(Luận văn) một số phương pháp giải bài toán cân bằng giả đơn điệu và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ QUỐC PHÒNG HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ BÙI VĂN ĐỊNH an lu n va p ie gh tn to d oa nl w MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU VÀ ỨNG DỤNG oi m ll fu an v an lu nh LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC at z z @ om l.c gm an Lu n va HÀ NỘI - 2014 a th c si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ QUỐC PHÒNG HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ BÙI VĂN ĐỊNH an lu n va p ie gh tn to MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU VÀ ỨNG DỤNG d oa nl w Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 62 46 01 12 m ll fu an v an lu LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC oi NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS NGUYỄN ĐỨC HIẾU nh at z z GS TSKH LÊ DŨNG MƯU @ om l.c gm an Lu n va HÀ NỘI - 2014 a th c si LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi Các kết viết chung với tác giả khác, trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết nêu luận án hoàn toàn trung thực an lu chưa công bố công trình khác n va p ie gh tn to NCS Bùi Văn Định d oa nl w oi m ll fu an v an lu nh at z z @ om l.c gm an Lu n va a th c si LỜI CẢM ƠN Bản luận án hồn thành Bộ mơn Tốn, Khoa Công nghệ Thông tin, Học viện Kỹ thuật Quân sự, hướng dẫn PGS TS Nguyễn Đức Hiếu đặc biệt GS TSKH Lê Dũng Mưu Tác giả xin bày tỏ an lu lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến Thầy bảo hướng n va dẫn tận tình suốt thời gian tác giả làm nghiên cứu sinh Bộ mơn Tốn Phịng Tối ưu Điều khiển Viện Toán học, Viện Hàn gh tn to Trong q trình học tập, nghiên cứu thơng qua giảng xêmina p ie lâm Khoa học Việt Nam, tác giả thường xuyên nhận quan tâm giúp w đỡ đóng góp ý kiến quý báu GS TSKH Phạm Thế Long, PGS d oa nl TS Đào Thanh Tĩnh, PGS TS Nguyễn Xuân Viên, PGS TS Tô Văn Ban, TS Nguyễn Hữu Mộng, TS Nguyễn Trọng Tồn, GS TSKH Nguyễn Đơng v an lu n Từ đáy lịng mình, tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến Thầy fu an Tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám đốc, Phòng Sau Đại học, m ll Ban Chủ nhiệm Khoa Công nghệ Thông tin, Học viện Kỹ thuật Quân sự; đặc oi nh biệt thầy giáo Bộ mơn Tốn thầy Phòng Tối ưu at Điều khiển, Viện Tốn học ln giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi động z z viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu @ gm Bản luận án khơng thể hồn thành khơng có thơng cảm, chia l.c sẻ giúp đỡ người thân gia đình tác giả Tác giả thành kính om dâng tặng q tinh thần lên bậc sinh thành toàn thể gia đình Tác giả an Lu thân yêu với lịng trân trọng biết ơn sâu sắc n va a th c si Mục lục an lu Lời cảm ơn Mục lục Danh mục ký hiệu chữ viết tắt MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu 12 Đối tượng phạm vi nghiên cứu 12 gh tn to p ie n va Lời cam đoan w Phương pháp nghiên cứu 12 d oa nl Kết luận án 13 Cấu trúc luận án 15 v an lu Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 16 fu an 1.1 Các khái niệm kết 16 m ll 1.2 Bài toán cân trường hợp riêng 21 oi 28 1.4 Bài toán cân hai cấp 31 nh 1.3 Bài toán cân tương đương at z z @ Chương MỘT PHƯƠNG PHÁP CHIẾU CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU VÀ ÁP DỤNG VÀO MỘT LỚP BÀI TOÁN CÂN BẰNG HAI CẤP 33 l.c gm 37 2.2 Thuật toán chiếu cho toán cân 41 om 2.1 Đặt toán an Lu n va a th c si 2.3 Áp dụng vào tốn cân Nash-Cournot mơ hình cân thị trường điện bán độc quyền 49 2.4 Áp dụng vào tốn tìm cực tiểu hàm chuẩn Euclide tập nghiệm toán cân giả đơn điệu 53 2.5 Áp dụng vào toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân 61 Chương KẾT HỢP PHƯƠNG PHÁP HÀM PHẠT VÀ HÀM ĐÁNH GIÁ GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG HAI CẤP 77 an lu n va 77 3.2 Phương pháp hàm phạt 78 3.3 Hàm đánh giá hướng giảm 84 3.4 Áp dụng vào phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov 91 gh tn to 3.1 Đặt toán p ie KẾT LUẬN 95 95 Kiến nghị số hướng nghiên cứu 96 d oa nl Kết đạt w v an lu DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 97 oi m ll fu an TÀI LIỆU THAM KHẢO 98 nh at z z @ om l.c gm an Lu n va a th c si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an an lu n va p ie gh tn to d oa nl w oi m ll fu an v an lu nh at z z @ om l.c gm an Lu n va a th c si Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Danh mục ký hiệu chữ viết tắt an lu tập số tự nhiên R tập số thực R = R ∪ {±∞} tập số thực mở rộng Rn không gian Euclide n chiều H không gian Hilbert thực X không gian véc tơ tô pô thực MT chuyển vị ma trận M hx, yi = xT y p kxk = hx, xi tích vơ hướng hai véc tơ x y dom f miền hữu hiệu hàm số f n va N p ie gh tn to d oa nl w chuẩn véc tơ x v an lu I ánh xạ đồng fu an miền ảnh ánh xạ F oi m ll im F đồ thị hàm số f nh epi f at đồ thị ánh xạ F ϕ′ (x) = ∇ϕ(x) đạo hàm ϕ x ϕ′ (x; d) đạo hàm theo hướng d ϕ x ∂ϕ(x) vi phân ϕ x ∇x f (x, y) đạo hàm hàm f (., y) x ∇y f (x, y) đạo hàm hàm f (x, ) y z graph F z @ om l.c gm an Lu n va a th c si Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an an lu n va vi phân hàm f (x, ) x C bao đóng tập C int C phần tập C ri C phần tương đối tập C lim = lim sup giới hạn lim = lim inf giới hạn xk → x dãy xk hội tụ tới x PC (x) hình chiếu x lên tập C NC (x) nón pháp tuyến ngồi C x gh tn to ∂f (x, x) toán cân VIP(C, F ) toán bất đẳng thức biến phân (đơn trị) p ie EP(C, f ) w Sf d oa nl SF tập nghiệm toán EP(C, f ) toán VIP(Sf , F ) m ll VIEP(C, f, F ) tốn tìm cực tiểu hàm chuẩn tập Sf fu an MNEP(C, f ) toán cân hai cấp v an lu BEP(C, f, g) tập nghiệm toán VIP(C, F ) toán bất đẳng thức biến phân hai cấp u.s.c nửa liên tục l.s.c nửa liên tục oi BVIP(C, F, G) nh at z z @ om l.c gm an Lu n va a th c si Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lí chọn đề tài Sự cân (equilibrium) thường hiểu trạng thái đồng lực lượng đối lập hay đối tượng có ảnh lu an hưởng qua lại lẫn nhau, phụ thuộc lẫn Thuật ngữ sử dụng n va rộng rãi nhiều ngữ cảnh khoa học kỹ thuật Vật lí, Hóa học, gh tn to Sinh học, Kinh tế, Kỹ thuật, v.v Trong Vật lí, trạng thái cân hệ, theo thuật ngữ học cổ điển, xảy hợp lực tác động lên hệ p ie không trạng thái trì khoảng thời gian dài Trong