(LUẬN văn THẠC sĩ) bài toán motz và một số phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ

Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ** NGUYỄN VŨ TRUNG BÀI TOÁN MOTZ VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM XẤP XỈ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60 46 01.12 Người hướng dẫn TS VŨ VINH QUANG THÁI NGUYÊN – NĂM 2016 download by : skknchat@gmail.com MỤC LỤC Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Các ký hiệu Mở đầu Chương Các kiến thức 1.1 Không gian Sobolev k (W) p (W) 1.1.1 Không gian C 1.1.2 Không gian L 1.1.3 Không gian W 1, p (W) ( ) 1.1.4 Không gian H W khái niệm vết hàm 11 1.1.5 Không gian Sobolev với số âm H - - (W) H (¶ W) 12 1.2 Phương trình elliptic 12 1.2.1 Khái niệm nghiệm yếu phương trình 13 1.2.2 Phát biểu toán biên 14 1.3 Kiến thức sơ đồ lặp 16 1.3.1 Lược đồ lặp hai lớp 16 1.3.2 Lược đồ dừng, định lý hội tụ phương pháp lặp 17 1.4 Phương pháp sai phân…………………… 17 1.5 Giới thiệu thư viện RC2009 20 1.5.1 Bài toán biên Dirichlet 20 1.5.2 Bài toán biên Neumann 22 download by : skknchat@gmail.com Chương Bài toán Motz phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ 27 2.1 Giới thiệu toán Motz 27 2.2 Một số phương pháp khai triển thông qua hệ hàm riêng 28 2.2.1 Phương pháp BAMs 28 2.2.2 Phương pháp GFIFs 30 2.2.3 Kết sử dụng phương pháp BAMs 32 2.3 Phương pháp lặp tìm nghiệm xấp xỉ 32 Chương Một số kết thực nghiệm với toán Motz 41 3.1 Kết phương pháp khai triển 41 3.1.1 Phương pháp BAMs 41 3.1.2 Kết sử dụng phương pháp GFIFs 42 3.2 Ứng dụng phương pháp chia miền toán Motz 45 3.3 Mở rộng phương pháp chia miền trường hợp tổng quát 49 Phần kết luận 54 Tài liệu tham khảo 55 Phần phụ lục 56 download by : skknchat@gmail.com LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái nguyên, Tháng 12 năm 2015 Người viết luận văn Nguyễn Vũ Trung Xác nhận trưởng khoa chuyên môn Xác nhận người hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Thị Thu Thủy TS Vũ Vinh Quang download by : skknchat@gmail.com LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn cách hoàn chỉnh, nhận hướng dẫn giúp đỡ nhiệt tình TS Vũ Vinh Quang - Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin Truyền Thông Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy xin gửi lời tri ân điều thầy dành cho Tơi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo phịng sau đại học, quý thầy cô giảng dạy lớp cao học toán K7C (2014-2016) Trường Đại học Khoa Học – Đại học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện cho tơi hồn thành khóa học Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người động viên, hỗ trợ tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập thực luận văn Xin trân trọng cảm ơn! Thái nguyên, tháng 12 năm 2015 Người viết luận văn Nguyễn Vũ Trung download by : skknchat@gmail.com CÁC KÝ HIỆU