Luận văn thạc sĩ bài toán chia hết trong số học

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN BÙI VĂN HUẤN BÀI TOÁN CHIA HẾT TRONG SỐ HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2014 z ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN BÙI VĂN HUẤN BÀI TOÁN CHIA HẾT TRONG SỐ HỌC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS PHẠM VĂN QUỐC Hà Nội - 2014 z Lời cảm ơn Để hồn thành chương trình đào tạo cao học hoàn thành luận văn này, tác giả luận văn nhận nhiều giúp đỡ, quan tâm, tạo điều kiện gia đình, Thầy Cơ giáo, quan bạn bè đồng nghiệp Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Thầy, Cô giáo tham gia giảng dạy cho chúng em trình học cao học Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Phạm Văn Quốc tận tình hướng dẫn bảo em q trình hồn thành luận văn Em xin chân thành cảm ơn Ban Chủ nhiệm khoa Tốn – Cơ – Tin học, phịng Sau đại học phòng, ban trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành khóa học thủ tục bảo vệ luận văn tốt nghiệp Tác giả luận văn xin cảm ơn các cấp quản lý tạo điều kiện cho tham gia khóa học cao học để nâng cao trình độ chun mơn Xin cảm ơn bạn đồng nghiệp, bạn bè, gia đình động viên, giúp đỡ tơi q trình học thực luận văn z Mục lục Lời Mở đầu Chương Các kiến thức sở 1.1 Phép chia tập hợp số nguyên 1.1.1 Phép chia hết 1.1.2 Phép chia có dư 1.1.3 Số nguyên tố, hợp số 1.1.4 Ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ 1.1.5 Một số tính chất khác chia hết 1.1.6 Một vài hàm số học thông dụng 1.2 Đồng dư 11 1.2.1 Khái niệm đồng dư 11 1.2.2 Một số tính chất đồng dư thức 12 1.2.3 Hệ thặng dư lớp thặng dư 12 1.2.4 Một số định lý tiếng lý thuyết đồng dư 13 Chương Một số phương pháp giải toán chia hết 15 2.1 Phương pháp áp dụng tính chất phép chia hết 15 2.1.1 Áp dụng tính chất phép chia hết 15 2.1.2 Phương pháp xét số dư 21 2.1.3 Áp dụng đẳng thức 26 2.2 Phương pháp áp dụng đồng dư 28 2.2.1 Áp dụng tính chất đồng dư thức 28 2.2.2 Áp dụng định lý đồng dư 33 z 2.3 Một số phương pháp khác 40 2.3.1 Phương pháp quy nạp toán học 40 2.3.2 Phương pháp chứng minh phản chứng 44 2.3.3 Sử dụng nguyên lý Dirichlet 46 Chương Một số toán áp dụng 48 3.1 Một số áp dụng giải phương trình nghiệm nguyên 48 3.2 Một số tốn tính chia hết số hạng dãy số nguyên 53 3.3 Một số tốn tìm số ngun thỏa mãn điều kiện cho trước liên quan đến chia hết 57 3.4 Một số tập khác 62 Kết luận 66 Tài liệu tham khảo 68 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Lời mở đầu Số học phân môn quan trọng lĩnh vực cổ xưa Toán học Số học sớm giảng dạy chương trình phổ thơng từ học sinh bắt đầu học Toán học, với việc làm quen với số khái niệm đơn giản tính chia hết, ước số chung lớn nhất, bội số chung nhỏ nhất, Cho đến cơng trình nghiên cứu nhà khoa học, Số học lĩnh vực có nhiều toán, giả thuyết nghiên cứu chưa giải đáp Trên đường tìm kiếm lời giải cho tốn, giả thuyết đó, nhiều tư tưởng lớn, lý thuyết lớn Toán học nảy sinh Trong chương trình phổ thơng nay, Số học chưa giành nhiều thời gian để học chuyên sâu lĩnh vực xuất nhiều đề thi Học sinh giỏi cấp trở thành phận quan trọng chương trình giảng dạy Tốn lớp chọn lớp chuyên Toán, cơng cụ tốt để rèn luyện trí thơng minh tư Toán học Tác giả lựa chọn đề tài “Bài toán chia hết số học” với mục đích tham khảo để tiếp cận hồn thiện thêm vấn đề Số học, làm sở học tập nghiên cứu lĩnh vực khác lý thuyết số sơ cấp Luận văn gồm chương: Chương – Các kiến thức sở Trong chương này, tác giả trình bày tóm tắt lại số khái niệm, tính chất phép chia tập số nguyên số vấn đề liên quan Trong đó, lý thuyết đồng dư cơng cụ mạnh mẽ để giải toán chia hết 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Chương – Một số phương pháp giải toán chia hết Trong chương này, tác giả trình bày số phương pháp phổ biến thường sử dụng toán liên quan đến chia hết như: phương pháp sử dụng tính chất phép chia hết, phương pháp sử dụng lý thuyết đồng dư định lý tiếng, phương pháp quy nạp toán học, phương pháp chứng minh phản chứng, phương pháp áp dụng nguyên lý Dirichlet, Chương – Một số toán áp dụng Trong chương này, tác giả trình bày số toán Số học liên quan đến phép chia hết như: áp dụng giải phương trình nghiệm nguyên, tính chất chia hết số hạng dãy số ngun, tốn tìm số ngun thỏa mãn tính chất cho trước, Với tất cố gắng, với thời gian, lực có hạn, luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận đóng góp ý kiến Thầy giáo, Cô giáo bạn để luận văn hoàn thiện 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Chương Các kiến thức sở Trong số học, tính chất chia hết giữ vị trí quan trọng Nó sở để đưa giải toán số nguyên tố, hợp số, ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất, lý thuyết đồng dư, Trong chương này, hệ thống lại số kiến thức thường xuyên áp dụng toán chia hết số học 1.1 Phép chia tập hợp số nguyên Trong tập hợp số nguyên, phép tốn cộng, trừ, nhân ln thực Tuy vậy, phép chia số nguyên a cho số nguyên b 6= lúc thực Khi phép chia số nguyên a cho số nguyên b 6= thương số nguyên x thỏa mãn phương trình bx = a ta nói a chia hết cho b 1.1.1 Phép chia hết Định nghĩa 1.1 Cho a, b số nguyên, b khác Ta nói a chia hết cho b (hay b chia hết a) tồn số nguyên c cho a = bc Khi đó, ta cịn nói a bội số b hay b ước số a Ký hiệu là: a b hay b | a 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Trên tập hợp số ngun, ta có tính chất sau: Tính chất 1.2 Với số nguyên a 6= 0, ta có: a | Với số nguyên a, ta có: | a (Tính chất phản xạ) a | a (Tính chất bắc cầu) Nếu a|b b|c a|c Nếu a|b a|c a | (mb + nc) Nếu a|b a|(b ± c) a|c Nếu a|c b|c (ab)|(cd) Nếu a|b với số tự nhiên n, ta có: (an ) | (bn ) Nếu a|b |a| ≤ |b| Vì vậy: Nếu a|b a, b nguyên dương a ≤ b Nếu a|b b|a |a| = |b| Nếu a|b (±a) | (±b) Mọi số nguyên a có ±1 ±a (nếu a 6= 0) ước số a, gọi ước tầm thường a Các ước số lại gọi ước thực a 1.1.2 Phép chia có dư Định lý 1.3 Cho a, b số nguyên, b khác Khi tồn cặp số nguyên (q, r), cho a = bq + r, ≤ r < |b| Định nghĩa 1.4 Cho a, b số nguyên, b khác Khi đó, ta nói a chia cho b có thương q số dư r a = bq + r, ≤ r < |b| Khi r = ta a chia hết cho b Khi r 6= ta nói a khơng chia hết cho b 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 1.1.3 Số nguyên tố, hợp số Định nghĩa 1.5 Số nguyên tố số nguyên dương lớn có hai ước số ngun dương Số nguyên dương khác không số nguyên tố gọi hợp số Định lý 1.6 (Euclide) Tập hợp số nguyên tố vô hạn Định lý 1.7 (Định lý số học) Mọi số tự nhiên lớn phân tích thành tích thừa số ngun tố phân tích không kể đến thứ tự thừa số nguyên tố 1.1.4 Ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ Định nghĩa 1.8 Ước chung lớn hai số nguyên a, b không đồng thời số nguyên lớn chia hết a b, ký hiệu (a, b) Khi (a, b) = 1, ta nói hai số a b nguyên tố Tính chất 1.9 (ma, mb) = m (a, b), với m nguyên   dương (a, b) a b , = Nếu d > ước chung a, b d d d   a b Nếu (a, b) = d , =1 d d Nếu m|a, m|b m| (a, b) (a, b) = (a, −b) = (b, a) = (b, a + kb), với số nguyên k Nếu (a, m) = (b, m) = (ab, m) = Nếu m| (ab)và (m, a) = m|b Nếu a m, a n (m, n) = a (mn) Định lý 1.10 Cho a b số nguyên, d = (a, b) Khi tồn số nguyên m, n cho d = ma + nb 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 2k Bằng cách chia hai vế phương trình cho dn , ta giả sử (x, y) = từ phương trình suy x, y lẻ +) Nếu n chẵn, (n = 2m) ta có: xn − y n = (xm − y m ) (xm + y m ) nên xm − y m = 2a xm + y m = 2k−a với a nguyên dương
Khi xm = 2a−1 + 2k−2a Do x lẻ nên a = xm − y m = Mặt khác m ≥ nên
xm − y m = (x − y) xm−1 + xm−2 y + · · · + y m−1 > (mâu thuẫn)
+) Vậy n lẻ Ta có xn − y n = (x − y) xn−1 + xn−2 y + · · · + y n−1 Do x, y lẻ nên xn−1 + xn−2 y + · · · + y n−1 ≡ n ≡ (mod2) Từ xn − y n = 2k suy xn−1 + xn−2 y + · · · + y n−1 = Điều x, y nguyên dương n > Vậy phương trình cho vơ nghiệm  Bài Tìm nghiệm nguyên phương trình x3 + 2y = 4z Lời giải Nếu cho ba ẩn ta nghiệm (0, 0, 0) Giả sử phương trình cịn có nghiệm (x, y, z) mà x 6= 0, y 6= 0, z 6= Gọi d = (x, y, z) Ta có x = dx1 , y = dy1 , z = dz1 , x1 , y1 , z1 số nguyên (x1 , y1 , z1 ) = Khi x1 + 2y1 = 4z1 Suy x1 ⇒ x1 Đặt x1 = 2x2 Ta có 4x2 + y1 = 2z1 Suy y1 ⇒ y1 Đặt y1 = 2y2 Ta có 2x2 + 4y2 = z1 Suy z1 ⇒ z1 Những điều mâu thuẫn với (x1 , y1 , z1 ) = Vậy phương trình có nghiệm (0; 0; 0) 52 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z  37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66

Bài 10 Cho phương trình nghiệm nguyên z = x2 − y − + n Hỏi phương trình có nghiệm khơng 1) n = 1981, 2) n = 1985, 3) n = 1984 (Đề nghị IMO 1981) Lời giải 1) Khi n = 1981 Ta có: z ≡ 0, 1, (mod8)

x2 − y − + 1981 ≡ 2, 5, (mod8) Vậy với n = 1981 phương trình khơng có nghiệm nguyên 2) Khi n = 1985 Ta có: z ≡ 0, 1, 4, (mod9)

x2 − y − + 1985 ≡ 2, 5, 6, (mod9) Vậy với n = 1985 phương trình khơng có nghiệm ngun 3) Khi n = 1981 Viết lại phương trình dạng x2 + y + z − x2 y = 1985 Ta tìm nghiệm phương trình cách tìm x, y thỏa mãn x2 + y = 1985 Khi lấy z = xy cho ta nghiệm (x, y, z) Ta cặp nghiệm (7, 44, 7.44) (31, 32, 31.32) Chú ý phương trình cịn nghiệm khác  3.2 Một số toán tính chia hết số hạng dãy số nguyên • Trong phần này, xét đến số tốn tính chia hết phần tử dãy số mà số hạng số nguyên Trong dãy số phần tử chia hết cho số nguyên đó, có số phần tử chia hết cho số cho trước Đối với dãy số cho công thức số hạng tổng quát, thường dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh 53 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Đối với dãy số cho hệ thức truy hồi số hạng, thường phải dùng kiến thức tìm cơng thức số hạng tổng qt dãy số (trong khuôn khổ luận văn này, coi biết khơng trình bày kỹ kiến thức này) • Một số tốn chứng minh tồn số hạng dãy chia hết cho số Bài 11 Cho hai dãy số: an = 22n+1 + 2n+1 + bn = 22n+1 − 2n+1 + 1, n = 0, 1, 2, Chứng minh với số tự nhiên n có hai số an , bn chia hết cho Lời giải Ta có an − bn = 2n+2 không chia hết cho Mặt khác an bn = 4.16n + ≡ + ≡ (mod5) Từ suy điều phải chứng minh  Bài 12 Cho dãy (an )n≥1 xác định bởi: a1 = 1, an = an−1 + a[ n ] (n ≥ 2) Chứng minh dãy chứa vô số số nguyên chia hết cho (Poland 1998) Lời giải Ta chứng minh phản chứng Giả sử có hữu hạn số hạng dãy cho chia hết cho ak số hạng cuối dãy chia hết cho Khi từ cơng thức xác định dãy, ta có: a2k = a2k−1 + ak , a2k+1 = a2k + ak Nên a2k−1 ≡ a2k ≡ a2k+1 ≡ a (mod7) a không chia hết cho Mặt khác: a4k−2 = a4k−3 + a2k−1 , a4k−1 = a4k−2 + a2k−1 , a4k = a4k−1 + a2k , a4k+1 = a4k + a2k , a4k+2 = a4k+1 + a2k+1 , a4k+3 = a4k+2 + a2k+1 54 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Suy a4k−3+i ≡ a4k−3 + ia (mod7), với i = 1, , Do a không chia hết bảy số a4k−3 , a4k+3 phải có số chia hết cho Mâu thuẫn Vậy điều giả sử sai Ta có điều phải chứng minh  • Một số tốn phải thực việc tìm số hạng tổng quát dãy số trước chứng minh tính chất chia hết số hạng Bài 13 Cho hai dãy số (un ) xác định sau: u1 = 0, u2 = 14, u3 = −18, un+1 = 7un−1 − 6un−2 (n = 3, 4, ) Chứng minh với số nguyên tố p up p Lời giải Trước tiên, ta tìm số hạng tổng quát dãy là: n un = + 2n + (−3) , n = 1, 2, Theo định lý Fermat, ta có: up ≡ + + (−3) ≡ (modp) Vậy ta có với số nguyên tố p up p  Bài 14 Cho dãy số nguyên (an )n≥0 thỏa mãn: (n − 1) an+1 = (n + 1) an − (n − 1) Biết a1999 2000 Tìm số nguyên dương nhỏ n ≥ cho an 2000 (Bulgaria 1999) Lời giải Trước hết, tìm công thức tổng quát cho dãy (an )n≥0 Đặt bn = an − (2n − 2), ta có: (n − 1) bn+1 = (n + 1) bn n (n − 1) b2 (n ≥ 2) Suy bn = n (n − 1) Do an = (n − 1) + b2 , với b2 = a2 − số nguyên 1999.1998 Vì a1999 2000 nên suy (1999 − 1) + b2 ≡ (mod2000) Hay b2 ≡ (mod2000) Vậy an 2000 (n − 1) + 2n (n − 1) 2000 hay (n − 1) (n + 1) 1000 Từ tìm n = 249 số cần tìm 55 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z  37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Bài 15 Cho dãy số nguyên (an ) xác định bởi: a0 = 1, a1 = −1, an = 6an−1 + 5an−2 (n ≥ 2) Chứng minh (a2012 − 2010) 2011 (HSG Quốc gia 2011) Lời giải Xét dãy (bn ) xác định bởi: b0 = 1, b1 = −1, bn = 6bn−1 + 2016bn−2 (n ≥ 2) n 49.