43 hsg9 phu tho

GV GIẢI ĐỀ VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 Tỉnh Phú Thọ Học sinh giỏi 99 I Trắc nghiệm (8,0 điểm) Câu Nếu a, b số tự nhiên cho A 25 Câu Câu B 37 P D 40 x 1 : x  x x x  x  x nhận giá trị nguyên? A B C D Một xe khách khởi hành từ Hà Nội xe tải khởi hành từ Vinh lúc ngược chiều Sau gặp nhau, xe khách chạy thêm đến Vinh, cịn xe tải chạy thêm 30 phút đến Hà Nội Biết Hà Nội cách Vinh 300 km, hai xe tuyến đường Vận tốc xe khách B 40 km/h C 50 km/h D 80 km/h A  3;0  , B  3;3 , Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đa giác OABCDE có tọa độ đỉnh C  1;3 , D  1;5  , E  0;5  Đường thẳng y ax chia đa giác thành hai phần có diện tích Khẳng định sau đúng? A  a  Câu C 29 Có giá trị nguyên x để biểu thức A 60 km/h Câu  48  a  b a  b B  a  C  a  d : y  m  3 x  2m  D   a  Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , đường thẳng cắt hai trục tọa độ hai điểm A B cho tam giác OAB cân Khi đó, số giá trị m thỏa mãn A B C D Câu P  y  x   P Oxy Trong mặt phẳng tọa độ , cho parabol : Có điểm A thuộc cho khoảng cách từ A đến trục hoành gấp lần khoảng cách từ A đến trục tung? A Câu C D Cho phương trình x  30 x  a 0 ( a tham số), có hai nghiệm dương nghiệm bình phương nghiệm Gọi hai nghiệm phương trình u, v với u  v Giá trị u  v  a A 100 Câu B B 115 C 130 D 145  a  b 2  m  1  m a b  m  m   b  a Cho hai số thỏa mãn điều kiện Gọi giá trị m để tổng a  b đạt giá trị nhỏ Khẳng định sau đúng? Câu   m0  0  m0    m0    m0  A B C D Khi tính tốn thể tích phịng hình hộp chữ nhật, bạn An nhập sai chiều cao vào máy tính, An nhập số liệu lớn chiều cao thật Sau có kết quả, An nói: “Mình nhầm, khơng sao, lại trừ bớt kết cho kết thơi” Bạn Bình, người Địa truy cập click vào  https://vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang  GV GIẢI ĐỀ VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 tính kết nói rằng: “Kết chưa đúng, An phải tiếp tục cộng thêm m đúng” Thể tích phịng A 24 m B 72 m 3 C 48 m D 64 m 2 Câu 10 Cho tam giác ABC vuông A, kẻ đường cao AH , biết S ABH 15,36 cm ; S AHC 8, 64 cm Độ dài AH A 4,8 cm B 9, cm C 2, cm D 6, cm Câu 11 Trong hình bên, ABCD hình thang có hai đáy AB 2; CD 5, AX song song với BC , BY song song với AD; BY cắt AX , AC Z, W Khi tỉ số diện tích tam giác AZW hình thang ABCD A 105 B 105 C 105 10 D 105 Câu 12 Cho hình thang ABCD có AB song song với CD, hai đường chéo AC BD cắt O Qua O kẻ đường thẳng song song với hai đáy, cắt AD BC P Q Khi 1  PQ a giá trị AB CD A a B a a C a D Câu 13 Cho tam giác ABC đều, có cạnh cm Trên đoạn BC lấy điểm D cho BD 2 cm Đường trung trực đoạn AD cắt AB E Độ dài DE A 2,8 cm B 5, cm C 3,6 cm D cm  O  , đường thẳng AD cắt đường thẳng BC Q, Câu 14 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường thẳng AB cắt đường thẳng CD P Từ P, Q kẻ tiếp tuyến PM , QN với  O  ( M , N tiếp điểm) Biết PM u, QN v Độ dài PQ u v A uv B 2 C u  v D uv  O; R  D điểm di động cạnh BC , Câu 15 Cho tam giác ABC đều, nội tiếp đường tròn tâm  O  E , ( E khác A ) Gọi R1 , R2 bán kính đường thẳng AD cắt đường tròn R R đường tròn ngoại tiếp tam giác EBD, ECD Giá trị lớn A 3R R2 B 3R C Địa truy cập click vào  https://vungocthanh1984.blogspot.com/ 3R D  Trang  GV GIẢI ĐỀ VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 Câu 16 Một đoàn học sinh trải nghiệm công viên Văn Lang thành phố Việt Trì tơ Nếu tơ chở 22 học sinh thừa học sinh Nếu bớt tơ số học sinh chia cho tơ cịn lại Biết ô tô chở không 30 học sinh, số học sinh đoàn tham quan A 506 B 528 C 507 Địa truy cập click vào  https://vungocthanh1984.blogspot.com/ D 529  Trang  GV GIẢI ĐỀ VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 II Tự luận (12,0 điểm) Bài (3,0 điểm) Tìm tất cặp số nguyên dương  x; y  thỏa mãn:  x  y    xy  1 662 m  n mn  a, b  1 a  b Cho số nguyên dương a, b, m, n thỏa mãn Chứng minh rằng: a  2b  a  2b số nguyên Bài (4,0 điểm) Cho a, b, x, y số thực thỏa mãn x10 y10   5 a b a  b  Chứng minh rằng:  x 1 Giải phương trình:  x4 y4     a b a b  x  y 1  5x  x  5 x  x   Giải hệ phương trình: Bài   x  x  y   x  y  y y3 1    x  3 y   y  x  (4,0 điểm)  Cho tam giác ABC cân A ( BAC  90 ) Một đường tròn tiếp xúc với AB, AC B, C Trên cung BC nằm tam giác ABC lấy điểm M ( M khác B, C ) Gọi I , H , K hình chiếu M BC , CA, AB Gọi P giao điểm hai đường thẳng MB IK , Q giao điểm hai đường thẳng MC IH , T giao điểm hai đường thẳng HK MI a) Chứng minh TK MH MK TH Bài b) Chứng minh PQ song song với BC O  O  c) Gọi đường tròn ngoại tiếp tam giác MPK MQH , N giao O  O  điểm thứ hai ( N khác M ) Chứng minh M di động cung nhỏ BC đường thẳng MN qua điểm cố định (1,0 điểm) 2 2 Cho x, y, z, t số thực không âm thay đổi thỏa mãn: x  y  z  t 2023 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x y z t S    2023 2023  yzt 2023 2023  xzt 2023 2023  txy 2023 2023  xyz -Hết - Địa truy cập click vào  https://vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang  GV GIẢI ĐỀ VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 HƯỚNG DẪN GIẢI I Câu Trắc nghiệm (7 điểm) Nếu a, b số tự nhiên cho A 25 Ta có:  48  a  b a  b C 29 D 40 Lời giải B 37  48   2  2   a  b  a 4; b 3 a 3; b 4  a  b 16  25 Câu Có giá trị nguyên x để biểu thức A P Câu B x 1 :  x  x x x x x x P x 1 : x  x x x  x  x nhận giá trị nguyên? C Lời giải    x  x  x 1 D   x x  x 1 x 1 x (đk x  0; x 1 )  1x   x 2 nên có giá trị nguyên x Một xe khách khởi hành từ Hà Nội xe tải khởi hành từ Vinh lúc ngược chiều Sau gặp nhau, xe khách chạy thêm đến Vinh, xe tải chạy thêm 30 phút đến Hà Nội Biết Hà Nội cách Vinh 300 km, hai xe tuyến đường Vận tốc xe khách A 60 km/h B 40 km/h C 50 km/h Lời giải D 80 km/h Gọi độ dài quãng đường từ Hà Nội đến điểm hai xe gặp x (km), đk:  x  300  Độ dài quãng đường từ Vinh đến điểm hai xe gặp là: 300  x (km) 300  x Vận tốc xe khách là: (km/h) x Vận tốc xe tải là: 4,5 (km/h) 300  x 2x  300  x (km) Thời gian xe khách (từ HN đến điểm gặp nhau) là: 4,5  300  x  x  300  x  :  4,5 x Thời gian xe tải (từ Vinh đến điểm gặp nhau) là: (km) 4,  300  x  2x  x Ta có phương trình: 300  x  x 4,5  300  x  x:  x 4,5  90000  600 x  x   2,5 x  2700 x  405000 0  x 900  ktm    x 180  tm  Địa truy cập click vào  https://vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang  GV GIẢI ĐỀ VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 300  180 60 Vậy vận tốc xe khách (km) Câu A  3;0  , B  3;3 , Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đa giác OABCDE có tọa độ đỉnh C  1;3 , D  1;5  , E  0;5  Đường thẳng y ax chia đa giác thành hai phần có diện tích Khẳng định sau đúng? A  a  B  a  C  a  Lời giải D   a  y E D C B M O Ta có: A x SOABCDE 3.3  2.1 11 (đvdt) Dễ thấy đường thẳng y ax phải qua gốc toạ độ cắt đoạn CB M  xM ;3 Giả sử đường thẳng y ax cắt đoạn CB thoả mãn tốn 11 MB 3  xM Diện tích hình thang OABM (đvdt) nên ta có: Khi đó:    xM   3 11 11    xM   xM  2 3 7  M  ;3  a  a  Đường thẳng y ax qua   nên ta có: Câu d : y  m  3 x  2m  Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , đường thẳng cắt hai trục tọa độ hai điểm A B cho tam giác OAB cân Khi đó, số giá trị m thỏa mãn A B C Lời giải D Gọi tọa độ giao điểm d với Ox, Oy  2m   B ;0  A  0;1  2m   m   với m 3; m 0,5 OA  OB Để tam giác OAB cân O  2m   m  1  2m  2m  5m  0 2m     2m      m  2m  2m   2m  9m  0  m  Vậy có giá trị m thỏa mãn toán Địa truy cập click vào  https://vungocthanh1984.blogspot.com/  m 2 (tm)  m 0,5( ktm)   m 4 (tm)  Trang  GV GIẢI ĐỀ VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 Câu P  y  x   P Oxy Trong mặt phẳng tọa độ , cho parabol : Có điểm A thuộc cho khoảng cách từ A đến trục hoành gấp lần khoảng cách từ A đến trục tung? A B C D Lời giải   A  xA ;  xA2   P    Gọi tọa độ điểm A thuộc 1  x A2  xA 2 Khoảng cách từ A đến trục hoành x Khoảng cách từ A đến trục tung A 1  x A 4.x A x A 4 x A     x  4.x A  A Theo đề ta có:  x A2  8.x A 0  x 0  A   x A  8.x A 0  x A 8  P  cho khoảng cách từ A đến trục hồnh gấp lần khoảng Vậy có điểm A thuộc cách từ A đến trục tung Câu Cho phương trình x  30 x  a 0 ( a tham số), có hai nghiệm dương nghiệm bình phương nghiệm Gọi hai nghiệm phương trình u, v với u  v Giá trị u  v  a A 100 B 115 C 130 Lời giải D 145 Theo hai nghiệm phương trình u, v với u  v Ta phải có:  ' 152  a   u  v 30   uv a  u v  (1) (2) (3) (4)  v 5 30  v v  v  v  30 0    v  Từ (1) ta có: u 30  v thay vào (4) ta được: + Với v 5  u 25  a 125 (thoả mãn (1) (3)) + Với v   u 36  a  216 (không thoả mãn (2)) Vậy u  v  a 25   125 145 Câu a  b 2  m  1   a b  m  m   b  Cho hai số a thỏa mãn điều kiện Gọi m0 giá trị m để tổng a  b đạt giá trị nhỏ Khẳng định sau đúng? A   m0  B  m0  C   m0   Lời giải D  m0  Đk tồn a b là: S 4 P Địa truy cập click vào  https://vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang  GV GIẢI ĐỀ VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023   m  1    m  m   12m  0  m  hay Ta có: a  b  a  b   2ab 4m  8m   2m  2m  2m  10m 2  m  5m  f  m  2  m  5m  NX: Với hàm số ln đồng biến m Do hàm số đạt giá trị nhỏ Khi tính tốn thể tích phịng hình hộp chữ nhật, bạn An nhập sai chiều cao vào máy tính, m Câu An nhập số liệu lớn chiều cao thật Sau có kết quả, An nói: “Mình nhầm, không sao, lại trừ bớt kết cho kết thơi” Bạn Bình, người tính kết nói rằng: “Kết chưa đúng, An phải tiếp tục cộng thêm m đúng” Thể tích phịng A 24 m B 72 m C 48 m D 64 m Lời giải Gọi thể tích phòng abc 4 abc  abc  abc   abc 72 3 Ta có: 2 Câu 10 Cho tam giác ABC vuông A, kẻ đường cao AH , biết S ABH 15,36 cm ; S AHC 8, 64 cm Độ dài AH A 4,8 cm B 9, cm C 2, cm D 6, cm Lời giải A B H C 1 S ABH  AH BH S ACH  AH CH 2 Ta có: , 1 S ABH S ACH  AH BH CH  AH 4 Do đó: AH 15,36.8, 64  AH 530,8416  AH 4,8cm Suy ra: Câu 11 Trong hình bên, ABCD hình thang có hai đáy AB 2; CD 5, AX song song với BC , BY song song với AD; BY cắt AX , AC Z, W Địa truy cập click vào  https://vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang  GV GIẢI ĐỀ VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 Khi tỉ số diện tích tam giác AZW hình thang ABCD A 105 B 105 C 105 10 D 105 Lời giải Gọi chiều cao hình thang h S ABCD  h S ACD  h S ADX  h ; ; Ta có: 16 16 SCWY  SCAD  SAWYD  SCAD  h  h CWY ∽ CAD suy ra: 25 25 25 8 S XZY  S XAD  SAZYD  S XAD  h  h 9 XZY ∽ XAD suy ra: 4 S AWZ SAWYD  S AZYD  h  h  h 15 Do đó: h S AWZ 15   S ABCD 105 h Suy ra: Câu 12 Cho hình thang ABCD có AB song song với CD, hai đường chéo AC BD cắt O Qua O kẻ đường thẳng song song với hai đáy, cắt AD BC P Q Khi 1 PQ a giá trị AB  CD A a B a a C Lời giải A P a D B Q O D C OP AP OB OQ a     OP OQ  Ta chứng minh: DC AD BD DC OP OQ DO BO a  1  1    1       1   AB CD  AB CD a Ta có: AB CD DB DB Địa truy cập click vào  https://vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang  GV GIẢI ĐỀ VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 Câu 13 Cho tam giác ABC đều, có cạnh cm Trên đoạn BC lấy điểm D cho BD 2 cm Đường trung trực đoạn AD cắt AB E Độ dài DE A 2,8 cm B 5, cm C 3,6 cm Lời giải D cm A E I K B D H C Kẻ AH  BC H , DK  AB K 2 Ta có: AH    27 3 cm AD   3  12  28 2 cm BK BD.Cos B = 2.Cos 600 2 1 cm  AK 5 cm Gọi I trung điểm AD Lại có: AIE ∽ AKD  AE 7 14 AE AI   AE   2,8 cm  5 AD AK hay  O  , đường thẳng AD cắt đường thẳng BC Q, Câu 14 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường thẳng AB cắt đường thẳng CD P Từ P, Q kẻ tiếp tuyến PM , QN với  O  ( M , N tiếp điểm) Biết PM u, QN v Độ dài PQ u v A uv B 2 C u  v Lời giải Địa truy cập click vào  https://vungocthanh1984.blogspot.com/ D uv  Trang 10  GV GIẢI ĐỀ VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 Q I v B N A O D u P C M Gọi I giao điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABQ PQ    Ta có: Tứ giác ABQI nội tiếp  AIP  ABQ  ADC  Tứ giác ADPI nội tiếp 2 Khi đó: PI PQ PQ.PB PD.PC PM u QI QP QA.QD QB.QC QN v 2 2 2 2 Do đó: PI PQ  QI QP u  v  PQ u  v  PQ  u  v  O; R  D điểm di động cạnh BC , Câu 15 Cho tam giác ABC đều, nội tiếp đường tròn tâm  O  E , ( E khác A ) Gọi R1 , R2 bán kính đường thẳng AD cắt đường tròn R R đường tròn ngoại tiếp tam giác EBD, ECD Giá trị lớn A 3R R2 B 3R C 3R D Lời giải A O B C D F E G Dựng hai tam giác BDF CDG phía ngồi tam giác ABC   R - Tứ giác BDEF nội tiếp đường trịn bán kính (vì BED BFD 60 )   R - Tứ giác CDEG nội tiếp đường trịn bán kính (vì CED CGD 60 ) NX: Tam giác cạnh a có bán kính đường tròn ngoại tiếp là:  R1  R a BD CD R2  ; Địa truy cập click vào  https://vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 11  GV GIẢI ĐỀ VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 BD CD 1  BD  CD  BC 3R R R1.R2   BD.CD     3 3 4 4 Do đó: Đẳng thức xảy BD CD R2 R R Vậy đạt giá trị lớn D trung điểm BC Câu 16 Một đồn học sinh trải nghiệm cơng viên Văn Lang thành phố Việt Trì tơ Nếu tơ chở 22 học sinh thừa học sinh Nếu bớt tơ số học sinh chia cho ô tô cịn lại Biết tơ chở khơng q 30 học sinh, số học sinh đoàn tham quan A 506 B 528 C 507 Lời giải D 529 * Gọi số học sinh x , số ô tô y ( x, y  N ) x Theo ta có x 22.y  y  số tự nhiên x 22.y  22  y  1  23 23   22  y y y y  số tự nhiên Suy y 2 (loại) ( tơ chở 45 người) y 24 (TM) Vậy x 22.24  529 II Tự luận (3 điểm) Bài (3,0 điểm) Tìm tất cặp số nguyên dương  x; y  thỏa mãn:  x  y    xy  1 662 m  n mn  a, b  1 a  b Cho số nguyên dương a, b, m, n thỏa mãn Chứng minh rằng: a  2b  a  2b số nguyên Lời giải Ta có:  x  y    xy  1 662 2    x  y   xy   xy  662   x  y   xy  xy 664   x  y  4 xy  664   3S 4 P  664  * S  x  y ; P  xy , S  P Đặt ĐK: , PT trở thành: 2 2 Vì S 4 P nên 3S S  664  S 332 Lại có: P  nên Từ  * suy ra: S 3S  664  S  chẵn nên 664 664  S 332 Suy ra: S   16;18 Địa truy cập click vào  https://vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 12  GV GIẢI ĐỀ VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 +) Với S 16  P 26, (thoả mãn ĐK: S 4 P ), Khi x, y nghiệm phương trình:  X 8  38 X  16 X  26 0    X 8  38 (loại x, y nguyên dương) +) Với S 18  P 77 , (thoả mãn ĐK: S 4 P ), Khi x, y nghiệm phương trình:  X 7 X  18 X  77 0    X 11 (t/m) Vậy có cặp số nguyên dương  x, y  thỏa mãn là:  7;11  11;  d  m, n   m dx, n dy ,  x, y  1; d , x, y   Gọi m  n mn d x  d y dx.dy 2   a b , ta được: a b  b x  y axy Thay vào  Từ (*) suy ra: Và axy  x  y  b  x  y  a   * 2 x, y  1  a  x  y   mà   x  y  a  a; b  1 mà 2 Do ta phải có: x  y a, kéo theo b xy Suy ra: a  2b  a  2b  x  y  xy  x  y  xy   Vì x, y   Suy ra: Vậy Bài  x  y  ,  x  y  x  y   x  y  a  2b  a  2b số nguyên (4,0 điểm) Cho a, b, x, y số thực thỏa mãn x10 y10   5 a b a  b  Chứng minh rằng: Giải phương trình:  x 1  x4 y4     a b a b  x  y 1  5x  x  5 x  x     x  x  y   x  y  y y3 1    x  y   y  x  Giải hệ phương trình:  Lời giải 2 x4 y  x  y  x4  2x2 y  y    a b a b Từ giả thiết, ta có: a b Địa truy cập click vào  https://vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 13  GV GIẢI ĐỀ VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 x4 y4 b a   a  b   a  b x  x y  y  x  x  y  y x  x y  y a b a b  b2 a x  y 2 x y  b x  a y 2abx y  bx  ay ab ab  x2 y x2  y    b a b a b Suy ra: a Áp dụng kết  0  bx ay  *  * , ta có: 5 5 x10 y10  x   y      1              5 5 a b  a  b   a  b  (đpcm)  a   b   a  b   a  b   a  b ĐKXĐ: x  Ta có: Đặt  x  1 x  * x  x  5 x  x    x  1 x  x  5 x  x   x   1 t  x  x  3,  t 0  , phương trình  1 trở thành:  t 2  t   x  1 t  x  0  t x  t 2  +V ới  x 1 x  x  2    t/m  *   x   +) Với t x    x 1    x     x 1  x 1      4 x  x  0  x  x  0   x      x  x  x  (VN) Vậy phương trình cho có nghiệm Điều kiện: x  x1 1, x2  ; y 0; x  y 0 Xét phương trình thứ nhất: x  x  y  x  y  2y   y 1  x  xy  x  y 2 y  y Địa truy cập click vào  https://vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 14  GV GIẢI ĐỀ VŨ NGỌC THÀNH 0367884554  x  y  xy  y     x  y  x  2y  +) Xét +) Xét   x y    x  y  x  y  y  x  y  TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 y 0   x y  y 0  x y  y 0  * x  y  y 0  x  y 0 không thỏa mãn hệ phương trình x  y  y  , ta có:  *   x  y   x  y        x  y  x  2y   0  x  y  2y   Do x  y 0; y  nên  x y   x  2y  0  x  y  2y  x  y  2y x  2y  Với x  y, thay vào phương trình thứ hai hệ được: x  x  0, x  3 x   x  x    x 5  2x     x  2x    2x    x     x  3 2x     x 5   x  3    2x     x  0 x  3 x   3 x   3 x    x  x  12  x    x  x  12 x 5   x 5  x  x  12  x   x  x  3 x   x  x  2 nên x  x  0   x    x  3 0  x 2 x  Nhận xét Do đó: x  y  2y 0 x  y  2y x 5  2 x 5 4  x  3  x      x    0  x 5  x 5     23 x 5  2x   3  x 5   23 x 5    x   0 +) TH1: x  0  x 3  y 3 +) TH2: Vì 23 x 5  2x   3  x 5  2 x 5 4 x 2  x   x   x   x     x   0 2x  3 x   Địa truy cập click vào  https://vungocthanh1984.blogspot.com/ 2x   x   Trang 15  GV GIẢI ĐỀ VŨ NGỌC THÀNH 0367884554  2x    x   Suy ra: 23 x 5  2x   23 x 5 2 2x   Lại có:  x 5 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023   x 5    23 x 5   1, x 2   x  4, x 2 2 x 5 4 Vậy hpt cho có nghiệm Do TH2 vơ nghiệm  x; y   3;3 Bài (4,0 điểm)  Cho