Luận văn thạc sĩ các tính chất của chuẩn orlicz trong không gian orlicz

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THANH THÚY CÁC TÍNH CHẤT CỦA CHUẨN ORLICZ TRONG KHƠNG GIAN ORLICZ Chun ngành : TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS VŨ NHẬT HUY Hà Nội - 2014 z Lời cám ơn Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới TS Vũ Nhật Huy, người thầy vơ mẫu mực tận tình giúp đỡ bảo tơi suốt q trình hồn thành luận văn tốt nghiệp Tôi xin chân thành cám ơn giúp đỡ thầy giáo, cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội Khoa sau đại học, nhiệt tình truyền thụ kiến thức tạo điều kiện giúp đỡ tơi hồn thành khóa Cao học Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình, bạn bè ln động viên khuyến khích tơi nhiều thời gian nghiên cứu học tập Do làm quen với cơng tác nghiên cứu khoa học cịn hạn chế thời gian thực nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tác giả kính mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn để luận văn hồn thiện Hà Nội, năm 2015 Nguyễn Thanh Thúy z Mục lục Mở đầu KHÔNG GIAN ORLICZ 1.1 Hàm lồi 1.2 Hàm Young 1.3 Cặp hàm liên hợp 1.4 Lớp Orlicz 17 1.5 Không gian Orlicz 20 1.6 Chuẩn Orlicz chuẩn Luxemburg 21 CÁC TÍNH CHẤT CHUẨN ORLICZ 26 2.1 Bất đẳng thức Kolmogorov-Stein 26 2.2 Tính tương đương chuẩn Orlicz chuẩn Luxemburg 32 2.3 Cơng thức tính chuẩn Orlicz 36 2.4 Định lý hàm dịch chuyển 43 Kết luận 46 Tài liệu tham khảo 46 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Mở đầu Năm 1931, W Orlicz Z.W Birnbaum đề xuất lớp khơng gian Banach mà sau Orlicz phát triển Lớp khơng gian ngày sau gọi không gian Orlicz.Lớp không gian Orlicz mở rộng lớp không gian Lp xác định qua hàm Young φ Lý thuyết khơng gian Orlicz có nhiều ứng dụng giải tích hàm, phương trình vi phân đạo hàm riêng, lý thuyết nhúng Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia làm hai chương: Chương 1: Khơng gian Orlicz Chương trình bày hàm lồi, hàm Young, hàm Young liên hợp, khái niệm để ta xây dựng lớp Orlicz không gian Orlicz, chương luận văn cịn trình bày chuẩn Orlicz chuẩn Luxemburg, kết liên quan đến chuẩn Orlicz chuẩn Luxemburg sở xây dựng chương sau Chương 2: Một số tính chất chuẩn Orlicz Chương nội dung cốt lõi luận văn, chương luận văn trình bày tính tương đương chuẩn Orlicz chuẩn Luxemburg, kết liên quan đến chuẩn Orlicz, chương luận văn cịn trình bày đến bất đẳng thức Kolmogorov-Stein chuẩn Orlicz định lý hàm dịch chuyển 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Chương KHÔNG GIAN ORLICZ Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm kết không gian Orlicz, kết sử dụng để xây dựng chứng minh kết chương sau (xem [1, 3, 4]) 1.1 Hàm lồi Định nghĩa 1.1 Hàm φ : R → R gọi hàm lồi φ (λx + (1 − λ) y) ≤ λφ (x) + (1 − λ) φ (y) ∀x, y ∈ R, λ ∈ [0; 1] Định lý 1.1 Giả sử hàm φ : (a; b) → R Khi đó, hàm φ hàm lồi với đoạn đóng [c; d] ⊂ (a; b), ta có x Z ϕ (t) dt với c ≤ x ≤ d, φ (x) = φ (c) + c đây, ϕ : R → R hàm đơn điệu không giảm liên tục trái Ngồi ra, φ cịn có đạo hàm trái phải điểm thuộc (a; b) đạo hàm khác không đếm điểm Chứng minh Điều kiện cần Do φ hàm lồi nên ta có φ (c1 ) − φ (c) φ (y) − φ (x) φ (d) − φ (d1 ) ≤ ≤ c1 − c y−x d − d1 (1.1) ∀c < c1 ≤ x < y ≤ d1 < d Vậy ta có |φ (y) − φ (x)| ≤ K1 |y − x|   φ (c1 ) − φ (c) 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Với n ∈ N∗ , đặt yn = φ (2xn ) φ−1 (yn ) = −1 n→∞ φ (2yn ) lim (1.11) Thật vậy, giả sử (1.11) không xảy Do 2φ−1 (y) > φ−1 (2y), tồn dãy {yni }i>1 ε0 > cho φ−1 (yni ) > , −1 φ (2yni ) − ε0 ∀i > (1.12) Biểu diễn yni qua xni , từ (1.12) ta có (2 − ε0 ) φ−1 1  φ (2xni ) > φ−1 φ 2xni

= 2xni Do ta nhận được: φ (xni ) < φ 2 − ε −1 φ 1  φ (2xni ) 2   − ε0 < φ (2xni ) 2 − ε0 = φ (2xni ) , i > Điều mâu thuẫn với (1.7) Như vậy, khơng có (i) ta khơng có (iv) Vậy chứng minh hồn thành Ví dụ 1.8 Xét φ (x) = (1 + |x|) log (1 + |x|) − |x| hàm liên hợp ψ cho ψ (y) = e|y| − |y| − ta dễ thấy φ ∈ ∆2 (và không thuộc ∇2 ), ψ ∈ ∇2 (và không thuộc ∆2 ) 1.4 Lớp Orlicz eφ (R) ( Leφ ) tập hàm f : R → R đo Định nghĩa 1.6 Ký hiệu L cho Z φ(|f |)dx < +∞, R eφ lớp Orlicz ứng φ hàm Young định nghĩa mục trước Ta gọi L với φ 17 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 eφ lồi tuyệt đối, nghĩa f, g ∈ Leφ α, β thỏa Định lý 1.5 (i) Khơng gian L eφ Ngồi ra, h ∈ Leφ , |f | ≤ |h| hàm f đo mãn |α| + |β| ≤ αf + βg ∈ L eφ Từ đây, ta có αf + βg ∈ Leφ f ∈ L eφ tuyến tính φ ∈ ∆2 tồn cục Đảo lại, điều kiện ∆2 tồn cục (ii) Khơng gian L eφ tuyến tính cần để khơng gian L eφ , φ hàm lồi nên với γ = |α| + |β| ∈ [0; 1] Chứng minh Xét f, g ∈ L φ (|αf + βg|) ≤ φ (|α| |f | + |β| |g|)  ≤ γφ  |α| |β| |f | + |g| γ γ ≤ |α| φ (|f |) + |β| φ (|g|) Từ ta có eφ αf + βg ∈ L eφ lồi tuyệt đối h ∈ Leφ , |f | ≤ |h| f đo Vậy khơng gian L eφ f ∈L eφ 2f ∈ Leφ (ii) Để kiểm tra tính tuyến tính, ta cần f ∈ L eφ với n nguyên đủ lớn nên với α > 0, αf ∈ Leφ , ngồi (vì nf ∈ L eφ , ∀a, b ∈ R ∀f1 , f2 ∈ L  af1 + bf2 = γ b a f1 + f2 γ γ  eφ , ∈L với γ = |a| + |b| > 0) eφ Đảo lại, Bây giờ, φ ∈ ∆2 tồn cục, ta có φ (2 |f |) ≤ Kφ (|f |) , K > nên 2f ∈ L giả sử E ∈ Λ tập có độ đo dương φ khơng thỏa mãn điều kiện ∆2 toàn cục Ta eφ cho 2f ∈ eφ để suy điều phải chứng minh xây dựng hàm f ∈ L /L Nếu < α < µ (E) , µ (E) ≤ ∞ tồn F ⊂ E, F ∈ Λ cho µ (F ) = α < ∞ Bây ta xây dựng hàm f có giá F thỏa mãn yêu cầu nói trên.Ta giả sử φ (R) ⊂ R+ Vì φ ∈ / ∆2 , tồn dãy {xn } : xn > n, φ (2xn ) > nφ (xn ) với n > Chọn n0 nguyên dương cho X n>n0 n2 1, ∀n > n0 18 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Khi tồn F0 ⊂ F cho µ (F0 ) = X n2 n>n0 < α Tương tự, tồn D1 ∈ Λ, D1 ⊂ F cho µ (D1 ) = n0 −2 Do µ (F0 \D1 ) > 0, ta lại tìm D2 ∈ ∆2 , D2 ⊂ F0 F1 cho µ (D2 ) = (n0 + 1)−2 Lặp lại trình ta dãy {Dn } ⊂ Λ tập rời cho µ (Dn ) = (n0 + n − 1)−2 , n > Bây giờ, chọn Fk ⊂ Dk , Fk ∈ Λ, k > cho: µ (Fk ) = f= ∞ X µ(Dk ) φ(xk ) Xét xn χFn n=1 Khi f đo Z φ (f ) dx = R ∞ X φ (xn ) µ (Fn ) = n=1 ∞ X n2 < α < ∞, n=1 eφ Mặt khác, ta có nên f ∈ L Z φ (2f ) dx = R ∞ X φ (2xn ) µ (Fn ) n=1 ≥ = ∞ X nφ (xn ) µ (Fn ) n=1 ∞ X n>n0 = ∞ n eφ Vậy ta có điều phải chứng minh Hay 2f 6∈ L 19 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 1.5 Không gian Orlicz eφ lớp Orlicz ứng với hàm Young φ Khi khơng gian Định nghĩa 1.7 Giả sử L Lφ (R) đơn giản Lφ khơng có nhầm lẫn xảy tất hàm đo eφ với α > f : R → R cho αf ∈ L Ta gọi Lφ (R) (hay Lφ ) khơng gian Orlicz Khi Lφ (R) = Lφ = {f : R → R đo | R R φ(αf )dx < +∞ với α > } eφ khơng gian vecto Hơn nữa, với f ∈ Leφ tồn Mệnh đề 1.3 Tập L α > cho  αf ∈ Bφ =  Z eφ g∈L : φ (g) dx ≤ (1.13) R eφ phận ổn định với phép cộng phép Chứng minh Ta chứng minh L nhân không gian L1 (R) Thật vậy, xét f1 , f2 ∈ Lφ Khi tồn α1 , α2 > eφ , i = 1, Đặt α = {α1 , α2 } α > cho αi fi ∈ L Z φ α R Z  (f1 + f2 ) dx φ R ≤ α f1 + α2 f2 dx  Z  Z φ (α1 f1 ) dx + R φ (α2 f2 ) dx < ∞ R Điều có φ lồi đơn điệu tăng α φ > nên f1 + f2 ∈ L Đặc Lφ , ∀n > Nên pf ∈ Lφ , ∀p ∈ Tiếp theo, biệt ta có với, f ∈ Lφ 2f ∈ Lφ nf ∈ R eφ khơng gian véc tơ Vậy ta phải chứng minh (1.13) Vậy L Xét f ∈ Lφ α > cho eφ αf ∈ L Chọn {αn } giảm không tùy ý chọn αn = {α, αn } , n > Khi φ(αn f ) ≤ φ(αf ), ∀n ≥ Nếu φ hàm Young liên tục φ(αn f ) → 0, φ liên tục, theo định lý hội tụ bị chặn, ta có Z φ(αn f )dx → 0, R nên tồn nghiệm cho R R φ(αn0 f )dx ≤ Lúc αn0 f ∈ Bφ 20 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Nếu