(−42) + 41.48n Ta tìm số hạng tổng quát dãy bn = , (n ≥ 0) 90 Vì 2011 số nguyên tố nên theo định lý Fermat, ta có: 2010 (−42) ≡ 482010 ≡ (mod2011) Do 90b2012 ≡ 49.(−42) + 41.482 = 90b2 (mod2011) Suy b2012 ≡ b2 (mod2011) Lại có b2 ≡ 2010 (mod2011) Ngồi an ≡ bn (mod2011) Vậy a2012 ≡ 2010 (mod2011)  Bài 16 Cho hai dãy số (un ) xác định sau: 6u2n−1 un−3 − 8un−1 u2n−2 u1 = 1, u2 = 2, u3 = 24, un = , n ≥ un−2 un−3 Chứng minh rằng: un n, với số nguyên dương n un , n ≥ Ta có v2 = 2, v3 = 12, = 6vn−1 − 8vn−2 un−1 Tìm số hạng tổng quát = 4n − 2n

Ta có: un = vn−1 v2 u1 = 4n−1 − 2n−1 4n−2 − 2n−2 (4 − 2) Lời giải Đặt = +) Với số nguyên tố p, theo định lý Fermat, ta có:
4p−1 ≡ 2p−1 ≡ (modp) hay 4p−1 − 2p−1 p Từ đó, s bội p − (4s − 2s ) p +) Giả sử n = p1 r1 p2 r2 pk rk , với p1 < p2 < · · · < pk số nguyên tố Ta có n = d1 p1 = d2 p21 = · · · = dr1 pr11 Suy n − d1 < n − d2 < · · · < n − dr1   n − dj = dj pj1 − (p1 − 1), với j = 1, 2, , r1
Suy 4n−dj − 2n−dj p1 , với j = 1, 2, , r1 Vậy un pr1 Tương tự với thừa số khác suy điều phải chứng minh. 56 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 3.3 Một số tốn tìm số nguyên thỏa mãn điều kiện cho trước liên quan đến chia hết • Một số tốn vận dụng tính chất phép chia hết đồng dư:

Bài 17 Tìm tất số nguyên x cho x3 − 8x2 + 2x x2 + (Vô địch Bungari năm 1977)

Lời giải x3 − 8x2 + 2x x2 +



⇒ x x2 + − x2 + + x + x2 +
⇒ (x + 8) x2 + Cách 1: Ta có: +) x = −8 thỏa mãn +) x 6= −8 |x + 8| ≥ x2 + ⇒ −2 ≤ x ≤ Thử trực tiếp ta x = x = thỏa mãn Vậy x = −8, x = x =
Cách 2: Ta có: (x + 8) x2 +

⇒ x2 + 8x x2 +
⇒ (8x − 1) x2 +
⇒ (x + 8) − (8x − 1) x2 +
⇒ 65 x2 + Từ suy x = −8, x = x =  Bài 18 Giả sử p số nguyên tố dạng 4k + Chứng minh tồn số nguyên x, y cho x2 + y + p p−1 Lời giải Đặt ri = i2 (modp) , i = 1, 2, , ; p−1 si ≡ −1 − i2 (modp) , i = 1, 2, , Ta có: ri đơi phân biệt, si đôi phân biệt, ri , si ∈ T = {1, 2, , p − 1} n o n o Đặt A = r1 , r2 , , r p−1 , B = s1 , s2 , , s p−1 2 57 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 p−1 , |A ∪ B| ≤ p − +) Nếu |A ∪ B| < p − A ∩ B 6= ∅ Khi |A| = |B| = nên ta có ri = sj ⇒ i2 ≡ −1 − j (modp) ⇔ i2 + j + p +) Nếu |A ∪ B| = p − A ∩ B = ∅ nên số ri , sj đôi khác Do đó: r1 + · · · + r p−1 + s1 + · · · + s p−1 ≡ + + · · · (p − 1) ≡ (modp) 2 Điều mâu thuẫn với cách xác định số ri , sj : vì: ri + si ≡ −1 (modp) ⇒ r1 + · · · + r p−1 + s1 + · · · + s p−1 ≡ − 2 p−1 (modp) Vậy toán chứng minh  Bài 19 Tồn hay không số nguyên x thỏa mãn x2401 + x2 + 2013 Lời giải Giả sử có số nguyên x thỏa mãn: x2401 + x2 + 2013 Vì 2013 11 nên suy x2401 + x2 + 11

Ta có x2401 + x2 + = x x2400 − + x2 + x + Theo tính chất chia hết đẳng thức, ta có:  


2400 10 24 −1 =x x x x − x x10 −
Theo định lý Fermat nhỏ, ta có: x x10 − 11 Suy x2 + x + 11 Nhưng cho x chạy khắp hệ thặng dư đầy đủ modulo 11, khơng có x để x2 + x + 11 Vậy số ngun x thỏa mãn u cầu tốn Bài 20 Chứng minh với p số nguyên tố lẻ cho trước, ln có vơ số số tự nhiên n thỏa mãn (n.2n + 1) p 2k+1 Lời giải Lấy n = (p − 1) , k = 0, 1, 2, Vì p số nguyên tố lẻ nên theo định lý Fermat nhỏ, ta có: 2p−1 ≡ (modp) Khi đó: 2k+1 n.2n + ≡ (p − 1) 2p−1
(p−1)2k 2k+1 + ≡ (−1) + ≡ (modp) Từ suy điều phải chứng minh  58 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Bài 21 Tìm tất số tự nhiên n cho n.2n + Lời giải Xét n = 6k + r, ≤ r < Ta có: n.2n + = (6k + r) 2r 26k + ≡ r.2r + (mod3) Chỉ có r = r = thỏa mãn r.2r + Vậy số n cần tìm có dạng 6k + 6k + 2, k ∈ N  Bài 22 Tìm số nguyên dương n cho (n − 1)! n (Vô địch Hungari năm 1951) Lời giải Nhận xét: +) Nếu n số ngun tố khơng thỏa mãn tốn +) n = khơng thỏa mãn tốn +) n = thỏa mãn toán hni +) Nếu n hợp số khác 4, viết n = p.q, ≤ p, q ≤ Trường hợp p 6= q: Trong (n − 1)! có thừa số p, q nên (n − 1)! n Trường hợp p = q p, q > 2: Trong (n − 1)! có thừa số p 2p, suy (n − 1)! chia hết cho p.2p hay (n − 1)! chia hết cho p2 = n Tóm lại, n = n hợp số khác  • Trong phân tích số n! thừa số nguyên tố: n! = p1 α1 p2 α2 .pk αk , h i h i h i số mũ αi thừa số pi bằng: αi = pni + pni + · · · + pni m , m số tự nhiên lớn cho pi m < n Áp dụng công thức giúp giải số toán chia hết số giai thừa 500 Bài 23 Số C1000 có chia hết cho hay khơng? 500 Lời giải Ta có C1000 = 1000! (500!) +) Số mũ thừa số phân tích 1000! bằng:       1000 1000 1000 + + = 164 72 73 59 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 +) Số mũ thừa số phân tích 500! bằng:       500 500 500 + + = 82 72 73 Vì số mũ thừa số phân tích (500!) bằng: 82.2 = 164 500 Vậy phân tích C1000 khơng có thừa số 500 nên C1000 khơng chia hết cho  Bài 24 Tìm số tự nhiên n lớn cho 29n chia hết 2003! Lời giải Số mũ 29 phân tích 2003! bằng:     2003 2003 + = 69 + = 71 α= 29 292 Vậy 2003! = 2971 A, (A, 29) = Do số cần tìm n = 71  1995 Bài 25 Tìm số tự nhiên k lớn thỏa mãn điều kiện: (1994!) chia hết cho 1995k (Thi HSG Quốc gia - 1995) Lời giải Ta có 1995 = 3.5.7.19 1995 Ta tìm số mũ lớn thừa số 3, 5, 7, 19 phân tích (1994!) +) Số mũ phân tích 1994! bằng:       1994 1994 1994 + + ··· + = 992 α3 = 32 37 +) Số mũ phân tích 1994! bằng:       1994 1994 1994 α5 = + + ··· + = 495 52 54 +) Số mũ phân tích 1994! bằng:       1994 1994 1994 α7 = + + = 329 72 73 60 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 +) Số mũ 19 phân tích 1994! bằng:     1994 1994 + α19 = = 109 19 192 Vậy 1994! = 3992 5495 7329 19109 M , M nguyên tố với 3, 5, 7, 19 1995 Vậy (1994!) = 3992 5495 7329 19109 M