W Miền giới nội không gian ¡ ¡ Khơng gian Euclide n chiều n n ¶W Biên trơn Lipschitz C k (W) Khơng gian hàm có đạo hàm cấp k liên tục L2 (W) Không gian hàm đo bình phương khả tích W 1, p (W) Không gian Sobolev với số p H (¶ W) Khơng gian Sobolev với số 1/2 H 01 (W) Khơng gian hàm có vết khơng ¶ W H - (W) Không gian đối ngẫu với H W - H (ả W) ì V ( ) Không gian đối ngẫu với Chuẩn xác định không gian V ()× Tích vơ hướng xác định không gian V C (W) Hằng số Poincare V download by : skknchat@gmail.com MỞ ĐẦU Một số tốn học mơi trường liên tục toán nghiên cứu lý thuyết dao động qua mơ hình hóa đưa tốn biên cho phương trình elliptic cấp hai Trong trường hợp môi trường điều kiện biên bình thường việc tìm nghiệm tốn thực thông qua phương pháp giải tích phương pháp tách biến, phương pháp hàm Green phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ phương pháp sai phân hay phương pháp phần tử hữu hạn Tuy nhiên điều kiện biên toán hỗn hợp mạnh tức đoạn biên trơn tồn loại điều kiện biên dạng hàm (Dirichlet) dạng đạo hàm (Neumann) thực tế điểm giao loại điều kiện thường xảy tượng gãy nứt vật liệu Các điểm giao người ta thường gọi điểm kỳ dị Trong trường hợp tồn điểm kỳ dị phương pháp kể khơng thể thực Để giải toán này, người ta thường nghiên cứu theo hướng sau đây:  Xây dựng hệ hàm riêng trực giao xung quanh lân cận điểm kỳ dị dạng tọa độ cực từ tìm nghiệm xấp xỉ toán dạng khai triển tổng hữu hạn hệ hàm riêng Từ tốn đưa việc xác định hệ số khai triển thông qua việc giải hệ đại số tuyến tính  Sử dụng sơ đồ lặp chuyển tốn có chứa điểm kỳ dị tốn khơng chứa điểm kỳ dị Từ áp dụng phương pháp sai phân để giải toán qua xây dựng nghiệm tốn gốc ban đầu Xuất phát từ phân tích đó, mục tiêu nghiên cứu luận văn tìm hiểu mơ hình tốn Motz, mơ hình tốn elliptic cấp hai có chứa điểm kỳ dị mẫu mực, thường sử dụng để test phương pháp xấp xỉ giới, nghiên cứu sở phương pháp khai triển tìm nghiệm xấp xỉ toán Motz, đồng thời nghiên cứu sở phương pháp lặp download by : skknchat@gmail.com chuyển toán Motz hai toán elliptic cấp hai, sử dụng phương pháp sai phân để xác định nghiệm toán gốc So sánh kết thực nghiệm hai phương pháp Các kết thực nghiệm thực máy tính điện tử Nội dung luận văn tiến hành tìm hiểu nghiên cứu sở lý thuyết phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ toán biên elliptic cấp hai miền phức tạp điều kiện biên phức tạp, đặc biệt phương pháp xác định nghiệm xấp xỉ thông qua hệ hàm mẫu dạng tọa độ cực xung quanh điểm kỳ dị, so sánh với phương pháp chia miền lập trình tính tốn thử nghiệm ngơn ngữ Matlab Luận văn cấu trúc gồm chương: Chương 1: Đưa số kiến thức khơng gian hàm lý thuyết phương trình elliptic, lý thuyết sơ đồ lặp Cơ sở phương pháp chia miền lý thuyết sai phân Chương 2: Trình bày mơ hình tốn Motz phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ Chương 3: Một