53 hsg9 thái bình

Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam Năm học: 2022 - 2023 CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Câu (3,0 điểm) a) Cho 2 x    Tính giá trị biểu thức   20225 24 2022A x x x x      b) Cho , ,a b c ba số thực không âm thỏa mãn: 3a b c a b c      Chứng minh rằng:      3 3 3 a b c a b c a b c          Câu 2.(3,0 điểm) a) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm (1;2)M đường thẳng ( ) :d y ax b  (với 0a  ) Tìm ,a b để đường thẳng ( )d qua điểm M cắt hai trục tọa độ ,Ox Oy hai điểm ,A B ( ,A B khác gốc tọa độ) thỏa mãn: 12 13.OA OB AB  b) Chứng minh không tồn đa thức ( )f x có hệ số nguyên thỏa mãn: (6) 2022f  (3) 2f  Câu (4,0 điểm) a) Giải phương trình 10 x x x    b) Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2 12 x y x xy y x y xy x x x y y                  Câu (2,0 điểm) Cho số thực dương , ,a b c thỏa mãn 2 2a b c   Chứng minh: 2 2 2 2 2 2 2 ab c bc a ca b ab bc ca ab c bc a ca b                Câu (3,0 điểm) Cho tứ giác lồi ABCD Lấy điểm M đường chéo AC Qua M kẻ MP song song với AB ;MQ song song với CD ( ;P BC Q AD  ) Chứng minh rằng: 2 2 1 MP MQ AB CD    Khi 2 2 1 MP MQ AB CD    , tính độ dài đoạn thẳng CM theo độ dài đoạn thẳng , , AB AC CD Câu (3,0 điểm) Cho đường trịn ( ; )O R điểm M nằm ngồi đường tròn, vẽ tiếp tuyến ,MA MB ( ,A B tiếp điểm) Lấy điểm N nằm đường tròn thuộc miền tam giác ABC (N khác ,A B ) Vẽ tiếp tuyến đường tròn ( ; )O R N cắt ,MA MB thứ tự ,P Q Đoạn thẳng AB cắt đoạn thẳng OP E ; cắt đoạn thẳng OQ F Chứng minh AE BF PN NQ   Câu (2,0 điểm) Cho hai số nguyên thỏa mãn  2 2023a b ab a b     chia hết cho Chứng minh a b chia hết cho -Hết - Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam Năm học: 2022 - 2023 CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  HƯỚNG DẪN GIẢI Câu (3,0 điểm) a) Cho 2 x    Tính giá trị biểu thức   20225 24 2022A x x x x      b) Cho , ,a b c ba số thực không âm thỏa mãn: 3a b c a b c      Chứng minh rằng:      3 3 3 a b c a b c a b c          Lời giải a) Khi        2 11 1 2 2 22 2 x           Suy ra:  2 22 2 4 0x x x x         Ta có   20225 4 24 8 2022A x x x x x x            2022 2 24 4 1 2022x x x x x x              2022 24 2022x x x x           2022 2022   2023 (do 24 0x x   ) b) Đặt ; ;x a y b z c   , 2 3x y z x y z      Ta có    2 2 x y z x y z xy yz zx          Do đó:   23 a xy yz zx x x y x z           23 b xy yz zx y y x y z           23 c xy yz zx z z x z y        Suy ra:            3 3 a b c x y z a b c x y x z y z y x z x z y                                 6 3 xy yz zx x y y z z x x y y z z x a b c               (đpcm) Câu (3,0 điểm) a) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm (1;2)M đường thẳng ( ) :d y ax b  (với 0a  ) Tìm ,a b để đường thẳng ( )d qua điểm M cắt hai trục tọa độ ,Ox Oy hai điểm ,A B ( ,A B khác gốc tọa độ) thỏa mãn: 12 13.OA OB AB  b) Chứng minh không tồn đa thức ( )f x có hệ số nguyên thỏa mãn: (6) 2022f  (3) 2f  Lời giải a) Do ( ) :d y ax b  qua điểm (1;2)M nên 2a b  Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam Năm học: 2022 - 2023 CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Đường thẳng ( ) :d y ax b  cắt hai trục tọa độ ,Ox Oy hai điểm ,A B nên , 0a b  theo 0a  suy   2 2 2 ;0 ; 0; ; ; b bb b b A B b OA OB b AB OA OB b b a a a a a a                  Bài ra: 12 13.OA OB AB  12 13 b b b a a     1 12 13 a a     0b  2 1 12 13 a a               5 19 12 12 12 a b a             2a b  Vậy 19 , 12 12 a b  b) Giả sử tồn đa thức đa thức 1 0( ) n n n nf x a x a x a x a      , với hệ số ia nguyên Ta có 1 0(6) 6 6n n n nf a a a a         1 0(3) 3 3n n n nf a a a a         Ta thấy, (6) (3) 2022 2f f M    hay 2020M  (vơ lí, M số ngun) Vậy khơng tồn đa thức ( )f x có hệ số nguyên thỏa mãn đề Câu (4,0 điểm) a) Giải phương trình 10 x x x    b) Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2 12 x y x xy y x y xy x x x y y                  Lời giải a)       22 24 10 100 60 5 5 x x x x x x x x                       222100 80 16 10 1x x x x x                          10 5 10 (1) 10 5 10 (2) x x x x x x x x                       Giải phương trình (1):    2 1010 10 10 x x x x            Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam Năm học: 2022 - 2023 CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Giải