1995 Từ suy k = 109.1995 số cần tìm Bài 26 Chứng minh với số nguyên dương n, chọn số nguyên dương x cho 19x − 97 2n Lời giải +) Với n = n = 2, chọn x = thỏa mãn +) Với n ≥ * Trước hết, ta chứng minh nhận xét sau: n−2 Nếu 192 − = 2n tn tn số lẻ Thật vậy, với n = nhận xét Giả sử nhận xét với n = k ≥ Với n = k + 1, ta có:   k−2   k−2 2 2k−1 19 − = 19 + 19 − = 2sn 2n tn = 2n+1 (sn tn ) với sn tn số lẻ * Trở lại toán cho Ta chứng minh phương pháp quy nạp toán học +) Với n = 3, toán +) Giả sử tồn số nguyên dương xn cho 19xn − 97 = 2n a Nếu a chẵn 19xn − 97 = 2n+1 a1 Nếu a lẻ đặt xn+1 = xn + 2n−2 Ta có:  n−2   n−2  n−2 19xn+1 −97 = 192 (19xn − 97)+97 192 − = 2n 192 a + 97tn 2n+1 Vậy toán chứng minh  61 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 3.4 Một số tập khác Bài 27 (IMO – 1967) Cho số nguyên dương k, m, n cho m + k + số nguyên tố lớn n + Giả sử Cs = s (s + 1) Chứng minh rằng: (Cm+1 − Ck ) (Cm+2 − Ck ) (Cm+n − Ck ) C1 C2 Cn Lời giải Ta có: Cp − Cq = (p − q) (p + q + 1) Nên (Cm+1 − Ck ) (Cm+2 − Ck ) (Cm+n − Ck ) = [(m − k + 1) (m − k + 2) (m − k + n)] [(m + k + 2) (m + k + 3) (m + k + n + 1)] Ta có: C1 C2 Cn = n! (n + 1)! +) Ta có: (m − k + 1) (m − k + 2) (m − k + n) n! +) Mặt khác, ta có : n+1 Cm+k+n+1 = (m + k + 1) (m + k + 2) (m + k + 3) (m + k + n + 1) (n + 1)! số nguyên Trong m + k + số nguyên tố lớn n + nên không chia hết cho thừa số (n + 1)! Vì (m + k + 2) (m + k + 3) (m + k + n + 1) (n + 1)! Từ suy điều phải chứng minh  Bài 28 (IMO – 1974) Chứng minh rằng: với số tự nhiên n, ta có n P 2k+1 k khơng chia hết cho C2n+1 k=0 √
2n+1 √ √
2n+1 √ Lời giải Ta có + = An + 8Bn − = An − 8Bn n P 2k+1 k Trong Bn = C2n+1 Do An − k=0 8Bn = 2n+1 (−7) n ≡ 32n+1 ≡ 3.(−1) (mod5) n Nếu Bn chia hết cho An ≡ 3.(−1) (mod5) Điều vơ lý Từ ta có điều phải chứng minh  Bài 29 (Dự tuyển IMO – 2005) Giả sử a, b hai số nguyên dương cho an + n ước bn + n với số nguyên dương n Chứng minh a = b 62 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Lời giải Giả sử a 6= b Từ giả thiết suy b > a Chọn p số nguyên tố lớn b lấy n = (a + 1) (p − 1) + Theo cách chọn ta có n ≡ (mod (p − 1)) n ≡ −a (modp) Khi theo định lý Fermat nhỏ, ta có: rn ≡ r rp−1
a+1 ≡ r (modp) , ∀r ∈ Z Ta lại có an + n ≡ a − a ≡ (modp) ⇒ p | (an + n) Nhưng an + n | bn + n nên p | bn + n bn + n ≡ b − a ≡ (modp) ⇒ p | (b − a) Điều mâu thuẫn p > b Vậy a = b  Bài 30 (Bulgaria – 1995) Tìm tất số nguyên tố p, q cho (5p − 2p ) (5q − 2q ) pq Lời giải Giả sử p ≤ q Do (5p − 2p ) (5q − 2q ) số lẻ nên ≤ p ≤ q Nhận xét số nguyên tố k ước 5k − 2k theo định lý Fermat nhỏ ta có ≡ − ≡ 5k − 2k ≡ (modk) ⇒ k = Giả sử p > 3, theo nhận xét p khơng ước 5p − 2p nên p ước 5q − 2q hay 5q ≡ 2q (modp) Lại theo định lý Fermat nhỏ, ta có: 5p−1 ≡ 2p−1 (modp) Do 5(p−1,q) ≡ 2(p−1,q) (modp) Nhưng p ≤ q nên (p − 1, q) = Do ≡ (modp) ⇒ p = Mâu thuẫn Vậy p = Nếu q > q ước 5p − 2p = 53 − 23 = 9.13 ⇒ q = 13 Vậy tất cặp (p, q) cần tìm (3, 3), (3, 13), (13, 3)  Bài 31 (Trung Quốc – 2009) Tìm tất cặp số nguyên tố (p, q) cho: pq | 5p + 5q Lời giải +) Cặp (5, 5) thỏa mãn +) Nếu p = 5, q 6= 5: ta có 5q | 55 + 5q ⇒ q | 625 + 5q−1 63 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Theo định lý Fermat nhỏ, ta có q ước 626 Trong trường hợp ta có nghiệm (5, 313) (5, 2) +) Nếu q = 5, p 6= 5: tương tự ta có hai nghiệm (313, 5) (2, 5) +) Nếu p = 2, q 6= 5: Ta có 2q | 25 + 5q ⇒ 25 + 5q ≡ (mod2q) ⇒ 30 ≡ (mod2q) ⇒ q = Như vậy, trường hợp hai số p, q có số 2, số cịn lại khác 5, ta có nghiệm (2, 3) (3, 2) +) Trường hợp p, q khác 5: Ta có 5p + 5q ≡ (modpq) ⇒ + 5q ≡ (modp) ⇒ 5q−1 ≡ −1 (modp) ⇒ 52(q−1) ≡ (modp) Tương tự ta có 5p−1 ≡ −1 (modq) Chọn k số mũ lớn cho 2k | ordp Mà ordp | p − ordp | (q − 1) , ordp không ước q − Chứng tỏ số mũ lớn mà ước p − lớn số mũ lớn mà ước q − Do tính đối xứng nên ta có mũ lớn mà ước q − lớn số mũ lớn mà ước p − Mâu thuẫn chứng tỏ trường hợp tốn khơng có nghiệm Vậy tất nghiệm toán (2, 3), (2, 5), (5, 5), (5, 313), (3, 2), (5, 2), (313, 5)  Bài 32 (Dự tuyển IMO – 2003) Cho p số nguyên tố Chứng minh tồn số nguyên tố q cho với số nguyên n, số np − p không chia hết cho q
pp − = + p + p2 + · · · + pp−1 ≡ p + modp2 p−1 pp − Suy có ước ngun tố khơng đồng dư với modulo p−1 p2 Lời giải Ta có Gọi số nguyên tố q, ta số q cần tìm 64 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Thật vậy, giả sử tồn số nguyên n cho np ≡ p (modq) Khi đó, theo cách chọn số q ta có np ≡ pp ≡ (modq) Mặt khác q số nguyên tố, theo định lý Fermat nhỏ ta có nq−1 ≡ (modq)
Hơn nữa, ta có p2 khơng ước q−1 nên p2 , q − = ⇒ np ≡ (modq) Suy p ≡ (modq) Khi ta có + p + p2 + · · · + pp−1 ≡ p (modq) Cùng với định nghĩa q ta có p ≡ (modq) Đây điều mâu thuẫn  Bài 33 (Iran – 2007) Cho n số nguyên dương n = 22007 k + với k số nguyên lẻ Chứng minh 2n−1 + không chia hết cho n Lời giải Chứng minh phản chứng Giả sử 2n−1 + chia hết cho n Ta có 2n−1 + = 2k
22 007 + Gọi p ước nguyên tố tùy ý n đặt t = 2k , d = ordp (t) Ta có t2 007 ≡ −1 (modp) ⇒ t2 008 ≡ (modp) Suy d ước 22 008 không ước 22 007, tức d = 22 008
Mà d ước p − suy p ≡ mod22 008

Do n ≡ mod22 008 ⇒ 22 007k ≡ mod22 008 ⇒ | k Điều mâu thuẫn với giả thiết Vậy toán chứng minh  65 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Kết luận Số học với lịch sử hình thành phát triển từ sớm Toán học, lĩnh vực có nhiều tốn hay đặc sắc, nhiều tốn khó Luận văn trình bày số vấn đề Số học liên quan đến phép chia hết Luận văn gồm nội dung: Chương 1: Luận văn nhắc lại số kiến thức thường sử dụng Số học nói chung tốn liên quan đến chia hết nói riêng; trình bày định nghĩa số tính chất đồng dư, số định lý tiêu biểu lý thuyết đồng dư, công cụ hữu ích giải trình bày lời giải tốn Số học Chương 2: Luận văn trình bày số phương pháp thường dùng giải toán chia hết, phân loại theo nhóm phương pháp: phương pháp áp dụng tính chất phép chia hết, phương pháp áp dụng đồng dư, số phương pháp khác quy nạp toán học, chứng minh phản chứng, áp dụng nguyên lý Dirichlet, Chương 3: Luận văn trình bày số tốn số học gặp đề thi học sinh giỏi cấp, thi chọn học sinh giỏi quốc gia, nước Olympic Toán Quốc tế chia thành mục: áp dụng tính chia hết giải phương trình nghiệm ngun, số tốn tính chia hết số hạng dãy số nguyên, tìm số nguyên thỏa mãn điều kiện cho trước liên quan đến chia hết, số toán chọn lọc khác 66 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z