w Hóa học, cân hóa học xảy tốc độ phản ứng thuận với tốc d oa nl độ phản ứng nghịch, Sinh học, cân sinh thái trạng thái ổn định tự nhiên hệ sinh thái, hướng tới thích nghi cao với điều kiện v an lu sống, trạng thái thường xảy tương quan lực lượng mồi fu an thú săn mồi hệ sinh thái có tỉ lệ tương đồng với m ll Trong Kinh tế học, cân kinh tế khái niệm đồng oi thời động lực mục đích kinh tế Một ví dụ đơn giản nh lĩnh vực thị trường xác định có sản xuất tiêu thụ đồng at z loại hàng hóa Sức mua thị trường phụ thuộc vào giá z mặt hàng thị trường, nói cách xác hơn, mặt hàng @ gm bán mức giá p hàm cầu thị trường D(p), nhà sản l.c xuất cung cấp lượng hàng mức giá p S(p) ta có hàm vượt cầu om E(p) = D(p) − S(p) Sự cân xảy mức giá p∗ E(p∗ ) = 0, tức an Lu lượng cung lượng cầu, điều giống cân xảy n va a th c si Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 90 điều mâu thuẫn với (3.11) Vậy ta phải có h∇ϕǫ (x), yǫ (x) − xi < Mệnh đề 3.4 Giả sử C tập com pắc, f, g song hàm khả vi liên tục C × C cho f (x, ) lồi chặt C với x ∈ C f giả ∇-đơn điệu chặt C Khi đó, x ∈ C khơng nghiệm tốn EP(C, f ), tồn số ǫ¯ > cho yǫ (x) − x hướng giảm hàm ϕǫ C x với < ǫ ≤ ǫ¯ an lu n va Hay gh tn to Chứng minh Ta chứng minh phản chứng Nếu khẳng định mệnh đề khơng tồn dãy {ǫk } cho ǫk ց điểm x ∈ C thỏa mãn h∇ϕǫk (x), yǫk (x) − xi ≥ ∀k (3.12) p ie −h∇x gǫk (x, yǫk (x)), yǫk (x) − xi ≥ ∀k d oa nl w Do gǫ (x, ) hàm lồi chặt khả vi C, nên theo Định lý 2.1 [19], hàm ǫ 7→ yǫ (x) liên tục theo ǫ, yǫk (x) hội tụ tới y0 (x) ǫk → 0, với y0 (x) = arg miny∈C f (x, y) Vì x khơng nghiệm tốn EP(C, f ) nên y0 (x) 6= x Bởi gǫk (x, y) = f (x, y) + ǫk [g(x, y) + l(x, y)] hàm khả vi liên tục, nên cho ǫk → (3.12) ta thu fu an v an lu m ll −h∇x f (x, y0 (x)), y0 (x) − xi ≥ oi Mà theo giả thiết f giả ∇-đơn điệu chặt, nên nh (3.13) at h∇y f (x, y0 (x)), y0 (x) − xi > z z Mặt khác, từ yǫk (x) điểm cực tiểu hàm gǫk (x, ) C, ta suy @ gm an n va điều mâu thuẫn với (3.13) Lu h∇y f (x, y0 (x)), y0 (x) − xi ≤ 0, om l.c Chuyển qua giới hạn ǫk → ta h∇y gǫk (x, yǫk (x)), yǫk (x) − xi ≤ a th c si Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 91 Các ví dụ đây, giả thiết Định lý 3.2 thỏa mãn Ví dụ 3.4 Xét hai song hàm f g cho f (x, y) = ex (y − x2 ) g(x, y) = 10x (y − x2 ) xác định R × R Khi ta có (a) f (x, y), g(x, y) đơn điệu, giả ∇-đơn điệu chặt R an lu (b) Với ǫ > song hàm f (x, y) + ǫg(x, y) đơn điệu, giả ∇-đơn điệu chặt R thỏa mãn giả thiết Định lý 3.2 va Ví dụ 3.5 Xét hai song hàm n to gh tn f (x, y) = −3x2 y + xy + 2y p ie w g(x, y) = −x2 − xy + 2y d oa nl xác định R+ × R+ , ta có v an lu (a) f, g giả đơn điệu, ∇-đơn điệu chặt R+ ; fu an (b) Với ǫ > song hàm f (x, y) + ǫg(x, y) giả đơn điệu, ∇-đơn điệu chặt R+ thỏa mãn giả thiết Định lý 3.2 oi m ll 3.4 Áp dụng vào phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov nh Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov phương pháp at z thường sử dụng để giải toán đặt không chỉnh (ill-posed problems) z Gần đây, tác giả P G Hưng L D Muu (xem [32]) mở rộng phương @ l.c gm pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho toán cân giả đơn điệu om Tìm x∗ ∈ C cho f (x∗ , y) ≥ ∀y ∈ C, n va R song hàm giả đơn điệu C an Lu đó, giống trước đây, C tập lồi đóng Rn f : C ×C → a th c si Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 92 Theo phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov nghiên cứu [32], toán EP(C, f ) hiệu chỉnh họ toán cân EP(C, fǫ ) Tìm x∗ǫ ∈ C cho fǫ (x∗ǫ , y) := f (x∗ǫ , y) + ǫg(x∗ǫ , y) ≥ ∀y ∈ C, với g song hàm cân C ǫ > 0, đóng vai trò song hàm hiệu chỉnh tham số hiệu chỉnh Định lý sau chứng minh báo [32] an lu Định lí 3.3 Giả sử f (., y), g(., y) nửa liên tục theo x, cho f (x, ), g(x, ) lồi, nửa liên tục C theo y hàm f giả đơn điệu C Giả sử thêm g đơn điệu mạnh C thỏa mãn điều kiện va (3.14) n ∃δ > |g(x, y)| ≤ δkx − xg kky − xk ∀x, y ∈ C, p ie gh tn to xg ∈ C điểm cho trước (thường đóng vai trị nghiệm đốn) Khi đó, phát biểu sau tương đương d oa nl w (a) Tập nghiệm EP(C, fε ) khác rỗng với ε > tồn limε→0+ x(ε), x(ε) nghiệm toán EP(C, fε ); fu an v an lu (b) Tập nghiệm toán EP(C, fε ) khác rỗng với ε > limε→0+ sup kx(ε)k < ∞, với x(ε) điểm tập nghiệm toán EP(C, fε ); (c) Tập nghiệm toán EP(C, f ) khác rỗng m ll oi Hơn nữa, số phát biểu đúng, limε→0+ x(ε) nghiệm toán cân đơn điệu mạnh EP(Sf , g), Sf tập nghiệm toán cân EP(C, f ) ban đầu nh at z z Chú ý rằng, f đơn điệu C, hàm hiệu chỉnh đơn điệu mạnh, @ gm ta giải số phương pháp có (xem [46, 55, 56]) l.c điều giúp cho việc tìm quỹ đạo Tikhonov thực được, nhiên om f giả đơn điệu, toán hiệu chỉnh, trường hợp tổng quát, an Lu khơng cịn đơn điệu mạnh, hay đơn điệu, chí khơng giả đơn điệu n va Do đó, việc giải nhiệm vụ khó khăn Mặc dù vậy, từ định lý a th c si Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 93 ta chuyển việc tìm điểm giới hạn dãy nghiệm toán hiệu chỉnh việc giải toán cân hai cấp BEP(C, f, g) Để áp dụng phương pháp hàm phạt phương pháp hàm đánh giá mục trên, ta chọn song hàm hiệu chỉnh g thỏa mãn giả thiết Định lý 3.3, chẳng hạn như., g(x, y) = hx − xg , y − xi Rõ ràng, g đơn điệu mạnh ∇-đơn điệu mạnh với hệ số Hơn nữa, g thỏa mãn điều kiện (3.14) Do đó, tốn tìm điểm giới hạn dãy nghiệm an lu toán hiệu chỉnh phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov n va phát biểu dạng toán cân hai cấp sau gh tn to Tìm x∗ ∈ Sf cho g(x∗ , y) ≥ ∀y ∈ Sf , (3.15) tốn có dạng (3.1) Bây giờ, với số ǫk > cố định, ta xét p ie w toán cân phạt PEP(C, fǫk ) xác định sau d oa nl Tìm x ¯k ∈ C cho fǫk (¯ xk , y) = f (¯ xk , y) + ǫk g(¯ xk , y) ≥ ∀y ∈ C (3.16) v an lu Cũng trước đây, ta kí hiệu Sfǫk tập nghiệm tốn PEP(C, fǫk ) Áp dụng Định lý 3.1 Định lý 3.2 ta nhận hệ sau fu an Hệ 3.3 Giả sử song hàm f thỏa mãn điều kiện oi m ll (a) f (x, ) lồi, nửa liên tục ∀x ∈ C; nh (b) f giả đơn điệu C at Khi đó, với ǫk > tốn phạt PEP(C, fǫk ) ln có nghiệm dãy {xk } xk ∈ Sfǫk với k, hội tụ tới nghiệm tốn (3.15) ǫk → Nếu thêm vào đó, f (x, ) + ǫk g(x, ) hàm lồi chặt C với x ∈ C f + ǫk g giả ∇-đơn điệu chặt C (điều thỏa mãn, chẳng hạn khi, f (x, y) ∇-đơn điệu), với x ¯k điểm dừng tốn tối ưu minx∈C ϕk (x), z z @ om l.c gm n va y∈C an Lu ϕk (x) = min{f (x, y) + ǫk g(x, y)}, a th c si Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 94 {¯ xk } hội tụ tới nghiệm toán (3.15) ǫk → KẾT LUẬN CHƯƠNG Trong chương này, đề xuất phương pháp hàm phạt giải toán cân hai cấp, với hàm cân cấp hàm giả đơn điệu theo tập nghiệm phương pháp hàm đánh giá giải toán phạt Các kết đạt bao gồm: (a) Để xuất phương pháp hàm phạt cho toán cân hai cấp (3.1) an lu (Mục 3.1) Chứng minh định lý hội tụ nghiệm dãy va toán phạt tới nghiệm toán cân hai cấp ban đầu (Định n lí 3.1) gh tn to (b) Đề xuất phương pháp hàm đánh giá giải toán phạt (Mục 3.2) Mở p ie rộng khái niệm giả ∇-đơn điệu từ khái niệm ∇-đơn điệu (Định nghĩa d oa nl w 3.2) (c) Chứng minh điểm dừng hàm đánh giá v an lu nghiệm toán cân song hàm cân thỏa mãn giả fu an thiết giả ∇-đơn điệu chặt (Định lí 3.2) Đồng thời hướng giảm hàm đánh giá điểm điểm dừng (Mệnh đề 3.3), nh đề 3.4) oi m ll tính chất "độc lập" hướng giảm tham số phạt ǫ (Mệnh at z (d) Áp dụng phương pháp đề xuất vào toán nảy sinh ta sử dụng z phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho toán cân giả đơn điệu @ om l.c gm an Lu n va a th c si Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 95 KẾT LUẬN Kết đạt Trong luận án xây dựng số phương pháp giải toán cân giả đơn điệu áp dụng vào số lớp toán cân hai cấp lu an Luận án đạt kết sau: va n (a) Xây dựng chứng minh hội tụ thuật toán chiếu cho toán tập nghiệm toán cân giả đơn điệu, đồng thời áp dụng p ie gh tn to cân giả đơn điệu tốn tìm cựu tiểu hàm chuẩn Euclide w thuật toán đề xuất vào mơ hình Nash-Cournot vấn đề cân thị trường điện bán độc quyền Các kết thể cơng d oa nl trình [2] v an lu (b) Xây dựng chứng minh hội tụ thuật toán lai ghép thuật fu an toán đạo hàm tăng cường phương pháp siêu phẳng cắt cho toán m ll bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh tập nghiệm toán oi cân giả đơn điệu, đồng thời áp dụng vào toán bất đẳng thức nh biến phân hai cấp Các kết thể cơng trình [3] at z (c) Đề xuất phương pháp hàm phạt cho toán cân hai cấp phương z @ pháp hàm đánh giá giải toán phạt, mở rộng khái niệm giả ∇-đơn điệu gm l.c chứng minh tính chất dừng hàm đánh giá giả thiết om Áp dụng vào toán nảy sinh sử dụng phương pháp hiệu chỉnh Lu Tikhonov cho toán cân Các kết thể cơng an trình [1] n va a th c si Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 96 Kiến nghị số hướng nghiên cứu Bên cạnh kết đạt luận án, số vấn đề khác cịn tồn cần tiếp tục nghiên cứu, là: • Xây dựng thuật tốn chiếu kết hợp với kỹ thuật siêu phẳng cắt cho toán VIEP(C, f, G) • Xây dựng thuật tốn lai ghép thuật toán đạo hàm tăng cường phương pháp siêu phẳng cắt cho lớp toán BEP(C, f, g) an lu • Nghiên cứu phương pháp hàm đánh giá giải tốn EP(C, f ) khơng n va trơn áp dụng vào tốn BEP(C, f, g) khơng trơn p ie gh tn to d oa nl w oi m ll fu an v an lu nh at z z @ om l.c gm an Lu n va a th c si Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 97 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN On penalty and gap function methods for bilevel equilibrium problems, J Appl Math., DOI:10.1155/2011/646452 an lu A projection algorithm for solving pseudomonotone equilibrium