φ hàm Young không liên tục, φ(x) = +∞ ∀x > x0 > Lúc f bị chặn hầu khắp nơi hiển nhiên ta có Z φ (αf ) dx ≤ R Vậy mệnh đề chứng minh Ví dụ 1.9 Cho ≤ p < ∞, φ(x) = xp khơng gian Lφ tập hợp hàm f thỏa mãn Z |f |p dx < ∞ R 1.6 Chuẩn Orlicz chuẩn Luxemburg + Một hàm lồi φ : R → R hàm Young thỏa mãn điều kiện sau φ(−x) = φ(x), φ(0) = lim φ(x) = +∞ x→∞ + Với hàm Young vậy, ta xác định hàm Young ψ : R → R có tính chất xác định ψ(y) = sup{x |y| − φ(x) : x ≥ 0}, y ∈ R Định nghĩa 1.8 Giả sử f : R → R hàm đo (φ, ψ) cặp liên hợp hàm Young Khi ta định nghĩa chuẩn Orlicz sau Z  Z kf kφ = sup |f g| dx : ψ (|g|) dx ≤ R R Ta chứng minh k.kφ chuẩn Thật vậy, ∀c ∈ R ta có Z kcf kφ = sup  Z |cf g| dx : R ψ (|g|) dx ≤ R Z Z |c| |f g| dx : = sup R  ψ (|g|) dx ≤ R = |c|kf kφ 21 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Suy kcf kφ = |c| kf kφ Z  Z kf1 + f2 kφ = sup |(f1 + f2 ) g| dx : ψ (|g|) dx ≤ R R Z ≤ sup Z |f1 g| dx + |f2 g| dx : R R Z ≤ sup ψ (|g|) dx ≤ R  Z |f1 g| dx : ψ (|g|) dx ≤ R R Z  Z |f2 g| dx : + sup  Z ψ (|g|) dx ≤ R R ≤ kf1 kφ + kf2 kφ Hiển nhiên kf kφ ≥ Z Z kf kφ = ⇔ sup{ |f g| dx : ψ(|g|)dx ≤ 1} = R Z R Z ⇔ |f g| dx = ∀ ψ(|g|)dx ≤ ⇔ f = 0(h.k.n) R R Định nghĩa 1.9 Cho φ hàm Young, ta xác định phiếm hàm chuẩn Luxemburg Lφ sau Nφ (f ) = inf k > : f ∈ Bφ k     Z f = inf k > : φ dx ≤ k R n Ví dụ 1.10 Cho φ(x) = |x|p p o với f ∈ Lφ cho f ∈ Lφ Khi chuẩn Orlicz chuẩn Luxemburg tính sau  Z p |f | dx Nφ (f ) = p 1/p R kf kφ = Z p |f | dx 1/p R Định lý 1.6 (Lφ , Nφ ) khơng gian tuyến tính định chuẩn ta đồng hàm tương đương thông thường Hơn Nφ (f ) ≤ Z φ(f )dx ≤ R 22 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Chứng minh Ta chứng minh Nφ chuẩn Thật f = h.k.n hiển nhiên Nφ (f ) = Ngược lại Nφ (f ) = |f | > tập có độ đo dương Khi tồn δ > cho tập A = {ω : |f (ω)| ≥ δ} có µ(A) > k Bây theo định nghĩa chuẩn Luxemburg, ta có ∈ Bφ , ∀k > nên nf ∈ Bφ , ∀n ≥ Đặc biệt ta nhận Z φ (nδ) µ (A) = φ (nδ) dx ZA ≤ φ (nf ) dx ZA ≤ φ (nf ) dx ≤ 1, ∀n > R Do µ(A) > φ(nf ) tăng đến ∞ n → +∞, nên cho n → ∞ ta nhận mâu thuẫn Vậy f = h.k.n Tiếp theo với α 6= ta có,  Nφ (αf )= inf  Z k>0: φ R  = |α| inf k >0: |α|  = |α| inf αf k   dx ≤  Z φ R f |k| |α|  dx ≤   Z β>0: f β φ R   dx ≤ = |α| Nφ (f ) Ta chứng minh bất đẳng thức tam giác Xét f1 , f2 ∈ Lφ tùy ý Chọn > Nφ (f ), i = 1, < < ∞ Ta đặt b = a1 + a2 Khi đó, ta có  Z φ R f1 + f2 b   Z dx = φ R Z f a1 f a2 + a1 b a2 