tam giác ABC cân A ( BAC  90 ) Một đường tròn tiếp xúc với AB, AC B, C Trên cung BC nằm tam giác ABC lấy điểm M ( M khác B, C ) Gọi I , H , K hình chiếu M BC , CA, AB Gọi P giao điểm hai đường thẳng MB IK , Q giao điểm hai đường thẳng MC IH , T giao điểm hai đường thẳng HK MI a) Chứng minh TK MH MK TH b) Chứng minh PQ song song với BC O  O  c) Gọi đường tròn ngoại tiếp tam giác MPK MQH , N giao O  O  điểm thứ hai ( N khác M ) Chứng minh M di động cung nhỏ BC đường thẳng MN qua điểm cố định Lời giải A K O2 N T O1 M H E Q P B C I D      a) Ta có tứ giác BKMI nội tiếp (do BKM BIM 90 )  KBI KMT   Tương tự: Tứ giác CHMI nội tiếp  HCI TMH Địa truy cập click vào  https://vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 16  GV GIẢI ĐỀ VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023     Do tam giác ABC cân A nên ABC  ACB  KMT TMH   MT tia phân giác KMH TH MH   TK MK Suy ra: TK MH MK TH     b) Tứ giác CHMI nội tiếp suy MIH MCH mà MCH MBC (góc nội tiếp góc tạo tiếp tuyến   dây cung) nên MIH MBC   Tương tự: MIK MCB (*)   Từ đó: PMQ  PIQ 180 Suy tứ giác MPIQ nội tiếp   Do tứ giác MPIQ nội tiếp nên MQP MIK ;     Theo (*) MIK MCB nên MQP MCB Từ suy PQ song song với BC     c) Do PQ / / BC nên MPQ MBC , MBC IKM (tứ giác BKMI nội tiếp)   Suy PKM MPQ O  Vì Q, K nằm khác phía MP nên PQ tiếp tuyến đường tròn P O  Tương tự PQ tiếp tuyến đường tròn Q Gọi E giao điểm đường thẳng MN PQ 2 Chứng minh: EP EM EN ; EQ EM EN nên E trung điểm PQ Gọi D giao điểm đường thẳng MN BC EP EQ  ME     PQ / / BC DB DC  MD  mà EP EQ  DB DC Vì nên  MN qua trung điểm D BC , D điểm cố định Từ ta đpcm Bài (1,0 điểm) 2 2 Cho x, y, z, t số thực không âm thay đổi thỏa mãn: x  y  z  t 2023 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x y z t S    2023 2023  yzt 2023 2023  xzt 2023 2023  txy 2023 2023  xyz Lời giải a Đặt S  a, b, c, d 0 x y z t  2 ;b  ;c  ;d  2023 2023 2023 2023 Khi có  a  b  c  d 1  a b c d       2023   bcd  acd  abd  abc   a b c d   S  2023 a  b  c  d  4abcd Chỉ được: Địa truy cập click vào  https://vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 17  GV GIẢI ĐỀ VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023   a    b    c    d  0 Nhận xét: a, b, c, d 1 , suy Hay Q 1   ab  ac  ad  bc  bd  cd   (a  b  c  d )  4abcd  ab  ac  ad  bc  bd  cd   5abcd   abc  abd  acd  bcd  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: ab  ac  ad  bc  bd  cd 6  abcd  6 abcd Ngoài abc  abd  bcd  acd 0 Suy Q 6 abcd  5abcd 5   abcd  abcd  abcd 0, a, b, c, d   0;1 2 2 Q  a  b  c  d    a  b  c  d  4abcd  0 Do a  b  c  d 1 nên suy  a bc d  a  b  c  d  4abcd  Từ F 2023 Dấu xảy khi:  a b c 0; d 1 hoán vị hay x  y  z 0, t  2023 hoán vị Vậy GTNN F 2023 -Hết - Địa truy cập click vào  https://vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 18 