Một số vấn đề về đồng caais lannes zarati modulo p

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN PHẠM BÍCH NHƯ MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐỒNG CẤU LANNES-ZARATI MODULO p Tai Lieu Chat Luong LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC BÌNH ĐỊNH - NĂM 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN PHẠM BÍCH NHƯ MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐỒNG CẤU LANNES-ZARATI MODULO p CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÍ THUYẾT SỐ MÃ SỐ: 46 01 04 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Phản biện 1: PGS TS LÊ MINH HÀ Phản biện 2: TS NGUYỄN LÊ CHÍ QUYẾT Phản biện 3: PGS TS TRƯƠNG CÔNG QUỲNH TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS PHAN HOÀNG CHƠN PGS TS NGUYỄN SUM BÌNH ĐỊNH - NĂM 2021 Lời cam đoan Luận án hoàn thành Trường Đại học Quy Nhơn, hướng dẫn PGS TS Phan Hồng Chơn PGS TS Nguyễn Sum Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi Các kết luận án trung thực, đồng tác giả thầy hướng dẫn cho phép sử dụng đưa vào luận án chưa cơng bố trước TM Tập thể hướng dẫn Khoa học Tác giả PGS TS Phan Hoàng Chơn Phạm Bích Như i Lời cảm ơn Luận án thực hoàn thành Trường Đại học Quy Nhơn tận tình hướng dẫn giúp đỡ PGS TS Phan Hoàng Chơn, PGS TS Nguyễn Sum nhiều người khác Nhân dịp xin gửi lời tri ân đến tất người giúp đỡ Đầu tiên, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến PGS TS Phan Hoàng Chơn, người thầy, người anh người bạn đồng hành ln động viên tơi suốt q trình học tập nghiên cứu sinh Mặc dù bận rộn thầy kiên trì giảng dạy, hướng dẫn cho tơi kiến thức Tôpô đại số tuần suốt năm Nếu khơng có thầy tơi khơng thể có tâm để theo đuổi việc học tập nâng cao trình độ Tơi xin bày tỏ lời tri ân sâu sắc PGS TS Nguyễn Sum, thầy giảng dạy, hướng dẫn cho nhiều ý kiến đóng góp q báu chun mơn định hướng nghiên cứu Thầy người nghiêm túc học thuật lại gần gũi, giản dị sống nhân duyên để trở thành nghiên cứu sinh Trường Đại học Quy Nhơn Lời cảm ơn chân thành gửi đến PGS TS Lê Cơng Trình, thầy ln động viên hướng dẫn thủ tục cần thiết để tơi hồn thành chương trình học Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo Sau đại học quý Thầy, Cơ Khoa Tốn tận tình giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi để tơi hoàn thành tốt việc học tập trường Xin cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Cần Thơ, Khoa Khoa học Tự nhiên, quý thầy cô Bộ môn Tốn chia sẻ cơng việc, động viên giúp đỡ tơi nhiều để tơi thuận lợi hồn thành việc học tập nâng cao trình độ Cảm ơn chị Dương Thị Tuyền thấu hiểu cho em lời khuyên chân thành ii Xin cảm ơn anh, chị, em học nghiên cứu sinh Trường Đại học Quy Nhơn, đặc biệt hai em gái dễ thương TS Dư Thị Hịa Bình TS Lưu Thị Hiệp, sát cánh động viên, giúp đỡ nhiều cho từ ngày đầu Quy Nhơn học tập để vượt qua khó khăn có thêm động lực hồn thành tốt chương trình nghiên cứu sinh Lời cuối cùng, tơi muốn cảm ơn đến đại gia đình tơi ln chia sẻ, động viên tơi lúc khó khăn, đặc biệt tơi muốn bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến mẹ tơi, người sinh tôi, suốt đời hy sinh cho chị em tơi Cảm ơn mẹ chăm sóc cháu để yên tâm học tập Cảm ơn chồng ủng hộ định em Cảm ơn hai cho mẹ thêm động lực để mẹ khơng ngừng cố gắng Bình Định, 2021 Tác giả, Phạm Bích Như iii Các ký hiệu dùng luận án D[s]: Không gian tất bất GLs : Nhóm tuyến tính tổng qt, 17 H n (X, F2 ): Đối đồng điều thứ n X biến tác động GLs Fp [y1 , , ys ], 18 lấy hệ số F2 , 12 Es = (Z/p)s : Không gian véctơ s chiều Hs (M ): Đồng điều thứ s M , 20 hay p-nhóm abel sơ cấp hạng s, N # : Đối ngẫu N , 4, 15, 17, 28 P i : Lũy thừa Steenrod bậc i Fp , 1, P (F2 ⊗GLs H∗ (BEs )): Đối ngẫu 12 đại số Dickson F2 ⊗A D[s], 44 QX: Khơng gian vịng lặp vơ hạn Ps = H ∗ BEs : Đối đồng điều không X, gian phân loại BEs , 15, 17 Ss : Lũy thừa toàn thể ổn định , 20 Sq i : Toán tử Steenrod bậc i F2 , 1, Sq : Toán tử squaring, 77 TorA ∗,∗ (Fp , M ): Đồng điều đại số 11 Steenrod lấy hệ số A -môđun Sts : Lũy thừa tồn thể (khơng ổn định) M , 16, 20, 22, 35 , 29, 31, 35 ∗,∗ A : Đại số Steenrod trường Fp , 1, ExtA (M, Fp ): Đối đồng điều đại số Steenrod lấy hệ số A - 13, 14 A∗ : Đối ngẫu đại số Steenrod mô đun M , 4, 17 Ext∗,∗ (F2 , F2 ): Đối đồng điều đại A trường Fp , 14 Ds (−): Dẫn xuất thứ s hàm tử D , số Steenrod lấy hệ số trường 16, 35, 36 F2 , 10, 77 Ext∗,∗ (Fp , Fp ): Đối đồng điều đại A Ds : Dẫn xuất thứ s hàm tử D , 15 e ∗ (BZ/p): Đối đồng điều thu gọn H số Steenrod lấy hệ số trường khơng gian phân loại p-nhóm Fp , 2, 4, 51, 52 e ∗ (BZ/p), Fp ): Đối đồng điều ExtA (H ∗,∗ abel sơ cấp, 4, 6, 75 e : Biểu diễn mức độ dây chuyền P đại số Steenrod lấy hệ số e ∗ (BZ/p), 8, 47, 60, 73 H P , 44, 45, 48 Γ+ M : Phức dây chuyền A -môđun BEs : Không gian phân loại Es , 15, M , 4, 20, 21 17 iv Λ: Đại số Lambda, 5, 23, 24 Rs : Hàm tử Singer , 15 Λs : Không gian Λ sinh tất Rs M : Xây dựng Singer, 2, 4, 16, 29, đơn thức có độ dài s, 31–33, 35, 36, 76 P : Toán tử lũy thừa, 44, 76 23 π∗S (S0 ): Nhóm đồng luân ổn định Σs M : Treo thứ s M , 14, 15, 36 Σpn : Nhóm đối xứng tác động lên tập mặt cầu, # Ann(N ): Không gian N # bao sở Es , 5, 28 β: Toán tử Bockstein, 1, 12, 45 gồm tất phần tử triệt tiêu F2 : Trường số có phần tử, tác động phần tử bậc Fp : Trường có đặc số p lẻ, 1, 12 dương A , 2, 51, 52 e ∗ RP ∞ : Đối đồng điều thu gọn H Z/p: Σps -môđun tầm thường Z/p, không gian xạ ảnh vô hạn chiều, 28 B [s]: Ảnh ánh xạ hạn chế từ đối e ∗ RP n : Đối đồng điều thu gọn không H đồng điều nhóm đối xứng Σpn đến đối đồng điều p- gian xạ ảnh n chiều, e ∗ (BZ/p): Đồng điều thu gọn khơng H nhóm abel sơ cấp lấy hệ số Z/p, 29 gian phân loại p-nhóm abel M: Phạm trù A -mơđun trái sơ cấp, 47, 58 phân bậc, 14 Pˆ : A -môđun mở rộng P1 , 16, 38 R: Đại số Dyer-Lashof modulo p, 3, 5, 24, 47 Rs : Không gian R, 6, 24, 52, 58 U: Phạm trù tất A -môđun không ổn định, 14, 15, 38 Z/p: Σps -môđun Z/p thông qua tác động dấu, 28 B [s]: Ảnh ánh xạ hạn chế từ đối đồng điều nhóm đối xứng Σpn đến đối đồng điều pnhóm abel sơ cấp lấy hệ số Z/p, 5, 24, 28, 30, 37, 51, 52 D : Hàm tử bất ổn định hóa, 15, 16 v Mục lục Mục lục vi Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 11 1.1 Đại số Steenrod 11 1.2 Môđun đại số Steenrod 14 1.3 Đồng cấu Lannes-Zarati 14 1.4 Phức dây chuyền Singer-Hưng-Sum 16 1.5 Đại số Lambda đại số Dyer-Lashof 22 1.6 Dãy phổ 24 Chương Biểu diễn dây chuyền đồng cấu Lannes-Zarati 28 2.1 Hàm tử Singer 28 2.2 Biểu diễn mức độ dây chuyền đồng cấu Lannes-Zarati 34 2.3 Chứng minh Mệnh đề 2.2.2 38 2.4 Toán tử lũy thừa 44 2.5 Trường hợp p = 49 2.6 Kết luận Chương 49 Chương Ảnh đồng cấu Lannes-Zarati 51 3.1 Ảnh đồng cấu Lannes-Zarati modulo p Fp 3.2 3.4 Đối đồng điều đại số Steenrod 58 e ∗ (BZ/p) 75 Ảnh đồng cấu Lannes-Zarati modulo p H e ∗ (BZ/2) 77 Ảnh đồng cấu Lannes-Zarati modulo F2 H 3.5 Kết luận Chương 89 3.3 vi 51 Kết luận 90 Danh mục cơng trình tác giả liên quan đến luận án 92 Tài liệu tham khảo 93 vii Mở đầu Các hàm tử đồng điều đối đồng điều kì dị công cụ sử dụng để nghiên cứu toán phân loại kiểu đồng luân không gian tôpô Tuy nhiên công cụ chưa đủ mạnh để giải toán quan trọng Vào năm 1947 Steenrod [61] xây dựng toán tử đối đồng điều sau với số nguyên i ≥ Sq i : H n (X, F2 ) → H n+i (X, F2 ), X khơng gian tơpơ, F2 trường có phần tử 0, H ∗ (X, F2 ) đối đồng điều X trường F2 Toán tử Sq i gọi toán tử Steenrod bậc i hay bình phương Steenrod bậc i Tốn tử tác động cách tự nhiên đối đồng điều X với hệ số F2 Đến năm 1952, Steenrod [60] mở rộng kết cho trường hợp p số nguyên tố lẻ Cụ thể với số nguyên không âm i, Steenrod xây dựng toán tử P i : H q (X, Fp ) → H q+2(p−1)i (X, Fp ), P i gọi lũy thừa Steenrod Từ tốn tử đối đồng điều trở thành công cụ quan trọng sử dụng để nghiên cứu toán phân loại kiểu đồng luân Các toán tử toán tử đối đồng điều ổn định Đại số sinh toán tử Steenrod Sq i , i ≥ (trường hợp p = 2); lũy thừa Steenrod P i với i ≥ toán tử Bockstein β (trường hợp p > 2) gọi đại số Steenrod, ký hiệu A Sau cơng trình Steenrod, cấu trúc đại số Steenrod Adem [3], Cartan [68], Serre [73] Milnor [47] nghiên cứu cách sâu sắc Một vấn đề quan trọng nghiên cứu toán phân loại kiểu đồng luân khơng gian tơpơ xác định nhóm đồng ln, đặc biệt nhóm đồng luân ổn định mặt cầu Trong [1] Adams xây dựng dãy phổ, sau gọi dãy phổ Adams, hội tụ thành phần p-xoắn nhóm đồng luân ổn định mặt cầu # chuyền ϕM s Λ ⊗ M với M A -môđun không ổn định (xem Mệnh đề 2.2.5) Các kết chúng tơi sử dụng để tìm nhân ảnh đồng cấu Lannes-Zarati ϕM s với s nhỏ cho trường hợp p lẻ Chúng phát triển toán tử lũy thừa P tác động lên Exts,∗ (Fp , Fp ) (xem LiuleA e ∗ (BZ/p), vicius [41], [42] May [19]) Với M = Fp M = H tồn toán tử P tác động Exts,∗ (M, Fp ) (Fp ⊗A Rs M )# Hơn A nữa, tốn tử cịn giao hoán với đồng cấu Lannes-Zarati ϕM s (xem Mệnh đề 2.4.3) Kết làm giảm đáng kể việc tính tốn Do đó, tốn tử trở thành cơng cụ quan trọng để nghiên cứu dáng điệu đồng cấu Lannes-Zarati modulo p Chúng sử dụng kết với số điều chỉnh thích hợp để áp dụng cho trường hợp p = (xem Mệnh đề 2.5.2) 50 Chương Ảnh đồng cấu Lannes-Zarati Trong chương này, khảo sát dáng điệu đồng cấu Lannes-Zarati modulo p (với p số ngun tố lẻ khơng có đề cập khác) ϕM s , trường hợp e ∗ (BZ/p) cho s = 0, Các kết M = Fp cho ≤ s ≤ trường hợp M = H trình bày chương trích từ Chơn-Như [17, 18] Như [50] 3.1 Ảnh đồng cấu Lannes-Zarati modulo p Fp Với p = 2, Lannes-Zarati [72] ϕF1 đẳng cấu Chúng chứng minh kết tương tự với trường hợp p = cho trường hợp p lẻ Kết cho định lý sau Định lý 3.1.1 (Chơn-Như [17, Định lý 4.1]) Đồng cấu Lannes-Zarati modulo p hạng 1,1+t ϕ1 p : ExtA (F p , F p ) F / Ann(B [1]# ) t đẳng cấu Chứng minh Ta biết Ext1,1+t (Fp , Fp ) sinh α0 có gốc hi A có gốc 2(p − 1)pi − với i ≥ Những phần tử biểu diễn tương ứng Λ1 λ0−1 λ1pi −1 với i ≥ (xem Liulevicius [41], [42], Aikawa [4]) i Mặt khác, từ Wellington [66], Ann(B [1]# ) ∼ = Ann(R1 ) sinh Q0 βQp với i ≥ Áp dụng Mệnh đề 2.2.4, ta nhận ϕ1 p (α0 ) = Q0 ; F i ϕ1 p (hi ) = βQp , i ≥ F Định lý chứng minh 51 F Với p lẻ ϕ2 p khơng phải tồn cấu, kết khác với kết Lannes-Zarati [72] công bố năm 1987 ϕF2 toàn cấu Định lý 3.1.2 (Chơn-Như [17, Định lý 4.2]) Đồng cấu Lannes-Zarati modulo p hạng / Ann(B [2]# ) ϕ2 p : Ext2,2+t (Fp , Fp ) A F t không tầm thường phần tử có gốc t = t = 2(p − 1)pi+1 − 2, i ≥ Chứng minh Từ kết Liulevicius [41], [42] (cũng xem Aikawa [4]), Ext2,2+t (Fp , Fp ) sinh phần tử A i j 2,2(p−1)(p +p ) (Fp , Fp ), ≤ i < j − 1; hi hj = [λ1pi −1 λ1pj −1 ] ∈ ExtA i 2,2(p−1)p +1 (Fp , Fp ), i ≥ 1; α0 hi = [λ1pi −1 λ0−1 ] ∈ ExtA α02 = [(λ0−1 )2 ] ∈ Ext2,2 (Fp , Fp ); A 2,2(p−1)(2p hi;2,1 = [λ12pi+1 −1 λ1pi −1 ] ∈ ExtA 2,2(p−1)(p hi;1,2 = [λ1pi+1 −1 λ12pi −1 ] ∈ ExtA i+1 i+1 +pi ) +2pi ) (Fp , Fp ), i ≥ 0; (Fp , Fp ), i ≥ 0; ρ = [λ11 λ0−1 ] ∈ Ext2,4(p−1)+1 (Fp , Fp ); A hP i (p−1) (−1)j+1 2,2(p−1)pi+1 ˜ λi = (F2 , F2 ), i ≥ ∈ Ext λ λ i i A j=1 (p−j)p −1 jp −1 j Rõ ràng, đơn thức λ1pi −1 λ1pj −1 (i < j − 1), λ1pi+1 −1 λ12pi −1 (i ≥ 0) phần F tử có trội âm, đó, ảnh chúng ϕ e2 p tầm thường R2 Điều dẫn F đến kết quả, qua ϕ2 p ảnh hi hj hi;1,2 tầm thường Sử dụng Mệnh đề 2.2.4, dễ thấy i ϕ e2 p (λ1pi −1 λ0−1 ) = βQp Q0 F Áp dụng quan hệ Adem, ta thu   X pi +j (p − 1)j − pi −j j βQ Q = (−1) βQ Q i pj − p j pi Rõ ràng ((p−1)j−1 ) khác pi−1 ≤ j ≤ pi − Tuy nhiên, trường pj−pi i hợp này, e(βQp −j Qj ) = 2(pi − j ) − − 2(p − 1)j = 2(pi − pj ) − < Do đó, F F ϕ e2 p (λ1pi −1 λ0−1 ) = 0, suy ϕ2 p (α0 hi ) = với i ≥ 52 F Bằng cách sử dụng Mệnh đề 2.2.4, ϕ e2 p (λ0−1 λ0−1 ) = Q0 Q0 6= ∈ R2 nên F ϕ2 p (α02 ) = Q0 Q0 6= ∈ R2 Bằng cách kiểm tra trực tiếp, từ Mệnh đề 2.2.4, ϕ e2 p (λ12pi+1 −1 λ1pi −1 ) = βQ2p F i+1 i βQp Áp dụng quan hệ Adem, ta có βQ 2pi+1   i X 1+j (p − 1)(j − p ) − 2pi+1 +pi −j βQ = (−1) βQ βQj i+1 pj − 2p − j pi i )−1 Vì pj ≥ 2pi+1 + nên pj = 2pi+1 + pa với a ≥ Khi đó, ((p−1)(j−p )= pj−2pi+1 −1 i +(p−1)a−1 ) Nếu pj ≤ 2pi+1 + pi (p − 1)a − < pa − < pi Khi đó, từ bổ ((p−1)p pa−1 đề Lucas,     (p − 1)pi + (p − 1)a − (p − 1)a − ≡ ≡ mod p pa − pa − i )−1 Suy ra, ((p−1)(j−p ) khác pj > 2pi+1 + pi Tuy nhiên, pj−2pi+1 −1 trường hợp này, e(βQ2p i+1 +pi −j pi − pj ) < Do đó, βQ2p i+1 βQj ) = 2(2pi+1 + pi − j ) − 2(p − 1)j = 2(2pp+1 + i F βQp = 0, suy ϕ2 p (hi;2,1 ) = với i ≥ F Tương tư, ϕ e2 p (λ11 λ0−1 ) = βQ2 Q0 Áp dụng quan hệ Adem, ta thu βQ2 Q0 = F ∈ R2 Do đó, ϕ2 p (ρ) = Cuối cùng, sử dụng Mệnh đề 2.2.4, dễ dàng kiểm tra   (p−1) j+1 X (−1) F ϕ e2 p  λ1(p−j)pi −1 λ1jpi −1  j j=1 (p−1) = βQ (p−1)pi pi βQ + X (−1)j+1 i i βQ(p−j)p βQjp j j=2 Với ≤ j ≤ p − 1, i i e(βQ(p−j)p βQjp ) = 2(p − j )pi − − 2(p − 1)jpi + = 2pi (p − 1)(1 − j ) < 0, nên ta có kết sau   (p−1) j+1 X (−1) i i F ϕ e2 p  λ1(p−j)pi −1 λ1jpi −1  = βQ(p−1)p βQp 6= ∈ R2 j j=1 53 Do đó, với i ≥ i F e (p−1)pi ϕ2 p (λ βQp 6= ∈ R2 i ) = βQ Định lý chứng minh Chú ý 3.1.3 (Chơn-Như [17, Chú ý 4.3]) Từ kết Wellington [66, Định lý i i 11.11], Ann(R2 ) sinh Q0 Q0 , βQ(p−1)p βQp , i ≥ 0, Qs(p−1) Qs , s = pi + F · · · + 1, i > Do đó, ϕ2 p khơng phải tồn cấu Hưng công [30], [25], [27], [32] chứng minh ϕFs với ≤ s ≤ triệt tiêu tất phần tử có gốc dương Exts,s+t (F2 , F2 ) Trong trường hợp A F p lẻ, khảo sát dáng điệu ϕ3 p Kết trình bày định lý sau Định lý 3.1.4 (Chơn-Như [18, Định lý 5.1]) Đồng cấu Lannes-Zarati modulo p hạng ϕ3 p : Ext3,3+t (Fp , Fp ) A F / (F ⊗A R3 Fp )# t p đơn cấu với t = bị triệt tiêu với t > Từ Mệnh đề 2.2.5, ta nhận bổ đề sau Bổ đề cho phép ta giảm bớt tính tốn chứng minh Định lý 3.1.4 F F Bổ đề 3.1.5 Nếu λI ∈ Λs λJ ∈ Λk cho ϕ es p (λI ) = ϕ ek p (λJ ) = F p ϕ es+k (λI λJ ) = Chứng minh Định lý 3.1.4 3,3+t Từ kết Liulevicius [42] Aikawa [4], ExtA (Fp , Fp ) sinh phần tử sau i 3,2(p−1)(p +p hi hj hk = [λ1pi −1 λ1pj −1 λ1pk −1 ] ∈ ExtA j +pk ) (Fp , Fp ), ≤ i ≤ j − ≤ k − 4; i +p α0 hi hj = [λ1pi −1 λ1pj −1 λ0−1 ] ∈ Ext3,2(p−1)(p A j )+1 (Fp , Fp ), ≤ i ≤ j − 2; i 3,2(p−1)p +2 α02 hi = [λ1pi −1 (λ0−1 )2 ] ∈ ExtA (Fp , Fp ), i ≥ 1; α03 = [(λ0−1 )3 ] ∈ Ext3,3 (Fp , Fp ); A ei hj = [Li λ1j ] ∈ Ext3,2(p−1)(pi+1 +pj ) (Fp , Fp ), i, j ≥ 0, j 6= i + 2; λ A p 54 ei α0 = [Li λ0 ], i ≥ 0; λ −1 3,2(p−1)(p hi;1,2 hj = [λ1pi+1 −1 λ12pi −1 λ1pj −1 ] ∈ ExtA i+1 +2pi +pj ) (Fp , Fp ), i, j ≥ 0, j 6= i + 2, i, i − 1; 3,2(p−1)(p hi;1,2 α0 = [λ1pi+1 −1 λ12pi −1 λ0−1 ] ∈ ExtA i+1 2(p−1)(2p hi;2,1 hj = [λ12pi+1 −1 λ1pi −1 λ1pj −1 ] ∈ ExtA +2pi )+1 i+1 (Fp , Fp ), i ≥ 1; +pi +pj ) (Fp , Fp ); i, j ≥ 0, j 6= i + 2, i ± 1, i; 3,2(p−1)(2p 10 hi;2,1 α0 = [λ12pi+1 −1 λ1pi −1 λ0−1 ] ∈ ExtA 3,2(p−1)(p 11 hj ρ = [λ1pj −1 λ11 λ0−1 ] ∈ ExtA j +2)+1 i+1 +pi )+1 (Fp , Fp ), i ≥ 1; (Fp , Fp ), j ≥ 2; 3,2(p−1)(3p 12 hi;3,2,1 = (P )i [λ13p2 −1 λ12p−1 λ10 ] ∈ ExtA i+2 +2pi+1 +pi (Fp , Fp ), p 6= 3, i ≥ 0; 3,2(p−1)(3p+2)+1 13 h03,2,1 = [λ13p−1 λ11 λ0−1 ] ∈ ExtA (Fp , Fp ), p 6= 3; 3,2(p−1)(2p 14 hi;2,2,1 = (P )i [λ12p3 −1 λ12p−1 λ10 ] ∈ ExtA i+3 +2pi+1 +pi ) (Fp , Fp ), p = 3, i ≥ 0; 3,2(p−1)(2p 15 h02,2,1 = [λ12p2 −1 λ11 λ0−1 ] ∈ ExtA +2)+1 (Fp , Fp ), p = 3; 3,2(p−1)(p 16 hi;1,3,1 = (P )i [λ1p2 −1 λ13p−1 λ10 ] ∈ ExtA i+2 +3pi+1 +pi ) (Fp , Fp ), p 6= 3, i ≥ 0; 3,2(p−1)(p+3)+1 17 h01,3,1 = [λ1p−1 λ12 λ0−1 ] ∈ ExtA (Fp , Fp ), p 6= 3; 3,2(p−1)(2p 18 hi;2,1,2 = (P )i [λ12p2 −1 λ1p−1 λ11 ] ∈ ExtA 3,2(p−1)(p 19 hi;1,2,3 = (P )i [λ1p2 −1 λ12p−1 λ12 ] ∈ ExtA i+2 i+2 +pi+1 +2pi +2pi+1 +3pi ) 0; 3,6(p−1)+2 20 %3 = [λ12 (λ0−1 )2 ] ∈ ExtA (Fp , Fp ), p 6= 3; 3,12(p−1)+2 21 %03 = [λ15 (λ0−1 )2 ] ∈ ExtA (Fp , Fp ), p = 3; 3,2(p−1)(p 22 fi = (P )i−1 [M ] ∈ ExtA i+1 3,2(p−1)(2p 23 gi = (P )i−1 [N ] ∈ ExtA +2pi ) i+1 +pi ) 55 (Fp , Fp ), i ≥ 0; (Fp , Fp ), i ≥ 1; (Fp , Fp ), i ≥ 1; (Fp , Fp ), p 6= 3, i ≥  (p−1) Li = (P )i  M= X (−1) j j=1 p−1 X (−1)j+1 j=1 j  j+1 λ1(p−j)−1 λ1j−1  , i ≥ 0; (λ1jp−1 λ1(p2 −jp)−1 λ12p−1 − 2λ1p2 −1 λ1j−1 λ12p−j−1 − 2λ1p2 −1 λ1p+j−1 λ1p−j−1 ); N= p−1 X (−1)j+1 j=1 j (2λ1jp−1 λ1(2p2 −jp)−1 λ1p−1 + 2λ1p2 +jp−1 λ1p2 −jp−1 λ1p−1 − λ12p2 −1 λ1j−1 λ1p−j−1 ) Quan sát thấy phần tử hi hj hk (0 ≤ i ≤ j − ≤ k − 4), α0 hi hj (1 ≤ i ≤ j − 2), hi;1,2 hj , hi;1,2 α0 , h0;1,3,1 , h01,3,1 , h0;1,2,3 , f0 biểu diễn chu F trình có trội âm Vì ảnh chu trình qua ϕ e3 p tầm thường R3 nên F ảnh phần tử qua ϕ3 p tầm thường Theo Mệnh đề 2.4.3, ϕ3 p (hi;1,3,1 ) = ϕ3 p ((P )i (h0;1,3,1 )) = (P )i (ϕ3 p (h0;1,3,1 )) = 0, i ≥ F F F F F Bằng lập luận tương tự, ta có ϕ3 p (hi;1,2,3 ) = với i ≥ ϕ3 p (fi ) = với i ≥ F Từ chứng minh Định lý 3.1.2, ta có ϕ e2 p (λ12pi+1 −1 λ1pi −1 ) = với i ≥ F ϕ e2 p (λ11 λ0−1 ) = Do đó, dựa vào Bổ đề 3.1.5, ta thu F • ϕ e3 p (λ12pi+1 −1 λ1pi −1 λ1pj −1 ) = 0, F • ϕ e3 p (λ12pi+1 −1 λ1pi −1 λ0−1 ) = 0, F • ϕ e3 p (λ1pj −1 λ11 λ0−1 ) = 0, F • ϕ e3 p (λ13p−1 λ11 λ0−1 ) = 0, F • ϕ e3 p (λ12p2 −1 λ11 λ0−1 ) = Kéo theo ảnh phần tử hi;2,1 hj , hi;2,1 α0 , hj ρ, h03,2,1 h02,2,1 tầm thường F ánh xạ ϕ3 p i F i Dựa vào Định lý 3.1.2, ta có ϕ e2 p (Li ) = βQ(p−1)p βQp Do đó, ta thu 56 i F i j • ϕ e3 p (Li λpj ) = −βQ(p−1)p βQp βQp , i F i • ϕ e3 p (Li λ0−1 ) = −Q(p−1)p βQp Q0 Bởi vế phải cơng thức phần tử có trội không âm với i, j ≥ 0, suy F e ϕ p (λ i hj ) = Dựa vào chứng minh Định lý 3.1.2, βQi Q0 = ∈ R2 , vế phải công F ei ) = Bằng lập luận tương tự, thức thứ hai tầm thường R3 Suy ϕ p (α0 λ ta nhận F ϕ3 p (α02 hi ) = F F Từ chứng minh trên, ta có ϕ e2 p (λ12p−1 λ10 ) = ϕ e2 p (λ1p−1 λ11 ) = Do đó, F • ϕ e3 p (λ13p2 −1 λ12p−1 λ10 ) = 0, F • ϕ e3 p (λ12p3 −1 λ12p−1 λ10 ) = 0, F • ϕ e3 p (λ12p2 −1 λ1p−1 λ11 ) = F F F Nó kéo theo ϕ3 p (h0;3,2,1 ) = 0, ϕ3 p (h0;2,2,1 ) = ϕ3 p (h0;2,1,2 ) = 0, đó, sử dụng F F F Mệnh đề 2.4.3, ta có ϕ3 p (hi;3,2,1 ) = 0, ϕ3 p (hi;2,2,1 ) = ϕ3 p (hi;2,1,2 ) = với i ≥ Áp dụng quan hệ Adem, R2 ta có βQ3 Q0 = βQ6 Q0 = 0, đó, F • ϕ e3 p (λ12 (λ0−1 )2 ) = −βQ3 Q0 Q0 = 0, F • ϕ e3 p (λ15 (λ0−1 )2 ) = −βQ6 Q0 Q0 = Kết là, ϕ3 p (%3 ) = ϕ3 p (%03 ) = F F Bằng kiểm tra trực tiếp, sử dụng Mệnh đề 2.2.5, ta có F ϕ e3 p (N ) =− p−1 X (−1)j j=1  j × × 2βQjp βQ2p −jp βQp + 2βQp +jp βQp −jp  βQp − βQ2p βQj βQp−j Vì hai số hạng vế phải công thức có trội âm nên F ϕ e3 p (N ) = p−1 X (−1)j j=1 j βQ2p βQj βQp−j Dễ thấy βQj βQp−j = với j < p − 1, đó, ϕ e3 p (N ) = −βQ2p βQp−1 βQ1 F 57 Áp dụng quan hệ Adem, ta có βQ 2p2 βQ p−1   X 2p2 +i+1 (p − 1)(i + − p) − = (−1) βQ2p+p−1−i βQi pi − 2p − i Vì pi ≥ 2p2 + nên pi = 2p2 + pa với a ≥ Trong trường hợp này, ta có e(βQ2p+p−1−i βQi ) = 2(2p2 + p − − i) − 2(p − 1)i = 4p2 + 2p − − 2pi = 4p2 + 2p − − 4p2 − 2pa = 2p − 2pa − < F F Do đó, βQ2p βQp−1 = ϕ e3 p (N ) = Suy ϕ3 p (g1 ) = F ϕ3 p (gi ) = với i ≥ F Cuối cùng, dễ dàng kiểm tra ϕ3 p (α03 ) = −Q0 Q0 Q0 6= ∈ R3 Định lý chứng minh 3.2 Đối đồng điều đại số Steenrod e ∗ (BZ/p) Trong phần này, xây dựng dãy phổ phức Λ ⊗ H Dãy phổ xem phiên tổng quát dãy phổ Cohen-LinMahowald [20], Lin [39], Chen [11] sử dụng cho trường hợp p số ngun tố lẻ Sau đó, chúng tơi sử dụng dãy phổ để tính đối đồng điều đại số Steenrod e ∗ (BZ/p), Fp ) sử dụng kết để khảo sát dáng điệu đồng cấu Exts,s+t (H A e ∗ (BZ/p) với p số nguyên tố lẻ không Lannes-Zarati trường hợp M = H có đề cập khác Những kết công bố Chơn-Như [18] e ∗ (BZ/p) Dãy phổ phức Λ ⊗ H e ∗ (BZ/p), Fp ) Chú ý dãy Chúng tơi xây dựng dãy phổ để tính Exts,s+t (H A phổ định nghĩa cho tất A -môđun kiểu hữu hạn Tuy nhiên, chúng e ∗ (BZ/p) thực cho M = H e ∗ (BZ/p)), n ≥ lọc phức Λ ⊗ H e ∗ (BZ/p) (phức Cho F n := F n (Λ ⊗ H e ∗ (BZ/p)) := với n > 0, mơ tả Mục 2.4), F (Λ ⊗ H e ∗ (BZ/p)) := {λ ⊗ h ∈ Λ ⊗ H e ∗ (BZ/p) : |h| ≤ n} F n (Λ ⊗ H e ∗ (BZ/p)) phức Λ ⊗ H e ∗ (BZ/p) thỏa Theo (2.7), rõ ràng F n (Λ ⊗ H e ∗ (BZ/p)) = Λ ⊗ H e ∗ (BZ/p) ∩n F n (Λ ⊗ H e ∗ (BZ/p)) = mãn ∪n F n (Λ ⊗ H 58 e ∗ (BZ/p), Fp ) Vi phân Do đó, lọc sinh dãy phổ hội tụ đến Exts,s+t (H A dr : Ern,s,t / E n−r,s+1,t−1 r Fp -ánh xạ tuyến tính Trong dãy phổ này, n bậc lọc, s bậc đồng điều, t bậc s + t bậc tổng e ∗ (BZ/p))/F n−1 (Λs ⊗ H e ∗ (BZ/p)))t ∼ Dễ thấy, E0n,s,t = (F n (Λs ⊗ H = Σn Λs , đó, s,s+t−n E1n,s,t = H ∗ (E0n,s,t ) ∼ (Fp , Fp ), = Σn ExtA n,s,t ∼ e ∗ (BZ/p))/F n−1 H s (Λ ⊗ H e ∗ (BZ/p)))t , E∞ = (F n H s (Λ ⊗ H   s n s s n e e e / F H (Λ⊗H∗ (BZ/p)) := im H (F (Λ ⊗ H∗ (BZ/p))) H (Λ ⊗ H∗ (BZ/p)) n,s,t ∼ e ∗ (BZ/p), Fp ) Do đó, ⊕n≥1 E∞ (H = Exts,s+t A Đối đồng điều đại số Steenrod ∗,s,∗ n,s,t Ký hiệu, Er∗,s,∗ = ⊕n,t Ern,s,t E∞ = ⊕n,t E∞ Dễ dàng kiểm tra trang E1∗,0,∗ có Fp -cơ sở gồm tất phần tử có dạng • a b[t] , t +  ≥ Dựa kết Liulevicius [42] Aikawa [4], ta có trang E1∗,1,∗ có Fp -cơ sở gồm tất phần tử • α0 a b[t] = [λ0−1 a b[t] ], t +  ≥ 1, • hi a b[t] = [λ1pi −1 a b[t] ], i ≥ 0, t +  ≥ 1; trang E1∗,2,∗ có Fp -cơ sở gồm tất phần tử • hi hj a b[t] = [λ1pi −1 λ1pj −1 a b[t] ], ≤ i < j − 1, t +  ≥ 1; • α0 hi a b[t] = [λ1pi −1 λ0−1 a b[t] ], i ≥ 1, t +  ≥ 1; • α02 a b[t] = [(λ0−1 )2 a b[t] ], t +  ≥ 1; • hi;2,1 a b[t] = [λ12pi+1 −1 λ1pi −1 a b[t] ], i ≥ 0; • hi;1,2 a b[t] = [λ1pi+1 −1 λ12pi −1 a b[t] ], i ≥ 0, t +  ≥ 1; 59 • ρa b[t] = [λ11 λ0−1 a b[t] ], t +  ≥ 1; i hP (p−1) (−1)j+1  [t]  [t] e • λi a b = λ(p−j)pi −1 λjpi −1 a b , i ≥ 0, t +  ≥ j=1 j /β Ta viết α có nghĩa α β sống đến trang Er dr (α) = β với r ∗,s,∗ Trong trường hợp này, phần đó, đó, α β không sống đến trang vô E∞ tử β ảnh phần tử α qua vi phân dr β gọi biên Ví dụ, ta viết i ab[(mp+k)p −1] i / − (k + 1)hi ab[((m−1)p+k+1)p −1] , với i ≥ 0, ≤ k ≤ p − 1, m ≥ 1, nghĩa i i dpi (p−1) (ab[(mp+k)p −1] ) = −(k + 1)hi ab[((m−1)p+k+1)p −1] Hơn nữa, với số ngun khơng âm n, ta viết n = mp + k với m ≥ ≤ k ≤ p − d r Vi phân Er∗,0,∗ − → Er∗,1,∗ cho bổ đề sau d r Bổ đề 3.2.1 Vi phân không tầm thường Er∗,0,∗ − → Er∗,1,∗ cho danh sách sau đây: (3.2.1.1) b[t] /α ab i [t−1] (3.2.1.2) ab[(mp+k)p −1] , với t ≥ 1; / − (k +1)h i ab [((m−1)p+k+1)pi −1] , với i ≥ 0, ≤ k ≤ p− 1, m ≥ e ∗ (BZ/p), Fp ) Đầu tiên ta cần xác định nhóm mở rộng Ext0,t (H A Định lý 3.2.2 (Chơn-Như [18, Định lý 5.3], Crossley [21, Định lý 1.1]) Nhóm mở e ∗ (BZ/p), Fp ) có Fp -cơ sở gồm tất phần tử rộng Ext0,t (H A h i 0,2(p−1)pi −1 e ∗ [(p−1)pi −1] b hi := ab ∈ ExtA (H (BZ/p), Fp ), i ≥ 0; h i i 0,2kpi −1 e ∗ b hi (k ) := ab[kp −1] ∈ ExtA (H (BZ/p), Fp ), i ≥ 0, ≤ k < p − i Chứng minh Từ công thức (3.2.1.2) suy phần tử ab[kp −1] chu trình vĩnh cửu ∗,0,∗ sống đến trang vơ E∞ với i ≥ ≤ k ≤ p − Định lý chứng minh d r Vi phân Er∗,1,∗ − → Er∗,2,∗ cho bổ đề sau 60 d r Bổ đề 3.2.3 Những vi phân không tầm thường Er∗,1,∗ − → Er∗,2,∗ cho danh sách sau đây: / α2 ab[t−1] , (3.2.3.1) α0 b[t] với t ≥ 1; / (3.2.3.2) α0 ab[mp+k] [(m−2)p+k+2] , với ≤ k < p − 2, m ≥ 2; − (k+2 )ρab i / (k (3.2.3.3) α0 ab[(mp+k)p −1] i + 1)α0 hi ab[((m−1)p+k+1)p −1] , với i ≥ 1, m ≥ 1; i /(k +1)α (3.2.3.4) α0 ab[(mp+k)p −p+p−2] hi ab [((m−1)p+k+1)pi −p+p−2] , với i ≥ 1, m ≥ 1; (3.2.3.5) hi b[t] / − hi α0 ab[t−1] , với i ≥ 1, t ≥ 1; / (` − 1)ρab[(m−1)p+`] , (3.2.3.6) h0 b[mp+`] i (3.2.3.7) h0 b[(mp+e)p −p / +kp+1] với m ≥ ` 6= 1; i − (e + 1)h0 hi b[((m−1)p+e+1)p −p +kp+1] , với i ≥ 2, m ≥ 0; (3.2.3.8) hi ab[(mp+k)p j −1] / − (k + 1)hi hj ab[((m−1)p+k+1)p j −1] , với i ≥ 1, m ≥ 1, ≤ j < i; (3.2.3.9) hi ab[(mp+k)p i−1 +pi−1 −1] / [((m−2)p+k+2)p − (k+2 )hi−1;1,2 ab i−1 +pi−1 −1] , với i ≥ 1, m ≥ 1; i (3.2.3.10) hi ab[(mp+k)p +(p−1)p i−1 / −1] i i − 21 (k − 1)hi−1;2,1 ab[((m−1)p+k)p +p −1] , với i ≥ 1, m ≥ 1; (3.2.3.11) hi ab[(mp+k)p i+2 +rpi+1 +pi +u] / (r+2)h i;2,1 ab [(mp+k−2)pi+2 +(r+2)pi+1 +pi +u] , với i ≥ 1, m ≥ 0, u = (p − 1)pi−1 − 1; (3.2.3.12) hi ab[(mp+k)p j −pi+2 +v] / − (k +1)h i hj ab [((m−1)p+k+1)pj −pi+2 +v] , với j − ≥ i ≥ 1, m ≥ 1, v = (p − 2)pi+1 + pi + (p − 1)pi−1 − 1; (3.2.3.13) hi ab[(mp+k)p j −pi+1 +pi +u] / − (k + 1)hi hj ab[((m−1)p+k+1)p j −pi+1 +pi +u] , với j − ≥ i ≥ 1, m ≥ 0, u = (p − 1)pi−1 − 1; (3.2.3.14) hi ab[(mp+k)p (3.2.3.15) hi ab[mp i+2 i+1 +pi −1] e /λ +kpi+1 +epi +pi −1] i ab [((m−1)p+k+2)pi+1 −1] / (k+2)(e+1) h i;1,2 ab , với i ≥ 0, m ≥ 1; [(m−1)pi+2 +kpi+1 +(e+1)pi +pi −1] , với i ≥ 0, m ≥ 0; (3.2.3.16) hi ab[(mp+`)p j −pi+2 +w] / − (` +1)h i hj ab [((m−1)p+`+1)pj −pi+2 +w] , với j − ≥ i ≥ 0, m ≥ 1, w = (p − 2)pi+1 + epi + pi − 1; (3.2.3.17) hi ab[(mp+`)p j −pi+2 +kpi+1 +x] / − (` +1)h i hj ab [((m−1)p+`+1)pj −pi+2 +kpi+1 +x] với j − ≥ i ≥ 0, m ≥ 1, k 6= p − 2, x = pi+1 − 61 , Chứng minh Bổ đề chứng minh cách tính tốn trực tiếp phức e ∗ (BZ/p) dãy phổ dây chuyền Λ ⊗ H e ∗ (BZ/p) Chứng minh công thức (3.2.3.1) Rõ ràng Λ ⊗ H d(λ0−1 b[t] ) = λ0−1 λ0−1 ab[t−1] mod F 2(t−1) , với t ≥ Do dãy phổ ta nhận cơng thức e ∗ (BZ/p) ta Chứng minh công thức (3.2.3.2) Bằng cách tính trực tiếp, Λ ⊗ H có  d λ0−1 ab[mp+k] + (k + 1)λ00 ab[(m−1)p+k+1]    k + [(m−2)p+k+2] + λ1 ab =   k+2 − λ1 λ−1 ab[(m−2)p+`+2] mod F 2((m−2)p+k+2) , với ≤ k < p − 2, m ≥ Do dãy phổ ta nhận công thức e ∗ (BZ/p) ta Chứng minh cơng thức (3.2.3.3) Bằng cách tính trực tiếp, Λ ⊗ H lại có i i d(λ0−1 ab[(mp+k)p −1] ) = (k + 1)λ0−1 λ1pi −1 ab[((m−1)p+k+1)p −1] mod F 2k1 , với i ≥ 1, k1 = ((m − 1)p + k + 1)pi − Do đó, cơng thức (3.2.3.3) chứng minh e ∗ (BZ/p) Chứng minh công thức (3.2.3.4) Dễ thấy Λ ⊗ H i i d(λ0−1 ab[(mp+k)p −p+p−2] + λ00 ab[(mp+k)p −p−1] ) = i (k + 1)λ0−1 λ1pi −1 ab[((m−1)p+k+1)p −p+p−2] mod F 2k2 , với i ≥ 1, k2 = ((m − 1)p + k + 1)pi − p + p − Do dãy phổ ta nhận công thức (3.2.3.4) e ∗ (BZ/p) Chứng minh công thức (3.2.3.5) Tượng tự (3.2.3.1), Λ ⊗ H d(λ1pi −1 b[t] ) = −λ1pi −1 λ0−1 ab[t−1] mod F 2(t−1) , với i ≥ 1, t ≥ Nghĩa dãy phổ cơng thức (3.2.3.5) e ∗ (BZ/p) ta có Chứng minh công thức (3.2.3.6) Trong Λ ⊗ H   1 [kp+`] [(k−1)p+`+1] d λ0 b + (` + 1)λ1 b = (` − 1)λ11 λ0−1 ab[(k−1)p+`] mod F 2((k−1)p+`) , 62 với k ≥ ` 6= Cho nên ta thu công thức (3.2.3.6) dãy phổ Chứng minh công thức(3.2.3.7) Đặt s = (mp + e)pi với m ≥ ≤ e ≤ p − e ∗ (BZ/p) ta có Bằng tính tốn trực tiếp, Λ ⊗ H d p−1 X ! λ1j b[s−p +(k−j)p+j+1] + C1 + · · · + Cp−k−1 = j=0 i − (e + 1)λ10 λ1pi −1 b[((m−1)p+e+1)p −p +kp+1] i mod F 2(((m−1)p+e+1)p −p +kp+1)−1 , Cn =  p−1  X p+k+n−` `=0 n λ1np+` b[s−(n+1)p +(k+n−`)p+`+1] , với i ≥ m ≥ Khi ta thu kết tương ứng dãy phổ Chứng minh công thức(3.2.3.8) Hiển nhiên e ∗ (BZ/p) cách tính trực tiếp ta Chứng minh cơng thức(3.2.3.9) Trong Λ ⊗ H có   i−1 i−1 i−1 i−1 d λ1pi −1 ab[(mp+k)p +p −1] = −(k + 1)λ1pi −1 λ1pi−1 −1 ab[((m−1)p+k+1)p +p −1]   i−1 i−1 k+2 − λpi −1 λ12pi−1 −1 ab[((m−2)p+k+2)p +p −1] mod F 2(((m−2)p+k+2)p i−1 +pi−1 −1) , với i ≥ m ≥ Từ λ1pi −1 λ1pi−1 −1 = Λ số hạng thứ hai công thức đại diện cho phần tử hi−1;1,2 ab[((m−2)p+k+2)p i−1 +pi−1 −1] dãy phổ ta thu công thức (3.2.3.9) e ∗ (BZ/p), đặt s = (m − 1)p + k với Chứng minh công thức (3.2.3.10) Trong Λ ⊗ H m ≥ ≤ k ≤ p − ta có   i i−1 i i−1 d 2λ1pi −1 ab[(mp+k)p +(p−1)p −1] + (k + 1)λ12pi −1 ab[(s+1)p +(p−1)p −1] = i i ((k + 1)λ12pi −1 λ1pi−1 −1 + 2kλ1pi −1 λ1pi +pi−1 −1 )ab[sp +p −1] i i mod F 2(sp +p −1) , với i ≥ m ≥ Theo quan hệ Adem, Λ, λ12pi −1 λ1pi−1 −1 +λ1pi −1 λ1pi +pi−1 −1 = i i i i phần tử λ12pi −1 λ1pi−1 −1 ab[sp +p −1] đại diện cho phần tử hi−1;2,1 ab[sp +p −1] dãy phổ nên ta thu công thức 63 e ∗ (BZ/p), Chứng minh công thức (3.2.3.11) Đặt u = (p − 1)pi−1 − Trong Λ ⊗ H sử dụng quan hệ Adem ta nhận vi phân phần tử i+2 i+1 i λ1pi −1 ab[(mp+k)p +rp +p +u] + p−1 X λ1jpi −1 ab[(mp+k)p i+2 +(r−j+1)pi+1 +jpi +u] j=2 i+2 i+1 i + (r + 1)λ1pi+1 +pi −1 ab[(mp+k−1)p +(r+1)p +p +u]   i+2 i+1 i r+2 + λ2pi+1 +pi −1 ab[(mp+k−2)p +(r+2)p +p +u] với   i+2 i+1 i r+2 λ2pi+1 −1 λ1pi −1 ab[(mp+k−2)p +(r+2)p +p +u] mod F 2((mp+k−2)p i+2 +(r+2)pi+1 +pi +u) , với i ≥ m ≥ Vì λ12pi+1 −1 λ1pi −1 ab[(mp+k−2)p hi;2,1 ab i+2 +(r+2)pi+1 +pi +u] [(mp+k−2)pi+2 +(r+2)pi+1 +pi +u] đại diện cho dãy phổ nên ta thu công thức e ∗ (BZ/p) với u = (p − 1)pi−1 − Chứng minh công thức (3.2.3.12) Trong Λ ⊗ H v = (mp + k )pj vi phân phần tử i+2 i+1 i λ1pi −1 ab[v −p +(p−2)p +p +u] + p−1 X λ1`pi −1 ab[v −p i+2 +(p−1−`)pi+1 +`pi +u] `=2 − λ1pi+1 +pi −1 ab[v −2p i+2 +(p−1)pi+1 +pi +u] với −(k + 1)λ1pi −1 λ1pj −1 ab[((m−1)p+k+1)p j −pi+2 +(p−2)pi+1 +pi +u] mod F 2u1 , với ≤ i ≤ j−2 m ≥ u1 = ((m−1)p+k +1)pj −pi+2 +(p−2)pi+1 +pi +u Do dãy phổ ta thu công thức e ∗ (BZ/p) với j − ≥ i ≥ Chứng minh công thức (3.2.3.13) Trong Λ ⊗ H u = (p − 1)pi−1 − ta có d λ1pi −1 ab[v−p i+1 i +p +u] + p−1 X ! λ1`pi −1 ab[v−`p i+1 i +`p +u] `=2 − (k + 1)λ1pi −1 λ1pj −1 ab[((m−1)p+k+1)p 64 j −pi+1 +pi +u] mod F 2u2 ,