b    a1 f1 a2 ≤ φ dx + b R a1 b a1 a2 ≤ + = b b dx  Z φ R f2 a2  dx Vậy f1 + f2 ∈ Bφ b 23 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 nên Nφ (f1 + f2 ) ≤ b = a1 + a2 , ta cho → Nφ (fi ) để nhận bất đẳng thức tam giác cần thiết Vậy Nφ chuẩn hay (Lφ , Nφ ) khơng gian tuyến tính định chuẩn Tiếp theo ta chứng minh phần cuối định lý Đặt a = Nφ (f )với f ∈ Lφ Ta coi a > (do trường hợp a = tầm thường) Khi f ∈ Bφ a Nếu a ≤ Z Z φ(f )dx ≤ R f φ( )dx ≤ a R Đảo lại, f ∈ Bφ ta có Nφ (f ) ≤ từ định nghĩa chuẩn Luxemburg ta để ý thêm a > Nhưng R R Z f φ( )dx ≤ a R φ (f ) dx = +∞ xảy Vậy có ≤ a ≤ thích hợp Chứng minh hồn thành φ φ Định lý 1.7 Giả sử {fn }∞ n=1 ⊂ L thỏa mãn fn → f h.k.n với f ∈ L φ (x) = x = Khi đó, Nφ (f ) ≤ lim infNφ (fn ), nghĩa là, chuẩn Luxemburg n→∞ nửa liên tục Lφ Chứng minh Để không rơi vào trường hợp tầm thường, ta coi f 6= h.k.n Khi đó, Nφ (f ) > nên Nφ (fn ) > với n đủ lớn Đặt k0 = lim inf Nφ (fn ) i→∞ Nếu k0 = +∞, ta có điều phải chứng minh Nếu k0 = 0, tồn dãy {fni } {fn } cho Nφ (fni ) ≤ 1, ∀i ≥ i0 Do ta có Nφ (fni ) Do ta có Z φ (|fni |) dx ≤ R  Z φ R |fni | Nφ (fni )  dx ≤ Z φ (|fni |) dx ≤ Nφ (fni ) → i → ∞ R 24 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Vì |fni | → |f | h.k.n nên theo bổ đề Fatou giả thiết φ (x) > 0, ta có Z Z 0≤ φ (|f |) dx = R lim φ (|fni |) dx R i→∞Z φ (|fni |) dx = lim inf i→∞ R Điều mâu thuẫn cho thấy < k0 < ∞ Lúc này, chọn < k0 < t tùy ý Khi k0 < ki < t với i đó, nên   Z φ R f t  Z dx = lim φ R n→∞ fni t  Z lim inf φ i→∞ R  Z lim inf φ i→∞ R  dx fni t  fni t  dx dx Vậy Nφ (f ) ≤ t Do t > k0 tùy ý, ta có Nφ (f ) < k0 , nghĩa là, Nφ (f ) nửa liên tục Chứng minh hoàn thành Mệnh đề 1.4 Nếu f ∈ Lφ , g ∈ Lψ với (φ, ψ) cặp liên hợp hàm Young Z |f g| dx ≤ 2Nφ (f ) Nψ (g) (1.14) R Chứng minh Nếu Nφ (f ) Nψ (g) = f = g = h.k.n nên (1.14) hiển nhiên Vậy giả sử Nφ (f ) > Nψ (g) > Theo bất đẳng thức Young, ta có |f g| (ω) ≤φ Nφ (f ) Nψ (g)  |f | Nφ (f )   (ω) + ψ |g| Nψ (g)  (ω) Tích phân hai vế bất đẳng thức trên, ta Z  R  |f g| dx ≤ Nφ (f ) Nψ (g)  Z φ R |f | Nφ (f )   Z (ω) dx + ψ R |g| Nψ (g)  (ω) dx ≤ Vậy ta có điều phải chứng minh 25 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Chương CÁC TÍNH CHẤT CHUẨN ORLICZ Trong chương chúng tơi trình bày bất đẳng thức Kolmogorov-Stein, tính tương đương chuẩn Orlicz chuẩn Luxemburg, cơng thức tính chuẩn Orlicz cuối định lý hàm dịch chuyển (xem [1, 2, 5, 6]) 2.1 Bất đẳng thức