số kết thực nghiệm toán Motz Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình TS Vũ Vinh Quang, em xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành thầy Em xin chân thành cảm ơn thầy, cô giáo trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên, Viện Toán Học tham gia giảng dạy, giúp đỡ em suốt trình học tập nâng cao trình độ kiến thức Tuy nhiên điều kiện thời gian khả có hạn nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Em kính mong thầy giáo bạn đóng góp ý kiền để đề tài hoàn thiện download by : skknchat@gmail.com CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN Nội dung chương luận văn trình bày số kiến thức không gian hàm, lý thuyết sơ đồ lặp phương trình eliiptic cấp 2, lý thuyết phương pháp sai phân Đây kiến thức tảng, sở cho viện trình bày nội dung chương chương luận văn Các kiến thức tham khảo tài liệu [4, 5, 7, 8] 1.1 Không gian Sobolev 1.1.1 Không gian C k (W) Giả sử W miền bị chặn không gian Euclid n chiều ¡ n W bao đóng W Ta kí hiệu C k (W), (k = 0,1, ) tập hàm có đạo hàm đến cấp k kể k W, liên tục W Ta đưa vào C k (W) chuẩn u ( C k (W) Trong a = a 1, a , , a n = å max D a u (x ) a £k xỴ W ) gọi đa số vectơ với tọa độ nguyên không âm, a = a + a + + a n : a D u= ¶ a + + a n u a1 an n ¶ x ¶ x Sự hội tụ theo chuẩn cho hội tụ W hàm tất đạo hàm chúng đến cấp k Rõ ràng tập C k (W) với chuẩn cho không gian Banach download by : skknchat@gmail.com 1.1.2 Không gian L p (W) Giả sử W miền ¡ n p số thực dương Ta kí hiệu Lp (W) lớp hàm đo f xác định W cho: ò f (x ) p dx < ¥ (*) W L p (W) ta đồng hàm hầu khắp W Như phần tử L (W) lớp tương đương hàm đo thỏa mãn (*) p hai hàm tương đương chúng hầu khắp W Vì : p f (x ) + g (x ) £ nên rõ ràng L Ta đưa vào L p p ( f (x ) + g (x ) p ) p pử ổ Ê 2p ỗỗ f (x ) + g (x ) ÷ ÷ ÷, è ø (W) không gian vectơ (W) phiếm hàm xác định bởi: p u 1.1.3 Không gian W 1, p p ìï ü p ïï p ï = í ị u (x ) dx ý ùù W ùù ợ ỵ (W) 1.1.3.1 nh ngha Cho W miền ¡ n ( ) gọi khả tích địa Hàm u x () phương W u x hàm W với x Ỵ W tồn () lân cận w x để u x khả tích w download by : skknchat@gmail.com 47 ìï D u ( k ) = 0, (x , y ) Ỵ W1, ïï ïï u ( k ) = 0, - £ x £ 0, y = 0, ïï ïï ¶ u ( k ) ïï = 0, x = 0, £ y £ 1, ¶ x í ïï ¶ u ( k ) ïï = 0, - £ x £ 0, y = 1, ïï ¶ y ïï ¶ u (k ) ïï = g(k ) , (x , y ) ẻ G ùùợ ả x (k ) Bước 2: Giải toán xác định u miền W2 ìï D u (k ) = 0, (x , y ) Ỵ W2, ïï ïï u (k ) = 500, x = 1, £ y £ 1, ïï í ¶ u 2(k ) ïï = 0, £ x £ 1, y = 0, y = 1, ïï ¶ y ïï u (k ) = u (k ) , (x , y ) Ỵ G ïỵ Bước 3: Hiệu chỉnh giá trị g g ( k + 1) = (1 - t )g (k ) (k ) biên ¶ u 2(k ) + t ảx , (x,y) ẻ G kim tra độ xác phương pháp lặp, chúng tơi sử dụng phương pháp lưới với số lưới M x N = 64 x 64 Chuyển toán vi phân toán sai phân tương ứng Sau sử dụng thuật tốn thu gọn khối lượng tính toán xác định nghiệm xấp xỉ nút lưới Trong q trình tính