  c a  b  ab Áp dụng bất đẳng thức xy  ab  2c  ab  2c   a 2  b  ab  xy ,  x, y    2 2c  a  b  2ab  a  b  c   a  b  c  ab  2c   a  b  ab   2  ab  2c   ab  c 2 Tương tự 2 ab  2c  ab  2c   a 2  b  ab  bc  2a bc  2a   2  bc  a  ab  2c ab  2c  1 2 a b c ca  2b ca  2b  3 2  ca  b 2 Cộng vế theo vế bất đẳng thức (1), (2), (3) kết hợp a  b  c 2  a  b  c   ab  bc  ca ab  2c bc  2a ca  2b ab  bc  ca    2  2 2  ab  c  bc  a  ca  b 2 CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Dấu “=’’ Câu a b c  (3,0 điểm) Cho tứ giác lồi ABCD Lấy điểm M đường chéo AC Qua M kẻ MP song song với AB ; MQ song song với CD ( P  BC ; Q  AD ) Chứng minh rằng: 1   MP  MQ AB CD 1   2 AB CD , tính độ dài đoạn thẳng CM theo độ dài đoạn thẳng Khi MP  MQ AB, AC , CD Lời giải B A P Q M C D 1 1  2      MP  MQ    MP  MQ AB CD  AB CD  Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz, ta   2   MP MQ    MC MA  MP  MQ        1 2   AB CD    AC AC  CD    AB (Đpcm) MP MC MQ MA MC MA  ;  ;  1 Vì theo định lý Ta-let, ta có: AB AC CD AC AC AC Dấu “=” xảy MP AB MQ.CD  2  2   AB CD Khi MP  MQ MP MQ MP AB MQ.CD MP.AB MP AB  1      1 2 2 AB CD AB CD AB CD Ta có  AB  CD   MP AB     MP AB 1  AB CD  AB CD   AB CD   MP AB     MP    AB CD  AB AB  CD  CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268   Trang  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 MP MC MP AC AB CD AC CD AC   MC    AB AC AB AB  CD AB AB  CD Câu  Mà (3,0 điểm)  Cho đường tròn (O; R ) điểm M nằm ngồi đường trịn, vẽ tiếp tuyến MA, MB ( A, B tiếp điểm) Lấy điểm N nằm đường tròn thuộc miển tam giác ABC ( N khác A, B ) Vẽ tiếp tuyến đường tròn (O; R ) N cắt MA, MB thứ tự P, Q Đoạn thẳng AB cắt đoạn thẳng OP E ; cắt đoạn thẳng OQ F Chứng minh AE BF PN NQ Lời giải A P N E O M F Q B Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: AP PN ; BQ QN (1) MA MB   Suy OAB cân O nên OAB OBA     Mà MAB cân M nên MAB MBA  PAE  FBQ      Lại có OP đường trung trực AN nên OAB OAE ONE  OBA ONE hay   OBE ONE suy tứ giác OBNE tứ giác nội tiếp   Tứ giác OBNE nội tiếp  OEB ONB   Tứ giác OBQN nội tiếp  OQB ONB        Suy ra: OQB OEB mà OEB  AEP ( góc đối đỉnh) nên OQB FQB  AEP Xét APE BFQ có: AEP OQB    PAE FBQ Do đó, APE đồng dạng với BFQ suy AP AE PN AE    BF BQ BF QN  AE BF PN NQ (đpcm) CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Câu (2,0 điểm) Cho hai số nguyên thỏa mãn a  b chia hết cho a  b  ab   a  b   2023 chia hết cho Chứng minh Lời giải  a  b  ab   a  b   2023 5   1     a  b    a  b    a  b    2020 5 4  1     a  b    a  b    a  b    2020  5 4  2    a  b    a  b    a  b    2020.4 5     2    a  b    a  b    5   Do số phương chia cho có số dư 0; 1; nên 2 a  b  1(mod 5)   a  b   4 (mod 5)  TH1: Nếu TH1: Nếu Suy  a  b  4(mod 5)   a  b   1 (mod 5)  a  b  0 (mod 5)   a  b   0;3; (mod 5) ( vơ lí) ( vơ lí) a  b 0 (mod 5) Vậy a  b chia hết cho -Hết - CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang 