Xác định quy luật biên phi tuyến và xác định nguồn trong các quá trình truyền nhiệt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN BÙI VIỆT HƯƠNG XÁC ĐỊNH QUY LUẬT BIÊN PHI TUYẾN VÀ XÁC ĐỊNH NGUỒN TRONG CÁC QUÁ TRÌNH TRUYỀN NHIỆT Tai Lieu Chat Luong LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN BÙI VIỆT HƯƠNG XÁC ĐỊNH QUY LUẬT BIÊN PHI TUYẾN VÀ XÁC ĐỊNH NGUỒN TRONG CÁC Q TRÌNH TRUYỀN NHIỆT Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 62 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH ĐINH NHO HÀO THÁI NGUYÊN – 2015 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi, hồn thành hướng dẫn GS TSKH Đinh Nho Hào Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết nêu luận án kết chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả Bùi Việt Hương ii LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành hướng dẫn khoa học tận tình, quý báu nghiêm khắc GS.TSKH Đinh Nho Hào Thầy đặt toán dành nhiều công sức, bước dẫn dắt dần làm quen với công việc nghiên cứu khoa học, động viên khích lệ tơi vượt lên khó khăn học tập sống Từ tận đáy lòng, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới Thầy cố gắng phấn đấu để xứng đáng với công lao Thầy Trong q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận án, tác giả nhận quan tâm, giúp đỡ GS TSKH Hà Huy Bảng, PGS TS Hà Tiến Ngoạn, GS TSKH Nguyễn Minh Trí, TS Nguyễn Văn Ngọc, TS Nguyễn Thị Thu Thủy Tác giả xin bày tỏ kính trọng biết ơn sâu sắc đến Thầy Cô Tác giả xin chân thành cảm ơn anh chị em nhóm nghiên cứu Thầy – GS TSKH Đinh Nho Hào có trao đổi ý kiến đóng góp hữu ích thơng qua xê mi na nhóm; Chân thành cảm ơn TS Nguyễn Trung Thành, TS Phan Xuân Thành, NCS Nguyễn Thị Ngọc Oanh hướng dẫn tác giả kỹ thuật lập trình thử nghiệm việc giải số Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán, Khoa sau đại học trường Đại học Sư phạm; Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin, Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận án Xin chân thành cảm ơn anh chị em NCS chuyên ngành Tốn Giải tích, bạn bè đồng nghiệp ln quan tâm, động viên, trao đổi đóng góp ý kiến quý báu cho tác giả Luận án khơng thể hồn thành thiếu cảm thơng, giúp đỡ người thân gia đình Tác giả xin kính tặng Gia đình thân u niềm vinh hạnh to lớn Tác giả Bùi Việt Hương Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục ii Một số ký hiệu v Mở đầu 1 Xác định quy luật trao đổi nhiệt phi tuyến từ quan sát biên 10 1.1 Một số kiến thức bổ trợ 11 1.1.1 Nghiệm yếu không gian H 1,0 (Q) 11 1.1.2 Nghiệm yếu không gian W (0, T ) 15 1.2 Bài toán xác định quy luật trao đổi nhiệt phi tuyến từ quan sát tích phân biên 17 1.2.1 Bài toán thuận 17 1.2.2 Bài toán biến phân 23 1.2.3 Ví dụ số 27 1.3 Bài toán xác định quy luật trao đổi nhiệt phi tuyến từ quan sát phần biên 39 1.4 Bài toán xác định hệ số truyền nhiệt σ(u) từ quan sát tích phân 42 Xác định nguồn toán truyền nhiệt từ quan sát biên 46 iii iv 2.1 Phương pháp biến phân 48 2.2 Phương pháp phần tử hữu hạn 54 2.2.1 Xấp xỉ phần tử hữu hạn Ak , A∗k , k = 1, , N 55 2.2.2 Sự hội tụ 56 2.2.3 Ví dụ số 61 2.3 Rời rạc hóa toán xác định thành phần phụ thuộc thời gian vế phải 65 2.3.1 Rời rạc hóa tốn thuận phương pháp sai phân hữu hạn phân rã 66 2.3.2 Rời rạc hóa tốn biến phân 70 2.3.3 Phương pháp gradient liên hợp 74 2.3.4 Ví dụ số 75 Kết luận chung 89 Danh mục cơng trình cơng bố liên quan đến luận án 90 Tài liệu tham khảo 91 Một số ký hiệu R tập số thực Rn không gian véctơ Euclide thực n−chiều V∗ không gian đối ngẫu không gian V ¯ C(Ω) ¯ không gian hàm liên tục Ω C([0, T ], L2 (Ω)) không gian hàm liên tục [0, T ] nhận giá trị L2 (Ω) ¯ C (Q) ¯ không gian hàm khả vi liên tục Q C ,/2 khụng gian Hăolder vi s m /2, γ ∈ (0, 1) khơng gian hàm khả tích bậc p Ω, ≤ p < ∞ Lp (Ω) khơng gian hàm thuộc L2 (Ω) có tập xác định I L2I (Ω) không gian hàm thuộc L2 (Ω) có đạo hàm riêng yếu thuộc H (Ω) L2 (Ω) H01 (Ω) bao đóng khơng gian C0∞ (Ω) không gian H (Ω) H 1,0 (Q) không gian hàm y ∈ L2 (Q) có đạo hàm riêng yếu cấp theo biến xi thuộc L2 (Q) không gian hàm y ∈ L2 (Q) có đạo hàm riêng yếu cấp H 1,1 (Q) theo biến xi đạo hàm suy rộng theo biến t thuộc L2 (Q) HI1,0 (Q) ess sup L∞ (Ω) khơng gian hàm thuộc H 1,0 (Q) có tập xác định I x∈E |y(x)| := inf ( sup |y(x)|) |F |=0 x∈E\F không gian hàm bị chặn đo theo nghĩa Lebesgue với chuẩn xác định ky(x)kL∞ (Ω) = ess sup v x∈E |y(x)| Mở đầu Các trình truyền nhiệt hay khuếch tán thường mơ hình hóa tốn biên cho phương trình parabolic: miền vật lý, hệ số phương trình, điều kiện ban đầu điều kiện biên biết, người ta nghiên cứu toán biên dựa vào nghiệm toán đưa dự đoán tượng nghiên cứu Đây tốn thuận cho q trình mà ta xét Tuy nhiên, thực tế, nhiều miền vật lý, hệ số phương trình, điều kiện biên, điều kiện ban đầu cụ thể mà ta phải xác định chúng qua đo đạc gián tiếp, để qua nghiên cứu lại q trình Đây tốn ngược với tốn thuận nói chủ đề sơi động mơ hình hóa tốn học lý thuyết phương trình vi phân 100 năm qua [1], [5], [9], [33], [46], [46], [47], [70] Hai điều kiện quan trọng để mơ hình hóa q trình truyền nhiệt quy luật trao đổi nhiệt biên nguồn Cả hai điều kiện tác động bên ngồi khơng phải lúc biết trước, trường hợp này, ta phải xác định chúng qua đo đạc gián tiếp nội dung luận án Luận án gồm hai phần, phần đầu nghiên cứu toán xác định quy luật trao đổi nhiệt (nói chung phi tuyến) biên qua đo đạc biên phần thứ hai nghiên cứu toán xác định nguồn (tạo trình truyền nhiệt hay khuếch tán) qua quan sát khác Có nhiều tượng vật lý xảy điều kiện nhiệt độ, áp suất cao môi trường khắc nghiệt như: buồng đốt, tua bin khí, trình làm nóng, làm nguội thép q trình dập tắt khí lị, mà nguồn nhiệt khối lượng nhiệt trao đổi chưa biết, trình trao đổi nhiệt biên chưa biết tuân theo quy luật (quy luật truyền nhiệt tuyến tính Newton hay quy luật xạ nhiệt bậc bốn Stefan-Boltzmann chẳng hạn) Khi đó, mơ hình hóa q trình truyền nhiệt toán ngược xác định quy luật truyền nhiệt khơng tuyến tính biên xác định nhiệt độ phụ thuộc vào hệ số truyền nhiệt Trong số lĩnh vực ứng dụng khác, tốn xem dạng mơ hình khuếch tán khí phản ứng hóa học chưa biết bề mặt vật chất hay mật độ dân số vùng giáp ranh với quy luật di trú chưa biết [88] Năm 1989, Pilant Rundell [69] xét toán xác định quy luật truyền nhiệt g(·) nhiệt độ u(x, t) toán giá trị biên ban đầu chiều    ut − uxx = γ(x, t), < x < 1, < t < T,      u(x, 0) = u0 (x), < x < 1, (0.1)   ux (0, t) = g(u(0, t)), ≤ t ≤ T,      −ux (1, t) = g(u(1, t)), ≤ t ≤ T, từ điều kiện quan sát bổ sung u(0, t) = h(t), (0.2) γ, u0 h hàm cho trước, tương ứng với nguồn nhiệt, nhiệt độ thời điểm ban đầu nhiệt độ biên Từ phương trình (0.1) ta thu ux (0, t) = g(h(t)) với t ∈ [0, T ] Với số điều kiện định, tác giả chứng minh tồn cặp (u, g) phương trình (0.1) khoảng ≤ t ≤ t∗ , với t∗ ∈ (0, T ] Các tác giả đề xuất phương pháp lặp để giải toán ngược thử nghiệm thuật toán máy tính Sau đó, vào năm 1990, Rundell Yin [79] nghiên cứu toán tương tự trường hợp nhiều chiều Cụ thể, cho T > Q = Ω × (0, T ] với Ω miền giới nội Rn , tác giả xét tốn tìm cặp hàm u(x, t) g(s) xác định tương ứng Q [A, B], thỏa    ut − ∆u = γ(x, t)    u(x, 0) = u0 (x)    ∂u   = g(u) + ϕ ∂ν mãn hệ phương trình Q, Ω, S := ∂Ω × [0, T ], (0.3) với quan sát bổ sung điểm biên u(ξ0 , t) = h(t), t ∈ [0, T ], (0.4) hàm γ, u0 , ϕ h cho trước, ξ0 điểm cố định biên ∂Ω Ω, ν véc tơ pháp tuyến đơn vị biên S, A = minQ u(x, t) B = maxQ u(x, t) Với số giả thiết định, tác giả đưa đánh giá ổn định cho hàm g từ họ thu tính nghiệm toán (0.3) Ta thấy, hàm g xác định khoảng [A, B] khơng xác định tồn trục thực R Vì vào năm 1999, Choulli [14] đặt câu hỏi tự nhiên: phải cần đến đo đạc để tìm lại hàm g(s) với s ∈ R? Choulli chứng minh rằng: (i) tất đo đạc biên thực hàm g ′ bị chặn tốn có nghiệm nhất; (ii) đo đạc biên thực không gian vectơ chiều ta có nghiệm nhất, ơng chứng minh hàm g biểu diễn dạng g = g0 + g1 , g0 hàm biết g1 hàm chưa biết khơng có điểm tụ Theo hướng nghiên cứu này, tác giả [18] phương pháp tuyến tính hóa tự nhiên (natural linearization) để xác định lại quy luật truyền nhiệt khơng tuyến tính g(u) (0.3) với giả thiết nhiệt độ toàn biên S đo được, thay đo đạc điểm (0.4) Trong chuỗi báo ([51], [80] [86]), Trăoltzsch v Răosch cng ó nghiờn cứu toán tương tự Cụ thể, tác giả xét toán xác định hệ số truyền nhiệt σ(u) toán giá trị biên    ut − ∆u =    u(x, 0) = u0 (x)    ∂u   = σ(u(ξ, t))(u∞ − u(ξ, t)) ∂ν ban đầu Q, Ω, (0.5) S = ∂Ω × [0, T ], u∞ nhiệt độ mơi trường xung quanh, biết số cho trước, từ điều kiện quan sát bổ sung khác như: u(x, t) cho miền Q, u(x, ti ) cho thời điểm cố định ti , i = 1, , L, [80], [86], u cho toàn biên S [83] Các tác giả chuyển toán ngược tốn điều khiển tối ưu, chứng minh tính khả vi Fréchet phiếm hàm cần cực tiểu hóa, sau sử dụng phương pháp lặp để giải số X X h,∆t k k,m m ω u (f ) − h , J0 (f ) := ∆h m=1 (2.53) k∈Ωh với uk,m(f ) phụ thuộc nghiệm u vào điều kiện f m số lưới thời gian Ta kí hiệu ω k = ω(xk ) xấp xỉ hàm ω(x) miền Ω điểm xk , ví dụ ω = |ω(k)| k Z ω(x)dx ω(k) Để đơn giản kí hiệu, ta viết f hàm lưới xác định lưới {0, ∆t, · · · , M ∆t} 1/2  P M m với chuẩn xác định sau kf kL2 (0,T ) = ∆t i=1 |f | Với kí hiệu này, rời rạc phiếm hàm lu(f ) dạng   M lh (u(f )) = lh u(f ), lh u(f ), · · · , lh u(f ) , với lhm u(f ) = ∆h X ω k uk,m(f ), m = 0, 1, · · · , M k∈Ω1h Để cực tiểu hóa tốn (2.53) phương pháp gradient liên hợp, tính gradient phiếm hàm quan sát rời rạc J0h,∆t (f ) kết phát biểu định lý sau Định lý 2.2 Gradient ∇J0h,∆t (f ) phiếm hàm J0h,∆t điểm f cho ∇J0h,∆t (f ) = M −1 X m=0 η nghiệm toán liên hợp   η m = (Am+1 )∗ η m+1 + ψ m+1 ,    với     (2.54) ∆t(B m )∗ ϕm η m, m = M − 2, , 0, η M −1 = ψ M , (2.55) η M = 0, X
 ω k uk,m(f ) − hm , ψ m = ψ k,m = ω k ∆h k∈Ωh k ∈ Ωh , m = 0, 1, , M (2.56) 72 Ở (Am )∗ (B m )∗ xác định sau ∆t m ∆t m −1 ∆t m ∆t m −1 Λ1 )(E1 + Λ1 ) (En − Λn )(En + Λ ) 4 4 n ∆t m −1 ∆t m ∆t m −1 ∆t m Λn )(En + Λn ) (E1 − Λ1 )(E1 + Λ ) , × (En − 4 4 ∆t m ∆t m −1 ∆t m ∆t m −1 (B m )∗ = (En − Λn )(En + Λn ) (E1 − Λ1 )(E1 + Λ ) 4 4 (Am )∗ = (E1 − Chứng minh Cho δf biến phân đủ nhỏ f , ta có J0h,∆t (f + δf ) − = J0h,∆t (f ) M X  ∆t X = M h ∆t X ∆h ω v m=1 k∈Ωh = = 2 2 + δf ) − h + ∆t k k,m ∆h ω v 2
k k,m ∆h ω v m=1 k∈Ωh M X ∆h m=1 m=1 k∈Ωh M X ∆t X m m=1 k k,m M X  ∆t X lhm u(f X v − M h ∆t X k,m k ω k∈Ωh + ∆t M X m=1 +∆t i2 M X ∆h X m=1 h lhm u(f ) − hm lhm u(f ) m −h i v k,m ψ k,m k∈Ωh hv m , ψ m i, (2.57) m = 0, , M − (2.58) m=1  với v m = v k,m := uk,m(f + δf ) − uk,m (f ) Từ (2.51) ta có v nghiệm toán  v m+1 = Am v m + ∆tB m δf ϕm , v = Nhân vô hướng hai vế phương trình hệ (2.55) với vectơ η m ∈ RN1 × ×Nn , lấy tổng với m = 0, , M − 1, ta nhận M −1 X m=0 −1 M −1 X X m+1 m M m m m v ,η = hA v , η i + ∆t hB m δf ϕm , η mi = m=0 M −1 D X m=0 m v , A m=0
m ∗ m η E + ∆t M −1 X m=0 Ở đây, h·, ·i tích vơ hướng khơng gian RN1×N2×···×Nn Am trận liên hợp ma trận Am (2.59) hB m δf ϕm , η mi
∗ ma i2 73 Nhân vơ hướng hai vế phương trình đầu hệ (2.55) với vectơ v m+1 bất kì, lấy tổng với m = 0, , M − 2, ta thu M −2 X m=0 hv m+1 M −2 X m ,η i = m=0 M −1 X = m=1 v m+1 , (A m+1 ∗ m+1 ) η M −1 X hv m , (Am )∗ η mi + m=1 + M −2 X m=0 m+1 m+1 v ,ψ hv m , ψ mi (2.60) Nhân vô hướng hai vế phương trình thứ hai hệ (2.55) với vectơ v M , ta có (2.61) hv M , η M −1i = hv M , ψ M i Từ phương trình (2.60)và (2.61), ta có M −2 X m=0 hv m+1 m M , η i + hv , η M −1 i= M −1 X m=1 m m ∗ m hv , (A ) η i + M −1 X m=1 hv m , ψ m i + hv M , ψ M i (2.62) Từ phương trình (2.59), (2.62) ta suy D v , A
∗ η E + ∆t m=0 Vì v = nên ∆t M −1 X m=0 m m M −1 X m hB δf ϕ , η i = m m m hB δf ϕ , η i = M −1 X m=1 m m M −1 X m=1 M hv m , ψ m i + hv M , ψ M i M hv , ψ i + hv , ψ i = Hay nói cách khác, từ bất đẳng thức (2.52) ta có M X X m=1 k∈Ωh M X hv m , ψ m i (2.63) m=1
2 ω k v k,m = o(kf k)([90]) Do đó, từ phương trình (2.57) (2.63) ta thu J0h,∆t (f + δf ) − J0h,∆t (f ) = ∆t M −1 X m=0 hδf, (B m )∗ ϕm η m i + o(kf k) Suy ra, gradient phiếm hàm J0h,∆t có dạng ∂J0h,∆t ∂f Định lý chứng minh = ∆t M −1 X (B m )∗ ϕm η m (2.64) m=0  74 Nhận xét 2.2 Vì ma trận Λi , i = 1, , n, m = 0, , M − đối xứng nên ta có ∆t m −1 ∆t m ∆t m −1 ∆t m Λ1 )(E1 + Λ1 ) (En − Λn )(En + Λ ) 4 4 n ∆t m ∆t m −1 ∆t m ∆t m −1 × (En − Λn )(En + Λn ) (E1 − Λ1 )(E1 + Λ ) 4 4 (Am )∗ = (E1 − Tương tự, ta có (B m )∗ = (En − 2.3.3 ∆t m −1 ∆t m ∆t m −1 ∆t m Λn )(En + Λn ) (E1 − Λ1 )(E1 + Λ ) 4 4 Phương pháp gradient liên hợp Phương pháp gradient liên hợp cho phiếm hàm rời rạc (2.53) tiến hành theo bước sau Bước1 Cho trước xấp xỉ ban đầu f ∈ RM +1 củahàm f (t) tính thặng dư rˆ0 = lh1 u(f ) − h1 , lh2 u(f ) − h2 , · · · , lhM u(f ) − hM cách giải lược đồ phân rã (2.49) với f thay xấp xỉ ban đầu f đặt k = Bước Tính gradient r0 = −∇Jγ (f ) xác định (2.54) cách giải toán liên hợp (2.55) Sau đó, đặt d0 = r0 Bước Tính α0 = kr0 k2L2 (0,T ) klh d0 k2L2 (0,T ) + γkd0 k2L2 (0,T ) , với lh d0 tính từ lược đồ sai phân phân rã (2.49) với f thay d0 g(x, t) = 0, u0 = Đặt f = f + α0 d0 Bước Với k = 1, 2, · · · , tính rk = −∇Jγ (f k ), dk = rk + βk dk−1 , với βk = krk k2L2 (0,T ) krk−1 k2L2 (0,T ) Bước Tính αk αk = krk k2L2 (0,T ) klh dk k2L2 (0,T ) + γkdk k2L2 (0,T ) , 75 lh dk tính dựa vào lược đồ sai phân phân rã (2.49) với f thay dk g(x, t) = 0, u0 = Đặt f k+1 = f k + αk dk 2.3.4 Ví dụ số Trong mục này, chúng tơi trình bày vài ví dụ số miền Ω miền chiều hai chiều để tính hữu hiệu thuật tốn Cho T = 1, chúng tơi thử nghiệm thuật tốn nhằm thiết lập lại hàm sau • Ví dụ 1: f (t) = sin(πt)  2t • Ví dụ 2: f (t) = 2(1 − t) • Ví dụ 3: f (t) =  1 0 t ≤ 0.5, ngược lại 0.25 ≤ t ≤ 0.75, ngược lại Chúng xét ba trường hợp mà độ trơn hàm f (t) bị giảm dần, cụ thể, hàm f (t) ví dụ hàm trơn, hàm f (t) ví dụ hàm không khả vi t = 0.5 hàm f (t) ví dụ hàm gián đoạn Trong ví dụ số, chúng tơi chọn trước nghiệm xác u hàm ϕ, f , thay vào tốn (2.43) ta có hàm g vế phải Sau có nghiệm xác u, chúng tơi tính kiện quan sát lu đặt nhiễu ngẫu nhiên lên kiện đo đạc h Cuối cùng, chúng tơi sử dụng thuật tốn để thiết lập lại hàm f so sánh nghiệm giải số với nghiệm xác để thuật tốn mà chúng tơi xây dựng hữu hiệu 2.3.4.1 Ví dụ số trường hợp chiều Cho Ω = (0, 1) Chúng tìm hàm f (t) từ tốn   u − uxx = f (t)ϕ(x, t) + g(x, t), < x < 1, < t < 1,    t u(0, t) = u(1, t) = 0,    u(x, 0) = u (x), 0 < t < 1, < x < 76 Trong trường hợp này, chúng tơi chọn nghiệm xác u = sin(πx)(1 − t), điều kiện ban đầu u0 (x) = sin(πx), hàm ϕ(x, t) = (x2 + 5)(t2 + 5) Sau chọn hàm f (t) trên, thay vào toán ta có hàm g(x, t) Chúng tơi sử dụng quan sát tích phân (2.44) với hai hàm trọng cho (2.65) ω(x) = x2 + 1, ω(x) =  1 x ∈ (x0 − ε, x0 + ε), ε 0 với ε = 0.01 ngược lại, (2.66) Ta thấy quan sát tích phân với hàm trọng (2.66) xem quan sát điểm Kết số cho trường hợp thể từ Hình 2.9 đến Hình 2.14 Từ kết này, thấy kết số trường hợp chiều tốt, nhiễu 10% Noise=0.01 Exact.Sol 1 0.8 0.8 f(t) f(t) Noise=0.1 Exact.Sol 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 0.2 0.4 0.6 t 0.8 0 0.2 0.4 0.6 0.8 t Hình 2.9: Trường hợp chiều, Ví dụ 1: So sánh nghiệm xác nghiệm giải số ví dụ với nhiễu 0.1 (bên trái) nhiễu 0.01 (bên phải) Hàm trọng ω cho (2.65) 77 Noise =0.01 Exact.Sol 1 0.8 0.8 f(t) f(t) Noise =0.1 Exact.Sol 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.2 0.4 t 0.6 0.8 t Hình 2.10: Trường hợp chiều, Ví dụ 2: So sánh nghiệm xác nghiệm giải số ví dụ với nhiễu 0.1 (bên trái) nhiễu 0.01 (bên phải) Hàm trọng ω cho (2.65) Noise=0.1 Exact.Sol Noise=0.01 Exact.Sol 0.8 0.8 0.6 0.6 f(t) f(t) 0.4 0.4 0.2 0.2 0 −0.2 0.2 0.4 0.6 t 0.8 −0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 t Hình 2.11: Trường hợp chiều, Ví dụ 3: So sánh nghiệm xác nghiệm giải số ví dụ với nhiễu 0.1 (bên trái) nhiễu 0.01 (bên phải) Hàm trọng ω cho (2.65) 78 Noise=0.01 Exact.Sol 1 0.8 0.8 f(t) f(t) Noise=0.1 Exact.Sol 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.2 0.4 t 0.6 0.8 t Hình 2.12: Trường hợp chiều, Ví dụ 1: So sánh nghiệm xác nghiệm giải số ví dụ với nhiễu 0.1 (bên trái) nhiễu 0.01 (bên phải) Hàm trọng ω cho (2.66) Noise =0.01 Exact.Sol 1 0.8 0.8 f(t) f(t) Noise =0.1 Exact.Sol 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 0.2 0.4 0.6 t 0.8 0 0.2 0.4 0.6 0.8 t Hình 2.13: Trường hợp chiều, Ví dụ 2: So sánh nghiệm xác nghiệm giải số ví dụ với nhiễu 0.1 (bên trái) nhiễu 0.01 (bên phải) Hàm trọng ω cho (2.66) 79 Noise=0.1 Exact.Sol Noise=0.01 Exact.Sol 0.8 0.8 0.6 0.6 f(t) f(t) 0.4 0.4 0.2 0.2 0 −0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 −0.2 0.2 t 0.4 0.6 0.8 t Hình 2.14: Trường hợp chiều, Ví dụ 3: So sánh nghiệm xác nghiệm giải số ví dụ với nhiễu 0.1 (bên trái) nhiễu 0.01 (bên phải) Hàm trọng ω cho (2.66) 2.3.4.2 Ví dụ số trường hợp chiều Trong tiểu mục này, chúng tơi trình bày kết số cho vài toán Cho Ω = (0, 1) × (0, 1), Q = Ω × (0, 1) Khi đó, tốn (2.43) có dạng    ut − (a1 (x, t)ux1 )x1 − (a2 (x, t)ux2 )x2 + b(x, t)u = f (t)ϕ(x, t) + g(x, t), (x, t) ∈ Q      u(0, t) = u(1, t) = 0, < t < u(x, 0) = u0 (x), x ∈ Ω (2.67) Trong tất thử nghiệm, chọn nhiễu 10−1 10−2 , hàm trọng cho   12 ω(x) = 4ε 0 x01 − ε < x1 < x01 + ε x02 − ε < x2 < x02 + ε ngược lại với ε = 0.01 (2.68) Tham số hiệu chỉnh γ 10−3 Tuy nhiên, kết số cho trường hợp nhiễu 10−2 khơng có nhiều khác biệt so với trường hợp nhiễu 10−1 Do đó, chúng tơi trình bày kết cho trường hợp nhiễu 10−1