prob- va lems and it’s application to a class of bilevel equilibria, Optimization, n DOI:10.1080/02331934.2013.773329 gh tn to An algorithm for variational inequalities with pseudomonotone equilib- p ie rium constraints submitted d oa nl w oi m ll fu an v an lu nh at z z @ om l.c gm an Lu n va a th c si Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 98 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh Nguyễn Bường (2005), Bài tốn đặt khơng chỉnh, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội lu an [2] Đỗ Văn Lưu Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi Nxb Khoa học Kỹ va n thuật, Hà Nội gh tn to [3] Lê Dũng Mưu (1998), Nhập môn phương pháp tối ưu, Nxb Khoa học p ie Kỹ thuật, Hà Nội w Tiếng Anh d oa nl [4] L Q Anh and P Q Khanh (2008), Semicontinuity of the approximate so- v an lu lution sets of multivalued quasiequilibrium problems, Numer Funct Anal Optim., 29, pp 24-42 fu an m ll [5] P N Anh, J Kim, and L D Muu (2012), An extragradient algorithm for oi solving bilevel variational inequalities, J Glob Optim., 52, pp 527-539 nh at [6] J B Aubin and I Ekeland (1984), Applied Nonlinear Analysis John Wiley z z and Sons @ om l.c Numer Funct Anal Optim., 10, pp 863-874 gm [7] G Auchumuty (1989), Variational principles for variational inequalities, an Lu [8] A Auslender (1976), Optimisation: Méthodes Numériqué, Masson, Paris n va a th c si Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 99 [9] T Q Bao and P Q Khanh (2005), A projection-type algorithm for pseudomonotone nonlipschitzian multivalued variational inequalities, in: A Eberhard, N Hadjisavvas, and D T Luc, Generalized Convexity and Generalized Monotonicity and Applications., Springer [10] H H Bauschke and P L Combettes (2010), Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces Springer [11] C Berge (1968), Topological Spaces MacMillan, New York [12] D P Bertsekas (1999), Nonlinear Programming, Second Edition Athena lu an Scientific va n [13] M Bianchi and S Schaible (1996), Generalized monotone bifuntions and gh tn to equilibrium problems, J Optim Theory Appl., 90, pp 31-43 p ie [14] G Bigi, M Castellani, and M Pappalardo (2009), A new solution method d oa nl w for equilibrium problems, Optim Methods Softw., 24, pp 895-911 [15] G Bigi, M Castellani, M Pappalardo, and Passacantando (2013), Ex1-11 fu an v an lu istence and solution methods for equilibria, Eur J Oper Res., 227, pp [16] E Blum and W Oettli (1994), From optimization and variational inequal- m ll ities to equilibrium problems, Math Stud., 62, pp 127-169 oi nh [17] S Boyd and L Vandenberghe (2004), Convex Optimization, Cambridge at z University Press z @ gm [18] N Buong and L T Duong (2011), An explicit iterative algorithm for a om 151, pp 513-524 l.c class of variational inequalities in Hilbert spaces, J Optim Theory Appl., an Lu [19] M Castellani and M Pappalardo (2009), Gap functions for nonsmooth n va equilibrium problems, Taiwanese J Math., 13, pp 1837-1846 a th c si Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 100 [20] M Castellani and M Giuli (2010), On