Một số phương pháp giải bài toán cân bằng giả đơn điệu và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ QUỐC PHÒNG HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ BÙI VĂN ĐỊNH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU VÀ ỨNG DỤNG Tai Lieu Chat Luong LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ QUỐC PHÒNG HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ BÙI VĂN ĐỊNH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 62 46 01 12 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS NGUYỄN ĐỨC HIẾU GS TSKH LÊ DŨNG MƯU HÀ NỘI - 2014 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu Các kết viết chung với tác giả khác, trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết nêu luận án hoàn toàn trung thực chưa công bố cơng trình khác NCS Bùi Văn Định LỜI CẢM ƠN Bản luận án hồn thành Bộ mơn Tốn, Khoa Cơng nghệ Thơng tin, Học viện Kỹ thuật Quân sự, hướng dẫn PGS TS Nguyễn Đức Hiếu đặc biệt GS TSKH Lê Dũng Mưu Tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến Thầy bảo hướng dẫn tận tình suốt thời gian tác giả làm nghiên cứu sinh Trong q trình học tập, nghiên cứu thơng qua giảng xêmina Bộ mơn Tốn Phịng Tối ưu Điều khiển Viện Tốn học, Viện Hàn lâm Khoa học Việt Nam, tác giả thường xuyên nhận quan tâm giúp đỡ đóng góp ý kiến quý báu GS TSKH Phạm Thế Long, PGS TS Đào Thanh Tĩnh, PGS TS Nguyễn Xuân Viên, PGS TS Tô Văn Ban, TS Nguyễn Hữu Mộng, TS Nguyễn Trọng Tồn, GS TSKH Nguyễn Đơng n Từ đáy lịng mình, tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến Thầy Tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám đốc, Phòng Sau Đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Công nghệ Thông tin, Học viện Kỹ thuật Quân sự; đặc biệt thầy cô giáo Bộ mơn Tốn thầy Phịng Tối ưu Điều khiển, Viện Tốn học ln giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Bản luận án khơng thể hồn thành khơng có thơng cảm, chia sẻ giúp đỡ người thân gia đình tác giả Tác giả thành kính dâng tặng q tinh thần lên bậc sinh thành tồn thể gia đình thân u với lịng trân trọng biết ơn sâu sắc Tác giả Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục ký hiệu chữ viết tắt MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu 12 Đối tượng phạm vi nghiên cứu 12 Phương pháp nghiên cứu 12 Kết luận án 13 Cấu trúc luận án 15 Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 16 1.1 Các khái niệm kết 16 1.2 Bài toán cân trường hợp riêng 21 1.3 Bài toán cân tương đương 28 1.4 Bài toán cân hai cấp 31 Chương MỘT PHƯƠNG PHÁP CHIẾU CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU VÀ ÁP DỤNG VÀO MỘT LỚP BÀI TOÁN CÂN BẰNG HAI CẤP 33 2.1 Đặt toán 37 2.2 Thuật toán chiếu cho toán cân 41 2.3 Áp dụng vào tốn cân Nash-Cournot mơ hình cân thị trường điện bán độc quyền 49 2.4 Áp dụng vào tốn tìm cực tiểu hàm chuẩn Euclide tập nghiệm toán cân giả đơn điệu 53 2.5 Áp dụng vào toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân 61 Chương KẾT HỢP PHƯƠNG PHÁP HÀM PHẠT VÀ HÀM ĐÁNH GIÁ GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG HAI CẤP 77 3.1 Đặt toán 77 3.2 Phương pháp hàm phạt 78 3.3 Hàm đánh giá hướng giảm 84 3.4 Áp dụng vào phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov 91 KẾT LUẬN 95 Kết đạt 95 Kiến nghị số hướng nghiên cứu 96 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 97 TÀI LIỆU THAM KHẢO 98 Danh mục ký hiệu chữ viết tắt N tập số tự nhiên R tập số thực R = R ∪ {±∞} tập số thực mở rộng Rn không gian Euclide n chiều H không gian Hilbert thực X không gian véc tơ tô pô thực MT chuyển vị ma trận M hx, yi = xT y p kxk = hx, xi tích vơ hướng hai véc tơ x y I ánh xạ đồng dom f miền hữu hiệu hàm số f im F miền ảnh ánh xạ F epi f đồ thị hàm số f graph F đồ thị ánh xạ F ϕ′ (x) = ∇ϕ(x) đạo hàm ϕ x ϕ′ (x; d) đạo hàm theo hướng d ϕ x ∂ϕ(x) vi phân ϕ x ∇x f (x, y) đạo hàm hàm f (., y) x ∇y f (x, y) đạo hàm hàm f (x, ) y chuẩn véc tơ x ∂f (x, x) vi phân hàm f (x, ) x C bao đóng tập C int C phần tập C ri C phần tương đối tập C lim = lim sup giới hạn lim = lim inf giới hạn xk → x dãy xk hội tụ tới x PC (x) hình chiếu x lên tập C NC (x) nón pháp tuyến C x EP(C, f ) toán cân VIP(C, F ) toán bất đẳng thức biến phân (đơn trị) Sf tập nghiệm toán EP(C, f ) SF tập nghiệm toán VIP(C, F ) BEP(C, f, g) toán cân hai cấp MNEP(C, f ) tốn tìm cực tiểu hàm chuẩn tập Sf VIEP(C, f, F ) toán VIP(Sf , F ) BVIP(C, F, G) toán bất đẳng thức biến phân hai cấp u.s.c nửa liên tục l.s.c nửa liên tục MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lí chọn đề tài Sự cân (equilibrium) thường hiểu trạng thái đồng lực lượng đối lập hay đối tượng có ảnh hưởng qua lại lẫn nhau, phụ thuộc lẫn Thuật ngữ sử dụng rộng rãi nhiều ngữ cảnh khoa học kỹ thuật Vật lí, Hóa học, Sinh học, Kinh tế, Kỹ thuật, v.v Trong Vật lí, trạng thái cân hệ, theo thuật ngữ học cổ điển, xảy hợp lực tác động lên hệ không trạng thái trì khoảng thời gian dài Trong Hóa học, cân hóa học xảy tốc độ phản ứng thuận với tốc độ phản ứng nghịch, Sinh học, cân sinh thái trạng thái ổn định tự nhiên hệ sinh thái, hướng tới thích nghi cao với điều kiện sống, trạng thái thường xảy tương quan lực lượng mồi thú săn mồi hệ sinh thái có tỉ lệ tương đồng với Trong Kinh tế học, cân kinh tế khái niệm đồng thời động lực mục đích kinh tế Một ví dụ đơn giản lĩnh vực thị trường xác định có sản xuất tiêu thụ đồng loại hàng hóa Sức mua thị trường phụ thuộc vào giá mặt hàng thị trường, nói cách xác hơn, mặt hàng bán mức giá p hàm cầu thị trường D(p), nhà sản xuất cung cấp lượng hàng mức giá p S(p) ta có hàm vượt cầu E(p) = D(p) − S(p) Sự cân xảy mức giá p∗ E(p∗ ) = 0, tức lượng cung lượng cầu, điều giống cân xảy 90 điều mâu thuẫn với (3.11) Vậy ta phải có h∇ϕǫ (x), yǫ (x) − xi < Mệnh đề 3.4 Giả sử C tập com pắc, f, g song hàm khả vi liên tục C × C cho f (x, ) lồi chặt C với x ∈ C f giả ∇-đơn điệu chặt C Khi đó, x ∈ C khơng nghiệm tốn EP(C, f ), tồn số ǫ¯ > cho yǫ (x) − x hướng giảm hàm ϕǫ C x với < ǫ ≤ ǫ¯ Chứng minh Ta chứng minh phản chứng Nếu khẳng định mệnh đề khơng tồn dãy {ǫk } cho ǫk ց điểm x ∈ C thỏa mãn h∇ϕǫk (x), yǫk (x) − xi ≥ ∀k Hay −h∇x gǫk (x, yǫk (x)), yǫk (x) − xi ≥ ∀k (3.12) Do gǫ (x, ) hàm lồi chặt khả vi C, nên theo Định lý 2.1 [19], hàm ǫ 7→ yǫ (x) liên tục theo ǫ, yǫk (x) hội tụ tới y0 (x) ǫk → 0, với y0 (x) = arg miny∈C f (x, y) Vì x khơng nghiệm tốn EP(C, f ) nên y0 (x) 6= x Bởi gǫk (x, y) = f (x, y) + ǫk [g(x, y) + l(x, y)] hàm khả vi liên tục, nên cho ǫk → (3.12) ta thu −h∇x f (x, y0 (x)), y0 (x) − xi ≥ Mà theo giả thiết f giả ∇-đơn điệu chặt, nên h∇y f (x, y0 (x)), y0 (x) − xi > (3.13) Mặt khác, từ yǫk (x) điểm cực tiểu hàm gǫk (x, ) C, ta suy h∇y gǫk (x, yǫk (x)), yǫk (x) − xi ≤ Chuyển qua giới hạn ǫk → ta h∇y f (x, y0 (x)), y0 (x) − xi ≤ 0, điều mâu thuẫn với (3.13) 91 Các ví dụ đây, giả thiết Định lý 3.2 thỏa mãn Ví dụ 3.4 Xét hai song hàm f g cho f (x, y) = ex (y − x2 ) g(x, y) = 10x (y − x2 ) xác định R × R Khi ta có (a) f (x, y), g(x, y) đơn điệu, giả ∇-đơn điệu chặt R (b) Với ǫ > song hàm f (x, y) + ǫg(x, y) đơn điệu, giả ∇-đơn điệu chặt R thỏa mãn giả thiết Định lý 3.2 Ví dụ 3.5 Xét hai song hàm f (x, y) = −3x2 y + xy + 2y g(x, y) = −x2 − xy + 2y xác định R+ × R+ , ta có (a) f, g giả đơn điệu, ∇-đơn điệu chặt R+ ; (b) Với ǫ > song hàm f (x, y) + ǫg(x, y) giả đơn điệu, ∇-đơn điệu chặt R+ thỏa mãn giả thiết Định lý 3.2 3.4 Áp dụng vào phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov phương pháp thường sử dụng để giải tốn đặt khơng chỉnh (ill-posed problems) Gần đây, tác giả P G Hưng L D Muu (xem [32]) mở rộng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho toán cân giả đơn điệu Tìm x∗ ∈ C cho f (x∗ , y) ≥ ∀y ∈ C, đó, giống trước đây, C tập lồi đóng Rn f : C ×C → R song hàm giả đơn điệu C 92 Theo phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov nghiên cứu [32], toán EP(C, f ) hiệu chỉnh họ tốn cân EP(C, fǫ ) Tìm x∗ǫ ∈ C cho fǫ (x∗ǫ , y) := f (x∗ǫ , y) + ǫg(x∗ǫ , y) ≥ ∀y ∈ C, với g song hàm cân C ǫ > 0, đóng vai trị song hàm hiệu chỉnh tham số hiệu chỉnh Định lý sau chứng minh báo [32] Định lí 3.3 Giả sử f (., y), g(., y) nửa liên tục theo x, cho f (x, ), g(x, ) lồi, nửa liên tục C theo y hàm f giả đơn điệu C Giả sử thêm g đơn điệu mạnh C thỏa mãn điều kiện ∃δ > |g(x, y)| ≤ δkx − xg kky − xk ∀x, y ∈ C, (3.14) xg ∈ C điểm cho trước (thường đóng vai trị nghiệm đốn) Khi đó, phát biểu sau tương đương (a) Tập nghiệm EP(C, fε ) khác rỗng với ε > tồn limε→0+ x(ε), x(ε) nghiệm tốn EP(C, fε ); (b) Tập nghiệm toán EP(C, fε ) khác rỗng với ε > limε→0+ sup kx(ε)k < ∞, với x(ε) điểm tập nghiệm toán EP(C, fε ); (c) Tập nghiệm toán EP(C, f ) khác rỗng Hơn nữa, số phát biểu đúng, limε→0+ x(ε) nghiệm toán cân đơn điệu mạnh EP(Sf , g), Sf tập nghiệm tốn cân EP(C, f ) ban đầu Chú ý rằng, f đơn điệu C, hàm hiệu chỉnh đơn điệu mạnh, ta giải số phương pháp có (xem [46, 55, 56]) điều giúp cho việc tìm quỹ đạo Tikhonov thực được, nhiên f giả đơn điệu, tốn hiệu chỉnh, trường hợp tổng qt, khơng cịn đơn điệu mạnh, hay đơn điệu, chí khơng giả đơn điệu Do đó, việc giải nhiệm vụ khó khăn Mặc dù vậy, từ định lý 93 ta chuyển việc tìm điểm giới hạn dãy nghiệm toán hiệu chỉnh việc giải toán cân hai cấp BEP(C, f, g) Để áp dụng phương pháp hàm phạt phương pháp hàm đánh giá mục trên, ta chọn song hàm hiệu chỉnh g thỏa mãn giả thiết Định lý 3.3, chẳng hạn như., g(x, y) = hx − xg , y − xi Rõ ràng, g đơn điệu mạnh ∇-đơn điệu mạnh với hệ số Hơn nữa, g thỏa mãn điều kiện (3.14) Do đó, tốn tìm điểm giới hạn dãy nghiệm toán hiệu chỉnh phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov phát biểu dạng toán cân hai cấp sau Tìm x∗ ∈ Sf cho g(x∗ , y) ≥ ∀y ∈ Sf , (3.15) tốn có dạng (3.1) Bây giờ, với số ǫk > cố định, ta xét toán cân phạt PEP(C, fǫk ) xác định sau Tìm x ¯k ∈ C cho fǫk (¯ xk , y) = f (¯ xk , y) + ǫk g(¯ xk , y) ≥ ∀y ∈ C (3.16) Cũng trước đây, ta kí hiệu Sfǫk tập nghiệm toán PEP(C, fǫk ) Áp dụng Định lý 3.1 Định lý 3.2 ta nhận hệ sau Hệ 3.3 Giả sử song hàm f thỏa mãn điều kiện (a) f (x, ) lồi, nửa liên tục ∀x ∈ C; (b) f giả đơn điệu C Khi đó, với ǫk > tốn phạt PEP(C, fǫk ) ln có nghiệm dãy {xk } xk ∈ Sfǫk với k, hội tụ tới nghiệm toán (3.15) ǫk → Nếu thêm vào đó, f (x, ) + ǫk g(x, ) hàm lồi chặt C với x ∈ C f + ǫk g giả ∇-đơn điệu chặt C (điều thỏa mãn, chẳng hạn khi, f (x, y) ∇-đơn điệu), với x ¯k điểm dừng tốn tối ưu minx∈C ϕk (x), ϕk (x) = min{f (x, y) + ǫk g(x, y)}, y∈C 94 {¯ xk } hội tụ tới nghiệm toán (3.15) ǫk → KẾT LUẬN CHƯƠNG Trong chương này, đề xuất phương pháp hàm phạt giải toán cân hai cấp, với hàm cân cấp hàm giả đơn điệu theo tập nghiệm phương pháp hàm đánh giá giải toán phạt Các kết đạt bao gồm: (a) Để xuất phương pháp hàm phạt cho toán cân hai cấp (3.1) (Mục 3.1) Chứng minh định lý hội tụ nghiệm dãy toán phạt tới nghiệm toán cân hai cấp ban đầu (Định lí 3.1) (b) Đề xuất phương pháp hàm đánh giá giải toán phạt (Mục 3.2) Mở rộng khái niệm giả ∇-đơn điệu từ khái niệm ∇-đơn điệu (Định nghĩa 3.2) (c) Chứng minh điểm dừng hàm đánh giá nghiệm toán cân song hàm cân thỏa mãn giả thiết giả ∇-đơn điệu chặt (Định lí 3.2) Đồng thời hướng giảm hàm đánh giá điểm điểm dừng (Mệnh đề 3.3), tính chất "độc lập" hướng giảm tham số phạt ǫ (Mệnh đề 3.4) (d) Áp dụng phương pháp đề xuất vào toán nảy sinh ta sử dụng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho toán cân giả đơn điệu 95 KẾT LUẬN Kết đạt Trong luận án xây dựng số phương pháp giải toán cân giả đơn điệu áp dụng vào số lớp toán cân hai cấp Luận án đạt kết sau: (a) Xây dựng chứng minh hội tụ thuật toán chiếu cho tốn cân giả đơn điệu tốn tìm cựu tiểu hàm chuẩn Euclide tập nghiệm toán cân giả đơn điệu, đồng thời áp dụng thuật tốn đề xuất vào mơ hình Nash-Cournot vấn đề cân thị trường điện bán độc quyền Các kết thể cơng trình [2] (b) Xây dựng chứng minh hội tụ thuật toán lai ghép thuật toán đạo hàm tăng cường phương pháp siêu phẳng cắt cho toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh tập nghiệm toán cân giả đơn điệu, đồng thời áp dụng vào toán bất đẳng thức biến phân hai cấp Các kết thể cơng trình [3] (c) Đề xuất phương pháp hàm phạt cho toán cân hai cấp phương pháp hàm đánh giá giải toán phạt, mở rộng khái niệm giả ∇-đơn điệu chứng minh tính chất dừng hàm đánh giá giả thiết Áp dụng vào toán nảy sinh sử dụng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho toán cân Các kết thể công trình [1] 96 Kiến nghị số hướng nghiên cứu Bên cạnh kết đạt luận án, số vấn đề khác cịn tồn cần tiếp tục nghiên cứu, là: • Xây dựng thuật tốn chiếu kết hợp với kỹ thuật siêu phẳng cắt cho toán VIEP(C, f, G) • Xây dựng thuật tốn lai ghép thuật toán đạo hàm tăng cường phương pháp siêu phẳng cắt cho lớp tốn BEP(C, f, g) • Nghiên cứu phương pháp hàm đánh giá giải toán EP(C, f ) khơng trơn áp dụng vào tốn BEP(C, f, g) khơng trơn 97 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN On penalty and gap function methods for bilevel equilibrium problems, J Appl Math., DOI:10.1155/2011/646452 A projection algorithm for solving pseudomonotone equilibrium problems and it’s application to a class of bilevel equilibria, Optimization, DOI:10.1080/02331934.2013.773329 An algorithm for variational inequalities with pseudomonotone equilibrium constraints submitted 98 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh Nguyễn Bường (2005), Bài tốn đặt khơng chỉnh, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội [2] Đỗ Văn Lưu Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi Nxb Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [3] Lê Dũng Mưu (1998), Nhập môn phương pháp tối ưu, Nxb Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội Tiếng Anh [4] L Q Anh and P Q Khanh (2008), Semicontinuity of the approximate solution sets of multivalued quasiequilibrium problems, Numer Funct Anal Optim., 29, pp 24-42 [5] P N Anh, J Kim, and L D Muu (2012), An extragradient algorithm for solving bilevel variational inequalities, J Glob Optim., 52, pp 527-539 [6] J B Aubin and I Ekeland (1984), Applied Nonlinear Analysis John Wiley and Sons [7] G Auchumuty (1989), Variational principles for variational inequalities, Numer Funct Anal Optim., 10, pp 863-874 [8] A Auslender (1976), Optimisation: Méthodes Numériqué, Masson, Paris 99 [9] T Q Bao and P Q Khanh (2005), A projection-type algorithm for pseudomonotone nonlipschitzian multivalued variational inequalities, in: A Eberhard, N Hadjisavvas, and D T Luc, Generalized Convexity and Generalized Monotonicity and Applications., Springer [10] H H Bauschke and P L Combettes (2010), Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces Springer [11] C Berge (1968), Topological Spaces MacMillan, New York [12] D P Bertsekas (1999), Nonlinear Programming, Second Edition Athena Scientific [13] M Bianchi and S Schaible (1996), Generalized monotone bifuntions and equilibrium problems, J Optim Theory Appl., 90, pp 31-43 [14] G Bigi, M Castellani, and M Pappalardo (2009), A new solution method for equilibrium problems, Optim Methods Softw., 24, pp 895-911 [15] G Bigi, M Castellani, M Pappalardo, and Passacantando (2013), Existence and solution methods for equilibria, Eur J Oper Res., 227, pp 1-11 [16] E Blum and W Oettli (1994), From optimization and variational inequalities to equilibrium problems, Math Stud., 62, pp 127-169 [17] S Boyd and L Vandenberghe (2004), Convex Optimization, Cambridge University Press [18] N Buong and L T Duong (2011), An explicit iterative algorithm for a class of variational inequalities in Hilbert spaces, J Optim Theory Appl., 151, pp 513-524 [19] M Castellani and M Pappalardo (2009), Gap functions for nonsmooth equilibrium problems, Taiwanese J Math., 13, pp 1837-1846 100 [20] M Castellani and M Giuli (2010), On equivalent equilibrium problems, J Optim Theory Appl., 147, pp 157-168 [21] Y Censor and A Lent (1981), An iterative row-action method for interval convex programming, J Optim Theory Appl., 34, pp 321-353 [22] G Cohen (1998), Auxiliary problem principle extended to variational inequalities, J Optim.Theory Appl., 59, pp 325-333 [23] J Contreras, M Klusch, and J B Krawczyk (2004), Numerical solution to Nash-Cournot equilibria in coupled constraint electricity markets, IEEE Trans Power Syst., 19, pp 195-206 [24] S Dempe (2002), Foundations of Bilevel Programming, Kluwer Academic Press, Dordrecht [25] B V Dinh, P G Hung, and L D Muu, Bilevel optimization as a regularization approach to pseudomonotone equilibrium problems, Numer Funct Anal Appl., DOI: 10.1080/01630563.2013.813857 [26] X P Ding (2010), Auxiliary principle and algorithm for mixed equilibrium problems and bilevel equilibrium problems in Banach spaces, J Optim Theory Appl., 146, pp 347-357 [27] T T T Duong and N X Tan (2012), On the existence of solutions to generalized quasi-equilibrium problems, J Glob Optim., 4, pp 711-728 [28] F Facchinei and J S Pang (2003), Finite-Dimensional Variational Inequalities and Complementarity Problems, Springer, New York [29] K Fan (1972), A minimax inequality and applications, in: O Shisha, Inequality III, Proceeding of the Third Symposium on Inequalities, Academic Press, New York 101 [30] M Fukushima (1992), Equivalent differentiable optimization problems and descent methods for asymmetric variational inequality problems, Math Program., 53, pp 99-110 [31] N T Hao (2006), Tikhonov regularization algorithm for pseudomonotone variational inequalites, Acta Math Vietnam., 31, pp 283-289 [32] P G Hung and L D Muu (2011), The Tikhonov regularization extended to equilibrium problems involving pseudomonotone bifunctions, Nonlinear Anal., Theory Methods Appl., Ser A, 74, pp 6121-6129 [33] A N Iusem and W Sosa (2003), Iterative algorithms for equilibrium problems, Optimization, 52, pp 301-316 [34] V V Kalashnikov and N I Klashnikova (1996), Solving two-level variational inequality, J Glob Optim., 8, pp 289-294 [35] V G Karmanov (1989), Mathematical Programming Mir Publishers, Moscow [36] I V Konnov (2001), Combined Relaxation Methods for Variational Inequalities Springer [37] G M Korpelevich (1976), The extragradient method for finding saddle points and other problems, Ekon Math Methody, 12, pp 747-756 [38] P E Maing´e (2008), Strong convergence of projected subgradient methods for nonsmooth and nonstrictly convex minimization, Set-Valued Anal., 16, pp 899-912 [39] P E Maing´e (2008), A hybrid extragradient viscosity methods for monotone operators and fixed point problems, SIAM J Control Optim., 47, pp 1499-1515 102 [40] B Martinet (1970), Regularisation d’inequations variationelles par approximations successives, RAIRO, 4, pp 154-159 [41] G Mastroeni (2003), On auxiliary principle for equilibrium problems, in: P Daniele, F Giannessi, and A.Maugeri, (eds.), Equilibrium Problems and Variational Models, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht [42] G Mastroeni (2003), Gap functions for equilibrium problems, J Glob Optim., 27, pp 411-426 [43] M A Migdalas, P Pardalos, and P Varbrand (eds) (1988), Multilevel Optimization: Algorithms and Applications, Kluwer Academic Publishers Dordrecht [44] A Moudafi (1999), Proximal point algorithm extended to equilibrium problems, J Nat Geom., 15, pp 91-100 [45] A Moudafi (2010), Proximal methods for a class of bilevel monotone equilibrium problems, J Glob Optim., 47, pp 287-292 [46] L D Muu and T D Quoc (2009), Regularization algorithms for solving monotone Ky Fan inequalities with application to a Nash-Cournot equilibrium model, J Optim Theory Appl., 142, pp 185-204 [47] L D Muu, V H Nguyen, and T D Quoc (2008), Extragradient algorithms extended to equilibrium problems, Optimization, 57, pp 749-776 [48] L D Muu, N V Quy, and V H Nguyen (2007), On Nash-Cournot oligopolistic market equilibrium models with concave cost functions, J Glob Optim., 41, pp 351-364 [49] L D Muu and W Oettli (1992), Convergence of an adaptive penalty scheme for finding constrained equilibria, Nonlinear Anal., Theory Methods Appl., Ser A, 18, pp 1159-1166 103 [50] L D Muu (1986), An augmented penalty function method for solving a class of variational inequalities, USSR Comput Math Math Phys., 12, pp 1788-1796 [51] L D Muu (1984), Stability property of a class of variational inequality, Optimization, 15, pp 347-351 [52] J F Nash (1951), Non-cooperative games, Ann Math., 54, pp 286-295 [53] H Nikaido and K Isoda (1955), Note on noncooperative convex games, Pac J Math., 5, pp 807-815 [54] M A Noor (2004), Auxiliary principle technique for equilibrium problems, J Optim Theory Appl., 122, pp 371-386 [55] T D Quoc and L D Muu (2012), Iterative methods for solving monotone equilibrium problems via dual gap functions, Comput Optim Appl., 51, pp 709-728 [56] T D Quoc, P N Anh, and L D Muu (2012), Dual extragradient algorithms extended to equilibrium problems, J Glob Optim., 52, pp 139-159 [57] R T Rockafellar (1997), Convex Analysis, Princeton Universty Press Princeton, New Jersey [58] R T Rockafellar (1976), Monotone operators and the proximal point algorithm, SIAM J Control Optim., 5, pp 877-898 [59] M V Solodov and B F Svaiter (1999), A hybrid projection-proximal point algorithm, J Convex Anal., 6, pp 59-70 [60] M V Solodov and B F Svaiter (1999), A new projection method for variational inequality problems, SIAM J Control Optim., 37, pp 765-776 104 [61] A Tada and W Takahashi (2007), Weak and strong convergence theorem for nonexpansive mapping and equilibrium problem, J Optim Theory Appl., 133, pp 359-370 [62] N N Tam, J C Yao, and N D Yen (2008), Solution methods for pseudomonotone variational inequalities, J Optim.Theory Appl., 138, pp 253273 [63] A N Tikhonov and V Y Arsenin (1977), Solutions of Ill-Posed Problems, John Wiley and Sons, New York [64] A N Tikhonov (1963), On the solutions of ill-posed problems and the method of regularization Dokl Akad Nauk SSSR, 151, pp 501-504 [65] L A Tuan, P H Sach, and N B Minh (2013), Existence results in a general equilibrium problem, Numer Funct Anal Optim., 34, pp 430450 [66] H Tuy (1988), Convex Analysis and Global Optimization Kluwer Academic Publisher [67] Y Yao, J C Liou, and S M Kang (2010), Minimization of equilibrium problems, variational inequality problems and fixed point problems, J Glob Optim., 48, pp 643-655 [68] N T T Van, J J Strodiot, and V H Nguyen (2009), A bundle method for solving equilibrium problems, Math Program., 116, 529-552