phương trình (1):        2 1 62 10 10 5 10 x x x x x x x                       Vậy tập nghiệm phương trình 10 ; 10 10 S             b) 2 2 2 2 2 (1) 12 (2) x y x xy y x y xy x x x y y                   2 2 2(1) 2 0x xy y x xy y x y               22 2 2 2 2 x xy y x y x y x xy y x y                          2 2 2 7 2 2 x y x y x y x xy y x y x xy y x y                          2 2 x y x xy y x y             TH1:  2 2 2x xy y x y       ( vô nghiệm 0x y  ) TH2:  2 0x y x y    Thay vào phương trình (2) ta được: 22 12 5x x x x x        2 2 2 22 12 2 12 5 12 2x x x x x x x x x x x x x                                   22 5 12 2x x x x x x             22 12 2 ( 0)x x x x x         Mà 22 12 5x x x x x       Suy ra:   2 2 12 12 14 49 x x x x x x x x              17 7 xx xx x             Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam Năm học: 2022 - 2023 CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Suy ra: 1 x y x y         Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  ,x y   1 1; , ; 7         Câu (2,0 điểm) Cho số thực dương , ,a b c thỏa mãn 2 2a b c   Chứng minh: 2 2 2 2 2 2 2 ab c bc a ca b ab bc ca ab c bc a ca b                Lời giải Do 2 2a b c   nên ta có    2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ab c ab c ab c ab c ab c a b c ab c a b ab ab c a b ab                   Áp dụng bất đẳng thức  , , x y xy x y        2 22 2 2 2 2 22 2 2 a b cc a b ab ab c a b ab a b c                   2 2 2 22 2 2 2 2 ab c ab c ab c ab c ab c a b cab c a b ab               Tương tự   2 2 2 bc a bc a bc a        2 2 ca b ca b ca b      Cộng vế theo vế bất đẳng thức (1), (2), (3) kết hợp 2 2a b c    2 22 2 2 22 2 2 2 2 a b c ab bc caab c bc a ca b ab bc ca ab c bc a ca b                     Dấu “=’’ a b c   Câu (3,0 điểm) Cho tứ giác lồi ABCD Lấy điểm M đường chéo AC Qua M kẻ MP song song với AB ;MQ song song với CD ( ;P BC Q AD  ) Chứng minh rằng: 2 2 1 MP MQ AB CD    Khi 2 2 1 MP MQ AB CD    , tính độ dài đoạn thẳng CM theo độ dài đoạn thẳng , , AB AC CD Lời giải Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam Năm học: 2022 - 2023 CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang   2 2 2 2 1 1 1 MP MQ MP MQ AB CD AB CD             Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz, ta   2 2 2 1 MP MQ MC MA MP MQ AB CD AC ACAB CD                       (Đpcm) Vì theo định lý Ta-let, ta có: ; ; MP MC MQ MA MC MA AB AC CD AC AC AC     Dấu “=” xảy MP AB MQCD Khi 2 2 1 MP MQ AB CD    Ta có 2 2 1 MP MQ MP AB MQCD MP AB MP AB AB CD AB CD AB CD         2 2 2 1 AB CD MP AB MP AB AB CD AB CD             2 2 2 1 AB CD MP AB MP AB CD AB AB CD            Mà   2 2 22 2 MP MC MP AC AB CD AC CD AC MC AB AC AB AB CDAB AB CD       Câu (3,0 điểm) Cho đường tròn ( ; )O R điểm M nằm ngồi đường trịn, vẽ tiếp tuyến ,MA MB ( ,A B tiếp điểm) Lấy điểm N nằm đường tròn thuộc miển tam giác ABC (N khác ,A B ) Vẽ tiếp tuyến đường tròn ( ; )O R N cắt ,MA MB thứ tự ,P Q Đoạn thẳng AB cắt đoạn thẳng OP E ; cắt đoạn thẳng OQ F Chứng minh AE BF PN NQ   Lời giải Q P B A D C M Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam Năm học: 2022 - 2023 CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: ;AP PN BQ QN  (1) MA MB Suy OAB cân O nên  OAB OBA Mà MAB cân M nên  MAB MBA  PAE FBQ  Lại có OP đường trung trực AN nên     OAB OAE ONE OBA ONE    hay  OBE ONE suy tứ giác OBNE tứ giác nội tiếp Tứ giác OBNE nội tiếp  OEB ONB Tứ giác OBQN nội tiếp  OQB ONB Suy ra:  OQB OEB mà  OEB AEP ( góc đối đỉnh) nên   OQB FQB AEP  Xét APE BFQ có:  AEP OQB  PAE FBQ Do đó, APE đồng dạng với BFQ suy AP AE PN AE BF BQ BF QN    AE BF PN NQ    (đpcm) Câu (2,0 điểm) Cho hai số nguyên thỏa mãn  2 2023a b ab a b     chia hết cho Chứng minh a b chia hết cho Lời giải         2 2 2023 3 2020 4 a b ab a b a b a b a b                            2 21 3 2020 4 a b a b a b              F E Q P B A O M N Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam Năm học: 2022 - 2023 CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang        2 4 2020.4 5a b a b a b                2 5a b a b         Do số phương chia cho có số dư 0; 1; nên  23 0;3;2 (mod 5)a b   TH1: Nếu    2 1(mod 5) (mod 5)a b a b      ( vơ lí) TH1: Nếu    2 4(mod 5) (mod 5)a b a b      ( vơ lí) Suy  2 0(mod 5) (mod 5)a b a b     Vậy a b chia hết cho -Hết -