CHƯƠNG Bài ĐỊNH LÍ THALÈS TRONG TAM GIÁC Bài 1: B A B E Q N A D C B Hình C M C A H Hình Hình Hình 1: B E mà B , E đồng vị nên DE ∥ AB Ta có hệ thức sau CE CD BE AD CE CD ; ; CB CA CB CA BE AD Hình : BAM AMN mà BAM , AMN so le nên AB ∥ MN Ta có hệ thức sau CN CM AN BM CN CM ; ; CA CB AC BC NA MB Hình 3: QH AC , AB AC QH ∥ AB Ta có hệ thức sau CH CQ HA QB CH CQ ; ; CA CB CA CB HA QB Bài 2: ( Hình 4) DA EC 3,5 ΔABCABC có AB BC A 3,5 B DA EC DE ∥ AC Nên AB BC Bài 3: ( Hình 5) MC NB ΔABCABC có AC 10 AB MC NB BC ∥ MN Nên AC AB Bài 4: ( Hình 6) Ta có ΔABCBC BO OC 4 8 AI OB ΔABCABC có AC BC b) ΔABCABC có C E Hình C 10 A M A N B B Hình I O C AI OB AB ∥ IO Nên AC BC Bài 5: ( Hình 7) a) ΔABCADC có D A IO ∥ DC AI AO ID OC 1 OK ∥ AB AO BK OC KC 2 I Hình B O K C D Hình c) Từ 1 , AI BK AI KC ID BK ID KC M M N A N A Bài 6: ( Hình 8) E a) Xét ΔABCAMN ΔABCADE có: AM AD ( giả thiết) B C B Hình Hình MAN CAB ( đối đỉnh) AN AE ( giả thiết) ΔABCAMN ΔABCADE c g c ADE M ( hai góc tương ứng) mà M , ADE so le nên MN ∥ DE AD AE AD AE DE ∥ BC 2 AC AB AC AB ΔABCABC b) có Từ 1 , ΔABCACN có Từ FM ∥ BN AF AM AB AN 1 ME ∥ NC AE AM AC AN 2 1 , b) ΔABCOAC có c) Từ C 1 A E F M B C D N Hình AF AE EF ∥ BC AB AC Bài 8: ( Hình 10) a) ΔABCOAB có D MN ∥ BC Bài 7: ( Hình 9) Tứ giác BMCN có hai đường chéo BC , MN cắt D Là trung điểm đường nên hình bình hành BM ∥ NC , BN ∥ CM ΔABCABN có A DE ∥ AB OE OD OB OA 1 DF ∥ AC OF OD OC OA 2 1 , OE OF EF ∥ BC OB OC D O E F C B Hình 10 Bài 9: ( Hình 11) a) ΔABCABM có EG ∥ BM GF ∥ NC BE MG AE AG A CF GN AF AG b) ΔABCANC có Xét ΔABCBDM ΔABCCDN có: BD CD ( giả thiết) BDM CDN ( đối đỉnh) ΔABCBDM ΔABCCDN c g c MBD NCD ( so le trong) DM DN ( hai cạnh tương ứng) F G E B M D N Hình 11 C Khi BE CF MG GN MG GM MD DN MG MD 2GD 1 AE AF AG AG AG AG AG Bài 10: ( Hình 12) Xét ΔABCOBH ΔABCOCK có: BO CO ( giả thiết) BOH COK ( đối đỉnh) ΔABCOBH ΔABCOCK g c g OBH OCK ( so le trong) OH OK ( hai cạnh tương ứng) AB AH MG ∥ BH AM AG ΔABCABH có GN ∥ KC AC AK AN AG A N G M C B H C O K Hình 12 ΔABCAKC có AB AC AH AK AH AK AG GH AG GH HO OK AG AG Khi AM AN AG AG AG GH OH AG 3 AG AG Bài ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC Bài 1: ( Hình 1) MA MB MN NB NC a) ΔABCABC có đường trung bình MN ∥ AC 1 QA QD QP PD PC b) ΔABCADC có QP ∥ AC Từ 1 , M A B N Q D C P đường trung binh Hình 2 MN ∥ QP MN AC QP Mặt khác nên tứ giác MNPQ hình bình hành Bài 2: ( Hình 2) MA MC MN NA NB a) ΔABCABC có đường trung bình MN ∥ BC , MN BC 1 IG IB IK KG