37 bài hình đầu tiên

37 BÀI HÌNH ĐẦU TIÊN – DỰ ÁN 186 BÀI HÌNH ƠN THI VÀO 10 VÀ BDHSG Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn vng góc với Gọi giao điểm minh song song với Giải , điểm , thuộc cung nhỏ giao điểm Kẻ dây Chứng N M A E I D O B Gọi C giao điểm qua trung điểm dây đường trung trực (Tính chất đường trung trực) (Liên hệ đường kính dây) (Liên hệ dây cung) Theo tính chất góc có đỉnh bên ngồi đường trịn ta có: (Vì ) Tứ giác tứ giác nội tiếp (hai góc đỉnh (Cùng chắn cung nhìn cạnh góc) đường trịn ngoại tiếp tứ giác Mà ) (Tính chất góc nội tiếp) Mặt khác: (Tính chất góc có đỉnh bên ngồi đường trịn) ( Từ ) (Cặp góc so le nhau) (đpcm) Bài 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) đường thẳng a) Chứng minh Gọi giao điểm hai đường thẳng Tiếp tuyến cắt b) Chứng minh nội tiếp c) Chứng minh Q A B R O C D a) Xét có: (góc tạo tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn chắn chung  (g.g)  b) Ta có: cân (góc ngồi góc đối tứ giác nội tiếp) (góc tạo tiếp tuyến dây cung chắn góc nội tiếp chắn  )  Tứ giác nội tiếp (hai góc nhìn cạnh) c) Xét tứ giác nội tiếp có: (tổng hai góc đối Cần CM: Thật vậy: (chứng minh phần b) ) (góc tạo tiếp tuyến dây cung chắn góc nội tiếp chắn Từ ) , ta được: (trong phía) ) góc Bài 2: Cho góc nhọn Từ điểm góc với đường phân giác góc tâm đường trịn a) Chứng minh b) Tiếp tuyến minh tứ giác Lời giải: tia kẻ vng góc với , Chứng minh tứ giác với đường tròn nội tiếp cắt Đường thẳng cắt A 1 1 B E D H C y a) Ta có: vng nên ba điểm thuộc đường trịn đường kính vng nên ba điểm thuộc đường trịn đường kính Từ Tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính Tâm trung điểm đoạn b) Tứ giác nội tiếp nên: Mà ( Từ phân giác ) thuộc đường trung trực Mặt khác Từ c) Ta có: Ta lại có: thuộc đường trung trực đường trung trực góc ngồi tam giác nên (So le trong) (hai cạnh tương ứng) Mà (Chứng trên) v nội tiếp đường trịn xác đ x O H kẻ Chứng Mặt khác Xét tứ giác có: Mà hai góc vị trí đối nên Bài 4: Cho đường trịn ; đường kính điểm cho cắt đường tròn tiếp tuyến a)Chứng minh b)Chứng minh c)Chứng minh : tứ giác nội tiếp d)Xác định số đo Lời giải : nội tiếp để tứ giác ; tiếp tuyến ; tia phân giác Trên tiếp tuyến cắt đường trịn hình thoi.Tính diện tích tứ giác lấy cắt theo F a)Chứng minh : Ta có góc nội tiếp chắn cung Maf đường trung trực Mà kết hợp với ) đường trịn đường kính ( b)Ta có : thuộc đường trịn đường kính Tam giác vng có đường cao Tương tự ta có : tam giác lượng ) Vậy nên c)Do Xét tam giác ( hệ thức lượng ) vuông tam giác đường cao ( hệ thức ta có : nt ( góc ngồi góc đỉnh đối diện ) d)Do Do ( đồng vị ) hình thoi khi tam giác tam giác nên Trong tam giác vuông ( vuông ): Bài 5: Cho ba điểm ; vẽ tiếp tuyến cắt thẳng hàng ( Từ tiếp điểm cắt đường tròn nằm ).Vẽ đường tròn vẽ đường thẳng vng góc với đường kính ; đường thẳng Đặt a)Chứng minh b)Chứng minh phân giác góc c)Từ kẻ đường thẳng song song vẽ với Chứng minh Gọi cân giao điểm đường thẳng vừa d)Chứng minh Lời giải : T E A B H D T' O C a)Chứng minh : Do tiếp tuyến đường trịn b)Chứng minh : Ta vng đường phân giác góc có maf Vậy đường phân giác góc c)Chứng minh : tam giác cân +)Do thuộc đường trịn đường kính ( Mà theo câu (a) ta có đường phân giác góc thời đường phân giác ) ) cân d)Chứng minh : Ta có đường phân giác tam giác giác tam giác Vậy nên ta có : có đường cao ( đường cao đồng mà đường phân ( đpcm ) Bài 6: Cho đường tròn ; dây cung ; điểm nằm ngồi đường trịn nằm tia Từ điểm cung lớn kẻ đường kính đường trịn cắt dây Tia cắt đường tròn điểm thứ hai Các dây a)Chứng minh tứ giác nội tiếp b)Chứng minh : c)Chứng minh phân giác góc ngồi đỉnh tam giác d)Giả sử ba điểm cố định ; chứng minh đường trịn qua đường thẳng qua điểm cố định cắt thay đổi Lời giải Q A B K C D O I a)Cm : Tứ giác Ta có nội tiếp đường kính đường trịn Do ) b) Xét tam giác ( hai góc đối bù tam giác ta có : c)Ta có hay điểm Do điểm cung nhỏ ( hai góc nội tiếp chắn hai cung ) Hay đường phân giác tam giác ; lại có đường phân giác góc ngồi đỉnh tam giác d) Ta chứng minh điểm cố định Ta có điểm trung điểm Do tứ giác nên nội tiếp Vậy nên bốn điểm cố định nên Bài Cho nửa đường trịn tâm cung thẳng đường kính lấy điểm cắt đường thẳng a) Tứ giác nội tiếp b) c) tia phân giác Lời giải điểm cố định Ta có đpcm điểm N H A K Trên Đường thẳng cắt đường thẳng Đường Gọi hình chiếu Chứng minh rằng: M I nằm cung O B a) Ta có: ; Xét tứ giác (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) có: Hay Mà hai góc đối tứ giác b) Ta có: (do tứ giác nội tiếp (đpcm) nội tiếp) Hay Mà (hai góc nội tiếp chắn cung ) tia phân giác c) Dễ thấy (đpcm) vng cân Tứ giác nội tiếp Từ ta có: Xét có: chung (đpcm) Bài Tứ giác , kẻ a) Các tứ giác nội tiếp nửa đường tròn ; trung điểm , nội tiếp b) Tia phân giác c) Tứ giác nội tiếp Lời giải đường kính , giao điểm Chứng minh rằng: B C E M A O D F a) Ta có: ; (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Xét tứ giác có: Mà hai góc đối tứ giác Ta có: ; (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Xét tứ giác có: Mà hai góc đối tứ giác b) Ta có: (do tứ giác nội tiếp (đpcm) nội tiếp (đpcm) nội tiếp) Hay Mà (hai góc nội tiếp chắn cung tia phân giác ) (đpcm) c) Chứng minh tương tự ta có Ta có tia phân giác hay tứ giác Bài Cho đường trịn nội tiếp (đpcm) hai đường kính lấy điểm , đường thẳng vng góc với Trên đoạn thẳng cắt đường tròn điểm thứ hai Đường thẳng vng góc với cắt tiếp tuyến với đường tròn điểm a) Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn b) Tứ giác hình gì? c) Chứng minh tích khơng đổi d) Chứng minh di động đoạn thẳng chạy đường thẳng cố định Lời giải C M A O B N P D a) Ta có: Xét tứ giác Do tứ giác ( tiếp tuyến ); (gt) có hai đỉnh nhìn đoạn nội tiếp đường trịn (đpcm) góc vng b) Dễ thấy Mà (do tứ giác Lại có (vì nội tiếp c/m câu a) ) Từ điều ta có Xét tứ giác c) Xét có Tứ giác có hình bình hành ; chung khơng đổi d) Ta có Lại có tứ giác hình bình hành (c/m câu b) không đổi cách khoảng không đổi thuộc đường thẳng song song với cách khoảng không đổi Vậy di động đoạn thẳng chạy đường thẳng cố định Ta suy kết tiếp tiếp Bài 10: Cho tam giác nội tiếp đường tròn dài theo a) Gọi là điểm di động cung nhỏ ( tại Chứng minh tích không đổi b) Tìm vị trí của cung nhỏ AC để tổng c) Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đường cố định di động cung nhỏ Lời giải và có khác Tính độ và ) tia cắt có giá trị nhỏ nhất .Chứng minh di động A M I O B C D K a) Kẻ tính được tính được suy tam giác b) vuông cân tại không đổi di chuyển c) Theo bất đẳng thức Cô-si : nhất là vậy giá trị nhỏ xảy d) Kẻ đường kính của (O) (1) mặt khác nên là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác Từ (1) và (2) suy thẳng hàng mà cố định nên hẳng cố định Bài 11 : Cho đường tròn đường kính , dây vuông góc với nhỏ lấy điểm ( khác và ) đường thẳng cắt tại a) Chứng minh tứ giác nội tiếp; b) Chứng minh c) Gọi giao điểm của Lời giải từ đó và suy là , với ; là chứng minh tại (2) thuộc đường Trên cung