Kolmogorov-Stein A N Kolmogorov đưa kết sau không gian L∞ (R) Cho f (x), f (x), , f (n) (x) hàm liên tục bị chặn R Khi ta có bất đẳng thức sau k (k) n n−k (n) f Ck,n kf k∞ f , ∞ ∞ < k < n, Ck,n = n Kn−k (n−k) , Kn ∞ X (−1)j Ki = , i+1 π (2j + 1) j=0 ∞ 4X Ki = π (2j + 1)i+1 j=0 với i chẵn với i lẻ Kết E M Stein phát triển chuẩn Lp (R) với ≤ p < ∞ Bất đẳng thức Kolmogorov-Stein dạng vấn đề nhiều nhà toán học quan 26 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 tâm có nhiều ứng dụng Trong muc 2.1 này, ta chứng minh bất đẳng thức cho chuẩn Orlicz tùy ý Định lý 2.1 Cho φ(t) hàm Young tùy ý, f (x) đạo hàm cấp n f (n) (x) thuộc khơng gian Lφ (R) Khi f (k) (x) ∈ Lφ (R) với < k < n k (k) n n−k (n) f ≤ Ck,n kf kφ f (2.1) φ φ Để chứng minh định lý trên, ta chứng minh bất đẳng thức tích chập cho chuẩn Orlicz Dưới đây, ta đưa khái niệm tích chập hai hàm xác định R Định nghĩa 2.1 Cho f, g hàm khả tích địa phương R Nếu tích phân Z f (x − y) g (y)dy R xác định với hầu hết x ∈ R (nghĩa tập giá trị x ∈ R để tích phân khơng tồn tập có độ đo khơng) hàm khả tích địa phương R biến x thành R R f (x − y) g (y)dy gọi tích chập hàm f hàm g, ký hiệu f ∗ g Như Z Z (f ∗ g) (x) = f (x − y) g (y)dy = R f (y) g (x − y)dy R Ta gọi f ∗ g tích chập hàm f hàm g Rõ ràng trường hợp tích chập hàm f hàm g, tích chập hàm g hàm f Điều có nghĩa tích chập có tính giao hốn f ∗ g = g ∗ f Cho ≤ p ≤ ∞ hàm f ∈ Lp (R) , g ∈ L1 (R) Khi tích chập hàm g hàm f f ∗ g tồn tích chập f ∗ g ∈ Lp (R), đồng thời ta có bất đẳng thức kf ∗ gkp ≤ kf kp kgk1 Giờ, ta mở rộng bất đẳng thức tích chập cho chuẩn Orlicz sau: Bổ đề 2.1 Cho φ hàm Young f ∈ Lφ (R), g ∈ L1 (R) Khi tích chập hàm g hàm f f ∗ g tồn tích chập f ∗ g ∈ Lφ (R), đồng thời ta có bất đẳng thức kf ∗ gkφ ≤ kf kφ kgk1 27 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Chứng minh Từ định nghĩa chuẩn Orlicz ta có Z kf ∗ gkφ = |(f ∗ g)(t)h(t)|dt sup Nψ (h)61 R Z Z |f (t − x)g(x)|dx |h(t)| dt sup Nψ (h)61 R R Z Z = |f (t − x)h(t)|dt |g(x)| dx sup Nψ (h)61 R R Với t ∈ R ta xét hàm ft sau ft (x) = f (t − x) nên Z kf ∗ gkφ kft kφ Nψ (h) |g(x)| dx sup Nψ (h)61 R Ta thấy kft ||φ = kf kφ Do Z kf ∗ gkφ kf ||φ Nψ (h) |g(x)| dx = sup Nφ (h)61 sup kf ||φ Nψ (h)kgk1 = kf kφ kgk1 Nφ (h)61 R Chứng minh hoàn thành Chứng minh Ta chứng minh công thức (2.1) trước Giả sử f (k) (x) ∈ Lφ (R) với ≤ k ≤ n Ta biết R R ψ (|v (x)|) dx = xảy Nψ (v) = đó, theo định nghĩa ta có Z (k) f = sup