tốn, chúng tơi sử dụng hàm tương ứng thư viện RC2009 [2] Kết tốc độ độ xác toán cho Bảng 3.1 đồ thị nghiệm tốn Motz cho Hình 3.2 ( k + 1) Trong Bảng 3.4 err = max u ij - uij(k ) , K số bước lặp tương ứng download by : skknchat@gmail.com 48 Bảng 3.4: Kết thực nghiệm toán Motz Thuật toán Thuật toán t K err t K err 0.1 150 7.10-8 0.1 150 1.10-8 0.2 62 7.10-11 0.2 57 8.10-11 0.3 32 5.10-11 0.3 29 9.10-11 0.4 26 6.10-11 0.4 17 5.10-11 0.5 34 5.10-11 0.5 17 5.10-11 0.6 45 6.10-11 0.6 24 9.10-11 0.7 63 7.10-11 0.7 36 7.10-11 0.8 97 9.10-11 0.8 58 7.10-11 0.9 150 1.10-8 0.9 120 9.10-11 Hình 3.2: Nghiệm tốn Motz với phương pháp chia miền download by : skknchat@gmail.com 49 Nhận xét: Qua kết thực nghiệm, thấy: + Các thuật toán hội tụ tốt, tham số lựa chọn tối ưu khoảng 0.4-0.5 + Thuật toán thứ hai có tốc độ hội tụ tốt thuật toán thứ 3.3 Mở rộng phương pháp chia miền trường hợp tổng quát Xét toán tổng quát: ìï D u = f , (x , y ) Î W= (- a, c ) ´ (0, b), ïï ïï ¶ u ïï = g1, x = - a, £ y £ b, ¶ x ïï ïï u = g3 , - a £ x £ 0, y = 0, ïï í ¶u ïï = g5 , £ x £ c, y = 0, ïï ¶ y ïï ¶ u = g4 , - a £ x £ c, y = b, ïï ¶ y ïï ïï u = g , x = c, £ y Ê b ùợ y ả u / ả y = g4 ¶ u / ¶ y = g41 u = g2 ¶ u / ¶ y = g1 G -a u = g3 ¶ u / ¶ y = g5 a x Hình 3.3 Đây mở rộng toán Motz trường hợp điều kiện biên bất kỳ, điểm (0,0) điểm kỳ dị Có thể thấy trường hợp này, việc áp dụng phương pháp BAMS GFIFs không thực khơng thể xây dựng hệ hàm độc lập tuyến tính Tuy nhiên download by : skknchat@gmail.com 50 sử dụng phương pháp chia miền để xác định nghiệm xấp xỉ toán theo thuật toán sau  Thuật toán thứ Bước 1: Xác định nghiệm miền W2 ìï ïï ïï ïï ïï ï í ïï ïï ïï ïï ïï ỵ D u 2( k ) = f , (x , y ) Ỵ W2 , u 2( k ) = g2 , x = c, £ y £ b, ¶ u 2( k ) = g5 , £ x £ c, y = 0, = g4 , ¶y u 2( k ) = g( k ) , £ x £ c, y = b, ¶x ¶ u 2( k ) (x , y ) Î G Bước 2: Xác định nghiệm miền W1 ìï D u (k ) = f , x Ỵ W1, ïï ïï ¶ u (k ) ïï = g4 , - a £ x £ 0, y = b, ïï ¶ y ïï u (k ) = g , - a £ x £ 0, y = 0, í ïï ¶ u (k ) ïï = g1, x = - a, £ y £ b, ïï ¶ x ïï ¶ u (k ) ¶ u (k ) ïï = , x ẻ G ùùợ ả x ảx Bc 3: Hiu chnh g(k + 1) = (1 - t )g(k ) + t u1(k ), (x,y) Ỵ G download by : skknchat@gmail.com 51  Thuật toán thứ hai Cho W= W1 È W2 biên G = g= ¶ u1 ¶x G {x = 0, £ y £ b} Kí hiệu Xuất phát g(0) = , " k = 0,1, 2, thực thuật toán Bước 1: Xác định nghiệm miền W1 ìï D u (k ) = f , x ẻ W1, ùù ùù ả u (k ) ïï = g1, £ y £ b, x = - a, ïï ¶ x ïï u (k ) = g , y = 0, - a £ x £ 0, í (k ) ïï ¶ u ïï = g4 , - a £ x £ 0, y = b, ïï ¶ y ïï ¶ u (k ) ïï = g(k ) , x ẻ G ùùợ ả x Bc 2: Xỏc nh nghiệm miền W2 ìï ïï ïï ïï ïï ï í ïï ïï ïï ïï ïï ïỵ D u 2( k ) = f , ¶ u 2( k ) = g5 , ¶y (k ) u 21 = g2 , ¶ u 2( k ) = g4 , ¶y u 2( k ) = u 1( k ) , x Ỵ W2 , £ x £ c, y = 0, x = c, £ y £ b, £ x £ c, y = b, x Ỵ G Bước 3: Hiệu chỉnh g ( k + 1) = (1 - t )g (k ) + t ¶ u 2(k ) ảx , (x,y) ẻ G Sau õy kết thực nghiệm hàm: download by : skknchat@gmail.com 52 f = x2 + y2 g1 = (x + 1)e - y g3 = - (x + x )e - y g2 = e y g4 = cos x e - y g5 = sin x e y đưa Bảng 3.5 Hình 3.4 (a=1, b=1, c=1) Bảng 3.5: Số liệu thực trường hợp tổng quát Thuật toán Thuật toán t K err t K err 0.1 117 10-10 0.1 150 10-8 0.2 50 10-10 0.2 57 8.10-11 0.3 28 10-10 0.3 29 9.10-11 0.4 17 2.10-11 0.4 17 5.10-11 0.5 21 5.10-11 0.5 17 5.10-11 0.6 30 6.10-11 0.6 24 9.10-11 0.7 44 7.10-11 0.7 36 7.10-11 0.8 71 10-10 0.8 58 7.10-11 0.9 148 10-10 0.9 120 5.10-11 Nhận xét: Qua kết thực nghiệm, thấy trường hợp tổng quát + Các thuật toán hội tụ, tham số lựa chọn tối ưu khoảng 0.4-0.5 + Thuật toán thứ hai có tốc độ hội tụ tốt thuật tốn thứ + Trong thực tế, điểm kỳ dị phân cách loại điều kiện biên) thường xảy vết đứt gãy với giá trị đạo hàm tiến ¥ , tính tốn số ta thấy giả trị đạo hàm mơ tả hình 3.4 phản ánh tính chất học tốn download by : skknchat@gmail.com 53 Hình 3.4: Dáng điệu đạo hàm điểm kỳ dị download by : skknchat@gmail.com 54 PHẦN KẾT LUẬN Luận văn đề cập đến mơ hình tốn học tốn Motz, mơ hình tốn học tính tốn Các kết luận văn gồm có: + Nghiên cứu mơ hình tốn học tốn Motz, trình bày sở toán học phương pháp BAMS, kết thực nghiệm toán Motz + Nghiên cứu sở phương pháp chia miền giải toán biên elliptic cấp hai với điều kiện biên gián đoạn mạnh, hội tụ phương pháp + Dựa kết thuật toán chia miền toán biên elliptic với điều kiện biên gián đoạn mạnh, luận văn đưa sơ đồ lặp xác định nghiệm xấp xỉ toán Motz + Trên sở thư viện RC2009, tiến hành lập trình xác định nghiệm số tốn, đánh giá tốc độ hội tụ độ xác sơ đồ lặp Hướng phát triển cửa luận văn nghiên cứu số mơ hình học khác có hệ điều kiện biên dạng hỗn hợp mạnh phương trình cấp hai cấp bốn download by : skknchat@gmail.com 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Đặng Quang Á, Vũ Vinh Quang (2006), “Phương pháp chia miền giải toán biên hỗn hợp mạnh”, Tạp chí Tin học Điều khiển học, T.22, s.4:307 - 318 [2] Vũ Vinh Quang, Trương Hà Hải, Nguyễn Thị Tuyển (2010), “Xây dựng chương trình RC2009 giải số toán biên elliptic với hệ số hằng”, Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Đại học Thái Ngun, T.69(07), tr.56 - 63 Tiếng Anh [3] Arad M., Yosibash Z., Ben-Dor G., Yakhot A., “Computinh Flux Intensity Factors by a Boundary method for Elliptic Equations with Singularities”, Preprint Submitted to Elsevier Science 14 October 2005 [4] Dang Q A., Vu V Q (2012), A domain decomposition method for strongly mixed boundary value problems for the Poisson equation, In book: Modeling, Simulation and Optimization of Complex Processes (Proc 4th Inter Conf on HPSC, 2009, Hanoi, Vietnam), Springer [5] Funaro D., Quarteroni A., Zanolli P (1998), " An iterative procedure with interface relaxation for domain decomposition method", SIAM J Number Anal 25(6), pp 1213 - 1236 [6] Li C Z., Chan L Y., Georgiov C G., Xenophontos C, “Special Boundary Approximation Methods For Laplace Equation problems with Boundary Singularities Applications to the Motz Problem”, Comput and Mathematics with Applications 2006, 51: 115 - 142 [7] Marchuk G.I (1982), Methods of Numerical Mathematics, Springer, New York [8] Samarskij A and Nikolaev E.