Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Học sinh giỏi 99 Câu Tỉnh Ninh Bình (5,0 điểm) Với a 0 a 1, rút gọn biểu thức P a a 1 a a a a a 2 a m 1 x3 3m 1 x x 4m 0 (với m tham số) Tìm m để Cho phương trình phương trình cho có nghiệm phân biệt 2023 Câu P x x 2 a2023 x 2023 a2022 x 2022 a2 x a1 x a0 Cho đa thức Tính giá trị 2 Q a0 a2 a4 a2020 a2022 a1 a3 a5 a2021 a2023 biểu thức 3x 3x x 1 (4,0 điểm) Giải phương trình Giải phương trình Câu Giải hệ phương trình (3,0 điểm) x x x 1 x x xy 2 x y x y 1 2 x y x y x x y 1 y x 1 1 Tìm tất số tự nhiên x, y thỏa mãn Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c 3 Tìm giá trị lớn biểu thức P Câu ab bc ca ab 3c bc 3a ca 3b (6,0 điểm) Cho điểm phân biệt cố định A, B, C nằm đường thẳng d (điểm B nằm A C ), gọi I trung điểm đoạn thẳng BC Đường tròn tâm O qua hai điểm B C (điểm O không thuộc d ) Kẻ tiếp tuyến AM , AN với đường tròn tâm O ( M , N tiếp điểm) Đường thẳng MN cắt OA điểm H cắt BC điểm K Chứng minh tứ giác OMNI nội tiếp AH OA AN Khi đường tròn tâm O thay đổi, chứng minh MN qua điểm K cố định Tia AO cắt đường tròn tâm O hai điểm P, Q (điểm P nằm A O ) Gọi Câu D trung điểm đoạn thẳng HQ Từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP E Chứng minh P trung điểm ME (2,0 điểm) Cho bảng vng kích thước 10 x10 gồm 100 ô vuông đơn vị (cạnh 1) Điền vào ô vuông đơn vị số 1; 0; Xét tổng tất số điền hàng, cột hai đường chéo bảng cho Hỏi tổng nhận giá trị chứng minh có hai tổng CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang 37 Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Điền vào ô vuông đơn vị số nguyên dương 10 không vượt cho hai số hai ô chung cạnh chung đỉnh hai số nguyên tố Chứng minh bảng cho tồn số điền 17 lần -Hết - CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang 38 Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 HƯỚNG DẪN GIẢI Câu (5,0 điểm) Với a 0 a 1, rút gọn biểu thức P a a 1 a a a a a 2 a m 1 x3 3m 1 x x 4m 0 (với m tham số) Tìm m để Cho phương trình phương trình cho có nghiệm phân biệt 2023 P x x 2 a2023 x 2023 a2022 x 2022 a2 x a1 x a0 Cho đa thức Tính giá trị 2 Q a0 a2 a4 a2020 a2022 a1 a3 a5 a2021 a2023 biểu thức Lời giải P a a 1 a a a a a2 a (2,0 điểm) Với a 0 a 1, rút gọn biểu thức a a 1 a a a 1 1 P a a a1 a a a1 a 2 a a 2 a a 1 a1 a 2 a a 1 a 1 a 1 a 2 a 2 a1 a 2 1 a1 a 2 a 2 a1 a 2 a1 a1 a 2 a 3 a 2 a1 a 2 a 1 a1 m 1 x3 3m 1 x x 4m 1 0 (với m tham số) (2,0 điểm) Cho phương trình Tìm m để phương trình cho có nghiệm phân biệt m 1 x3 3m 1 x m 1 x x 4m 0 x 1 4m x (1) 1 x 1 0 x 1 m 1 x 4m x 1 1 0 x 0 m 1 x 4m x 1 0 x 1 m 1 x 4mx 4m 0 (2) Phương trình cho có nghiệm phân biệt phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác m 0 2m m 1 4m 1 m 1 4m.1 4m 0 CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang 39 Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 m 1 m 1 3m 9m 0 m 1, m 0 \ 2023 a2023 x 2023 a2022 x 2022 a1 x a0 (1,0 điểm) Cho đa thức P x x Tính giá trị biểu thức Q a0 a2 a4 a2022 a1 a3 a5 a2023 2 Đặt A a0 a2 a4 a2020 a2022 , B a1 a3 a5 a2021 a2023 ta có Q A2 B A B A B 2023 P 1 1 P 1 3 a2023 a2022 a1 a0 A B 2023 a2023 a2022 a1 a0 A B 32023 Q 32023 Câu (4,0 điểm) Giải phương trình 3x Giải phương trình Giải hệ phương trình 3x x 1 x x x 1 x x xy 2 x y x y 1 2 x y x y x Lời giải (2,0 điểm) Giải phương trình x x x 1 x x x 1 x x 0 x Điều kiện xác định 2 x 3x x 1 x x x 1 x x 1 x x x 1 x 0 x x x 0 x x x 0 x x x x x ; loại không thỏa mãn điều kiện x 2 x x x 2 x x x 37 (TM ) x x 2 37 x 3x 0 (TM ) x CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang 40 Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Vậy phương trình cho có nghiệm (2,0 điểm) Giải hệ phương trình Điều kiện xác định x y x2 y x 37 37 ,x 2 xy 2 x y x y 1 2 x y x y x xy xy 1 x y xy 1 x y x y x y x y xy 0 0 x y 1 x y 1 xy x y x y x y 0 x y xy 0 x y x y 0 y 1 x 2 x y x y ( VN ) x 1 x x 0 x Thay y 1 x vào phương trình cịn lại ta có Với x 1 y 0 thỏa mãn điều kiện Với x y 3 thỏa mãn điều kiện Câu Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (3,0 điểm) x; y 1;0 , x; y 2;3 x y 1 y x 1 1 Tìm tất số tự nhiên x, y thỏa mãn Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c 3 Tìm giá trị lớn biểu thức ab bc ca P ab 3c bc 3a ca 3b Lời giải x y 1 y x 1 1 (1,5 điểm) Tìm tất số tự nhiên x, y thỏa mãn x y 1 y x 1 1 xy x y x y 1 Đặt x y S , xy P ta có SP ( S P ) 1 S 1 P S S 2 S 2 Vì x, y S , P S ước S 2 nên S 5 S 3 P S 3 X X 0 x, y nghiệm phương trình Ta có P 2 Vậy x, y 1; CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 X 1 X 2 x, y 2;1 Trang 41 Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 (1,5 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c 3 Tìm giá trị lớn ab bc ca P ab 3c bc 3a ca 3b biểu thức Ta có ab 3c ab a b c c a c b c ab ab 3c Tương tự a b ab c a c b c a c b , dấu xảy a b b c bc bc a b a c bc 3a a b a c c a ca ca b c b a ca 3b b c b a , dấu xảy b c , dấu xảy c a 1 a b b c c a P c a c b a b a c b c b a Do a b c a b c 1 a b c Dấu xảy Vậy giá trị lớn P a b c 1 Câu (6,0 điểm) Cho điểm phân biệt cố định A, B, C nằm đường thẳng d (điểm B nằm A C ), gọi I trung điểm đoạn thẳng BC Đường trịn tâm O ln qua hai điểm B C (điểm O không thuộc d ) Kẻ tiếp tuyến AM , AN với đường tròn tâm O ( M , N tiếp điểm) Đường thẳng MN cắt OA điểm H cắt BC điểm K Chứng minh tứ giác OMNI nội tiếp AH OA AN Khi đường tròn tâm O thay đổi, chứng minh MN qua điểm K cố định Tia AO cắt đường tròn tâm O hai điểm P, Q (điểm P nằm A O ) Gọi D trung điểm đoạn thẳng HQ Từ H kẻ đường thẳng vng góc với MD cắt đường thẳng MP E Chứng minh P trung điểm ME Lời giải CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang 42 Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Vì AM , AN tiếp tuyến đường tròn tâm O nên AMO ANO 90 Do M , N thuộc đường trịn đường kính OA Vì I trung điểm đoạn thẳng BC nên OI BC OIA 90 Nên I thuộc đường trịn đường kính OA Suy điểm O, M , A, I , N thuộc đường trịn đường kính OA Vậy tứ giác OMNI nội tiếp đường trịn đường kính OA Ta có AM AN , OM ON AO đường trung trực đoạn thẳng MN Suy AO MN H Tam giác ANO vuông N có đường cao NH Ta có AH OA AN AN AC AN AB AC ANB ACN AB AN Ta có nên ta có Mà AH OA AN AH AO AB.AC AH AK AI AK AH AO AO Ta lại có AHK AIO nên ta có AI AI AK AH AO AB AC AK AB AC AI Suy Vì A, B, C , I cố định nên AK không đổi đường tròn tâm O thay đổi Suy K cố định Do MN ln qua điểm K cố định Ta có PMQ 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) EH vng góc với MD Suy DMQ MEH ( phụ với góc EMD ) Mà MQD EMH (cùng phụ với góc MPQ ) Do QDM MHE ( g g ) MQ DQ MQ.MH ME DQ Do ME MH (1) CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang 43 Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 MQH PMH Ta lại có MQ QH MQ.MH MP PM MH QH MP Câu MQ.MH DQ (2) Do D trung điểm QH QH 2 DQ MP ME P trung điểm ME Từ (1) (2) (2,0 điểm) Cho bảng vng kích thước 10 x10 gồm 100 ô vuông đơn vị (cạnh 1) Điền vào ô vuông đơn vị số 1; 0; Xét tổng tất số điền hàng, cột hai đường chéo bảng cho Hỏi tổng nhận giá trị chứng minh có hai tổng Điền vào ô vuông đơn vị số nguyên dương không vượt 10 cho hai số hai ô chung cạnh chung đỉnh hai số nguyên tố Chứng minh bảng cho tồn số điền 17 lần Lời giải Tổng số hàng, cột hai đường chéo bảng ô vuông cho nhận giá trị 10; 9; ; 0; ; 9; 10 Vậy tổng số hàng, cột hai đường chéo nhận 21 giá trị Có tất 10 cột, 10 hàng đường chéo nên có 22 tổng Theo nguyên lý Dirichlet nên 22 tổng có tổng có giá trị Từ giả thiết suy bảng ô vng kích thước x có khơng q số chẵn có khơng q số chia hết cho Để phủ kín bảng vng kích thước 10 x10 cần 25 vng kích thước x Do điền hết số vào bảng vng kích thước 10 x10 có tối đa 25 số chia hết cho Trong 75 cịn lại có tối đa 25 số chia hết cho Do bảng có tối thiểu 50 số không chia hết cho không chia hết cho Tức điền ba số 1; 5; Theo nguyên lý Dirichlet có ba số 1; 5; điền 17 lần CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang 44