KC ΔABCGBC có đường trung binh IK ∥ BC , IK BC 2 , MN IK Từ b) Tứ giác MNIK có MN ∥ IK , MN IK nên hình bình hành Bài 3: ( Hình 3) MA MD IB ID MI ∥ AB a) ΔABCABD có A G I K B C Hình A B M 1 MI AB 3cm 2 Hay MI đường trung bình NB NC KA KC KN ∥ AB b) ΔABCABC có M N N K I C D Hình MI KN AB KN AB Hay KN đường trung bình Vậy Bài 4: ( Hình 4) A a) ABCD hình bình hành nên O trung điểm O hai đường chéo AC , BD ΔABCABE có OA OC FC FE OF ∥ AE B K D E Hình F C Hay OF đường trung bình DE DC EC DC 3 b) Vì EC EF FC EF FC DC DC DE 2 3 Mà hay DE EF FC ED EF KO KD KE ∥ OF ΔABCDOF c) có A Bài 5: ( Hình 5) a) ΔABCAMH có AE vừa đường cao vừa trung tuyến 1 Nên ΔABCAMH cân A AM AH ΔABCAHN có AF vừa đường cao vừa trung tuyến 2 Nên ΔABCAHN cân A AH AN , AM AN ΔABCAMN Từ cân A EM EH EF FN FH b) ΔABCHMN có Nên EF ∥ MN N I M F E B C H Hình đường trung binh c) ΔABCAMN cân A nên AI trung tuyến đường cao AI MN mà MN ∥ EF AI EF Bài 6: ( Hình 6) MN DC a) ΔABCHDC có MN đường trung bình AB DC AB MN Mà A B H N M b) Ta có AB ∥ DC mà MN ∥ DC AB ∥ MN C D Lại có AB MN ABMN hình bình hành Hình MN ∥ DC MN AD DC AD c) Vì ΔABCADM có hai đường cao DH , MN cắt N nên N trực tâm AN DM Mà AN ∥ BM BM DM hay BMD 90 Bài 7: ( Hình 7) a) ΔABCBMC có E trực tâm nên ME BC Mà AB BC ME ∥ AB MA MK EB EK ME ∥ AB ΔABCKAB có b) Ta có ME ∥ AB, AB ∥ DC ME ∥ NC A B I E M K D N Hình C ME AB NC Lại có Vậy MNCE hình bình hành c) Vì MNCE hình bình hành nên MN ∥ EC mà EC MB MN MB Bài 8: ( Hình 8) a) ΔABCABH có MN đường trung bình MN ∥ AB, MN AB AB ∥ CP, CP AB Mà nên MN ∥ PC , MN PC Khi MNCP hình bình hành b) Vì MN ∥ AB mà AB BC nên MN BC A B J D N I M H C P Hình ΔABCBMC có N trực tâm nên CN MB mà CN ∥ MP MP MB c) MNCP hình bình hành nen hai đường chéo MC , PN cắt trung điểm J đường JP JN ΔABCPBN có IJ đường trung bình nên IJ ∥ BN IJ ∥ HN Bài 9: ( Hình 9) M A AM MB AB DN NC a) Ta có Tứ giác AMND có AM ∥ DN , AM DN B E F D N AD AB AM Hình Nên hình bình hành Lại có Vậy AMND hình thoi AM ∥ NC AMCN AM NC AMCN b) Tứ giác có hình bình hành AN ∥ MC c) Vì AMND hình bình hành nên E trung điểm DM Tương tự F trung điểm MC ΔABCMDC có EF đường trung bình nên EF ∥ DC C MB ∥ DN MBND MB DN d) Ta có hình bình hành EM ∥ NF Lại có EN ∥ MF EMFN hình bình hành AMND hình thoi nên ME EN EMFN hình chữ nhật Để MENF hình vng EM EN DE EN AE hay ΔABCADN vuông D A Khi ABCD hình chữ nhật Bài 10: ( Hình 10) MK EC a) ΔABCBEC có MK đường trung bình nên I D 1 E N M B K Hình 10 C IN EC 2 ΔABCDEC có IN đường trung bình nên , IN KN Từ 1 IM BD NK BD IM NK BD 2 b) Tương tự Mà BD EC nên IM IN KM KN hay IMKN hình thoi IK MN Bài 11: ( Hình 11) a) ΔABCDHC có IJ đường trung bình IJ ∥ HC Mà AH HC IJ AH b) ΔABCCBD có HJ đường trung bình HJ ∥ BD 2 ΔABCAHJ có I trực tâm nên AI HJ , AI BD Từ Bài 12: ( Hình 12) A 1 a) Xét ΔABCEMA ΔABCBMC có EMA BMC 900 AM MC ( giả thiết) EM BM ( giả thiết) D J I B C H Hình 11 E F N D C K ΔABCEMA ΔABCBMC c g c I AE BC ( hai cạnh tương ứng) A Và AEC B1 ( hai góc tương ứng) Gọi BC cắt AE H 0 Khi C1 B1 90 HCE AEM 90 AE BC IG ∥ BC , IG BC b) ΔABCABC có IG đường trung bình nên NK ∥ BC , NK BC ΔABCEBC có NK đường trung bình nên Như NK ∥ IG , NK IG nên GINK hình bình hành ΔABCIAE IN AE Lại có IN đường trung bình Nên NI NK GINK hình thoi Mặt khác IG ∥ BC mà BC AE IG AE Lại có NI ∥ AE IG IN Vậy GINK hình vng M B G Hình 12 E F N D H C K I A M G Hình 12 B Bài TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC Bài 1: Hình ΔABCABC có BD đường phân giác CD DA x Nên CB AB 3.x 4.5 x Hình 20 C B A N B x x 3,5 D A Hình AN NB x 6 x x 7 x 3,5 ΔABCABC có CN đường phân giác nên AC BC 21 x 42 x x 42 x 4 2 Bài 2: ( Hình 3) BD DC BD AB CD AC a) ΔABCABC có AD đường phân giác nên BA AC b) ΔABCAME có AD đường phân giác nên: DM DE DM MA MA EA DE EA Bài 3: ( Hình 4) AI IH AB BH ΔABCABH BI a) có đường phân giác nên AD DC ΔABCABC có BD đường phân giác nên AB BC 0 ABD IBH D 90 I 90 b) Ta có Mà ABD IBH ( giả thiết) I I D 1 Vậy ΔABCAID cân A 3 c) ΔABCABC cân A AI AD IH DC 1 , , 3 BH BC Từ Bài 4: ( Hình 5) a) ΔABCABC có BD đường phân giác nên AD DC AD AB 1 AB BC DC BC b) ΔABCAHC có AH ∥ DE vng góc với BC AD HE 2 DC EC AB HE 1 , BC EC Từ C Hình A M B C D Hình E 1 A 2 I B D C H Hình A D B H E Hình C Bài 5: ( Hình 6) a) ΔABCABC có BD đường phân giác nên AD DC AD BC DC AB AB BC b) ΔABCABC có DE ∥ AB vng góc với AC CE CD 2 EB DA DC BC CE BC 1 2 AD AB kết hợp với BE AB Từ C E D B A Hình A Bài 6: ( Hình 7) AE AD 1 CE BD ΔABCABC a) có ΔABCABM có MD đường trung tuyến nên AD AM 2 BD BM AE AM 1 , 3 CE BM Từ AE AM EA AM BM MC EC MC b) Ta có CE BM mà EA AM ΔABCAMC có EC MC nên ME phân giác AMC DE ∥ BC E D B Hình Bài 7: ( Hình 8) A MH MB ΔABCBMC có BH đường phân giác nên HC BC KN CN ΔABCBCN có CK đường phân giác nên KB BC MH KN Mà BM CN nên HC KB Bài 8: ( Hình 9) a) ΔABCABC có AM đường phân giác góc ngồi MB MC MB AC AB MC 1 Nên AB AC MB AB 1 2 MC AC b) Từ MB AN BN ∥ AM 3 MC AC ΔABCACM có AB AN , 3 AC AC Từ C M B C K H N M Hình A N C B Hình M