(1989), Numerical methods for Grid Equations, vol 2, Birkhauser, basel [9] Saito N and Fujita H (2001), “Operator Theoretical Analysis to Domain Decomposition Methods”, 12th Int Conf on Domain Decomposition Methods, 63-70, www.ddm.org/DDI 2/saito.pdf download by : skknchat@gmail.com 56 PHẦN PHỤ LỤC Chương trình mơ tả thuật tốn thứ – Trường hợp tổng quát function motz_1=bai_toan_motz_1(n,teta); clc a=1;b=1;cc=0;bb=0;k1=1;k2=1; count=-1; epxilon=10^(-10);ss=10; N=2^n; M=N;M1=M;N1=N;M2=M;N2=N;l1=a;l2=b;n1=n;n2=n;h1=l1/M;h2=l2/N; p1=1;p2=M+1;p3=2*M+1;q1=1;q2=N+1;q3=2*N+1; %buoc lap - Gia tri ban dau csi=0,eta=0;phi1=0;phi2=0 for j=0:N; eta(j+1)=0;%khoi tao gia tri lap tren bien chia mien cho bai toan Delta v=f end; for i=0:2*M; for j=0:N; luu(i+1,j+1)=0; end; end; thoigian=cputime; while and(countepxilon); % Giai bai toan voi u2 x10=0;x20=0; % Gia tri ve phai for i=0:M2; for j=0:N2; x1=x10+i*h1; x2=x20+j*h2; phi(i+1,j+1)=f(x1,x2); end; end; % Dieu kien tren canh trai va phai for j=0:N2; x2=x20+j*h2; b1(j+1)=eta(j+1); b2(j+1)=g4(x10+a,x2); end; % Dieu kien tren canh duoi va tren for i=0:M2; x1=x10+a; b3(i+1)=g5(x1,x20); b4(i+1)=g6(x1,x20+b); end; u2=u0011(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,k1,k2,0,M2,N2,n2,p2,p3,q1,q2); download by : skknchat@gmail.com 57 % Giai bai toan voi u1 x10=-1;x20=0; % Gia tri ve phai for i=0:M1; for j=0:N1; x1=x10+i*h1; x2=x20+j*h2; phi(i+1,j+1)=f(x1,x2); % Ham ve phai end; end; % Dieu kien tren canh trai va phai aa1=u2(p2,q1);aa2=u2(p2,q1+1);aa3=u2(p2,q1+2);u2_h=aa3-3*aa2+3*aa1; bb1=u2(p2,q2);bb2=u2(p2,q2-1);bb3=u2(p2,q2-2);u2h=bb3-3*bb2+3*bb1; for j=0:N2; ph01(j+1)=-phi(1,j+1); end; for j=0:N; if j==0; du2(j+1)=1/h1*(u2(p2+1,q1+j)-u2(p2,q1+j))+h1/(2*h2*h2)*(u2_h2*u2(p2,q1+j)+u2(p2,q1+j+1))+h1/2*ph01(j+1); else if j==N; du2(j+1)=1/h1*(u2(p2+1,q1+j)-u2(p2,q1+j))+h1/(2*h2*h2)*(u2h2*u2(p2,q1+j)+u2(p2,q1+j-1))+h1/2*ph01(j+1); else du2(j+1)=1/h1*(u2(p2+1,q1+j)-u2(p2,q1+j))+h1/(2*h2*h2)*(u2(p2,q1+j-1)2*u2(p2,q1+j)+u2(p2,q1+j+1))+h1/2*ph01(j+1);%Dao ham u2 end; end; end; for j=0:N1; x2=x20+j*h2; b1(j+1)=g1(x10,x2); b2(j+1)=du2(j+1); end; % Dieu kien tren canh duoi va tren for i=0:M1; x1=x10+i*h1; b3(i+1)=g2(x1,x20); b4(i+1)=g3(x1,x20+b); end; u1=u1101(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,k1,k2,0,N1,M1,n1,p1,p2,q1,q2); for j=0:N; eta(j+1)=teta*eta(j+1)+(1-teta)*u1(p2,j+1); end; count=count+1; for i=0:2*M; download by : skknchat@gmail.com 58 for j=0:N; if i