equivalent equilibrium problems, J Optim Theory Appl., 147, pp 157-168 [21] Y Censor and A Lent (1981), An iterative row-action method for interval convex programming, J Optim Theory Appl., 34, pp 321-353 [22] G Cohen (1998), Auxiliary problem principle extended to variational inequalities, J Optim.Theory Appl., 59, pp 325-333 [23] J Contreras, M Klusch, and J B Krawczyk (2004), Numerical solution lu to Nash-Cournot equilibria in coupled constraint electricity markets, IEEE an Trans Power Syst., 19, pp 195-206 n va Press, Dordrecht gh tn to [24] S Dempe (2002), Foundations of Bilevel Programming, Kluwer Academic p ie [25] B V Dinh, P G Hung, and L D Muu, Bilevel optimization as a regular- w ization approach to pseudomonotone equilibrium problems, Numer Funct d oa nl Anal Appl., DOI: 10.1080/01630563.2013.813857 v an lu [26] X P Ding (2010), Auxiliary principle and algorithm for mixed equilibrium problems and bilevel equilibrium problems in Banach spaces, J Optim fu an Theory Appl., 146, pp 347-357 m ll oi [27] T T T Duong and N X Tan (2012), On the existence of solutions to nh generalized quasi-equilibrium problems, J Glob Optim., 4, pp 711-728 at z [28] F Facchinei and J S Pang (2003), Finite-Dimensional Variational In- z @ gm equalities and Complementarity Problems, Springer, New York l.c [29] K Fan (1972), A minimax inequality and applications, in: O Shisha, In- om equality III, Proceeding of the Third Symposium on Inequalities, Academic an Lu Press, New York n va a th c si Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 101 [30] M Fukushima (1992), Equivalent differentiable optimization problems and descent methods for asymmetric variational inequality problems, Math Program., 53, pp 99-110 [31] N T Hao (2006), Tikhonov regularization algorithm for pseudomonotone variational inequalites, Acta Math Vietnam., 31, pp 283-289 [32] P G Hung and L D Muu (2011), The Tikhonov regularization extended to equilibrium problems involving pseudomonotone bifunctions, Nonlinear Anal., Theory Methods Appl., Ser A, 74, pp 6121-6129 lu an [33] A N Iusem and W Sosa (2003), Iterative algorithms for equilibrium va n problems, Optimization, 52, pp 301-316 gh tn to [34] V V Kalashnikov and N I Klashnikova (1996), Solving two-level varia- p ie tional inequality, J Glob Optim., 8, pp 289-294 w [35] V G Karmanov (1989), Mathematical Programming Mir Publishers, d oa nl Moscow v an lu [36] I V Konnov (2001), Combined Relaxation Methods for Variational Inequalities Springer fu an m ll [37] G M Korpelevich (1976), The extragradient method for finding saddle oi points and other problems, Ekon Math Methody, 12, pp 747-756 nh at [38] P E Maing´e (2008), Strong convergence of projected subgradient methods z for nonsmooth and nonstrictly convex minimization, Set-Valued Anal., 16, z @ gm pp 899-912 l.c [39] P E Maing´e (2008), A hybrid extragradient viscosity methods for mono- om tone operators and fixed point problems, SIAM J Control Optim., 47, pp an Lu 1499-1515 n va a th c si Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 102 [40] B Martinet (1970), Regularisation d’inequations variationelles par approximations successives, RAIRO, 4, pp 154-159 [41] G Mastroeni (2003), On auxiliary principle for equilibrium problems, in: P Daniele, F Giannessi, and A.Maugeri, (eds.), Equilibrium Problems and Variational Models, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht [42] G Mastroeni (2003), Gap functions for equilibrium problems, J Glob Optim., 27, pp 411-426 lu [43] M A Migdalas, P Pardalos, and P Varbrand (eds) (1988), Multilevel an Optimization: Algorithms and Applications, Kluwer Academic Publishers va n Dordrecht gh tn to [44] A Moudafi (1999), Proximal point algorithm extended to equilibrium p ie problems, J Nat Geom., 15, pp 91-100 w [45] A Moudafi (2010), Proximal methods for a class of bilevel monotone d oa nl equilibrium problems, J Glob Optim., 47, pp 287-292 v an lu [46] L D Muu and T D Quoc (2009), Regularization algorithms for solving monotone Ky Fan inequalities with application to a Nash-Cournot equilib- fu an rium model, J Optim Theory Appl., 142, pp 185-204 m ll oi [47] L D Muu, V H Nguyen, and T D Quoc (2008), Extragradient algo- nh rithms extended to equilibrium problems, Optimization, 57, pp 749-776 at z [48] L D Muu, N V Quy, and V H Nguyen (2007), On Nash-Cournot z @ l.c Glob Optim., 41, pp 351-364 gm oligopolistic market equilibrium models with concave cost functions, J om [49] L D Muu and W Oettli (1992), Convergence of an adaptive penalty n va Appl., Ser A, 18, pp 1159-1166 an Lu scheme for finding constrained equilibria, Nonlinear Anal., Theory Methods a th c si Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 103 [50] L D Muu (1986), An augmented penalty function method for solving a class of variational inequalities, USSR Comput Math Math Phys., 12, pp 1788-1796 [51] L D Muu (1984), Stability property of a class of variational inequality, Optimization, 15, pp 347-351 [52] J F Nash (1951), Non-cooperative games, Ann Math., 54, pp 286-295 [53] H Nikaido and K Isoda (1955), Note on noncooperative convex games, an lu Pac J Math., 5, pp 807-815 n va [54] M A Noor (2004), Auxiliary principle technique for equilibrium prob- gh tn to lems, J Optim Theory Appl., 122, pp 371-386 [55] T D Quoc and L D Muu (2012), Iterative methods for solving monotone p ie equilibrium problems via dual gap functions, Comput Optim Appl., 51, d oa nl w pp 709-728 [56] T D Quoc, P N Anh, and L D Muu (2012), Dual extragradient algo- v an lu rithms extended to equilibrium problems, J Glob Optim., 52, pp 139-159 Princeton, New Jersey m ll fu an [57] R T Rockafellar (1997), Convex Analysis, Princeton Universty Press oi [58] R T Rockafellar (1976), Monotone operators and the proximal point nh at algorithm, SIAM J Control Optim., 5, pp 877-898 z z [59] M V Solodov and B F Svaiter (1999), A hybrid projection-proximal @ gm point algorithm, J Convex Anal., 6, pp 59-70 om l.c [60] M V Solodov and B F Svaiter (1999), A new projection method for an Lu variational inequality problems, SIAM J Control Optim., 37, pp 765-776 n va a th c si Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn